16.2 整式的乘法（第2课时 单项式与多项式相乘）（教学课件）数学新教材人教版八年级上册

16.2 整式的乘法 第2课时 单项式与多项式相乘 第十六章 整式的乘法 人教版（新教材）·八年级上册 学 习 目 标 1 2 3 理解单项式与多项式相乘法则的推导过程，能结合乘法分配律说明该法则的合理性，会用符号语言表述法则。经历探索单项式乘多项式的运算法则的过程，通过类比学习，利用乘法分配律将问题转化，培养学生转化的数学思想 掌握单项式与多项式相乘的运算法则，能正确、熟练地进行单项式与多项式相乘的运算，并会运用法则解决简单的实际问题。 经历“从实际问题抽象出等式—借助几何图形验证—归纳运算法则”的探究过程，体验转化与化归、数形结合的数学思想方法，发展运算能力和逻辑推理能力。 多项式：几个单项式的和叫做多项式。 项：组成多项式的每个单项式（连同它前面的符号）叫做这个多项式的项。 常数项：多项式里不含字母的项叫做常数项。 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。 ⁎在多项式 4x³ − 2x + 7 中，它的项是 ； ⁎ 其中不含字母的项 7 是 ； ⁎ 这个多项式的次数是 ， ⁎ 它是一个 式。 知识回顾 知识点链接 4x³、−2x、7 常数项 3 三次三项 知识回顾 1、填空： （1）(−4x²)·3x ＝ ；　 (2)(3x2y)3(－4xy2) = ; (3)(－xy2z3)4(－x2y)3 = ; (4)6abn·(－5an+1b2) = ; −12x³ 知识点链接 单项式与单项式相乘的法则： 系数相乘、同底数幂分别相乘、只在其中一个单项式里含有的字母则连同它的指数作为积的一个因式。 －108x7y5 －x10y11z12 －30an+2bn+2 4 知识回顾 解：xy2·14(xy)2·x5 =xy2·14x2y2·x5 =(×14×)(x·x2·x5)(y2·y2) =x8y4. 当x=4，y=时，原式=×48×()4=8. 2. 已知x=4，y=，求代数式 xy2·14(xy)2·x5的值. 5 新课导入 为扩大绿化面积，要把街心花园的一块长为 p m，宽为 b m 的长方形绿地，向两边分别加宽 a m 和 c m，得到一块大的长方形绿地。你能用几种方法表示扩大后的绿地面积？ 还记得本章引言中提出的问题吗？ 新课导入 为扩大绿化面积，要把街心花园的一块长为 p m，宽为 b m 的长方形绿地，向两边分别加宽 a m 和 c m，得到一块大的长方形绿地。你能用几种方法表示扩大后的绿地面积？ 你有哪些求法？ 先求扩大后绿地的边长，再求面积 ——大绿地长为 (a+b+c)，宽为 p， 面积为 p(a+b+c)。 分别求原来绿地和新增绿地的面积，再求它们的和 ——面积为 pa＋pb＋pc。 a+b+c p 7 新课导入 p(a+b+c)＝pa＋pb＋pc 因为两种算法求的是同一块绿地的面积 p(a+b+c) Pa ＋ pb ＋ pc 上式左边是单项式 p 与多项式 (a+b+c) 相乘，右边是积相加的形式。 这就是本节课要研究的——单项式与多项式相乘。 + + 新知探究 探究点1 从实际问题与几何图形抽象出等式 把单项式 p 分别去乘多项式中的每一项 a、b、c，再把所得的积相加。 （1）等式 p(a+b+c)＝pa＋pb＋pc的右边，pa、pb、pc 分别是怎样得到的？ （2）你能根据乘法分配律 a(b+c)＝ab＋ac 得到这个等式吗？ 分配律对三个及三个以上数相加仍然成立， 把 (a+b+c) 看作整体，可得： p(a + b + c) pa pb pc = ——乘法分配律 9 新知探究 探究点1 从实际问题与几何图形抽象出等式 （3）观察图,你还能从几何直观上看出为什么 p(a+b+c)＝pa＋pb＋pc 吗？ 大矩形被分成三个小矩形， 高都是 p，宽分别是 a、b、c， 其面积之和pa＋pb＋pc等于大矩形面积 p(a+b+c)。 面积分别为: pa pb pc p(a + b + c) pa pb pc + + = ——数形结合。 新知探究 探究点2 归纳单项式与多项式相乘的法则 （4）仿照上面的方法，计算： x(x−1)＋2x(x＋1)−3x(2x−5) 解：x(x−1)＋2x(x＋1)−3x(2x−5) =－x+2+2x－6 =+16x p(a+b+c)＝pa＋pb＋pc ——乘法分配律 ——合并同类项 新知探究 探究点2 归纳单项式与多项式相乘的法则 一般地，单项式与多项式相乘，应当按怎样的方法进行？ 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 用字母表示：p(a＋b＋c)＝pa＋pb＋pc。 要点提示 ①用单项式去乘多项式的每一项，不能漏乘； ②注意积的符号（单项式的符号与该项符号相乘）； ③若有同类项，最后要把结果化简（合并同类项）。 例1　计算：　 典例分析 解：(1) (–4x2)(3x+1) = (–4x2)(3x) + (–4x2)·1 = (–4×3)(x2·x) + (–4x2) = –12x3 –4x2 (2)原式 ＝ab²·ab＋(−2ab)·ab ＝a²b³−a²b² 单项式乘多项式 单项式乘单项式 乘法分配律 (1) (–4x2)(3x+1)； （2）(ab²−2ab)·ab；　 (3) (x – 3y)(xy2)2； (4) x(y – z) – y(z – x) + z(x – y)； 例1　计算：　 典例分析 (1) (–4x2)(3x+1)； （2）(ab²−2ab)·ab；　 (3) (x – 3y)(xy2)2； (4) x(y – z) – y(z – x) + z(x – y)； (3) (x – 3y)(xy2)2 = (x – 3y)·x2y4 = x·x2y4 + (– 3y)·x2y4 = x3y4 – 3x2y5 (4)原式 = xy+x(–z)+(–y)z+(–y)(–x) + zx +z(–y) = xy – xz – yz + yx + zx –zy = 2xy – 2yz 【方法点拨】 把单项式与多项式相乘的问题，转化为单项式与单项式相乘的问题； 整式的混合运算要注意运算顺序(先乘方，再乘法，后加减)，最后合并同类项。 注意运算顺序，先算乘方 合并同类项 1. 下面的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？ （1）(–2x)(x2 – x) = –2x3 – 2x2； （2）a(b – c) + b(c – a) + c(a – b) = 0； 新知巩固 解：（1）不正确，原式末项符号错误： (−2x)·(−x)＝＋2x²，而不是−2x²。 改正： (−2x)(x²−x) ＝(−2x)·x²＋(−2x)·(−x) ＝−2x³＋2x²。 （2）正确。 a(b−c)＋b(c−a)＋c(a−b) ＝ab−ac＋bc−ab＋ca−cb ＝(ab−ab)＋(−ac＋ca)＋(bc−cb) ＝0。 教材 P106 新知巩固 （1）3a(5a – 2b)； 2.计算： （2）–2xy(2xy2 – 3xy) ； （3）(x – 3y)(–6x) （4）(–2ab)2 (2a–b+1). 解：（1） 3a(5a – 2b) 解：（2）–2xy(2xy2 – 3xy) = 15a2 – 6ab = 3a·5a + 3a·(–2b) = (–2xy)(2xy2) + (–2xy)(–3xy) = –4x2y3 + 6x2y2 教材 P106 新知巩固 （1）3a(5a – 2b)； 2.计算： （2）–2xy(2xy2 – 3xy) ； （3）(x – 3y)(–6x) （4）(–2ab)2 (2a–b+1). 解：（3）(x – 3y)(–6x) = x(–6x) + (–3y)(–6x) =–6x2 + 18xy 解：（4） (–2ab)2 (2a–b+1) = (4a2b2)(2a–b+1) = (4a2b2)(2a)+(4a2b2)(–b) + (4a2b2)·1 = 8a3b2 – 4a2b3 + 4a2b2 教材 P106 拓展提升 1.解方程:2x(7－2x)+5x(8－x)=3x(5－3x)－39. 解: 2x(7－2x)+5x(8－x)=3x(5－3x)－39. 去括号,得：14x－4x2+40x－5x2=15x－9x2－39. 移项,得：14x－4x2+40x－5x2－15x+9x2=－39. 合并同类项,得：39x=－39. 系数化为1,得：x=－1. 拓展提升 2.某同学在计算一个多项式乘－2a时,因抄错运算符号,算成了加－2a,得到的结果是a2+2a－1,那么正确的计算结果是多少? 解:根据题意可知这个多项式为： a2+2a－1－(－2a) = a2+2a－1+2a =a2+4a－1, 所以正确的计算结果是： －2a(a2+4a－1) = －2a•a2+（ －2a ） •4a + 2a =－2a3－8a2+2a. 拓展提升 解： (2a³b²－3a²b+4a)·(－2b) =－4a³b³+6a²b²－8ab =－4(ab)³+6(ab)²－8ab 3.阅读下列文字，并解决问题。 已知x²y=3，求2xy(x⁵y²－3x³y－4x)的值。 解：因为x²y=3，所以 2xy(x⁵y²－3x³y－4x) =2x⁶y³－6x⁴y²－8x²y =2(x²y)³－6(x²y)²－8x²y =2×3³－6×3²－8×3=－24。 请你用上述方法解决问题：已知ab=3，求(2a³b²－3a²b+4a)·(－2b)的值。 因为ab=3， 原式=－4×3³+6×3²－8×3 =－108+54－24 =－78。 真题感知 1.(2026湖南衡阳月考)如果计算(2－nx+3x²+mx³)(－4x²)+2x⁵的结果不含x⁵项，那么m的值为（　　　　） A. 　　　　B. 1 C. －1　　　　D. － 解：(2－nx+3x²+mx³)(－4x²)+2x⁵ =－8x²+4nx³－12x⁴－4mx⁵+2x⁵ =－8x²+4nx³－12x⁴+(2－4m)x⁵， ∵结果不含x⁵项， ∴2－4m=0， m = A 真题感知 2.（2026甘肃陇南期末）如图所示的是李伯伯家的户型尺寸示意图(单位：米)，李伯伯要为厨房和卫生间的地面刷防水材料，若每平方米的防水材料为a元，则至少需要购买___________________元的防水材料。 解：厨房和卫生间的地面面积之和为： x(3y－x－y)+y(3y－x－y) =2xy－x²+2y²－xy =xy－x²+2y²， 防水材料费用为： a(xy－x²+2y²) =axy－ax²+2ay²。 axy－ax²+2ay² 真题感知 3.(2026河南洛阳期中)一个长方体的长，宽，高分别是3a+1，2a，a²，则这个长方体的体积是（　　　　） A. 6a²+2　　　　 B. 6a³+2a C. 6a⁴+2a²　　　　 D. 6a⁴+2a³ 解：(3a+1)·2a·a² =(3a+1)·2a³ =6a⁴+2a³ D 4.计算 （1）（2025春•冠县期中） （a2b）[（ab2）2+（2ab）3+3a2]． （2） （2025春•海陵区校级月考） ﹣3x2（2x﹣4y）+2x（x2﹣xy）． 解：（1）原式＝a2b（a2b4+8a3b3+3a2） ＝a4b5+8a5b4+3a4b． （2）原式＝6x2﹣9xy+4xy﹣6y2﹣9x2+6xy ＝﹣3x2+xy﹣6y2． 真题感知 课堂小结 知识点总结 ►单项式与多项式相乘， 用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加， 即 p(a＋b＋c)＝pa＋pb＋pc。 ►理论依据是乘法分配律。 把单项式乘多项式转化为已学过的单项式乘单项式。 课堂小结 方法思想总结 （1）转化与化归思想： 将单项式与多项式相乘转化为单项式与单项式相乘，实现“化未知为已知”； （2）数形结合思想： 用几何图形（图16.2－1）直观验证代数等式，体会“形”与“数”的相互印证； （3）从特殊到一般： 由具体算式的计算，抽象、概括出一般运算法则 课堂小结 易错提醒 （1）漏乘：单项式必须乘多项式的每一项，不能漏掉某一项（尤其不能漏乘常数项或系数为±1的项）； （2）符号：确定每一项积的符号时，要注意“负负得正”，单项式的符号与多项式各项符号都要纳入考虑； （3）运算顺序：先乘方（如先算 (xy²)²），再乘法，后加减； （4）结果化简：乘完后若有同类项，必须合并同类项，把结果化为最简 课后练习 3.计算：x(x−1)＋2x(x＋1)−3x(2x−5)。 解：x(x−1)＋2x(x＋1)−3x(2x−5) ＝(x²−x)＋(2x²＋2x)−(6x²−15x) ＝x²−x＋2x²＋2x−6x²＋15x ＝(x²＋2x²−6x²)＋(−x＋2x＋15x) ＝−3x²＋16x。 教材 P106 课后练习 4.先化简，再求值：x²(x−1)−x(x²＋x−1)，其中 x＝。 解：x²(x−1)−x(x²＋x−1) ＝(x³−x²)−(x³＋x²−x) ＝x³−x²−x³−x²＋x ＝−2x²＋x。 当 x＝ 时， 原式＝−2×()²＋ ＝−2×＋ ＝−＋＝0。 教材 P106 课后练习 2. 计算： （1）(4a – b2)(–2b)； （2）； （3）5ab(2a – b + 0.2)； （4) (2a²−a−)(−9a) 解：(1) 原式 = (4a)·(–2b) + (–b2)·(–2b) = –8ab + 2b3 (2) 原式 = 2x²·x＋2x²·(−) = 2x3 – x2 (3) 原式 = 5ab·2a + 5ab·(–b) + 5ab·0.2 = 10a2b – 5ab2 + ab (4) 原式 = 2a²·(−9a)＋(−a)·(−9a)(−)·(−9a) ＝−18a³＋6a²＋4a。 = – 18a3 + 6a2 + 4a 教材 P110 课后练习 9.计算图中阴影所示绿地的面积（长度单位：m）。 解：S大矩形 ＝ (1.5a + 2.5a)(a + 2a + 2a + 2a + a) ＝8a· (1.5a + 2.5a)＝32a²； ＝2a×2.5a＝5a²，　 ＝2a×2.5a＝5a²； ＝ − − = 32a2 – 10a2 = 22a2 (m2) 答：图中阴影所示绿地的面积为 22a2 m2. 教材 P110 谢谢聆听 $