16.3.1 平方差公式 课件 2026--2027学年人教版八年级数学上册

16.3.1 平方差公式 第十六章　整式的乘法（第 4 课时） 学科：数学（人教版·八年级上册） 主讲人：____________ 学校：____________ 开场用教材的'糖果结账'问题吊胃口：售货员没按计算器却秒报 99.91 元，引出'一个公式'。今天就揭晓这个公式——平方差公式。 学习目标 1. 经历探究过程，归纳出平方差公式： （a、b 表示数、单项式或多项式）。 2. 能用两个方式说明公式：多项式乘法推导 与 面积模型几何解释。 3. 会识别公式的结构特征并直接运用；能把它用于简便计算（如 ）。 4. 体会从特殊到一般、数形结合的数学思想。 重点：公式本身及灵活运用。难点：看清'相同项'与'互为相反数项'。厦门学生基础较好，可让他们先猜 9.7×10.3 的结果再揭公式。 复习引入：多项式乘多项式怎么算？ 回忆：多项式乘多项式，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把积相加。 算一算： = = = = = = 先复习多项式乘法，为后面'把乘法反过来'做铺垫。中间项 -x+x 正好抵消，这是平方差公式出现的根本原因。 一 情境引入 一个让售货员'秒算'的公式 问题：王先生买糖果，单价 9.7 元，买了 10.3 kg。 　　　售货员没按计算器，张口就说应付 99.91 元，结果分毫不差。 想一想：他是怎么算得这么快的？（提示：） 今天要学的公式，就能让这类乘法'秒出结果'。 这是教材原问题。先让厦门的同学们估一估 9.7×10.3 约多少，再揭秘：把两个数凑成'(10-0.3)(10+0.3)'，套公式即可。 二 探究新知 探究：相乘后，结果有什么规律？ 再算一组（注意中间项都抵消了）： 观察等号左边：都是 '(一个式子)+(另一个式子)' 与 '(同样的)-(同样的)' 相乘。 观察等号右边：都是 '两项的平方差'，中间项恰好抵消。 让学生自己展开、合并，亲历'中间项抵消'。再抽象：只要是'(a+b)(a-b)'的形式，结果一定等于 a²-b²。 平方差公式 法则（符号语言）： 文字语言：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 提醒：① 公式里的 a、b 可以表示数、单项式，也可以表示多项式；② 必须是一个'和'与一个'差'相乘。 板书把公式框出来。追问：这里的 a 和 b 到底指什么？以 (3x+2)(3x-2) 为例，a 是 3x，b 是 2——用彩色粉笔点出，学生最易错就在这里。 三 几何解释 能否用面积说明这个公式？ 图①： 大正方形面积 ，去掉小正方形 ，阴影 = 。 图②： 把阴影重新拼成 长、宽 的长方形，面积 = 。 两种算法面积相等 ⇒ 公式成立。 数形结合：让学生动手剪纸拼接，体会'同一块面积，两种算法'。厦门一中、双十等学校常用这种探究活动，课堂参与度高。 怎么一眼认出能用公式？——看结构 公式 的结构特征： · 左边是两个二项式相乘； · 这两个二项式中，有一项完全相同（即 a），另一项互为相反数（即 +b 与 −b）； · 右边是 相同项的平方 减去 相反数项的平方。 口诀：同号放前头，异号放后头，平方相减莫停留。 识别结构是运用公式的关键。给学生一句口诀降低记忆负担，但强调口诀背后是'相同项²−相反数项²'。 四 例题示范 例1：直接套公式 例1　运用平方差公式计算： (1) = = (2) = = 要领：把 完全相同 的看成 a（如 3x、−x），互为相反数 的看成 b（如 2、2y）。 第(2)小题是位置变化/符号变化：−x+2y 与 −x−2y 中完全相同的是 −x，互为相反数的是 +2y 与 −2y。点明这一点，学生就不会把 a 错当成 x。 五 综合运用 例2：连用公式与混合运算 例2　计算： (1) = = (2) = 　　 = = (3) = = = 9996 第(1)题体现'连用公式'：先用一次平方差得到 x²-1，再和 x²+1 用一次。第(3)题是开头糖果问题的'近亲'——把 102×98 凑成 (100+2)(100-2) 即可秒算。 六 巩固练习 巩固练习（一）：直接运用 1. = 2. = 3. = 4. = 5. = 6. = 第5题是'增项变化'：把 x+y 看成整体 a，z 看成 b。当堂抢答并说依据，错的多就回到结构特征页再讲。 巩固练习（二）：简便运算 1. = = = 2499 2. = = = 99.91 3. = = = 9991 4. ，若 、，则原式 = = 20 要点：把相乘两数凑成'和×差'，再用平方差公式。 第2题正好回应开场情境，让学生有'原来如此'的获得感。强调：不是所有乘法都能这么凑，要先看两数是否关于某个中心数对称。 易错辨析：这些写法错在哪？ 错1：　正：这是完全平方，不是平方差。 错2：　正：结果应为 4ab 错3：　正：两项不全相同，不能用公式，要展开。 错4：　正：完全相同项是 b，得 口诀：先看'一同一反'，再看系数与指数；结构不对，老老实实展开。 错3最典型：两项不是'一同一反'就硬套公式，是高频丢分点。让学生先找错再纠正，比直接讲印象深。 课堂检测 1. 计算 。（答案：） 2. 计算 。（答案：） 3. 简便计算 。（答案：9999） 4. 若 ，则 中 ，。（答案：x、5） 5. 判断：。（　）（答案：×） 第5题考察符号变化：(b+a)(b-a) 完全相同项是 b，互为相反数项是 +a 与 −a，结果应为 b²−a²，与 a²−b² 差一个负号。当堂批改，错得多的题下节课再练。 方法归纳：运用公式三步走 第一步：看结构——两个二项式是否'一同一反'？不是就展开。 第二步：定 a、b——完全相同项作 a，互为相反数项作 b。 第三步：写结果——，注意 b 整体平方（如 (3x)² 不是 3x²）。 简便运算：遇到接近整十整百的两数相乘，先凑成'和×差'再算。 把方法程序化，更像一线教师板书总结。提醒学生：b 是整体，平方时括号不能丢，这是'看起来会、一写就错'的地方。 七 课堂小结 这节课我们学了什么？ 一个公式：（两个数的平方差） 一种结构：左边'一同一反'，右边'同²−反²'。 两种说明：多项式乘法推导 + 面积模型几何解释。 一类巧算：接近整十整百的两数相乘，先凑'和×差'。 请一名学生用自己话复述公式并举例。预告：下节课学'完全平方公式'，结构不同——是三项的平方，别和平方差混淆。 课后作业 1. 基础题：教材习题 16.3 第 1 题——直接运用平方差公式； 2. 变式题：把 看作整体，写出化简结果并说明把谁当 a、谁当 b； 3. 应用题：厦门到福州高铁长约 240 km，若车速 v ，则用时 h——试用平方差思想解释 的意义； 4. 思考题：计算 ，并写出你的巧算依据。 基础题面向全体；应用题联系福建高铁（厦门北站、福州站），增强代入感；思考题训练'连用/变形'为后续因式分解铺垫。 $