专题08 三角形的三条重要线段12大题型59题（期中专项训练）八年级数学上学期新教材沪科版

专题08三角形的三条重要线段 基础·固本强基 题型1画三角形的高 题型2利用三角形的高求线段长度（重点） 题型3利用三角形的高求角度（重点） 题型4三角形三条重要线段概念辨析 题型5根据三角形中线求长度（重点） 题型6与角平分线有关的内角和问题（重点） 提升·进阶突破 题型7根据三角形中线求面积（重点） 题型8等面积法求高的进阶计算（难点） 题型9重心性质的简单应用 题型10三角形三条重要线段解答题基础练（重点） 拔高·压轴破难 题型11三条线段结合动点、分类讨论综合题（重点） 题型12与三角形高有关的计算之最值问题（重点） 基础·固本强基 题型1画三角形的高（共5小题） 【模型】三角形高线作图模型→从三角形的一个顶点向对边（或对边延长线）作垂线，顶点与垂足之间的线段就是这条边上的高；锐角三角形三条高都在内部，直角三角形两条直角边互为高，钝角三角形有两条高在外部 【步骤】①找准指定底边以及对应的顶点；②用三角板直角边对齐底边，平移使另一条直角边经过顶点；③画出垂线段，标注垂直符号； 【易错】钝角三角形容易忘记向边的延长线作高；漏标垂直符号；把高画成射线或者直线 1．（26-27八年级上·湖北省直辖县级单位·期中）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点，，均在小正方形的顶点上． (1)画出的边上的高． (2)画出的边上的中线． 【答案】(1) (2) 【详解】略 略 2．（26-27八年级上·河南信阳·期中）根据条件画图，并回答问题： (1)作出中边上的中线和三条高； (2)写出两个以为高的三角形． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的中线和高的定义作图即可； （2）根据三角形的高的定义可得答案． 【详解】（1）略 （2）略 3．（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图，在方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点的对应点，根据下列条件，利用网格点和三角尺画图： (1)补全． (2)画出边上的中线； (3)画出边上的高线； (4)求的面积____________． 【答案】(1)解：如图所示，即为所求作三角形； (2)解：如图所示，为边上的中线； (3)解：如图所示，为边上的高线； (4)4 【分析】（1）首先根据对应点和可以确定平移的方向和距离，然后借助网格确定出，平移后的对应点，，进而可确定出； （2）观察网格可知，的长度等于长、宽分别为4和2的长方形的对角线的长度，因此它的长度的一半等于长、宽分别为2和1的长方形的对角线的长度，进而确定出的中点，再连接即可； （3）利用三角尺的直角，过点作边的延长线的垂线，垂足为，连接即为所求； （4）利用“割补法”求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）解：如图所示， ． 4．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）画图并填空：如图，的方格纸，每个小正方形的边长都为，的顶点都在方格纸的格点上，将按照某方向经过一次平移后得到，图中标出了点的对应点． (1)请画出； (2)连接，，则这两条线段的关系是； (3)利用方格纸，在中画出边上的中线以及边上的高； (4)若连接、，则四边形的面积为． 【答案】(1)如下图所示： (2)且 (3)边上的中线以及边上的高如下图所示： (4) 【分析】（1）根据点和点的位置关系，分别画出点、平移后的对应点、，连接点、、，得到即为所求； （2）根据平移的性质可知且； （3）利用网格特点和三角形的中线、高的定义作图； （4）利用网格和割补法求出四边形的面积． 【详解】（1）略 （2）解：由平移的性质可知：且； （3）略 （4）解：如下图所示，连接、、，过点作于点， ， ． 5．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上． (1)在图中过点C作出于点D； (2)若点P在方格纸的格点上，且使得与的面积相等，则P点的个数有________个（点P异于A）． 【答案】(1)解：如图，即为所求， (2)4 【分析】（1）利用网格的特点作图即可； （2）根据与的面积相等得出点到的距离等于点到的距离，然后根据网格的特点解答即可. 【详解】（1）略 （2）解：如图， 根据网格特征知：， ∴和是同底等高的三角形， ∴， 此时经过的格点有4个（点除外）． ∴在图中能使的格点的个数有4个． 题型2利用三角形的高求线段长度（共5小题） 【模型】等面积法模型→同一个三角形面积不变，，一组底和高可以求另一组未知高/底 【步骤】①用已知的一组底、高算出三角形面积；②设所求线段为未知数，代入面积公式列等式；③解方程求出线段长； 【易错】底和高不对应，错配底边与它的高；忽略高在外部的情况 6．（26-27八年级上·云南文山·期中）如图，在中，垂足为，垂足为，若，，，则边上的高的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角形面积公式建立等量关系求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴． 7．（26-27八年级上·新疆和田·期中）如图，在中，，分别是边上的中线和高，，．则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的面积，再根据中线的性质求解即可． 【详解】解：∵是边上的高，，， ∴， 又∵是边上的中线， ∴． 8．（25-26七年级下·福建泉州·期中）已知的两条高分别为、，且第三条高也为整数，则的第三条高可能是（     ） A．和 B．和 C．2和3 D．1和2 【答案】B 【分析】设的面积为，长度为、的高对应的边分别为、，第三条边为，第三条高为，利用三角形面积公式将三边用含、的代数式表示出来，结合三角形三边关系列不等式求解高的取值范围． 【详解】解：设的面积为，第三条高为，长度为、的高对应的边分别为、，第三条边为， 则，，， ， ，即， ， 不等式两边同除以， 得：， 解得，即， 为整数， 或． 9．（25-26七年级下·江西抚州·期中）已知是三角形的高，，三角形的面积是，则的长为（     ） A．5 B．6 C．5或6 D．5或7 【答案】D 【分析】先根据三角形面积公式求出的长，再分高在三角形内部、外部两种情况计算的长． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∵，， ∴， 解得． 分两种情况： ①当点在线段上时，； ②当点在线段的延长线上时，． 综上所述，的长为或． 10．（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，分别是的高和中线，已知，，则的长为（     ） A．3 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】根据中线平分三角形面积，结合题意得到，再根据三角形面积的计算求解即可． 【详解】解：∵是的中线，， ∴， ∴， ∵是的高，， ∴， ∴． 题型3利用三角形的高求角度（共5小题） 【模型】高线直角模型→高带来90°，结合三角形内角和、对顶角、余角转化角度 【步骤】①由高得到直角90°；②在直角三角形中利用两个锐角互余；③结合已知角逐步推导目标角度； 【易错】分不清高形成的直角位置；余角、对顶角转化时角度加减出错 11．（26-27八年级上·重庆渝中·期中）如图，在中，是边上的高，是的角平分线，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据角平分线定义求，利用直角三角形两锐角互余求，作差即可． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴ ∵是边上的高 ∴ ∵ ∴ ∴ 12．（25-26七年级下·福建泉州·期中）如图，在中，，是的角平分线，是的高，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的内角和求，由题目条件得，再利用三角形的高、角平分线进行角度计算即可． 【详解】解：是的角平分线， ， ， ， 是的高， ， 在中，， 即， ，, ， ， ， ， ． 13．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，是的高线，，则的补角为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出的度数，再根据补角的定义求解即可． 【详解】解：∵是的高线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的补角为． 14．（25-26七年级下·四川成都·期中）已知是的高，，，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分两种情况讨论，即高在内部和外部，分别计算的度数． 【详解】解：情况一：当高在内部时， ∵，， ∴． 情况二：当高在外部时， ∵，， ∴． 综上，的度数为或. 15．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，，分别是的高和角平分线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，高线的性质，角平分线的性质，解题的关键是熟知各性质定理．先根据高线的性质和三角形内角和定理求出和的度数，根据角平分线的性质可求得的度数，从而得解． 【详解】解：是的高，，， ，， 是的角平分线， ， ． 故选：A． 题型4三角形三条重要线段概念辨析（共5小题） 【模型】三线区分模型→高：垂直对边；中线：平分对边；角平分线：平分内角 【步骤】①看清题干描述，抓住关键词：垂直/平分边/平分角；②对照定义判断是高、中线还是角平分线；③区分线段、直线、射线； 【易错】混淆三者定义；误以为中线、角平分线一定在三角形内部（三线都是线段） 16．（26-27八年级上·河南周口·期中）如图，，，分别是的中线、角平分线、高线，下列结论中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形中线、角平分线、高线性质，逐项分析判断，即可解题． 【详解】解：是的中线， ， 故A正确，不符合题意； 是的角平分线， 故B正确，不符合题意； 是的高线， ， 故C正确，不符合题意； 由现有条件，推不出，故D错误，符合题意； 17．（26-27八年级上·全国·期中）如图，在中，为的平分线，下列选项正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：为的平分线， ， 不能得到，，． 18．（26-27八年级上·江苏南京·期中）以下说法正确的有（     ） ①三角形的中线、角平分线都是射线； ②三角形的三条高所在直线相交于一点； ③三角形的三条角平分线在三角形内部交于一点； ④直角三角形的三条高相交于直角顶点； ⑤三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】解：①三角形的中线、角平分线都是线段，原说法错误； ②三角形的三条高所在直线相交于一点，正确； ③三角形的三条角平分线在三角形内部交于一点，正确； ④直角三角形的三条高相交于直角顶点，正确； ⑤三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，正确． 所以说法正确的有4个． 19．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）在三角形的学习中，三角形的特殊线段是研究其性质的重要基础，通过折纸这一直观方式，我们可以清晰地观察到线段在不同折叠操作下所扮演的角色，如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（    ） A．角平分线、中线、高线 B．角平分线、高线、中线 C．中线、角平分线、高线 D．高线、中线、角平分线 【答案】B 【分析】本题考查了折叠问题，三角形的角平分线、高线、中线，理解三角形的角平分线、高线、中线的定义是解题的关键．再根据折叠的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图1得，， 是的角平分线； 由图2得，， ， 即， ， 是的高线； 由图3得，， 是的中线； 综上所述，依次是的角平分线、高线、中线． 20．（26-27八年级·全国·期中）如图所示，，下列结论中错误的是（    ） A．是的角平分线 B．是的角平分线 C． D．是的角平分线 【答案】D 【分析】利用三角形角平分线的定义即可分析． 【详解】解：A、由，得是的角平分线，故本选项正确，不符合题意； B、由得：是的角平分线，故本选项正确，不符合题意； C、由得：，故本选项正确，不符合题意； D、由得：是的角平分线，故本选项错误，符合题意； 题型5根据三角形中线求长度（共5小题） 【模型】中线等分边模型→三角形的中线把对边分成两条相等线段 【步骤】①找到中线，确定被平分的那条边；②得到两条小段长度相等；③结合线段和差计算目标线段； 【易错】分不清哪条边被平分；多条中线叠加时线段关系理不清 21．（26-27八年级上·四川南充·期中）在中，是边上的中线．已知，，的周长为，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴. 22．（26-27八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多4，，则的长为_______________． 【答案】 【分析】根据三角形中线的定义得到，再根据三角形的周长公式和已知条件推出，据此结合可得答案． 【详解】解：∵在中，是边上的中线， ∴， ∵的周长比的周长多4， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 23．（26-27八年级上·北京·期中）如图，是的中线，的周长为，比长．则的周长为________． 【答案】21 【分析】先由三角形的中线得到，再得到和周长的差，进而由已知求解即可． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∴和周长的差， ∵的周长为，比长， ∴周长为：． 24．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）如图，和分别是的中线和高．已知的面积是6，，则的长是______． 【答案】8 【分析】本题考查了三角形中线定理及利用三角形面积求对应的高．根据三角形中线定理得出，再由三角形的面积及三角形的高求得的值，从而求得的值． 【详解】解：∵是的中线， ∴， 又∵的面积为6，，且为的高， ∴， ∴， ∴，即． 故答案为：8． 25．（25-26七年级下·河南平顶山·期中）如图，为的中线，为的中线，若的面积为，，则中边上的高是（     ） A．3 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】利用三角形中线性质和同底等高面积相等，有，过点E作，利用面积公式即可求得答案． 【详解】解：过点E作交于点F，如下图， ∵为的中线，为的中线， ∴，， ∴， ∵的面积为30，， ∴， 解得， 即中边上的高为3． 题型6与角平分线有关的内角和问题（共5小题） 【模型】角平分线+内角和模型→角平分线分出两个相等的小角，搭配三角形内角和180°、外角模型计算 【步骤】①由角平分线得到两角相等；②标记相等角，设元或者直接代换；③利用内角和、外角性质列式计算； 【易错】角平分线倍数关系写反；内外角模型混用出错 26．（26-27八年级上·广东东莞·期中）如图，是角的平分线，，，的度数为______． 【答案】 【分析】利用三角形内角和定理求出的度数，根据角平分线的定义求解即可． 【详解】解：，， ， 平分， ． 27．（2026八年级上·河南三门峡·期中）如图，在中，，的两条内角平分线交于点P，则的度数为______． 【答案】133 【分析】首先根据三角形内角和定理解得，再根据三角形角平分线的定义可得，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵为的两条内角平分线， ∴， ∴， ∴． 28．（26-27八年级上·山西大同·期中）如图所示，在中，是的角平分线，是的高，，则__________． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义得到，可知，进而根据高的定义及三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∴． 29．（26-27八年级上·全国·期中）如图，在中，平分，点E在边上，连接交于点O，过点O作，垂足为F．若，，则______． 【答案】/10度 【分析】根据角的平分线，三角形内角和，垂直的定义，解答即可． 【详解】解：．平分， ， ． ， ， ． 30．（26-27八年级上·湖北襄阳·期中）如图，在中，，的平分线相交于点O，、分别为边，边上的高，相交于点P，且，则的度数为______． 【答案】 【分析】根据高、外角的定义以及三角形内角和定理求出，，的度数，设，，利用角平分线的定义用分别表示，利用三角形内角和求出，再次利用三角形内角和即可求出的度数． 【详解】解：、分别为边，边上的高， ， ，，， ， ， ， 设，， ，， ，的平分线相交于点， ，， 在中，， ， ， 在中，， ， ． 提升·进阶突破 题型7根据三角形中线求面积（共5小题） 【模型】中线等分面积模型→三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两部分（等底同高） 【步骤】①识别中线，得到两个小三角形面积相等；②多层中线依次传递面积关系；③结合总面积或者局部面积计算； 【易错】连续多次中线时，面积倍数搞错（一条中线÷2，两条÷4） 31．（2026八年级上·全国·期中）如图，在中，分别是的中点，（阴影部分）的面积是，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形中线的性质可得，，， 进而得到，即可求解． 【详解】解：∵是中点， ∴， ∵是中点， ∴，， ∴ ， 即． 32．（26-27七年级上·重庆开州·期中）如图，的面积为18，D、E、F分别是线段、、的中点，则图中阴影部分的面积为（     ） A．3 B．3.5 C．4.5 D．5 【答案】C 【详解】解：∵D、E分别是线段、的中点，的面积为18， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴． 33．（26-27九年级上·陕西安康·期中）如图，在中，是边上的中线，是线段的中点，连接，若阴影部分的面积为2，则的面积是（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】利用三角形中线平分面积的性质，建立阴影部分面积与大三角形面积的数量关系． 【详解】解：是的中线， ， 是的中点， 在中，，在中，， ， ， ， ． 34．（26-27八年级上·重庆巫山·期中）如图，在中，点在上，点是的中点，已知，，则阴影部分的面积为（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】利用三角形中线平分面积及同高三角形面积比等于底边比的性质，将阴影部分面积转化为已知三角形面积的和． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点是的中点， ∴，， ∴阴影部分的面积． 35．（26-27八年级上·山东德州·期中）如图，是的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线，连接，．若的面积是16，则阴影部分的面积是（     ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】B 【分析】根据“中线把一个三角形分成面积相等的两个三角形”计算即可． 【详解】解：∵是的边上的中线， ， ∵是的边上的中线， ， ， ∵是的边上的中线， ， ， ． 题型8等面积法求高的进阶计算（共5小题） 【模型】等面积转换综合模型→多个三角形共底或者等高，利用面积比转化边长比；多次轮换底和高 【步骤】①寻找公共面积、等面积三角形；②列出多组面积等式；③联立等式求解未知高； 【易错】多个三角形混杂，找不准对应的底高；不会利用面积比转化线段 36．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在等腰中，，过点作，交的延长线于点，且，点是边上一点，过点作于点，于点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题可通过连接，利用三角形面积的和差关系，结合等腰三角形的性质，推导出与的等量关系，进而求出的值． 【详解】解：连接， ，，， ，，， ， ， ， ， ， ， ． 37．（26-27七年级上·山东东营·期中）如图，在中，，该三角形的面积为，是边上任意一点，于点，于点，则等于__________． 【答案】 5 【分析】连接，利用及三角形面积公式建立等量关系求解． 【详解】解：连接， ，， ，分别是，的高， ， ， ，， ， ， ． 38．（26-27八年级上·江西上饶·期中）如图，在中，，边上的高，点P为上一点，于点E，于点F，则__________． 【答案】6 【分析】连接，根据求解即可． 【详解】解：连接， 则， ∵，为边上的高， ∴， 即． 39．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，中，，P是上任意一点，于点E，于点F，若，则________． 【答案】 【分析】根据题意得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∴． 40．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，是边上任一点，，，点，为垂足若的面积为，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形高的有关计算． 连接，由图可知，结合三角形的面积公式则有，再将已知、的长度代入计算，即可得到的值． 【详解】解：连接， ∵，， ∴、分别是、的边、上的高． ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 题型9重心性质的简单应用（共5小题） 【模型】重心比例模型→重心是三条中线交点；重心分中线的比：顶点到重心：重心到中点=2:1 【步骤】①先识别重心，找到对应的中线；②按照2:1的比例分配线段；③结合线段和差求值； 【易错】比例颠倒，记成1:2；分不清哪一段是2份、哪一段是1份 41．（25-26七年级下·河南郑州·期中）如图，是的重心，为边上一点，且，连接并延长交于，记面积为，面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，延长交于点F，连接，由重心的性质得到，，然后得到，设，表示出，，进而即可． 【详解】解：如图，延长交于点F，连接， ∵是的重心， ∴是的中线，， ∴， ∵， 设，则， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 42．（25-26八年级上·山西朔州·期中）如图，P是的重心，连接并延长，交于点D，若，则的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的重心，掌握三角形的重心是三角形三边中线的交点是解答本题的关键． 依据P是的重心，即可得到是的中线，进而得出的面积等于面积的一半． 【详解】解：∵P是的重心， ∴是的中线， ∴， 故选：A． 43．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，中，点为三角形的重心，为中点，若的面积为12，则的面积是（   ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的中线和三角形的重心的性质，重心和三角形三个顶点组成的三个三角形面积相等；等底同高的两个三角形面积相等，根据性质求解即可得出答案． 【详解】解：点为三角形的重心， ， ， ， 为中点， ， 故选：D． 44．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，D，E，F分别为的中点，点G为的重心．已知的面积为，则的面积为______． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形的中线等分面积的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的中线的性质． 由D，E，F分别为的中点，得到，，，，设，，，然后得到，即可得到，即可求解． 【详解】解：∵D，E，F分别为的中点， ∴，，， 设，，， ∴由得， ∴， 同理， ∴， ∴ ∵的面积为， ∴的面积为， 故答案为：． 题型10三角形三条重要线段解答题基础练（共5小题） 【模型】三线综合基础模型→高、中线、角平分线条件混合，结合线段、角度、面积基础计算【步骤】①圈出条件，分别标注：垂直/平分边/平分角；②分条件转化出等角、等线段、等面积；③一步步列式书写解答过程； 【易错】答题不写推导依据；多个条件混在一起，等量代换混乱 45．（25-26七年级下·贵州毕节·期中）如图，在中，平分，交于点，过点作，交于点，点在上，连接． (1)若，求的度数． (2)在（1）的条件下，若，求的度数． (3)若，试说明平分． 【答案】(1) (2) (3)说明如下： ， ， 平分， ， 又， ， ， 平分． 【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等即可求出； （2）根据角平分线的定义可知，再根据三角形内角和定理求出的度数； （3）根据平行线的性质和角平分线定义可证，由等量代换可知，所以可以说明平分． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：，平分， ， 在中，， 又， ， ； （3）略 46．（26-27八年级上·吉林·期中）如图，在中，分别平分和． (1)若，求的度数； (2)若，直接写出的度数； (3)猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由如下： 设， ∴， 又∵分别平分和， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）根据三角形内角和定理得到，根据角平分线的定义得到，继而根据三角形内角和定理，利用等量代换得到； （2）根据同（1）中的计算步骤解答即可； （3）设，根据同（1）中的计算步骤列式，得到． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵分别平分和， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵分别平分和， ∴， ∴； （3）略． 47．（26-27八年级上·天津滨海新区·期中）如图所示，已知，分别是的高和中线，，，，．那么 (1)的长是________； (2)的面积是________； (3)和的周长差是________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据计算即可得出结果； （2）先求出，再结合计算即可得出结果； （3）先求出，表示出的周长，的周长，作差即可． 【详解】（1）解：∵是的高，，，，， ∴， ∴； （2）解：∵是的中线， ∴， ∴； （3）解：∵是的中线， ∴， ∵的周长，的周长， ∴和的周长差 ． 48．（26-27八年级上·云南文山·期中）如图，在中，平分． (1)求的度数； (2)过点A作，垂足为E，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形内角和定理解答； （2）先根据角平分线定义求出，再根据三角形内角和定理求出，然后根据得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 49．（26-27八年级上·全国·期中）如图1，在中，，是边上的高． (1)的余角有________； (2)如图2，的角平分线交于点E，求证：． 【答案】(1)， (2)是的角平分线， ． ， ， ． 又， ． ， 【分析】（1）根据余角定义：若两角之和为，则两角互余．结合、，找出与相加等于的角． （2）先利用角平分线性质、直角三角形两锐角互余，证明；再由平角定义，等量代换得到要证结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴的余角有和； （2）略 拔高·压轴破难 题型11三条线段结合动点、分类讨论综合题（共5小题） 【模型】动点+三线分类模型→点在边上运动，位置改变，高、中线、角平分线位置随之变化，需要分类 【步骤】①设动点运动时间，表示出相关线段；②分不同位置讨论；③分别利用三线性质列方程求解；④检验结果是否符合位置范围； 【易错】漏掉分类情况；求出解之后不检验、保留不符合题意的解 50．（26-27八年级上·江苏宿迁·期中）设、分别是等腰三角形的两条边的长，是这个三角形的周长，当、、满足方程组时，的值是______________． 【答案】或 【分析】分类讨论①若a是腰长，b是底边，则，②若b是腰长，a是底边，则，③若，则a、b是腰，再根据已知条件解方程组即可得出答案． 【详解】解：①若a是腰长，b是底边，则，即， ∵a，b，m满足方程组， 把代入得， 解得：， ，不符合三角形任意两边之和大于第三边， ∴舍； ②若b是腰长，a是底边，则，即， ∵a，b，m满足方程组， 把代入得， 解得：， ∴， ，符合三角形任意两边之和大于第三边， ∴； ③若，则a、b是腰，把代入得， 解得， ∴第三边为：， ∴符合三角形任意两边之和大于第三边， ∴． 51．（26-27八年级上·浙江金华·期中）等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分成和两部分，则该等腰三角形的底边长为_______． 【答案】或 【分析】分两种情况进行讨论求解即可. 【详解】解：设等腰三角形的腰长为， ∵等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分成和两部分， ∴分2种情况： ①当时，则， ∴， ∴底边长为； ②当时，则， ∴， ∴底边长为； 综上：等腰三角形的底边长为或. 52．（25-26七年级下·四川达州·期中）已知一个等腰三角形两腰上的高所在直线的夹角是，那么这个等腰三角形的顶角的度数是________________． 【答案】或 【分析】本题需分两种情况讨论，分别为等腰三角形的顶角是锐角和顶角是钝角，结合四边形内角和性质计算顶角的度数． 【详解】解：①当这个等腰三角形的顶角是钝角时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②当这个等腰三角形的顶角是锐角时，如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 综上所述，这个等腰三角形的顶角为或． 53．（25-26八年级下·山东青岛·期中）等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的周长为10，其中一边长为4，则它的“优美比”为_____． 【答案】或 【分析】分腰长为4和底边长为4这两种情况，根据三角形的周长公式求出对应的底边长或腰长，结合三角形三边关系验证即可求解． 【详解】解：当为腰长时，等腰的周长为， 的底边长为， ∵， ∴此时能构成三角形， “优美比”为； 当为底边长时，等腰的周长为， ∴等腰的腰长为， ∵， ∴此时能构成三角形， “优美比”为； 综上所述，“优美比”为或． 54．（25-26七年级下·四川达州·期中）已知，一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的倍少度，则这个等腰三角形的顶角是________． 【答案】或或 【分析】设其中一个内角为，表示出另一个内角为，分三种情况讨论：为顶角，为底角；为底角，为顶角；与均为底角，结合三角形内角和定理与等腰三角形两底角相等的性质列方程求解即可． 【详解】解：设等腰三角形的一个内角为，则另一个内角为，分三种情况讨论： ①当为顶角，为底角时，根据三角形内角和定理得：，解得，即顶角度数为； ②当为底角，为顶角时，根据三角形内角和定理得：，解得，因此顶角度数为； ③当与均为底角时，根据等腰三角形两底角相等得：，解得，因此顶角度数为； 综上所述，这个等腰三角形的顶角度数为或或． 题型12与三角形高有关的计算之最值问题（共5小题） 【模型】垂线段最短模型→直线外一点到直线所有连线中，垂线段最短，这条垂线段就是高的最小值 【步骤】①识别动点轨迹直线；②确定定点，明确最短距离就是垂线段（高）；③用等面积法求出垂线段长度即为最小值； 【易错】分不清谁是定点、谁是动点；不会结合等面积法求垂线段长度 55．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）如图，中，，点分别是上的点，，，连接交于点．当四边形的面积为时，线段长度的最小值为______． 【答案】 【分析】过点作于点，连接，根据题意得出，，，设，，，建立方程组，解方程组，进而根据垂线段最短，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，连接， 设，，， ∴， ∵，， ∴，，， ∴，， 联立， ∴， ∵， ∴， ∴当时，最小为． 56．（25-26七年级下·福建泉州·期中）如图，点为直线外一动点，，连接、，点、分别是、的中点，连接、交于点，当四边形的面积为7时，线段的长度最小值为______． 【答案】/ 【分析】根据三角形中线平分三角形的面积，说明和面积相等，连接，进而求出的面积，根据垂线段最短可得当时，值最小即可求解． 【详解】解：连接， 是中点， ，， 是中点， ，， 设，则， 四边形的面积为7， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， ， ，当时，值最小， ， ． 57．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，中，，点E是边上一点，连接并延长至点D，连接，使得，若和都是锐角，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】设，，求出，，根据和都是锐角，推出，根据对顶角和三角形的内角和定理得到，即可得出结论. 【详解】解：设，， 在中，由三角形的内角和得； 在中，由三角形的内角和得； ∴，， ∵和都是锐角， ∴，， 整理得：，， 两式相加得， ∴， 在中：， ∴. 58．（25-26七年级上·福建福州·期中）如图，在中，是的中点，分别是上的动点，则的最小值是__________． 【答案】 【分析】过点A作于点E，连接，根据题意，得，当三点共线时，取得最小值，且为，根据垂线段最短，当时，才取得最小值，求解即可． 【详解】解：过点A作于点E， 连接，根据题意，得， 当三点共线时，取得最小值，且为，根据垂线段最短，当时，才取得最小值， 故当点P与点E重合时，最小， 在中，， ， ， ∴的最小值是． 59．（25-26七年级下·河北张家口·期中）如图，点C为直线外一点，，连接，，点D，E分别是，的中点，连接，交于点F，已知图中阴影部分的面积为4．线段长的最小值为________． 【答案】8 【分析】如图：连接，过点作于点，根据三角形中线的性质求得，从而求得，利用垂线段最短求解即可． 【详解】解：如图：连接，过点作于点， ∵点分别是的中点， ， ， ， ， ， ， 又∵点到直线的距离垂线段最短， ， ∴的最小值为． 1/42 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题08三角形的三条重要线段 题型图谱•导航总览 题型1画三角形的高 题型2利用三角形的高求线段长度（重点） 题型3利用三角形的高求角度（重点） 基础固本强基 题型4三角形三条重要线段概念辨析 题型5根据三角形中线求长度（重点） 题型6与角平分线有关的内角和问题（重点） 题型7根据三角形中线求面积（重点） 题型8等面积法求高的进阶计算（难点） 提升进阶突破 题型9重心性质的简单应用 题型10三角形三条重要线段解答题基础练（重点） 题型11三条线段结合动点、分类讨论综合题（重点） 拔高压轴破难 题型12与三角形高有关的计算之最值问题（重点） 题型精练·靶向突破 基础固本强基 题型1画三角形的高（共5小题） 【模型】三角形高线作图模型→从三角形的一个顶点向对边（或对边延长线）作垂线，顶点与垂足之间的 线段就是这条边上的高：锐角三角形三条高都在内部，直角三角形两条直角边互为高，钝角三角形有两条 1/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 高在外部 【步骤】①找准指定底边以及对应的顶点；②用三角板直角边对齐底边，平移使另一条直角边经过顶点： ③画出垂线段，标注垂直符号； 【易错】钝角三角形容易忘记向边的延长线作高；漏标垂直符号；把高画成射线或者直线 1. (26-27八年级上，湖北省直辖县级单位.期中)如图是由边长为1的小正方形组成的4×8网格，点A, B,C均在小正方形的顶点上 B (1)画出△ABC的BC边上的高AD, (2)画出△ABC的AC边上的中线BE 2.(2627八年级上河南信阳期中)根据条件画图，并回答问题： B (1)作出△ABC中BC边上的中线AD和三条高AE,BF,CG: (2)写出两个以AE为高的三角形. 3.（24-25七年级下.河北唐山期中)如图，在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△ABC,图中 标出了点B的对应点B,根据下列条件，利用网格点和三角尺画图： (1)补全△ABC. (2)画出AC边上的中线BD; 2/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)画出AC边上的高线BE: (4)求△ABD的面积 4.(25-26七年级下·江苏扬州期中)画图并填空：如图，12×10的方格纸，每个小正方形的边长都为1， △ABC的顶点都在方格纸的格点上，将△ABC按照某方向经过一次平移后得到△ABC,图中标出了 点C的对应点C. (1)请画出△ABC: (2)连接AA,BB，则这两条线段的关系是； (3)利用方格纸，在△ABC中画出AC边上的中线BD以及AB边上的高CE: (4)若连接CC、AC,则四边形ABCC的面积为. 5.(2026湖南长沙模拟预测)如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸 格点上. (1)在图中过点C作出CD⊥AB于点D: (2)若点P在方格纸的格点上，且使得△PBC与△ABC的面积相等，则P点的个数有 个（点P异 于A). 题型2利用三角形的高求线段长度（共5小题） 【模型】等面积法模型一同一个三角形面积不变，S=}×底×该底上的高，一组底和高可以求另 一组 3/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 未知高/底 【步骤】①用已知的一组底、高算出三角形面积；②设所求线段为未知数，代入面积公式列等式；③解方 程求出线段长： 【易错】底和高不对应，错配底边与它的高；忽略高在外部的情况 6.(2627八年级上，云南文山期中)如图，在△ABC中，AB⊥AC垂足为A,AD⊥BC垂足为D,若 AB=4,AC=3,BC=5,则边BC上的高AD的长度是() A.1 8.6 12 C.2 7.(26-27八年级上·新疆和田，期中)如图，在△ABC中，AD,AE分别是边BC上的中线和高，AE=2, BC=4.则△ABD的面积为() B D E A.4 B.3 c.2 D.1 8.(25-26七年级下.福建泉州期中)已知△ABC的两条高分别为3、9，且第三条高也为整数，则 △ABC的第三条高可能是() A.4和5 B.3和4 C.2和3 D.1和2 9.(25-26七年级下，江西抚州期中)已知AD是三角形ABC的高，BD=1，AD=4,三角形ABC的面 积是12，则CD的长为() A.5 B.6 C.5或6 D.5或7 10.(25-26七年级下河南周口·期中)如图，AE,BF分别是△ABC的高和中线，已知S△ABF=6, AE=4,则BC的长为() 4/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.3 B.6 C.8 D.12 题型3利用三角形的高求角度（共5小题) 【模型】高线直角模型→高带来90°，结合三角形内角和、对顶角、余角转化角度 【步骤】①由高得到直角90°；②在直角三角形中利用两个锐角互余；③结合己知角逐步推导目标角度： 【易错】分不清高形成的直角位置；余角、对顶角转化时角度加减出错 11. (26-27八年级上·重庆渝中.期中)如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的角平分 线，∠BAC=60°，∠C=75°，则∠DAE=() ED A.15 B.8 C.10 D.12 12.（25-26七年级下福建泉州期中)如图，在△ABC中，∠A=∠ACB,CD是△ABC的角平分线， CE是△ABC的高，若∠DCE=39°，则∠ECB的度数为() D B E A.21° B.22° C.23° D.24° 13.(25-26七年级下-陕西西安期中)如图，AD是△ABC的高线，∠C=45°，则∠DAC的补角为 () B A.45° B.115o C.125° D.135 14.(25-26七年级下四川成都期中)已知AD是△ABC的高，∠BAD=60°，∠CAD=10°，则 5/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠BAC的度数为() A.70° B.50° c.70°或50° D.70°或30 15.(25-26八年级上辽宁葫芦岛·期中)如图，BD,BE分别是△ABC的高和角平分线，若∠C=45°， ∠A=35°，则∠DBE的度数为() D A.5 B.15° C.20° D.25 题型4三角形三条重要线段概念辨析（共5小题） 【模型】三线区分模型→高：垂直对边；中线：平分对边：角平分线：平分内角 【步骤】①看清题干描述，抓住关键词：垂直/平分边/平分角；②对照定义判断是高、中线还是角平分 线；③区分线段、直线、射线 【易错】混淆三者定义：误以为中线、角平分线一定在三角形内部（三线都是线段） 16. (26-27八年级上河南周口期中)如图，AD,AE,AF分别是△ABC的中线、角平分线、高线，下 列结论中错误的是() B D EF A.CD-BC B.2∠BAE=∠BAC C.∠AFC=90 D.AE=AC 17.(26-27八年级上·全国期中)如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，下列选项正确的是 () 6/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.∠BAD=∠CADB.BD=CD C.AD⊥BC D.∠B=∠C 18.(26-27八年级上江苏南京·期中)以下说法正确的有() ①三角形的中线、角平分线都是射线： ②三角形的三条高所在直线相交于一点： ③三角形的三条角平分线在三角形内部交于一点： ④直角三角形的三条高相交于直角顶点： ⑤三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分. A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 19.（25-26七年级下辽宁沈阳期中)在三角形的学习中，三角形的特殊线段是研究其性质的重要基础， 通过折纸这一直观方式，我们可以清晰地观察到线段AD在不同折叠操作下所扮演的角色，如图，下面是 三位同学的折纸示意图，则AD依次是△ABC的() B' B(C) 图1 图2 图3 A.角平分线、中线、高线 B.角平分线、高线、中线 C.中线、角平分线、高线 D.高线、中线、角平分线 20.(26-27八年级全国期中)如图所示，∠1=∠2，∠3=∠4，下列结论中错误的是() B A.BD是△ABC的角平分线 B.CE是△BCD的角平分线 C3=2∠ACB D.CE是△ABC的角平分线 题型5根据三角形中线求长度（共5小题) 【模型】中线等分边模型一三角形的中线把对边分成两条相等线段 7/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【步骤】①找到中线，确定被平分的那条边；②得到两条小段长度相等：③结合线段和差计算目标线段： 【易错】分不清哪条边被平分：多条中线叠加时线段关系理不清 21. (26-27八年级上四川南充期中)在△ABC中，AD是BC边上的中线.已知AB=5cm,AC=3cm, △ABD的周长为12cm,则△ACD的周长为() A.10cm B.12cm C.14cm D.8cm 22.(26-27八年级上福建厦门期中)如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ABD的周长比 △ADC的周长多4，AB+AC=24,则AB的长为 23.(26-27八年级上北京，期中)如图，AD是△ABC的中线，△ABD的周长为24cm,AB比AC长 3cm.则△ACD的周长为 cm. B D 24.(25-26八年级上·甘肃武威期中)如图，AD和AE分别是△ABC的中线和高.已知△ABD的面积是 6,AE=3,则BC的长是 B D E 25.(25-26七年级下河南平顶山期中)如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，若△ABC 的面积为30，BD=5,则△BDE中BD边上的高是() 8/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.3 B.3.5 C.4 D.4.5 题型6与角平分线有关的内角和问题（共5小题） 【模型】角平分线+内角和模型→角平分线分出两个相等的小角，搭配三角形内角和180°、外角模型计算 【步骤】①由角平分线得到两角相等：②标记相等角，设元或者直接代换；③利用内角和、外角性质列式 计算： 【易错】角平分线倍数关系写反；内外角模型混用出错 26. (26-27八年级上广东东莞期中)如图，AD是△ABC角的平分线，∠B=50°，∠C=70°， ∠BAD的度数为 27.(2026八年级上河南三门峡期中)如图，在△ABC中，∠A=86°，△ABC的两条内角平分线 BE、CD交于点P,则∠BPC的度数为 0 D 6 28.(26-27八年级上山西大同·期中)如图所示，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，CE是 △ACD的高，∠BAC=42°，∠ADC=∠ACD,则∠DCE= 29.(26-27八年级上全国·期中)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,点E在边AC上，连接BE交 AD于点O,过点O作OF⊥BC,垂足为F.若∠C=70°，∠BAC=60°，则∠DOF= 9/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B 30.(26-27八年级上湖北襄阳·期中)如图，在△ABC中，∠B,∠C的平分线相交于点O,BE、CF 分别为边AC,AB边上的高，相交于点P,且∠BPC=110°，则∠BOC的度数为 提升进阶突破 题型7根据三角形中线求面积（共5小题） 【模型】中线等分面积模型→三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两部分（等底同高） 【步骤】①识别中线，得到两个小三角形面积相等：②多层中线依次传递面积关系；③结合总面积或者局 部面积计算； 【易错】连续多次中线时，面积倍数搞错（一条中线：2，两条÷4） 31. (2026八年级上全国期中)如图，在△ABC中，D,E,F分别是BC,AD,BE的中点， △CEF(阴影部分)的面积是4，则△ABC的面积为() A.4 B.8 c.16 D.32 32.(26-27七年级上重庆开州期中)如图，△ABC的面积为18，D、E、F分别是线段BC、AD、BE 的中点，则图中阴影部分的面积为() 10/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E A.3 B.3.5 C.4.5 D.5 33.(26-27九年级上陕西安康期中)如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，E是线段AD的中点， 连接BE,CE,若阴影部分的面积为2，则△ABC的面积是() A.2 B.4 C.6 D.8 34.(26-27八年级上重庆巫山期中)如图，在△ABC中，点E在AC上，点D是BE的中点，已知 AE=2CE”SAcE=2:则阴影部分的面积为() E D A.6 B.7 C.8 D.9 35.(26-27八年级上山东德州期中)如图，BD是△ABC的边AC上的中线，AE是△ABD的边BD上 的中线，BF是△ABE的边AE上的中线，连接CE,CF.若△ABC的面积是16，则阴影部分的面积是 () D E A.8 B.6 C.4 D.2 11/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型8等面积法求高的进阶计算（共5小题） 【模型】等面积转换综合模型→多个三角形共底或者等高，利用面积比转化边长比；多次轮换底和高 【步骤】①寻找公共面积、等面积三角形；②列出多组面积等式；③联立等式求解未知高； 【易错】多个三角形混杂，找不准对应的底高：不会利用面积比转化线段 36. (2026陕西西安，模拟预测)如图，在等腰△ABC中，AB=AC,过点C作CD⊥AB,交BA的延长 线于点D,且CD=63,点P是BC边上一点，过点P作PM⊥AB于点M,PN⊥AC于点N,则 PM+PN的值为() B A.3V6 B.3V3 c.6V6 D.6V3 37.(26-27七年级上山东东营期中)如图，在△ABC中，AB=AC=6,该三角形的面积为15，O是边 BC上任意一点，OE⊥AB于点E,OF⊥AC于点F,则OE+OF等于 A 38.(26-27八年级上江西上饶期中)如图，在△ABC中，AB=AC,AC边上的高BD=6,点P为BC 上一点，PE⊥AC于点E,PF⊥AB于点F,则PE+PF= D 39.(25-26八年级下广东深圳期中)如图，△ABC中，AB=AC=4,P是BC上任意一点，PE⊥AB 于点E,PF⊥AC于点F,若S△ABC=3,则PE+PF= 12/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B 40.(25-26八年级上全国期中)如图，在△ABC中，AB=AC=6,P是边BC上任一点，PD⊥AB, PE⊥AC,点D,E为垂足.若△ABC的面积为12，则PD+PE= C 题型9重心性质的简单应用（共5小题） 【模型】重心比例模型→重心是三条中线交点；重心分中线的比：顶点到重心：重心到中点=2：1 【步骤】①先识别重心，找到对应的中线：②按照2：1的比例分配线段；③结合线段和差求值： 【易错】比例颠倒，记成1：2：分不清哪一段是2份、哪一段是1份 41,(25-26七年级下·河南郑州·期中)如图，G是△ABC的重心，D为BC边上一点，且DC=3DB,连 接并延长DG交AC于E:记△AGE面积为S'△CGD面积为S,则S的值为(） S, G B A B. 3 D. 5 13 42.(25-26八年级上山西朔州期中)如图，P是△ABC的重心，连接AP并延长，交BC于点D,若 SAA=8则SAAm 的值为() 13/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A.4 B.5 C.6 D.7 43.(24-25八年级上山东临沂期中)如图，△ABC中，点O为三角形的重心，D为OC中点，若 △ABC的面积为12，则△BOD的面积是() R A.6 B.4 C.3 D.2 44.(25-26八年级上广东广州期中)如图，D,E,F分别为BC,CA,AB的中点，点G为△ABC的重 心.已知△AEG的面积为0.5，则△ABC的面积为 D 题型10三角形三条重要线段解答题基础练（共5小题） 【模型】三线综合基础模型→高、中线、角平分线条件混合，结合线段、角度、面积基础计算【步骤】① 圈出条件，分别标注：垂直/平分边/平分角；②分条件转化出等角、等线段、等面积；③一步步列式书写 解答过程： 【易错】答题不写推导依据；多个条件混在一起，等量代换混乱 45.(25-26七年级下·贵州毕节·期中)如图，在△ABC中，AD平分∠CAB,交BC于点D,过点D作 DEAB,交AC于点E,点F在BC上，连接EF. 14/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)若∠B=75°，求∠CDE的度数. (2)在(1)的条件下，若∠CAB=60°，求∠ADB的度数. (3)若EF‖AD,试说明EF平分∠CED 46.(26-27八年级上·吉林.期中)如图，在△ABC中，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB. B (1)若∠A=60°，求∠BOC的度数： (2)若∠A=80°，直接写出∠BOC的度数： (3)猜想∠BOC与∠A之间的数量关系，并说明理由. 47.(26-27八年级上·天津滨海新区，期中)如图所示，已知AD,AE分别是△ABC的高和中线， AB=5cm,AC=12cm,BC=13cm,∠CAB=90°.那么 B E ()AD的长是 cm: 2△ABE的面积是 cm 2: )△ACE和△ABE的周长差是 cm 48.(26-27八年级上·云南文山期中)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD平分 ∠BAC,∠C=60°. 15/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D E (1)求∠B的度数： (2)过点A作AE⊥BC,垂足为E,求∠DAE的度数. 49.(26-27八年级上·全国·期中)如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的高. B B D 图1 图2 ()人B的余角有_—： (2)如图2，△ABC的角平分线CF交AD于点E,求证：∠AEF+∠BFE=180°. 拔高压轴破难 题型11三条线段结合动点、分类讨论综合题（共5小题) 【模型】动点+三线分类模型一点在边上运动，位置改变，高、中线、角平分线位置随之变化，需要分类 【步骤】①设动点运动时间，表示出相关线段；②分不同位置讨论；③分别利用三线性质列方程求解：④ 检验结果是否符合位置范围； 【易错】漏掉分类情况；求出解之后不检验、保留不符合题意的解 50. (26-27八年级上江苏宿迁期中)设a、b分别是等腰三角形的两条边的长，m是这个三角形的周长， a-2b=m-7 当a、b、m满足方程组 a+b=m+2 时， m的值是 4 51.(26-27八年级上浙江金华.期中)等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分成15cm和12cm 两部分，则该等腰三角形的底边长为 52.(25-26七年级下四川达州期中)已知一个等腰三角形两腰上的高所在直线的夹角是68°，那么这个 16/18 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 等腰三角形的顶角的度数是 53.(25-26八年级下山东青岛期中)等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美 比”，若等腰△ABC的周长为10，其中一边长为4，则它的“优美比”为 54.(25-26七年级下四川达州期中)己知，一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少10度，则 这个等腰三角形的顶角是 题型12与三角形高有关的计算之最值问题（共5小题） 【模型】垂线段最短模型→直线外一点到直线所有连线中，垂线段最短，这条垂线段就是高的最小值 【步骤】①识别动点轨迹直线；②确定定点，明确最短距离就是垂线段（高）；③用等面积法求出垂线段 长度即为最小值： 【易错】分不清谁是定点、谁是动点：不会结合等面积法求垂线段长度 55. (25-26七年级下湖北武汉期中)如图，△ABC中，BC=16,点D、E分别是CB、AB上的点， CD=2BD,AE=3BE,连接AD、CE交于点F.当四边形BEFD的面积为17时，线段AD长度的最小 值为 56.(25-26七年级下福建泉州期中)如图，点C为直线AB外一动点，AB=9,连接CA、CB,点D、E 分别是AB、BC的中点，连接AE、CD交于点F,当四边形BEFD的面积为7时，线段AC的长度最小值 为 D B 57.(25-26七年级下江苏泰州期中)如图，△ABC中，∠C=∠CBA,点E是边BC上一点，连接AE 并延长至点D,连接DB,使得∠D=∠DAB,若∠CAD和∠CBD都是锐角，则∠CED的取值范围是 17/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 58.(25-26七年级上福建福州期中)如图，在Rt△ABC中，AB=24,AC=7,BC=25,D是AB的中点， P,Q分别是BC,DC上的动点，则AQ+QP的最小值是 D 59.(25-26七年级下河北张家口期中)如图，点C为直线AB外一点，AB=3,连接CA,CB,点D,E 分别是AB,BC的中点，连接AE,CD交于点F,己知图中阴影部分的面积为4.线段AC长的最小值为 E 18/18