专题08 整式的乘法（期中重难点复习）2026-2027学年八年级上学期数学期中考试重难点专题训练（人教版）

专题08 整式的乘法（期中重难点复习） 【新教材人教版八年级上册】 题型归纳 【题型1 计算单项式乘单项式】 1 【题型2 计算单项式乘多项式及求值】 5 【题型3 单项式乘多项式的应用】 8 【题型4 计算多项式乘多项式】 11 【题型5 （x+p）（x+q）型多项式乘法】 15 【题型6 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 17 【题型7 多项式乘多项式与图形面积】 20 【题型8 多项式乘法中的规律性问题】 23 【题型9 同底数幂的除法运算】 28 【题型10 同底数幂除法的逆用 】 31 【题型11 零指数幂】 33 【题型12 计算单项式除以单项式】 36 【题型13 多项式除以单项式】 38 【题型14 整式四则混合运算】 40 【题型1 】 1．下列运算结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，A错误． ，B错误． ，C错误． ，D正确． 故答案为D． 2．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 3．计算（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 4．__________． 【答案】 【分析】先将各部分化为同底数幂的形式，再利用同底数幂的乘法法则计算结果． 【详解】解：原式． 5．计算：________． 【答案】 【分析】先计算每个因式的积的乘方，再分别计算系数乘积和同底数幂的乘积，得到最终结果． 【详解】解： ． 6．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算积的乘方，再计算单项式乘单项式即可； （2）先计算同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方，再合并即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 7．已知，． (1)求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴． ∴， ∴. 8．阅读：已知，求的值． 分析：由于，的取值较多，不能逐一代入，故考虑整体思想，将整体代入． 解： ， 你能用上述方法解决以下问题吗？试一试！ (1)已知，求的值． (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】将所求代数式展开，整理为含的幂的形式，整体代入计算； 由已知等式推出，将所求代数式降次后整体代入求值． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴原式 ； （2）解：∵， ∴ 将代入，得 原式 ． 【题型2 】 9．数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回家，小刚拿出课堂笔记复习，发现一道题：□，□的地方被墨水弄污了．你认为□内应填写（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵左边， ∴右边， ∴□内应填写. 10．某同学在计算一个多项式乘以时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，那么正确的计算结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先运用整式的加减运算求出这个多项式，然后运用多项式乘单项式运算法则计算即可． 【详解】解：这个多项式是， 则． 11．若计算的结果中不含有项，则的值为__________． 【答案】 【分析】先将原式展开合并同类项，令项的系数为，解方程即可求出的值． 【详解】解： ， 的结果中不含有项， ， ． 12．已知单项式M，N满足，则_______． 【答案】 【分析】根据单项式乘多项式的运算法则，展开等式左边后，分情况比较等式两边对应项，再将两个单项式相乘从而求解． 【详解】解：， ∵M，N为单项式， ∴，， ∴． 13．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先用同底数幂乘法、积的乘方分别算出两项，再合并同类项； （2）先做单项式乘多项式、多项式除以单项式，去括号，再合并同类项． 【详解】（1）解：原式， ， ； （2）解：原式， ． 14．已知，是多项式，在计算时，小马虎同学把看成了，结果得，试求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用单项式乘多项式法则计算，然后计算加法时合并同类项即可． （2）先计算和，利用整式运算法则直接计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴， ∴． （2）解：，， ∴，， ． 15．计算： (1)计算：； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2)，当时，原式 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ． 当时，原式． 【题型3 单项式乘多项式的应用】 16．小明家的住房装修三年后，地砖出现破损，破损部分的长方形示意图如图所示．现要进行修补，有三种地砖可供选择，则需要砖（     ） A．张 B．张 C．张 D．张 【答案】D 【分析】根据题意计算出破损的总面积，然后计算分别需要三种砖的数量即可求解． 【详解】解：根据题意得：破损的总面积， 计算每一块三种砖的面积为：砖的面积；砖的面积；砖的面积， ∴需要三种砖的数量分别为：0，6，2块． 17．如图所示正方形和正方形，点在上，点在上，连结、、，若，则图中阴影部分面积的和为（     ） A．3 B．6 C．12 D．24 【答案】B 【分析】设正方形和正方形的边长分别为，，则，再计算图中阴影部分面积的和，代入计算即可． 【详解】解：由题意，设正方形和正方形的边长分别为，， 则， ∴，， ∵， ∴， ∴图中阴影部分面积的和为 ． 18．已知，，则a_______b．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】利用多项式变形比较与的大小，将展开后化为含的代数式，再与作差即可得到大小关系． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴． 19．如图，长方形的长为，宽为a． (1)用含a的代数式表示这个长方形的周长和面积（结果化为最简）； (2)当时，求这个长方形的周长和面积的值． 【答案】(1)周长：；面积： (2)周长：30；面积：44 【详解】（1）解：周长； 面积． （2）解：当时，周长； 面积． 20．如图，正方形的边长为，点在边上，四边形也是正方形，它的边长为，连接，，． (1)用含，的代数式表示________； (2)若，请直接写出的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）观察图中的线段的关系即可得到答案． （2）根据割补法计算的面积，进行单项式乘多项式以及多项式的加减运算，得到化简后的代数式，代入即可得到答案． 【详解】（1）解：由图可知，； 故答案为：； （2）解： ， ∴当时，， ∴的值为． 【题型4 】 21．下列算式计算结果为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据多项式乘以多项式的运算法则进行运算，即可判断． 【详解】解：A、，故选项符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项不符合题意． 22．根据等式：， ， ， ……的规律， 则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题需要先观察题干给出的等式，归纳出通用规律：．令，套用规律求出的值，再减去多余的，即可算出所求式子． 【详解】解：∵， ， ， …… ∴， 令，得 ， ∴， 23．一个长方形的长为，宽为，则这个长方形的面积是___________．（用含，的多项式表示） 【答案】 【分析】长方形面积为长与宽的乘积，需通过多项式乘法展开并合并同类项得到结果． 【详解】解：∵ 长方形的面积公式为 面积 = 长 × 宽 ∴ 代入已知的长和宽，可得面积 根据多项式乘多项式的运算法则，用第一个多项式的每一项乘第二个多项式的每一项，再将所得积相加 分别计算每一项的乘积 合并同类项 ． 24．若，则的值为___________． 【答案】 【分析】将等式左边展开合并同类项，对比等式两边对应项的系数即可求出的值． 【详解】解： ， 对比等式两边的一次项系数，可得． 25．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先完成幂的乘方，积的乘方运算，再去括号即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 26．计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先运算积的乘方、幂的乘方，同底数幂相乘，再合并同类项，即可作答． （2）根据多项式乘以多项式的法则进行计算即可． （3）根据多项式乘以多项式的计算法则计算，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 27．你能求的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考从简单的情形入手，先分别计算下列各式的值： ①； ②； ③； … (1)由此我们可以得到：__________； (2)请你利用上面的结论，完成下面的计算： ①； ②． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）观察题干给出的等式，归纳一般性规律，直接写出结果． （2）①给原式乘以，式子的值不变，套用得到的规律计算． ②给原式乘以，套用规律算出乘积，再除以得到原式结果． 【详解】（1）解：探索规律： ， ， ， ， ∴可得规律：， 令，则 ； （2）解：① ； ②， ． 【题型5 】 28．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：. 29．若，则、的值分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】解：， ∵， ∴，． 30．若二次三项式分解因式的结果是，则________． 【答案】 【分析】将分解因式后的结果展开，得到的二次三项式和原二次三项式相等，根据对应项的系数也相等即可得到的值． 【详解】解：将展开，得， ∵， ∴． 31．计算下列各题： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型6 】 32．要使的展开式中不含项，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】C 【详解】解： ． 要使的展开式中不含项，则， 解得． 33．对任意相邻两个整式进行如下操作：用左边的整式减去右边的整式，所得的结果放在这两个整式之间，得到一个新的整式串，称其为作差变换，已知两个依次排列的整式为：，，对其进行作差变换，则第1次作差变换得到的整式串是，，，对该新的整式串进行第2次作差变换，以此类推．下列说法： ①第1次作差变换后整式串所有整式的和为； ②若第2次作差变换时新增的两个整式的积不含，则的值为； ③第3次作差变换后，一定含有整式； ④经过次作差变换后，整式串中整式的总个数为． 其中正确的有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据整式的加减运算法则，多项式乘以多项式，数字类规律探究，结合给定的操作方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：①第1次作差变换后整式串所有整式的和为： ，故①错误； ②第2次作差变换后整式串为：，，，，， ∴第2次作差变换新增的整式的积为： ， ∵第2次作差变换新得到的整式的积不含， ∴， 解得：，故②正确； ③第3次作差变换后整式串为：，，，，，,，，， ∴第3次作差变换后，一定含有整式； ④第1次作差变换后的整式总个数为个， 第2次作差变换后的整式总个数为个， 第3次作差变换后的整式总个数为个， 第4次作差变换后的整式总个数为个， …… 第次作差变换后的整式总个数为，故④正确； 综上，正确的个数为3个． 34．若展开式中不含有的一次项，则的值为______． 【答案】 【分析】展开原式，令的一次项系数为，即可求解的值． 【详解】解：， 展开式中不含有的一次项， ， 解得． 35．已知的展开式中不含和项，则________． 【答案】 【分析】将原式展开合并同类项后，根据不含和项得到这两项的系数为，列方程求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解： ， ∵展开式中不含和项， ∴和项的系数均为，可得 ， 解得，， 将，代入得 ． 36．若的积中不含x与项， (1)求______，______； (2)求代数式的值． 【答案】(1)， (2)12 【分析】（1）首先根据多项式乘以多项式法则进行计算，然后根据“积中不含x与项”可得，求解即可获得答案； （2）首先将原式整理为，然后代入求解即可． 【详解】（1）解： ， ∵的积中不含x与项， ∴，解得； （2）解：由（1）可知，， ∴ ． 【题型7 】 37．张如图的长为，宽为的小长方形纸片，按图的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为，当的长度变化时，按照同样的放置方式，始终保持不变，则，满足（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设长为，长为，分别表示出左上角与右下角阴影部分的面积，作差后令含项的系数为0即可求解． 【详解】解：设，， 由图可知，左下角2个小长方形竖放，总宽为，高为，右上角4个小长方形横放，总高为，长为，左上角阴影部分的长为，宽为，右下角阴影部分的长为，宽为， ∴ ， ∵始终保持不变，与的长度无关， ∴， ∴． 38．如图，将两个正方形并排放在一起，大正方形的边长为，小正方形的边长为，则图中阴影部分的面积可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】阴影部分的面积等于两个正方形的面积之和减去两个空白三角形的面积． 【详解】解：图中阴影部分的面积可表示为： ． 39．图1是长为，宽为的小长方形纸片将6张如图1的纸片按图2的方式不重叠地放在长方形内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中阴影部分（即两个长方形）的面积分别表示为，若的值是___________ 【答案】16 【分析】设的长度为，根据图形表示出和的长和宽，进而表示出面积，作差后代入的值计算即可． 【详解】解：设的长度为， 由图可知，的长为，宽为，的长为，宽为， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 40．如图，池塘边有一块长为、宽为的长方形土地，现在将其三面留出宽都是的小路，余下的长方形部分作为菜地． (1)用含的代数式表示菜地的长和宽； (2)用含的代数式表示菜地的面积，并求时，菜地的面积． 【答案】(1)长：；宽：； (2)，当时，菜单的面积为 【分析】（1）菜地的长等于总长减去两条路宽，菜地的宽等于长方形的宽减去一条路宽； （2）由（1）结合长方形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：菜地的长为，宽为； （2）解：由（1）知，菜地的面积； 当时，． 41．数学小组同学在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，比如在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼（如图），同学们对于这个建筑的占地面积（图中阴影）展开了讨论，并对建筑物进行了测量，测量结果如图所示． (1)请用含a，b的代数式表示这个建筑物的占地面积（结果化为最简）； (2)若，，请计算出这座建筑物的占地面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据图形特点和长方形面积公式，利用多项式乘以多项式表示出建筑物的占地面积； （2）将已知的的值代入（1）中代数式，即可计算出建筑物的占地面积． 【详解】（1）解： ． （2）解：当，时，． 【题型8 】 42．我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如表所示，它揭示了（为非负整数）展开式的各项系数的规律．有如下几个结论：①展开式有项，系数和为；②的结果是；③当代数式的值是1时，有理数的值是；④如果今天是星期一，那么天后是星期二．其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】观察杨辉三角得出展开式的项数及系数和规律，利用完全平方公式及幂的运算性质逐条验证结论． 【详解】由表可知展开式共有项 ． ∵系数和为，系数和为，系数和为， ∴展开式系数和为 ． 故①错误 ． ∵， ∴②正确 ． ∵ ， ∴ ． ∴或 ． ∴或 ． 故③错误 ． ∵ ， ∴展开式中除最后一项外均含有因数 ． ∴能被整除 ． ∴天后相当于往前推天 ． ∴如果今天是星期一， 那么天后是星期天 ． 故④错误 ． 综上所述，正确的有个 ． 故选 A． 43．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用三角形数表给出二项和的乘方的展开式的系数规律，这个三角形数表称为杨辉三角（如图）．根据杨辉三角，可得的展开式中从左起第四项的系数是（     ） A．20 B． C．15 D． 【答案】B 【分析】先根据杨辉三角的规律得出展开式的各项系数，再根据确定各项系数的符号，从而得出答案． 【详解】解：根据杨辉三角的规律，下一行的系数等于上一行相邻两数之和， ∵的系数为， ∴的系数为， ∵， ∴展开式中各项系数的符号正负相间，即第、、、项系数为正，第、、项系数为负， ∴的展开式中从左起第四项的系数为． 44．“杨辉三角”是我国古代伟大的数学成就，用来解释二项式和的乘方系数规律．如图，杨辉三角两腰上的数都是，其余每个数为它上方左、右两数之和．例如，在三角形中第三行的三个数，，，恰好对应着展开式中各项的系数；第四行的四个数，，，，恰好对应着展开式中各项的系数．根据上面的规律，写出展开式中各项的系数和为______． 【答案】 【分析】根据展开式中各项的系数和为，展开式中各项的系数和为，展开式中各项的系数和为，由此得到规律为展开式中各项的系数和为，解答即可． 【详解】解：根据展开式中各项的系数和为，展开式中各项的系数和为，展开式中各项的系数和为， 由此得到规律为展开式中各项的系数和为， 故展开式中各项的系数和． 45．我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)图中括号内的数为_____； (2)展开式共有_____项，第3项系数为_____； (3)利用上面的规律计算：； 【答案】(1)6 (2)6，10 (3)32 【分析】（1）根据表中数据特点解题即可； （2）先找出规律，然后写出的展开式，进而求解即可； （3）将原式还原为展开式的形式，然后求解即可． 【详解】（1）解：依题意，， ∴图中括号内的数为； （2）解： ， ， ， ∴ ∴的展开式有6项，第3项系数为； （3）解：依题意，， ∴ ． 46．【阅读与思考】 “杨辉三角”是我国古代数学的杰出研究成果之一， 它揭示了二项式乘方展开式的规律，在欧洲，这个图表叫做“帕斯卡三角”． 帕斯卡是在1654年发现这一规律的， 比我国迟了近600年． 如图， 是杨辉三角的一部分（两条斜边上的数都是1，其余每个数为它上方（左右）的两数之和）， 它把二项式乘方展开式系数图形化， 它可以指导我们按规律写出形如（为正整数）展开式各项的系数， 请你仔细观察下列等式中的规律， 并利用杨辉三角解决下列问题． (1)【初步感知】按以上规则，展开式共有 ___________项，第三项（字母部分为）的系数是 ___________； (2)【拓展推广】利用杨辉三角，写出的各项的系数 ___________； (3)【迁移应用】我们在对的推演过程中，是将中的“b”代换成“”，可得；利用杨辉三角，写出的展开式． 【答案】(1)5，6； (2)1，5，10，10，5，1 (3) 【分析】（1）根据前面二项式展开式的项数规律以及杨辉三角的系数规律来求解； （2）依据杨辉三角的规律，先得出其对应的一行数，再得出的展开式； （3）通过替换的方法即可得到的展开式． 【详解】（1）解：观察已知的二项式展开式： 有2项，有3项，有4项， ∴的展开式共有项， ∴的展开式共有项， 由杨辉三角可知，对应的杨辉三角的一行数为1，4，6，4，1， ∴第三项的系数是6； （2）解：根据杨辉三角的规律，的各项的系数为1，5，10，10，5，1； （3）解：由题意知， ． 【题型9 】 47．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂的运算法则分别计算各选项，判断正误． 【详解】解：A、，故本选项计算错误； B、，故本选项计算错误； C、，故本选项计算正确； D、，故本选项计算错误． 48．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：对于选项A：，运算错误； 对于选项B：，运算错误； 对于选项C：，运算错误； 对于选项D：，运算正确． 49．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用同底数幂的乘除法、积的乘方和幂的乘方运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，，则，故本选项计算错误，不符合题意； B、，故本选项计算错误，不符合题意； C、，故本选项计算正确，符合题意； D、，故本选项计算错误，不符合题意． 50．计算： （1）______；（2）_______； （3）________；（4）________． 【答案】 【分析】需结合幂的乘方、同底数幂乘除、积的乘方、单项式乘多项式的运算法则计算，注意同级运算顺序，避免漏乘项、漏乘因式． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 51．若实数，满足，则______． 【答案】 【分析】先将原式中底数统一化为，再根据幂的乘方逆用，同底数幂除法的运算法则变形后整体代入已知条件计算即可． 【详解】解：， ， 根据幂的乘方法则，可得， 根据同底数幂的除法法则，可得， 将代入，得原式． 52．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别计算算术平方根、立方根、绝对值，再求和； （2）先化简各幂的乘方项，再进行同底数幂的乘除运算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 53．阅读：已知正整数，，，若对于同底数，不同指数的两个幂和（），当时，则有；若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有．根据上述材料，回答下列问题．[注：（2），（3）写出比较的具体过程] (1)比较大小：________，________．（填“”） (2)比较与的大小． (3)比较与的大小． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据定义比较即可． （2）先把与化成同指数，不同底数的两个幂比较即可． （3）利用作商法，即可比较和的大小． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，，， ∴． （2）解：，，因，故． （3）解：，故． 【题型10  】 54．已知，，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】逆用同底数幂的除法性质，将转化为已知幂的商后代入计算． 【详解】解：∵，． ∴． 55．已知，，那么的值是（     ） A．1 B．3 C．9 D．27 【答案】D 【分析】利用幂的运算性质将所求式子转化为含的形式，结合已知条件求出的值，代入计算． 【详解】解：， ∵，， ∴， ∴， ∴． 56．若，，，则__________． 【答案】100 【分析】利用幂的运算法则将所求式子变形，转化为已知幂的乘除运算，代入数值计算即可． 【详解】解：先变形已知的，可得， 由题意得， ∵， ∴将，，代入得：． 57．填空： （1），括号内应填入___________；     （2），括号内应填入___________； （3），括号内应填入___________；     （4），括号内应填入___________． 【答案】 或 或 【分析】根据乘除法各部分的关系，结合同底数幂的乘除运算法则计算未知项，同底数幂相乘底数不变指数相加，同底数幂相除底数不变指数相减． 【详解】解：（1）未知项等于积除以已知因式，得 ； （2）未知项等于积除以已知因式，得 ； （3）未知项等于被除数除以商，得 ； （4）未知项等于商乘除数，得 ． 58．阅读材料，回答问题． 例：，求的值． 解： ，∴． (1)若，则_______ (2)如果，，那么的值为多少？ 【答案】(1)243 (2)27 【分析】（1）逆用同底数幂除法法则可得，再逆用幂的乘方运算法则可得，即；然后将代入求值即可； （2）由题意可得，再逆用同底数幂除法法则可得，即；然后将代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）解：∵，， ∴． 【题型11 】 59．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据零指数幂的条件，同底数幂的除法法则，合并同类项的法则，幂的乘方法则，逐项判断即可． 【详解】解：A、当时，，当时无意义，故选项错误，不符合题意； B、，故选项正确，符合题意； C、与不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意； D、，故选项错误，不符合题意． 60．下列计算正确的个数为（     ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据相关的运算性质进行判断即可． 【详解】解：①，错误； ②，错误； ③，错误； ④，正确； ⑤，正确； ⑥，正确； ⑦，错误； ⑧，错误； ⑨， ，正确． 综上，正确的算式共4个． 61．如果等式成立，则x的值为________． 【答案】 0或 【分析】需分类讨论初中阶段幂值为1的三类常见成立情形，逐一验证排除无意义或结果不符的取值． 【详解】解：根据有理数乘方的性质，等式在初中范围内有三类成立情形，逐一计算验证． ∵ 当指数为0且底数不为0时，幂为1， ∴ 令， 解得， 此时底数，符合条件， ，成立； ∵ 当底数为1时，1的任意次幂为1， ∴ 令， 解得， 此时指数，，成立.； ∵ 当底数为时，仅当指数为偶数时，幂为1， ∴ 令， 解得， 此时指数，为奇数， ，不符合条件，舍去； 综上，符合条件的的值为0或． 62．计算：__________． 【答案】 【分析】分别计算原式中乘法、开平方、乘方、零指数幂四项，再合并计算结果． 【详解】解：原式． 63．把下列各数填入相应的集合中： 0，，，4，，，，，，，，，（相邻两个1之间0的个数逐次加1）． (1)有理数集合：{                                 …}； (2)无理数集合：{                                 …}； (3)正实数集合：{                                 …}； (4)负实数集合：{                                 …}． 【答案】(1)0，，4，，，，，， (2)，，，（相邻两个1之间0的个数逐次加1） (3)，4，，，，，，（相邻两个1之间0的个数逐次加1） (4)，，， 【分析】根据实数的分类进行解答即可． 【详解】（1）解：，是开不尽方的数，属于无理数， ，，，属于有理数， ，是无限不循环小数，属于无理数； 有理数集合：{0，，4，，，，，，，…}； （2）解：无理数集合：{，，，（相邻两个1之间0的个数逐次加1），…}； （3）解：正实数集合：{，4，，，，，，（相邻两个1之间0的个数逐次加1），…}； （4）解：负实数集合：{，，，，…}． 【题型12 】 64．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂的乘方、积的乘方、单项式乘法、单项式除法、同底数幂相乘逐项判断即可． 【详解】解：A．，计算正确，符合题意； B．，计算错误，不符合题意； C． ，计算错误，不符合题意； D． ，计算错误，不符合题意． 65．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据单项式除法法则化简左边，得， ∵等式右边为， ∴对应字母的指数相等， ∴，， 由解得，将代入，得， 解得． 66．一个三角形的面积是，一边长为，则这条边上的高为__________． 【答案】 【分析】已知三角形面积与某一边的长度，通过三角形面积公式变形得到高的计算式，结合单项式除法法则求解． 【详解】解：∵三角形面积公式为底×高， 设这条边上的高为h，将，底边长代入上式得 ∴． 67．年月日，中关村论坛年会发布重大成果，中科院物理所团队首次实现二维金属．二维金属是极薄的单原子层金属材料，厚度超小．已知某二维金属材料厚度米，一根头发丝直径约毫米，换算为米是米．则头发丝直径是该二维金属材料厚度的______倍．（用科学记数法表示） 【答案】 【分析】根据题意列出算式，然后通过法则即可求解． 【详解】解：． 68．计算． 【答案】 【分析】先计算幂的乘方，再计算整式乘除，最后合并同类项. 【详解】解：原式 69．一个多项式的错误的计算过程如下： 计算：． 解：原式…第一步 …第二步 ．…第三步 (1)请指出在第几步开始出现错误，并写出正确的计算过程； (2)当时，求原式的值（结果用科学记数法表示）． 【答案】(1)第一步开始出现错误，正确的计算过程见解析 (2) 【分析】（1）利用幂的运算法则判断原计算的错误步骤，再重新正确化简 （2）把代入化简的结果，并用科学记数法表示即可． 【详解】（1）解：∵， ∴原计算第一步开始出现错误． 正确计算过程如下： 原式 ； （2）解：当时， ． 【题型13 】 70．某公司需要对一种芯片的电路布线进行优化．已知芯片电路的原始布线规律可以表示为．现在需要将其按照一定的规则进行重新布局，相当于将其除以，则新的电路布线规律可以表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意列出运算式，根据多项式除以单项式的运算原则计算即可． 【详解】解：由题意得． 71．的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将多项式的每一项分别除以单项式，再将所有商相加即可 【详解】解： 72．计算：________． 【答案】 【详解】解：原式 73．为举办山西文旅演艺晚会，工作人员在剧场设计一块长方形主舞台，已知舞台面积为，其中一条边长为，则这块长方形舞台的另一条边长为__________． 【答案】 【分析】根据长方形面积公式，可得另一条边长为，根据多项式除以单项式的运算法则计算即可． 【详解】解：由题意可得，另一条边长为， ， ． 74．先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】将括号去掉展开后，合并同类项即可化简，然后将，代入即可． 【详解】解： ． 将，代入得：． 75．已知一个多项式乘以，再加上之后得到的结果是． (1)求这个多项式； (2)若，求出该多项式的值． 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）设这个多项式为，根据题意列出式子，利用整式的混合运算进行计算求得； （2）将代入多项式，即可求解． 【详解】（1）解：设这个多项式为 （2）解：把代入： 【题型14 】 76．已知数轴上有n（且n为正整数）个点，每相邻两点间距离为1，从左边第1个点起跳，且同时满足以下三个条件： ①每次跳跃均尽可能大；②跳n次后必须回到第1个点；③这n次跳跃将每个点全部到达． 设跳过的所有路程之和为，则（     ） A．300 B．311 C．312 D．313 【答案】C 【分析】根据跳跃规则归纳路程和的规律，代入计算． 【详解】解：设数轴上n个点从左到右依次为，，…，． 第1次从跳到最远的，路程为； 第2次从跳到最远的未到达点，路程为； 第3次从跳到最远的未到达点，路程为； …… 依此类推，前次跳跃覆盖所有点，路程和为． 当n为奇数时，第次跳跃后停在中间点，第n次跳回的路程为． ∴． ∵是奇数， ∴． 77．已知，，，均为常数，，均为非零常数，有两个整式，，下列结论中，正确的个数为（     ） ①当与的乘积不含项时，； ②； ③当能被整除时，； A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据整式乘除与多项式整除的性质，对三个结论逐一计算验证即可． 【详解】①由题意， ， ， ∵乘积不含项，∴，解得，故①错误． ②已知， 令，得：左边，右边， ∴，整理得 ， 令，左边，右边， ∴，代入得，故②正确． ③若多项式能被整除， 根据多项式整除性质，时．代入得， 整理得，故③正确． 综上，正确的结论共2个． 78．数学社团的同学在探究一个有趣的问题：对于一个三位数，用这个数除以它各位数字的和，把得到的结果称为这个数的“特征值”，如，则这个三位数的特征值为40．那么，所有三位数中，特征值的最大值是________． 【答案】100 【分析】先设三位数各数位字母并写出代数式，通过整式作差比较三位数和其数字和100倍的大小，分十位个位全为0、不全为0两种情况分析，结合除法规律判断特征值与100的大小，最终得到特征值最大值． 【详解】设三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，其中，，，且a、b、c均为整数， ∴该三位数写作，各位数字相加的和是． 根据题意，特征值为这个三位数除以各位数字之和， 将100倍的数字和展开，得， 最小取1，因此是不为0的正整数，依据除法的数量规律：若被除数恰好等于除数的100倍，商为100；若被除数小于除数的100倍，商就小于100． 情况1，当、时，差值，说明与数值相等，也就是这个三位数正好是数字和的100倍，此时特征值等于100，100、200……900这类整百三位数均符合该条件． 情况2，当b、c不全为0时，是正数，说明的数值小于，也就是这个三位数不足数字和的100倍，此时特征值一定小于100． 综上所述，所有三位数中，特征值的最大值是100． 79．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 80．根据要求解答以下问题 (1)计算：______． (2)先化简再求值：，其中． 【答案】(1)1 (2)， 【分析】（1）利用积的乘方计算即可． （2）原式利用完全平方公式、平方差公式以及单项式乘以多项式运算公式化简，去括号合并得到最简结果，把x，y的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：． （2）解： 当时，原式． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 整式的乘法（期中重难点复习） 【新教材人教版八年级上册】 题型归纳 【题型1 计算单项式乘单项式】 1 【题型2 计算单项式乘多项式及求值】 3 【题型3 单项式乘多项式的应用】 4 【题型4 计算多项式乘多项式】 5 【题型5 （x+p）（x+q）型多项式乘法】 6 【题型6 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 7 【题型7 多项式乘多项式与图形面积】 8 【题型8 多项式乘法中的规律性问题】 9 【题型9 同底数幂的除法运算】 12 【题型10 同底数幂除法的逆用 】 13 【题型11 零指数幂】 13 【题型12 计算单项式除以单项式】 14 【题型13 多项式除以单项式】 15 【题型14 整式四则混合运算】 15 【题型1 】 1．下列运算结果正确的是（     ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 3．计算（     ） A． B． C． D． 4．__________． 5．计算：________． 6．计算： (1)； (2)． 7．已知，． (1)求的值． (2)若，求的值． 8．阅读：已知，求的值． 分析：由于，的取值较多，不能逐一代入，故考虑整体思想，将整体代入． 解： ， 你能用上述方法解决以下问题吗？试一试！ (1)已知，求的值． (2)已知，求代数式的值． 【题型2 】 9．数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回家，小刚拿出课堂笔记复习，发现一道题：□，□的地方被墨水弄污了．你认为□内应填写（     ） A． B． C． D． 10．某同学在计算一个多项式乘以时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，那么正确的计算结果是（     ） A． B． C． D． 11．若计算的结果中不含有项，则的值为__________． 12．已知单项式M，N满足，则_______． 13．计算： (1)； (2)． 14．已知，是多项式，在计算时，小马虎同学把看成了，结果得，试求： (1)的值； (2)的值． 15．计算： (1)计算：； (2)先化简，再求值：，其中． 【题型3 单项式乘多项式的应用】 16．小明家的住房装修三年后，地砖出现破损，破损部分的长方形示意图如图所示．现要进行修补，有三种地砖可供选择，则需要砖（     ） A．张 B．张 C．张 D．张 17．如图所示正方形和正方形，点在上，点在上，连结、、，若，则图中阴影部分面积的和为（     ） A．3 B．6 C．12 D．24 18．已知，，则a_______b．（填“”“”或“”） 19．如图，长方形的长为，宽为a． (1)用含a的代数式表示这个长方形的周长和面积（结果化为最简）； (2)当时，求这个长方形的周长和面积的值． 20．如图，正方形的边长为，点在边上，四边形也是正方形，它的边长为，连接，，． (1)用含，的代数式表示________； (2)若，请直接写出的值． 【题型4 】 21．下列算式计算结果为的是（     ） A． B． C． D． 22．根据等式：， ， ， ……的规律， 则等于（     ） A． B． C． D． 23．一个长方形的长为，宽为，则这个长方形的面积是___________．（用含，的多项式表示） 24．若，则的值为___________． 25．计算： (1)； (2) 26．计算： (1) (2) (3) 27．你能求的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考从简单的情形入手，先分别计算下列各式的值： ①； ②； ③； … (1)由此我们可以得到：__________； (2)请你利用上面的结论，完成下面的计算： ①； ②． 【题型5 】 28．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 29．若，则、的值分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 30．若二次三项式分解因式的结果是，则________． 31．计算下列各题： (1) (2) 【题型6 】 32．要使的展开式中不含项，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D． 33．对任意相邻两个整式进行如下操作：用左边的整式减去右边的整式，所得的结果放在这两个整式之间，得到一个新的整式串，称其为作差变换，已知两个依次排列的整式为：，，对其进行作差变换，则第1次作差变换得到的整式串是，，，对该新的整式串进行第2次作差变换，以此类推．下列说法： ①第1次作差变换后整式串所有整式的和为； ②若第2次作差变换时新增的两个整式的积不含，则的值为； ③第3次作差变换后，一定含有整式； ④经过次作差变换后，整式串中整式的总个数为． 其中正确的有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 34．若展开式中不含有的一次项，则的值为______． 35．已知的展开式中不含和项，则________． 36．若的积中不含x与项， (1)求______，______； (2)求代数式的值． 【题型7 】 37．张如图的长为，宽为的小长方形纸片，按图的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为，当的长度变化时，按照同样的放置方式，始终保持不变，则，满足（     ） A． B． C． D． 38．如图，将两个正方形并排放在一起，大正方形的边长为，小正方形的边长为，则图中阴影部分的面积可表示为（     ） A． B． C． D． 39．图1是长为，宽为的小长方形纸片将6张如图1的纸片按图2的方式不重叠地放在长方形内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中阴影部分（即两个长方形）的面积分别表示为，若的值是___________ 40．如图，池塘边有一块长为、宽为的长方形土地，现在将其三面留出宽都是的小路，余下的长方形部分作为菜地． (1)用含的代数式表示菜地的长和宽； (2)用含的代数式表示菜地的面积，并求时，菜地的面积． 41．数学小组同学在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，比如在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼（如图），同学们对于这个建筑的占地面积（图中阴影）展开了讨论，并对建筑物进行了测量，测量结果如图所示． (1)请用含a，b的代数式表示这个建筑物的占地面积（结果化为最简）； (2)若，，请计算出这座建筑物的占地面积． 【题型8 】 42．我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如表所示，它揭示了（为非负整数）展开式的各项系数的规律．有如下几个结论：①展开式有项，系数和为；②的结果是；③当代数式的值是1时，有理数的值是；④如果今天是星期一，那么天后是星期二．其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 43．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用三角形数表给出二项和的乘方的展开式的系数规律，这个三角形数表称为杨辉三角（如图）．根据杨辉三角，可得的展开式中从左起第四项的系数是（     ） A．20 B． C．15 D． 44．“杨辉三角”是我国古代伟大的数学成就，用来解释二项式和的乘方系数规律．如图，杨辉三角两腰上的数都是，其余每个数为它上方左、右两数之和．例如，在三角形中第三行的三个数，，，恰好对应着展开式中各项的系数；第四行的四个数，，，，恰好对应着展开式中各项的系数．根据上面的规律，写出展开式中各项的系数和为______． 45．我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)图中括号内的数为_____； (2)展开式共有_____项，第3项系数为_____； (3)利用上面的规律计算：； 46．【阅读与思考】 “杨辉三角”是我国古代数学的杰出研究成果之一， 它揭示了二项式乘方展开式的规律，在欧洲，这个图表叫做“帕斯卡三角”． 帕斯卡是在1654年发现这一规律的， 比我国迟了近600年． 如图， 是杨辉三角的一部分（两条斜边上的数都是1，其余每个数为它上方（左右）的两数之和）， 它把二项式乘方展开式系数图形化， 它可以指导我们按规律写出形如（为正整数）展开式各项的系数， 请你仔细观察下列等式中的规律， 并利用杨辉三角解决下列问题． (1)【初步感知】按以上规则，展开式共有 ___________项，第三项（字母部分为）的系数是 ___________； (2)【拓展推广】利用杨辉三角，写出的各项的系数 ___________； (3)【迁移应用】我们在对的推演过程中，是将中的“b”代换成“”，可得；利用杨辉三角，写出的展开式． 【题型9 】 47．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 48．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 49．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 50．计算： （1）______；（2）_______； （3）________；（4）________． 51．若实数，满足，则______． 52．计算： (1)； (2) 53．阅读：已知正整数，，，若对于同底数，不同指数的两个幂和（），当时，则有；若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有．根据上述材料，回答下列问题．[注：（2），（3）写出比较的具体过程] (1)比较大小：________，________．（填“”） (2)比较与的大小． (3)比较与的大小． 【题型10  】 54．已知，，则的值为（） A． B． C． D． 55．已知，，那么的值是（     ） A．1 B．3 C．9 D．27 56．若，，，则__________． 57．填空： （1），括号内应填入___________；     （2），括号内应填入___________； （3），括号内应填入___________；     （4），括号内应填入___________． 58．阅读材料，回答问题． 例：，求的值． 解： ，∴． (1)若，则_______ (2)如果，，那么的值为多少？ 【题型11 】 59．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 60．下列计算正确的个数为（     ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． A．2 B．3 C．4 D．5 61．如果等式成立，则x的值为________． 62．计算：__________． 63．把下列各数填入相应的集合中： 0，，，4，，，，，，，，，（相邻两个1之间0的个数逐次加1）． (1)有理数集合：{                                 …}； (2)无理数集合：{                                 …}； (3)正实数集合：{                                 …}； (4)负实数集合：{                                 …}． 【题型12 】 64．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 65．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 66．一个三角形的面积是，一边长为，则这条边上的高为__________． 67．年月日，中关村论坛年会发布重大成果，中科院物理所团队首次实现二维金属．二维金属是极薄的单原子层金属材料，厚度超小．已知某二维金属材料厚度米，一根头发丝直径约毫米，换算为米是米．则头发丝直径是该二维金属材料厚度的______倍．（用科学记数法表示） 68．计算． 69．一个多项式的错误的计算过程如下： 计算：． 解：原式…第一步 …第二步 ．…第三步 (1)请指出在第几步开始出现错误，并写出正确的计算过程； (2)当时，求原式的值（结果用科学记数法表示）． 【题型13 】 70．某公司需要对一种芯片的电路布线进行优化．已知芯片电路的原始布线规律可以表示为．现在需要将其按照一定的规则进行重新布局，相当于将其除以，则新的电路布线规律可以表示为（     ） A． B． C． D． 71．的结果为（     ） A． B． C． D． 72．计算：________． 73．为举办山西文旅演艺晚会，工作人员在剧场设计一块长方形主舞台，已知舞台面积为，其中一条边长为，则这块长方形舞台的另一条边长为__________． 74．先化简，再求值：，其中，． 75．已知一个多项式乘以，再加上之后得到的结果是． (1)求这个多项式； (2)若，求出该多项式的值． 【题型14 】 76．已知数轴上有n（且n为正整数）个点，每相邻两点间距离为1，从左边第1个点起跳，且同时满足以下三个条件： ①每次跳跃均尽可能大；②跳n次后必须回到第1个点；③这n次跳跃将每个点全部到达． 设跳过的所有路程之和为，则（     ） A．300 B．311 C．312 D．313 77．已知，，，均为常数，，均为非零常数，有两个整式，，下列结论中，正确的个数为（     ） ①当与的乘积不含项时，； ②； ③当能被整除时，； A．个 B．个 C．个 D．个 78．数学社团的同学在探究一个有趣的问题：对于一个三位数，用这个数除以它各位数字的和，把得到的结果称为这个数的“特征值”，如，则这个三位数的特征值为40．那么，所有三位数中，特征值的最大值是________． 79．计算： (1)； (2)． 80．根据要求解答以下问题 (1)计算：______． (2)先化简再求值：，其中． 2 / 30 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