精品解析：新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市部分校2026-2027学年第一学期初中九年级数学期中阶段性试卷

2026-2027学年第一学期初中九年级数学期中阶段性试卷 时间：120分钟分值：150分 一、选择题（本大题共9题，每小题4分，共36分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数是2，像这样的方程叫做一元二次方程． 根据一元二次方程的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．，不是一元二次方程； B．，是一元二次方程； C．，不是一元二次方程； D．，不是一元二次方程； 故选：B． 2. 下列等式中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数定义分析判断各项即可． 【详解】解：A选项：中的次数为，不是反比例函数，不符合题意； B选项：由变形得，是反比例函数，符合题意； C选项：是一次函数，不是反比例函数，不符合题意； D选项：由变形得，自变量的次数不为，不是反比例函数，不符合题意． 3. 已知是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. 5 B. C. 0 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握此知识． 根据一元二次方程根与系数的关系求解即可，由是一元二次方程的两个根，则，． 【详解】解：是一元二次方程的两个根，则 故选：A 4. 若关于的方程的一个根为，则的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，理解一元二次方程的解的定义是解决问题的关键． 把代入一元二次方程得关于的一次方程，然后解一元一次方程即可． 【详解】解：把代入一元二次方程得， 解得． 故选：B． 5. 函数的图象一定经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上的点，解答此题的关键是理解二次函数图象上的点都满足二次函数的解析式，满足二次函数解析式的点都在二次函数的图象上．将点代入解析式求解判断即可． 【详解】解：A、当时，， 函数的图象一定经过点，符合题意； B、当时，， 函数的图象不经过点，不符合题意； C、当时，， 函数的图象不经过点，不符合题意； D、当时，， 函数的图象不经过点，不符合题意； 故选：A． 6. 一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．根据配方法的步骤解题即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：D． 7. 近年来，我国人工智能核心产业规模快速增长．2023年某地区人工智能核心产业规模为50亿元，2025年达到72亿元．设该地区这两年人工智能核心产业规模的年平均增长率为x，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，关键是找准数量关系．设年平均增长率为x．2023年到2025年连续增长两年，由题可列方程． 【详解】解：设年平均增长率为x．2023年到2025年连续增长两年，由题意可得： ． 故选：B 8. 将的图象先向右平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移变换，根据“左加右减，上加下减”的平移规则求解． 【详解】解：将的图象先向右平移1个单位，再向下平移2个单位后， 所得图象的函数表达式是． 故选：C． 9. 一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数图象综合判断，熟知一次函数、二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 分别根据二次函数的性质和一次函数的性质求出对应的a、b及交点，看是否一致即可． 【详解】解：当时，一次函数图象过第一、三象限，二次函数图象开口向上，故C、D错误，不符合题意； 当，时，一次函数图象过第一、三、四象限，图象开口向上， 令时，， ∴， ∴可得一次函数过， 将代入中可得， 故两函数图象均过，交点在正半轴上，故B错误，不符合题意； 当，时，一次函数图象过第一、二、三象限，图象开口向上， 对称轴为直线，在y轴左侧，同理，两函数图象均过，交点在负半轴上，A正确，符合题意， 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 一元二次方程的一次项系数是___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式“一元二次方程的一般形式是，其中，是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项”，熟记一元二次方程的一般形式是解题关键．根据一元二次方程的一般形式求解即可得． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数是， 故答案为：． 11. 如果点在反比例函数的图象上，则反比例函数解析式是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用反比例函数图象上的点的坐标满足函数表达式的性质，代入已知点坐标求出待定系数k，即可确定函数解析式． 【详解】解：∵ 点在反比例函数的图象上， ∴ 将，代入函数表达式，得：， 解得：， ∴ 该反比例函数的解析式为． 12. 二次函数的图象的顶点坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的顶点坐标为解答即可． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是， 故答案为：． 13. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为_________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此由求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 故答案为：2． 14. 若二次函数的图像与y轴的交点坐标为，则该函数图像与x轴的交点坐标为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像与坐标轴的交点问题，解题的关键是求出函数解析式． 先根据抛物线与y轴的交点坐标求出，得到函数解析式，再令，求出函数图像与x轴的交点坐标． 【详解】解：∵二次函数的图像与y轴的交点坐标为， ∴， ∴解析式为， 当时，， 解得或， ∴该函数图像与x轴的交点坐标为或， 故答案为：或． 15. 如图，在平面直角坐标系中，将三边长分别为3，4，5的沿x轴向右滚动到的位置，再到的位置，依次进行下去，发现，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意计算三角形周长，结合图形滚动规律，分析点、的坐标特征，归纳出点，的坐标规律公式，进而求解即可． 【详解】解： 的三边长分别为，，， 三角形的周长为， 由题意及图形滚动规律可知，每滚动次，三角形向右平移一个周长的距离， 观察已知点坐标： 由此推断后续点坐标规律： 即 即， 归纳规律如下：，， 要求点的坐标，此时，即， 点的横坐标为，纵坐标为， 点的坐标为． 三、解答题（本大题共8小题，共计90分，解答时应在答题区域的相应位置处写出文字说明，证明过程或演绎过程） 16. 解下列方程 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）化系数为1，再开平方即可； （2）配方后再开平方即可； （3）先因式分解，再解方程； （4）利用公式法求解． 【小问1详解】 解：， ， ， 解得； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 解得； 【小问3详解】 解： ， 或， 解得； 【小问4详解】 解：， ， 则 ， 解得． 17. 已知点在反比例函数的图象上． （1）当时，求x的取值范围； （2）已知点，，在这个反比例函数的图象上，比较，，的大小，并用反比例函数的性质说明理由． 【答案】（1）的取值范围是或 （2）解：，理由如下： ， 该反比例函数的图象在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， 点、的横坐标均小于0， ∴点A，B在第三象限， 又∵， ， 点的横坐标大于0，在第一象限， ． ． 【解析】 【分析】（1）先代入已知点坐标求出反比例函数的解析式．分和两种情况，结合函数性质求解时的取值范围； （2）根据反比例函数的增减性，结合各点所在象限比较三个函数值的大小． 【小问1详解】 解：将点代入，得 解得， ∴反比例函数解析式为， 当时，令 解得； 当时，， 综上所述，的取值范围是或； 【小问2详解】 略 18. 已知是关于x的一元二次方程． （1）若是该方程的一个根，求k的值； （2）求证：无论k取任何实数，方程总有实数根． 【答案】（1） （2） 证明：∵ ， ∴无论k取任何实数，方程总有实数根． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的概念以及根的判别式的应用，熟练掌握一元二次方程根的判别式的取值范围是解决本题的关键． （1）将代入方程中即可求解k的值； （2）通过计算方程的根的判别式并判断其取值范围，当根的判别式时，方程有两个不等的实数根；当根的判别式时，方程有两个相等的实数根；当根的判别式时，方程没有实数根，由此即可证明． 【小问1详解】 解：∵是方程的一个根， ∴将代入方程可得， 整理可得，解得； 【小问2详解】 略 19. 已知一个二次函数的图象经过，，三点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）求这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标． 【答案】（1） （2）对称轴为直线，顶点坐标为 【解析】 【分析】（1）设所求二次函数的解析式为，再把，，代入函数解析式，得到关于、、的三元一次方程组，解方程组即可求、、，确定出函数解析式； （2）将二次函数解析式化为顶点式即可求出顶点坐标与对称轴． 【小问1详解】 解：设所求二次函数的解析式为， 二次函数的图象经过，，三点， 根据题意，得， 解得， ∴所求二次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：， ∴函数图象的对称轴是直线， 顶点坐标为． 20. 密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V(单位：m3)变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3)随之变化，已知气体的密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1) 求密度ρ关于体积V的函数解析式; (2) 当V=9m3时，求二氧化碳的密度ρ． 【答案】（1）ρ＝；（2）ρ等于1.1kg/m3 【解析】 【分析】（1）设密度ρ（单位：kg/m3）与体积V（单位：m3）的反比例函数解析式为ρ＝，把点（5，1.98）代入解析式根据待定系数法即可求得； （2）把V＝9代入解析式即可求出二氧化碳的密度． 【详解】解：（1）设密度ρ与体积V的反比例函数解析式为ρ＝，把点（5，1.98）代入解ρ＝，得k＝9.9， ∴密度ρ与体积V的反比例函数解析式为ρ＝，V＞0． （2）把V＝9代入ρ＝，得ρ＝＝1.1kg/m3． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注． 21. 某商场销售一批空气加湿器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每台降价1元，商场平均每天可多售出2台． （1）若该商场某天降价了5元，则当天可售出 　　台，当天共盈利 　　元； （2）在尽快减少库存的前提下，商场每天要盈利2100元，每台空气加湿器应降价多少元？ 【答案】（1）40；1800 （2）商场每天要盈利2100元，每台空气加湿器应降价20元 【解析】 【分析】（1）根据题意列出有算式，进行计算即可求解； （2）设每台空气加湿器应降价元，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解： （台）， （元）． 故答案为：40；1800． 【小问2详解】 设每台空气加湿器应降价元， 则每台盈利元，每天可以售出台， 依题意得：， 整理的：， 解得：，， 在尽快减少库存的前提下， 的值为20， 在尽快减少库存的前提下，商场每天要盈利2100元，每台空气加湿器应降价20元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 22. 抛物线如图所示． （1）该抛物线的解析式是______________． （2）关于的一元二次方程是根是______________． （3）结合图象，当，的取值范围______________． （4）时，的取值范围是______________． 【答案】（1） （2） （3）或 （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，二次函数图象与轴的交点，正确理解不等式和函数的关系是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）观察函数图象即可求解； （3）观察函数图象即可求解； （4）观察函数图象即可求解． 【小问1详解】 解：由抛物线的图象知，抛物线和轴的交点坐标为：、，和轴的交点为：， 设抛物线的表达式为：， 则，则， 故抛物线的表达式为：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：从图象看，抛物线与x轴的交点分别为， 故关于的一元二次方程是根是， 故答案为：； 【小问3详解】 解：从图象看，当时的取值范围为或， 故答案为：或； 【小问4详解】 解：当时，， ， 则当时，y有最小值为 ∴当时，的取值范围是， 故答案为：． 23. 如图1是一座拱桥的示意图，已知当水面宽时，桥洞顶部离水面4m．若桥洞的拱形可以看作抛物线，现以水平方向为x轴，取A点为坐标原点建立平面直角坐标系． （1）请写出抛物线的顶点坐标，并求出函数解析式； （2）如图2，若拱桥上的路面也可以近似看成一条抛物线，且解析式为：． ①求桥上路面最高点离桥洞顶部的距离的长度； ②已知桥上路面起点E的横坐标为，请问：当水面上涨到水面宽度为10米时，点E在水平面的上方还是下方？并说明理由． 【答案】（1），； （2）①； ②将E点横坐标代入，得， 则， 当水面宽为时， 将代入，得， 因为，所以点E在水平面上方． 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键． （1）根据图象得到顶点坐标，再利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）①抛物线的顶点，得到．②将E点横坐标代入，则，当水面宽为时，将代入，得，比较后即可得到答案． 【小问1详解】 解：由图象可知，顶点C的坐标． 设（）， 代入点，得， 解得， 所以解析式为． 【小问2详解】 ①∵ ∴抛物线的顶点， ∴． ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期初中九年级数学期中阶段性试卷 时间：120分钟分值：150分 一、选择题（本大题共9题，每小题4分，共36分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列等式中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. 5 B. C. 0 D. 2 4. 若关于的方程的一个根为，则的值为（    ） A. B. C. D. 5. 函数的图象一定经过点（ ） A. B. C. D. 6. 一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 7. 近年来，我国人工智能核心产业规模快速增长．2023年某地区人工智能核心产业规模为50亿元，2025年达到72亿元．设该地区这两年人工智能核心产业规模的年平均增长率为x，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 将的图象先向右平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 9. 一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 一元二次方程的一次项系数是___． 11. 如果点在反比例函数的图象上，则反比例函数解析式是______． 12. 二次函数的图象的顶点坐标是________． 13. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为_________． 14. 若二次函数的图像与y轴的交点坐标为，则该函数图像与x轴的交点坐标为______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，将三边长分别为3，4，5的沿x轴向右滚动到的位置，再到的位置，依次进行下去，发现，则点的坐标为______． 三、解答题（本大题共8小题，共计90分，解答时应在答题区域的相应位置处写出文字说明，证明过程或演绎过程） 16. 解下列方程 （1） （2） （3） （4） 17. 已知点在反比例函数的图象上． （1）当时，求x的取值范围； （2）已知点，，在这个反比例函数的图象上，比较，，的大小，并用反比例函数的性质说明理由． 18. 已知是关于x的一元二次方程． （1）若是该方程的一个根，求k的值； （2）求证：无论k取任何实数，方程总有实数根． 19. 已知一个二次函数的图象经过，，三点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）求这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标． 20. 密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V(单位：m3)变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3)随之变化，已知气体的密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1) 求密度ρ关于体积V的函数解析式; (2) 当V=9m3时，求二氧化碳的密度ρ． 21. 某商场销售一批空气加湿器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每台降价1元，商场平均每天可多售出2台． （1）若该商场某天降价了5元，则当天可售出 　　台，当天共盈利 　　元； （2）在尽快减少库存的前提下，商场每天要盈利2100元，每台空气加湿器应降价多少元？ 22. 抛物线如图所示． （1）该抛物线的解析式是______________． （2）关于的一元二次方程是根是______________． （3）结合图象，当，的取值范围______________． （4）时，的取值范围是______________． 23. 如图1是一座拱桥的示意图，已知当水面宽时，桥洞顶部离水面4m．若桥洞的拱形可以看作抛物线，现以水平方向为x轴，取A点为坐标原点建立平面直角坐标系． （1）请写出抛物线的顶点坐标，并求出函数解析式； （2）如图2，若拱桥上的路面也可以近似看成一条抛物线，且解析式为：． ①求桥上路面最高点离桥洞顶部的距离的长度； ②已知桥上路面起点E的横坐标为，请问：当水面上涨到水面宽度为10米时，点E在水平面的上方还是下方？并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $