专题11 弧长和扇形面积（期中重难点复习）2026-2027学年九年级上学期数学期中考试重难点专题训练（人教版）
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内容正文：
专题11 弧长和扇形面积（期中重难点复习）
【新教材人教版】
题型归纳
【题型1 求弧长】 1
【题型2 求扇形半径】 9
【题型3 求圆心角】 11
【题型4 求某点的弧形运动路径长度】 13
【题型5 求扇形面积】 18
【题型6 求图形旋转后扫过的面积】 25
【题型7 求其他不规则图形的面积】 30
【题型8 求圆锥侧面积】 37
【题型9 求圆锥底面半径】 39
【题型10 求圆锥的高】 43
【题型11 求圆锥侧面展开图的圆心角】 45
【题型12 圆锥侧面上最短路径问题】 50
【题型1 求弧长】
1．图①是中国古代女子主要裙式之一的马面裙，可以近似地看作扇环（如图②），已知裙长为米，的长度为米，圆心角，则裙摆的长为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】A
【分析】由题意知，，求得米，得到米，然后根据弧长公式计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
解得米，
∵裙长为米，
∴米，
∴（米）．
2．如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形．若将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据弧长公式求出阴影扇形的弧长，进而可求出围成圆锥的底面半径．
【详解】解：扇形的长为：，
∵扇形的弧长相当于围成圆锥的底面周长，
设围成圆锥的底面半径为，
∴
解得：．
3．如图，在矩形中，，，对角线与交于点，点在过，，三点的圆弧上运动，当长取最小值时，与的长分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】确定过 三点的圆的圆心和半径，利用点圆距离最小值原理求最小值，通过勾股定理逆定理判定度数从而求弧长．
【详解】解：在矩形 中，，，
设过三点的圆的圆心为，半径为，连接交于点，连接，连接，交圆M于点，
则点在的垂直平分线上
∴
在中，
在 中，，即
解得，
过作交延长线于，
∵矩形中，
∴，
∴
∴四边形是矩形，
则，
∴
在中，
∵
∴当 共线时，取最小值，此时点在点的位置，
∴
在中，，，
弧的长即为 ．
4．如图，图1是边长为2的等边三角形铁丝框，按图2方式变形成以为圆心，长为半径的扇形（图形周长保持不变），则所得扇形的面积是________．
【答案】2
【详解】解：∵，
，
扇形的面积是.
5．如图，是的直径，弦于点，连接，若，，则的长为______（结果保留）．
【答案】
【分析】连接，证明是等边三角形，得到；由垂径定理得到的长，利用等边三角形的性质和勾股定理求出的长，再利用弧长公式求解即可．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴；
∵是的直径，弦于点，
∴，，
∴，
∴，
∴的长．
6．如图，在矩形中，点为上一点，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的周长为__________．
【答案】
【分析】由矩形性质得，，且，故为等腰直角三角形，，由，弧为半径 、圆心角的圆弧，再求出各段长度相加即可．
【详解】四边形是矩形，
，，，．
，
为等腰直角三角形，
，，
，
的长为．
阴影部分的周长为．
7．如图，已知．
(1)用直尺和圆规作出的外接圆O；
(2)若，，求的长度．
【答案】(1)圆O即为所求：
(2)
【分析】（1）三角形的外接圆圆心是三角形三边垂直平分线的交点，分别作线段的垂直平分线，相交于点O，以点O为圆心，的长为半径画圆即可；
（2）连接，，，设交于点D可得，根据等腰三角形三线合一性质得，可知为等边三角形，得到半径的长，再利用弧长公式计算即可．
【详解】（1）略
（2）解：如图：连接，，，设交于点D，
，
．
，，
垂直平分，是等腰三角形，
，
为等边三角形，
，
的长度为．
8．在矩形中，，，以为直径作半圆（如图1），点P为边上一点．将矩形沿折叠，使得点C的对应点E恰好落在边上（如图2）．
(1)求的度数；
(2)求阴影部分周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据矩形和折叠的性质可得，再由勾股定理求出的长，即可解答；
（2）设阴影部分所在的圆心为O，连接，根据阴影部分周长，即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，，
∴，，
由折叠的性质得：，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，设阴影部分所在的圆心为O，连接，
由（1）得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴阴影部分周长．
【题型2 】
9．蔚县剪纸艺人制作扇形剪纸，先剪一个半径为10，圆心角为的大扇形，再将其沿半径对折两次（每次对折后两边重合），得到一个小扇形．将小扇形展开后，在内部剪一个与它圆心相同、面积为其的更小扇形，则更小扇形的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查扇形面积公式的应用，同圆心角的扇形面积与半径的平方成正比，根据面积关系即可求出更小扇形的半径．
【详解】设裁剪出的更小扇形的半径为，折叠后的小扇形的半径．
∵扇形面积公式为，裁剪出的更小扇形与折叠后的扇形圆心角相同，
∴面积比等于半径平方的比，
又∵裁剪出的更小扇形面积是折叠后的扇形面积的，
∴，
代入得，
解得，半径为正，舍去负解，
因此裁剪出的更小扇形的半径为，
故选B．
10．如图，，分别切于点A，B，若，的长为，则的半径为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．30
【答案】B
【分析】连接，由切线定理及四边形内角和可得，然后根据弧长计算公式进行求解即可．
【详解】解：连接，如图所示：
∵，分别切于点A，B，
∴，
∵，且，
∴，
∵的长为，
∴，
解得：．
11．有一段弯道是圆弧形的，弯道长是12米，弧所对的圆心角是，则这段圆弧所在圆的半径R约是___________米（取3.14，结果保留小数点后一位）．
【答案】8.5
【分析】已知弧长和弧所对圆心角度数，利用弧长公式计算半径即可．
【详解】解：根据题意得，，
解得．
答：这段圆弧所在圆的半径R约是8.5米．
12．如图，扇形的圆心角为，其弧长是．
(1)求此弧所在圆的半径长；
(2)若将这个扇形制作成圆锥的侧面，则该圆锥的高是_______．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了弧长公式、求圆锥的高、勾股定理等知识，
（1）设此弧所在圆的半径长为，根据弧长公式可得，求解即可；
（2）结合（1）可知，设这个扇形制作成的圆锥底面半径为，根据圆的周长公式解得的值，进而可得，然后根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：设此弧所在圆的半径长为，
根据题意，可得，
解得；
（2）如图，结合（1）可知，
设这个扇形制作成的圆锥底面半径为，
则有，解得，即，
∴．
故答案为：．
【题型3 】
13．一滑轮装置如图，滑轮的半径为，假设绳索与滑轮之间没有滑动（取），当重物上升时，滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据弧长公式得到，即可得到答案．
【详解】解：重物上升，
故，
即，
解得，滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为．
14．如图，四边形是的内接四边形，的半径为4，的长为，则的大小是______．
【答案】/45度
【分析】连接，，根据弧长公式求出，再根据圆周角定理求出．
【详解】解：如图，连接，，
设，
∵的长为，
∴，
∴，
∴，
∴．
15．已知扇形，以为直径作半圆得到如图所示图形．如果阴影部分（甲）的面积是白色部分（乙）面积的倍，求扇形的圆心角度数．
【答案】
【详解】解：设，，
，，
，
，
，
，
．
【题型4 】
16．如图，在矩形中，，，将矩形按如图所示的方式在直线上进行两次旋转，则点在两次旋转过程中经过的路径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】第一次旋转是以为圆心，的长为半径旋转；第二次旋转是以为圆心，的长为半径旋转，根据弧长计算公式得出答案．
【详解】解：如图所示，连接，
∵在矩形中，，，，
∴，；
∴根据题意可知，点在两次旋转过程中经过的路径长为．
17．如图，的半径为，点为平面上一定点，，点为上任意一点．连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段；当点沿着圆周转动时，点所经过的路径长为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】通过旋转构造等腰直角三角形，结合平行四边形判定确定点C的轨迹圆半径及圆心角，然后再利用弧长公式求解即可．
【详解】解：如图：连接，作点D，使得为等腰直角三角形，，且D在的逆时针方向，将绕点O逆时针旋转得到，
∴，
∵将线段绕点逆时针旋转，得到线段，
∴，
∴，
∴ 四边形为平行四边形，
∴，
∴点C在以D为圆心，为半径的圆上运动，
∵点沿着圆周转动，即旋转，
∴旋转，即旋转，
∴点C转过的圆心角为，
∴点C经过的路径长为．
18．如图，一个长为，宽为的长方形木板斜靠在水平桌面上的一个小方块上，其长边与水平桌面成夹角，将长方形木板按逆时针方向做两次无滑动的翻滚，使其长边恰好落在水平桌面上，则木板上点滚动所经过的路径长为________．（结果保留π）
【答案】/
【分析】点滚动所经过的路径长由两段弧长组成，第一次翻滚是以点为圆心，长为半径，旋转角度为，第二次翻滚是以点为圆心，矩形对角线长为半径，旋转角度为，利用弧长公式计算即可．
【详解】解：由勾股定理得，矩形的对角线长为，
第一次翻滚，点经过的路径长为，
第二次翻滚，点经过的路径长为，
则点滚动所经过的路径长为．
19．如图，在中，，，．将绕点B顺时针旋转到的位置，使A，B，三点在同一条直线上，那么点A经过路径的长是多少？
【答案】
【分析】先得出点经过路径的长是的长，所在圆的圆心为，半径长为的长，再求出的长和的度数，利用弧长公式计算即可．
【详解】解：由题意可知，点经过路径的长是的长，所在圆的圆心为，半径长为的长，如图所示：
∵在中，，，，
∴，
由旋转的性质可知，，
∵，，三点在同一条直线上，
∴，
∴的长度为，
即点经过路径的长是．
20．在边长为1的正方形网格中如图所示：
(1)以点C为位似中心，作出的位似图形，使其位似比为．且位于点C的异侧，并表示出的坐标；
(2)作出绕点C顺时针旋转后的图形，并表示出的坐标；
(3)在（2）的条件下求出点B经过的路径长（结果保留π）．
【答案】(1)解：如图，即为所求：
点的坐标为；
(2)如图，即为所求：
点的坐标为；
(3)
【分析】（1）延长到使，延长到使，则满足条件；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点、，从而得到，即可解答．
（3）先计算出的长，然后根据弧长公式计算点B经过的路径长．
【详解】（1）解：图略，点的坐标为；
（2）解：图略，点的坐标为；
（3）解：，
点B经过的路径长．
【题型5 】
21．如图，为的直径，点在上，若，，则扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据圆周角定理可得，进而根据扇形面积公式求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
由题意得，的半径为6，
∴．
22．如图，在中，，、分别交于点、，为的直径，连接，若，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接，可得，从而得阴影部分的面积，结合扇形的面积公式即可求解．
【详解】解：连接，
∵为的直径，
∴，
∵在中，，
∴是的中线，
∵是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积，
∵，
∴，
∵四边形是圆的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴阴影部分的面积．
23．如图，在扇形中，，在弧上依次取点B，C，且．则图中两个阴影弓形面积和最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据等边对等角及三角形内角和定理，得出，作于，作于，根据三角函数得出，，根据，设，得出当即时，最大，此时阴影部分面积的和最小．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
作于，作于，
中，，
，
同理，
，
设，
，即，，
当，即时，最大，此时阴影部分面积的和最小，
此时，
∴，
∴，
∴．
24．如图，阴影部分是以点为圆心，分别以，为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为______（结果保留）．
【答案】
【分析】根据，利用扇形的面积公式求解即可．
【详解】解：
．
25．如图，分别以n边形的顶点为圆心，以为半径画圆，当时，则图中阴影部分的面积之和为______．（注：结果用含π的式子表示）
【答案】
【详解】解：当时，n边形的外角和为，
∴图中阴影部分的面积之和为
26．如图，是的直径，C为圆上一点，连接，，，若，，则图中阴影部分的面积为_____．
【答案】
【分析】三角形的中线将三角形分成两个面积相等的小三角形，即，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，得到，通过转化知道阴影部分面积等于扇形的面积，求出扇形的面积即可．
【详解】解：，
，
设阴影部分面积为，扇形的面积为，则，
，
，
．
27．如图，在中，，以为直径的交于点D，连接，已知，．
(1)求劣弧的长；
(2)求阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先根据等腰三角形性质求出，进而得到劣弧所对的圆心角的度数，再结合弧长公式（n为圆心角，r为半径）计算．
（2）观察图形可知，阴影部分的面积等于扇形的面积减去的面积，扇形面积利用公式（n为圆心角，r为半径）计算，三角形面积公式可通过辅助线作高进行计算．
【详解】（1）解：，
，
，
．
，
的半径为4，
的长．
（2）如图，过点D作于点H．
在中，，，
∴，则，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴．
28．如图，现有一圆心角为，半径为80厘米的扇形铁片，用它恰好围成一个圆锥形的量筒．如果用其他铁片再做一个圆形盖子把量筒底面密封（接缝都忽略不计），求：
(1)该圆形盖子的半径为多少厘米？
(2)制作这个密封量筒，共用铁片多少平方厘米（结果保留）？
【答案】(1)该圆形盖子的半径为20厘米．
(2)制作这个密封量筒，共用铁片平方厘米．
【分析】（1）先求出圆锥的底面周长，即为扇形的弧长，设圆锥底面圆的半径是r厘米，根据圆的周长公式即可求解；
（2）用侧面积加上底面积即可．
【详解】（1）解：圆锥的底面周长是（厘米）．
设圆锥底面圆的半径是r厘米，则，
解得．
答：该圆形盖子的半径为20厘米．
（2）解：（平方厘米）
答：制作这个密封量筒，共用铁片平方厘米．
【题型6 】
29．如图，将绕点逆时针旋转得到，阴影部分为线段扫过的区域，已知，，则阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．9
【答案】B
【分析】利用勾股定理求出，根据旋转的性质得出，，根据，利用扇形面积公式即可得出答案．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵将绕点逆时针旋转得到，
∴，，
∴
．
30．如图，一个半径为的小圆盘沿着一个直径为的大圆盘外侧做无滑动的滚动．当小圆盘的中心围绕大圆盘中心转动后，小圆盘运动过程中扫过的面积是___________．
【答案】
【分析】小圆盘运动过程中扫过的面积由两部分组成：一部分是一个圆环的面积的四分之一，另一部分是小圆盘自身的面积（起始位置和终止位置各露出半个小圆，合起来为一个完整的小圆），据此求解即可．
【详解】解：大圆半径为，小圆半径为，
圆环区域的外半径为，内半径为，
圆环的面积的四分之一为，
小圆的面积为，
故小圆盘运动过程中扫过的面积为．
31．如图所示，点，，对应的刻度分别为，，，将线段绕点按顺时针方向旋转，当点首次落在矩形的边上时，记为点，则此时线段扫过的图形的面积为__________．
【答案】
【分析】由题意可知，线段扫过的图形为一个扇形，半径为，先根据三角函数的定义求出，再根据扇形面积公式求解即可．
【详解】解：由题意得，，
由旋转的性质得，
∵四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴，
∴线段扫过的图形的面积为．
32．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
(1)画出将向左平移5个单位，再向下平移2个单位后的；
(2)画出将绕着点O逆时针旋转90°后的，并求线段扫过的图形的面积．（结果保留）
【答案】(1)解：如图，为所求；
(2)解：如图，为所求．
线段扫过的图形的面积为
【分析】（1）根据平移的方向和距离作图即可；
（2）根据旋转的性质作图即可．线段扫过的图形为以为半径，圆心角为的扇形，根据扇形的面积公式求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：由图可得，
线段扫过的图形的面积为．
33．图①，矩形纸片的边，，将矩形纸片沿对角线剪开，得到和．如图②，将绕点逆时针方向旋转，（，且）得到，过点作的平行线，过点作的平行线，两直线交于点．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)当时，求四边形的面积．
(3)当四边形有一个角是度时，直接写出线段扫过的面积．
【答案】(1)证明：，，
四边形是平行四边形，
由旋转可得，
四边形是菱形；
(2)
(3)线段扫过的面积为或或或
【分析】（1）由题意可得四边形是平行四边形，由旋转得，即可得证；
（2）根据勾股定理求出，当时，四边形是正方形，即可求解；
（3）分当时，当时，当时，当时，四种情况求解．
【详解】（1）略
（2）解：矩形纸片的边，，
，
当时，四边形是正方形，
四边形的面积为；
（3）当时，，线段扫过的面积为；
当时，，线段扫过的面积为，
当时，，则，线段扫过的面积为；
当时，，线段扫过的面积为；
线段扫过的面积为或或或．
【题型7 】
34．如图，在扇形中，，圆心角，是上的点，，则阴影部分的面积为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据圆周角定理求出，进而求出，利用阴影部分的面积等于求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴阴影部分的面积等于
．
35．如图，扇形的圆心角为直角，边长为1的正方形的顶点C、D、E分别在、、上，，交的延长线于点F．则图中阴影部分面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】阴影部分的面积正好等于长方形的面积，先根据正方形的性质求出扇形的半径，从而求出的长，即可求出长方形的面积．
【详解】解：连接，
∵正方形的边长为1，，
∴，，
∴，，，
，，
∵
∴，
∴四边形是矩形，
．
36．如图，长方形的面积是100平方厘米，M在边上，且，N在边上，且．那么，阴影部分的面积是______平方厘米．
【答案】
【分析】阴影部分面积等于长方形面积减去和的面积，根据已知比例关系，将转化为长方形长和宽的分数倍，利用三角形面积公式求解．
【详解】解：四边形是长方形 ，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
．
37．如图，在矩形中，以B为圆心，为半径画弧交于点C，连接，，的面积为1，则图中阴影部分的面积为_______．（结果保留π和根号）
【答案】
【分析】根据题意求得是等腰直角三角形，求得，，据此求解即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
．，
，的面积为1，
，
，
是等腰直角三角形，
，
∴，
，
，
∴图中阴影部分的面积．
38．如图，已知三角形为等腰直角三角形，米，以为圆心，8米长为半径画弧，以为直径作半圆，形成图形（阴影部分），此阴影部分的面积__________．（结果保留）
【答案】平方米
【分析】设与的交点为D，过点D作，垂足为O，连接，先证明，由等腰三角形三线合一的性质得出，再根据计算即可．
【详解】解：如图，设与的交点为D，过点D作，垂足为O，连接，
∵为直径，
∴，即，
∵三角形为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴米，
∴
平方米．
答：阴影部分的面积为平方米．
39．如图，为的直径，为的弦．的角平分线交于点．
(1)若，求的度数；
(2)若，求阴影部分的面积（结果保留）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）通过证明，进而得到，最终求得的度数；
（2）通过证明为等腰直角三角形并结合图形可知，阴影部分面积为圆面积减去，分别求解即可得到结果．
【详解】（1）解：为的直径，
，
．
，，
，
．
（2）解：为的直径且，
．
是的角平分线且，
．
，，
．
，
，
，
为等腰直角三角形，
阴影部分面积为圆面积减去，即，
即阴影部分面积为．
40．如图，是的弦，，垂足为，交于点，点在上，且，．
(1)求的长；
(2)求阴影部分的面积．
【答案】(1)3
(2)
【分析】（1）根据圆周角定理可得，再根据锐角三角函数可求出的长．即可求解；
（2）根据垂径定理可得，然后根据阴影部分的面积，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵是的弦，，，
∴，
由（1）得：，
∵，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积
【题型8 】
41．圆锥的底面半径是，母线长是，则圆锥的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】若圆锥的底面半径为，母线长为，则这个扇形的半径为，扇形的弧长为，圆锥的侧面积为．
【详解】解：由题意得，圆锥的侧面积为．
42．如图所示，一个蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱两部分组成，已知圆锥的高与底面圆的半径相等，底面圆的直径，则圆锥的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点P作于点E，根据勾股定理求出的长，再根据圆锥侧面积公式求解即可．
【详解】解：过点P作于点E，如图：
由题意得，，
∴
，
∴
．
43．草锅盖，又名盖顶，是一种以牛筋草、江边草和斑茅草为原材料进行编织缠绕的云南特有的传统草编工艺品．某兴趣小组根据草锅盖的特征制作了一个圆锥模型，圆锥底面圆的半径为，高为，如图所示，圆锥模型的侧面积为______．
【答案】
【分析】已知圆锥的底面半径和高，利用勾股定理求出母线长，再根据圆锥侧面积公式计算即可．
【详解】解：设圆锥的母线长为，
圆锥的底面半径，高，
母线长，
圆锥模型的侧面积为．
44．已知在中，，将绕边所在的直线旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥的全面积为_______．
【答案】
【分析】先利用勾股定理求出斜边的长度，确定旋转得到的圆锥的底面半径和母线长，再分别计算圆锥的侧面积和底面积，求和得到全面积．
【详解】解：∵ 在中，，，，
∴ 由勾股定理得 ．
将绕所在直线旋转一周后，得到的圆锥底面半径，
母线长，
圆锥的侧面积为 ，
圆锥的底面积为 ，
∴ 圆锥的全面积为 ．
45．锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间是一个圆柱（如图，单位：）．电镀时，如果每平方米用锌，要电镀100个这样的锚标浮筒，需要用多少锌（精确到）？（取）
【答案】
【分析】由图形可知，浮筒的表面积等于2个圆锥侧面积加上1个圆柱侧面积，由图形的数据可分别求出圆锥的侧面积和圆柱的侧面积，从而求得浮筒表面积，再结合每平方米用锌的量和浮筒数量即可求解．
【详解】解：由图形可知，圆锥、圆柱的底面圆的半径为，
圆锥的高为，圆柱的高为，
∴圆锥的母线长为；
∴圆锥的侧面积，
圆柱的侧面积，
∴浮筒的表面积；
∵每平方米用锌，
∴100个这样的锚标浮筒需用锌：
答：100个这样的锚标浮筒需用锌．
【题型9 】
46．如图，从一块直径是2的圆形铁皮上剪出一个扇形，将此扇形围成一个圆锥，则圆锥底面圆的半径是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用圆周角定理得到，利用勾股定理求得，设该圆锥底面圆的半径为r，根据扇形的弧长等于圆锥底面的周长，结合弧长公式列方程求解r值即可．
【详解】解：由图可知为的直径，
∴，
由题意，，，
由得，
设该圆锥底面圆的半径为r，
则，解得，即该圆锥底面圆的半径为．
47．如图，从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将余下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），则这个圆锥的高是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据弧长公式求出阴影扇形的弧长，根据圆的周长公式求出圆锥底面圆半径，再利用勾股定理求出圆锥的高．
【详解】解：如下图所示，
扇形的半径为，
，
阴影扇形的弧长是，
，
，
．
48．现有一个圆锥与一个圆柱，它们的高相等，其中一个图形的体积是，且底面半径为3，另一个图形体积是，则另一个图形的底面半径是______．
【答案】1或3
【分析】分两种情况讨论，即体积为的图形是圆柱或圆锥，分别利用圆柱和圆锥的体积公式计算公共高，再求解另一个图形的底面半径．
【详解】解：设两个图形的高都为h，另一个图形的底面半径为r，分两种情况计算：
①当体积的图形是圆柱，另一个图形为圆锥时：
∵圆柱体积公式为，已知，
∴，解得
∵圆锥体积公式为，已知，
∴，解得，半径为正，得；
②当体积的图形是圆锥，另一个图形为圆柱时：
∵圆锥体积公式为，已知，
∴，解得
∵圆柱体积公式为，已知，
∴，解得，半径为正，得
综上，另一个图形的底面半径为1或3．
49．圆锥绣球是虎耳草科绣球属植物，圆锥状聚伞花序尖塔形，其寓意着希望、永恒、美满与团聚．如图是按照其形状制作的圆锥绣球模型，其底面周长为，高度为，则此圆锥的侧面积为______（结果保留）
【答案】
【分析】本题考查了圆锥的计算，牢记公式是解题的关键．根据底面周长求得底面半径，然后利用勾股定理求出母线长，最后利用圆锥侧面积公式求解即可．
【详解】解：底面周长为，
，解得，
高度为，
母线长为，
此圆锥的侧面积为．
故答案为：．
50．如图，在扇形中，．
(1)尺规作图：作的中点（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，连接，，并且，交于点，若．
①求的长；
②如图，将如图中的扇形围成圆锥，，恰好重合，求圆锥的底面半径．
【答案】(1)答案见解析
(2)①；② 2
【分析】（1）尺规作图，作的角平分线，与的交点就是点C；
（2）①先求扇形的半径，再根据弧长公式计算即可；②设圆锥底面半径为r，根据圆锥底面周长等于扇形弧长，列方程计算即可．
【详解】（1）解：如下图，
分别以A、B为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧交于点E，连接，射线与交于点C，点C即为所求；
（2）①设扇形的半径为R，则，
，
，
是的中点，
，
，
，
在中，
，即，
解得：，
；
②设圆锥底面半径为r ，
，
，
圆锥的底面半径是2．
【题型10 】
51．如图，扇形是圆锥的侧面展开图，且扇形半径，圆心角，则此圆锥的高（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了扇形的弧长公式，勾股定理，先根据圆锥的侧面展开图，扇形的弧长等于该圆锥的底面圆的周长，求出，最后用勾股定理即可得出结论.
【详解】解：设圆锥底面圆的半径为r，
∵，，
∴，
∴，即，
在中，，
∴，
故选：B．
52．如图，若从半径为的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），则这个圆锥的高是____．
【答案】
【分析】本题主要考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥的计算方法进行求解是解决本题的关键．根据圆的周长公式计算出剪去圆周的一个扇形的周长，这个扇形的周长就是圆锥底面圆的周长，根据圆的周长公式计算出圆锥底面圆的半径，利用勾股定理求出圆锥的高即可．
【详解】解：半径为的圆，剪去圆周的一个扇形的弧长为，
设圆锥的底面半径为r，高为h，则母线，
则有，
解得：，
∴．
故答案为：．
53．如图，正六边形的边长为6，点，在上，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，求这个圆锥的高．
【答案】
【分析】本题考查了正多边形的内角，圆锥的侧面展开图的弧长与底面圆的关系，母线、底面圆的半径和圆锥的高构成直角三角形的关系，弄清弧长与圆锥的底面圆的周长的关系及母线、底面圆的半径和高的关系是解题的关键．根据正六边形的内角和，即可求得内角的度数，进而根据边长等于的半径，根据弧长公式求得弧的长，再根据底面圆的周长就是弧的长，求得底面圆的半径，进而根据母线、底面圆的半径和圆锥的高构成直角三角形，再求解即可．
【详解】解：∵正六边形的边长为6，
∴，
∴弧的长为：，
∵图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图．
∴弧的长即为圆锥底面的周长，
设圆锥底面圆的半径为，则，
解得：，
∴圆锥的高．
【题型11 】
54．圆锥的底面直径是，母线长，它的侧面展开图的圆心角是（ ）度．
A．60 B．120 C．160 D．240
【答案】C
【分析】由圆锥的底面直径算出圆锥底面周长（即侧面展开图扇形的弧长），设侧面展开图的圆心角为，利用扇形弧长公式代入母线长（即侧面展开图扇形的半径）列方程求解．
【详解】解：∵圆锥的底面直径为，
∴底面周长为，即侧面展开图扇形的弧长为，
∵圆锥母线长为，即侧面展开图扇形的半径为，
设侧面展开图的圆心角为，
则，
解得．
55．如图，圆锥的底面半径为3，母线长为12，一只蜘蛛从底面圆周上一点 出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点 的最短路程是（ ）
A．12 B．18 C． D．24
【答案】C
【分析】易得圆锥的底面周长也就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式即可求得侧面展开图的圆心角，进而构造直角三角形求得相应线段即可．
【详解】解：将圆锥的侧面展开成扇形，连接，则蜘蛛爬行的最短路程就是线段的长度．
由题意知，， ，
设，根据弧长公式可求，
则最短路程为：在中，．
56．已知圆锥的底面半径为，母线长为（如图），则圆锥的侧面展开图的圆心角为______ 度．
【答案】120
【分析】根据圆的周长公式求出圆锥的底面周长，根据弧长公式计算，得到答案．
【详解】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角为n度，
∵圆锥的底面半径为，
∴圆锥的底面周长为，即圆锥的侧面展开图扇形的弧长为，
则，
解得：．
57．编织草帽是云南各民族擅长的工艺，其中“云南十八怪”中就有“摘下草帽当锅盖”的顺口溜．某校九年级学生参加社会实践，学习编织草帽（该草帽为圆锥形，如图所示），若这种圆锥形草帽的母线长为36cm，底面圆的半径为20cm，该草帽展开为扇形，则这个扇形的圆心角的度数是_______ ．
【答案】
【分析】根据展开图的扇形的弧长等于圆锥底面周长计算．
【详解】解：设圆心角为，
∵母线长为36cm，底面圆半径为20cm，
∴，
解得：，
∴该圆锥侧面展开扇形圆心角度数为．
58．将纸杯展开后侧面形成如图所示扇环（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分），若的长为，，杯壁母线．
(1)如图所示，所要制作的纸杯规格要求：杯口直径为，杯底直径为，杯壁母线为（制作过程侧面展开图不允许有拼接）．则侧面展开图中所在的圆的半径为 ．
(2)试说明：扇环的面积．
(3)若用一张矩形纸片，按图的方式剪裁出（）中规格要求的纸杯，求这个矩形纸片的长与宽．
【答案】(1)；
(2)
设大扇形半径为，小扇形半径为，圆心角为，
则：，
∵，，
∴，
∴，
∴扇环的面积
；
(3)矩形长为，宽为．
【分析】（）设，所在圆的半径为，则所在圆的半径为，然后根据弧长公式得，，从而求解；
（）设大扇形半径为，小扇形半径为，圆心角为，则，然后由弧长，，得，再代入即可求解；
（）延长，交于点，连接，过点作于，交于，由（）知，从而可得和都为等边三角形，所以，然后通过勾股定理得，从而矩形长为，宽通过即可求解．
【详解】（1）解：设，所在圆的半径为，则所在圆的半径为，
∴，，
∴，，
故答案为：；
（2）略
（3）解：如图，延长，交于点，连接，过点作于，交于，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
由（）知：，
∵，，
∴和都为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴矩形长：，宽：，
所以矩形长为，宽为．
【点睛】本题主要考查了扇形的面积，弧长公式，矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，掌握知识点的应用及添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键．
【题型12 】
59．如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为2，一只蚂蚁在圆锥表面从点爬到的中点，最短路径长是（ ）cm
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查圆锥的侧面展开图，弧长公式，勾股定理，最短路径问题，正确求出圆锥的侧面展开图圆心角的大小是解题关键．由题意可求出圆锥的侧面展开图的圆心角大小，再结合勾股定理求解即可．
【详解】解：∵底面圆半径为2，
底面周长为，
圆锥的侧面展开图是一个扇形，设该扇形圆心角为，
根据题意有：，
解得：，如图，
∴，且为最短路径．
圆锥的母线长为，
，
∴，
故最短路径长是．
故选：D．
60．如图所示，圆锥的母线长，P为母线的中点，为圆锥底面圆的直径，两条母线、形成的平面夹角，在圆锥的曲面上，从点B到点P的最短路径长是________．
【答案】
【分析】求出圆锥底面圆的周长，则以为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以为半径的扇形，根据弧长公式求出展开后扇形的圆心角，求出展开后，连接，根据勾股定理求出即可．
【详解】解：∵，，
∴是等边三角形，
∴，
圆锥底面是以为直径的圆，圆的周长是，
以为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以为半径的扇形，弧长是，
设展开后的圆心角是，则，
解得：，
∴展开后，
，，
则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长就是展开后线段的长，
由勾股定理得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，平面展开-最短路线问题，勾股定理，弧长公式等知识点的应用，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
61．如图1，等腰三角形中，当顶角的大小确定时，它的对边（即底边）与邻边（即腰或）的比值也就确定了，我们把这个比值记作，即 ，当时，如．
(1) ， ，的取值范围是 ；
(2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：，）
【答案】(1)
(2)20.7
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和等腰三角形的性质进行计算即可；
（2）先根据圆锥的侧面展开图的知识和扇形的弧长公式计算，可求扇形的圆心角；再根据的定义即可解答．
【详解】（1）解：如图1，
，则，
∴，
如图2，
，作于D，则，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）解：∵圆锥的底面直径，
∴圆锥的底面周长为，即侧面展开图扇形的弧长为，
设扇形的圆心角为，
则，解得，
∵，
∴蚂蚁爬行的最短路径长为．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、圆锥的侧面展开图、弧长公式等知识点，掌握相关性质定理和的定义是解本题的关键．
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专题11 弧长和扇形面积（期中重难点复习）
【新教材人教版】
题型归纳
【题型1 求弧长】 1
【题型2 求扇形半径】 4
【题型3 求圆心角】 4
【题型4 求某点的弧形运动路径长度】 5
【题型5 求扇形面积】 6
【题型6 求图形旋转后扫过的面积】 9
【题型7 求其他不规则图形的面积】 10
【题型8 求圆锥侧面积】 12
【题型9 求圆锥底面半径】 13
【题型10 求圆锥的高】 15
【题型11 求圆锥侧面展开图的圆心角】 16
【题型12 圆锥侧面上最短路径问题】 17
【题型1 求弧长】
1．图①是中国古代女子主要裙式之一的马面裙，可以近似地看作扇环（如图②），已知裙长为米，的长度为米，圆心角，则裙摆的长为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
2．如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形．若将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在矩形中，，，对角线与交于点，点在过，，三点的圆弧上运动，当长取最小值时，与的长分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．如图，图1是边长为2的等边三角形铁丝框，按图2方式变形成以为圆心，长为半径的扇形（图形周长保持不变），则所得扇形的面积是________．
5．如图，是的直径，弦于点，连接，若，，则的长为______（结果保留）．
6．如图，在矩形中，点为上一点，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的周长为__________．
7．如图，已知．
(1)用直尺和圆规作出的外接圆O；
(2)若，，求的长度．
8．在矩形中，，，以为直径作半圆（如图1），点P为边上一点．将矩形沿折叠，使得点C的对应点E恰好落在边上（如图2）．
(1)求的度数；
(2)求阴影部分周长．
【题型2 】
9．蔚县剪纸艺人制作扇形剪纸，先剪一个半径为10，圆心角为的大扇形，再将其沿半径对折两次（每次对折后两边重合），得到一个小扇形．将小扇形展开后，在内部剪一个与它圆心相同、面积为其的更小扇形，则更小扇形的半径为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，，分别切于点A，B，若，的长为，则的半径为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．30
11．有一段弯道是圆弧形的，弯道长是12米，弧所对的圆心角是，则这段圆弧所在圆的半径R约是___________米（取3.14，结果保留小数点后一位）．
12．如图，扇形的圆心角为，其弧长是．
(1)求此弧所在圆的半径长；
(2)若将这个扇形制作成圆锥的侧面，则该圆锥的高是_______．
【题型3 】
13．一滑轮装置如图，滑轮的半径为，假设绳索与滑轮之间没有滑动（取），当重物上升时，滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为（ ）
A． B． C． D．
14．如图，四边形是的内接四边形，的半径为4，的长为，则的大小是______．
15．已知扇形，以为直径作半圆得到如图所示图形．如果阴影部分（甲）的面积是白色部分（乙）面积的倍，求扇形的圆心角度数．
【题型4 】
16．如图，在矩形中，，，将矩形按如图所示的方式在直线上进行两次旋转，则点在两次旋转过程中经过的路径长为（ ）
A． B． C． D．
17．如图，的半径为，点为平面上一定点，，点为上任意一点．连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段；当点沿着圆周转动时，点所经过的路径长为（ ）．
A． B． C． D．
18．如图，一个长为，宽为的长方形木板斜靠在水平桌面上的一个小方块上，其长边与水平桌面成夹角，将长方形木板按逆时针方向做两次无滑动的翻滚，使其长边恰好落在水平桌面上，则木板上点滚动所经过的路径长为________．（结果保留π）
19．如图，在中，，，．将绕点B顺时针旋转到的位置，使A，B，三点在同一条直线上，那么点A经过路径的长是多少？
20．在边长为1的正方形网格中如图所示：
(1)以点C为位似中心，作出的位似图形，使其位似比为．且位于点C的异侧，并表示出的坐标；
(2)作出绕点C顺时针旋转后的图形，并表示出的坐标；
(3)在（2）的条件下求出点B经过的路径长（结果保留π）．
【题型5 】
21．如图，为的直径，点在上，若，，则扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
22．如图，在中，，、分别交于点、，为的直径，连接，若，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
23．如图，在扇形中，，在弧上依次取点B，C，且．则图中两个阴影弓形面积和最小值为（ ）
A． B． C． D．
24．如图，阴影部分是以点为圆心，分别以，为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为______（结果保留）．
25．如图，分别以n边形的顶点为圆心，以为半径画圆，当时，则图中阴影部分的面积之和为______．（注：结果用含π的式子表示）
26．如图，是的直径，C为圆上一点，连接，，，若，，则图中阴影部分的面积为_____．
27．如图，在中，，以为直径的交于点D，连接，已知，．
(1)求劣弧的长；
(2)求阴影部分的面积．
28．如图，现有一圆心角为，半径为80厘米的扇形铁片，用它恰好围成一个圆锥形的量筒．如果用其他铁片再做一个圆形盖子把量筒底面密封（接缝都忽略不计），求：
(1)该圆形盖子的半径为多少厘米？
(2)制作这个密封量筒，共用铁片多少平方厘米（结果保留）？
【题型6 】
29．如图，将绕点逆时针旋转得到，阴影部分为线段扫过的区域，已知，，则阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．9
30．如图，一个半径为的小圆盘沿着一个直径为的大圆盘外侧做无滑动的滚动．当小圆盘的中心围绕大圆盘中心转动后，小圆盘运动过程中扫过的面积是___________．
31．如图所示，点，，对应的刻度分别为，，，将线段绕点按顺时针方向旋转，当点首次落在矩形的边上时，记为点，则此时线段扫过的图形的面积为__________．
32．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
(1)画出将向左平移5个单位，再向下平移2个单位后的；
(2)画出将绕着点O逆时针旋转90°后的，并求线段扫过的图形的面积．（结果保留）
33．图①，矩形纸片的边，，将矩形纸片沿对角线剪开，得到和．如图②，将绕点逆时针方向旋转，（，且）得到，过点作的平行线，过点作的平行线，两直线交于点．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)当时，求四边形的面积．
(3)当四边形有一个角是度时，直接写出线段扫过的面积．
【题型7 】
34．如图，在扇形中，，圆心角，是上的点，，则阴影部分的面积为（ ）．
A． B． C． D．
35．如图，扇形的圆心角为直角，边长为1的正方形的顶点C、D、E分别在、、上，，交的延长线于点F．则图中阴影部分面积是（ ）
A． B． C． D．
36．如图，长方形的面积是100平方厘米，M在边上，且，N在边上，且．那么，阴影部分的面积是______平方厘米．
37．如图，在矩形中，以B为圆心，为半径画弧交于点C，连接，，的面积为1，则图中阴影部分的面积为_______．（结果保留π和根号）
38．如图，已知三角形为等腰直角三角形，米，以为圆心，8米长为半径画弧，以为直径作半圆，形成图形（阴影部分），此阴影部分的面积__________．（结果保留）
39．如图，为的直径，为的弦．的角平分线交于点．
(1)若，求的度数；
(2)若，求阴影部分的面积（结果保留）．
40．如图，是的弦，，垂足为，交于点，点在上，且，．
(1)求的长；
(2)求阴影部分的面积．
【题型8 】
41．圆锥的底面半径是，母线长是，则圆锥的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
42．如图所示，一个蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱两部分组成，已知圆锥的高与底面圆的半径相等，底面圆的直径，则圆锥的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
43．草锅盖，又名盖顶，是一种以牛筋草、江边草和斑茅草为原材料进行编织缠绕的云南特有的传统草编工艺品．某兴趣小组根据草锅盖的特征制作了一个圆锥模型，圆锥底面圆的半径为，高为，如图所示，圆锥模型的侧面积为______．
44．已知在中，，将绕边所在的直线旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥的全面积为_______．
45．锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间是一个圆柱（如图，单位：）．电镀时，如果每平方米用锌，要电镀100个这样的锚标浮筒，需要用多少锌（精确到）？（取）
【题型9 】
46．如图，从一块直径是2的圆形铁皮上剪出一个扇形，将此扇形围成一个圆锥，则圆锥底面圆的半径是（ ）
A． B． C． D．
47．如图，从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将余下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），则这个圆锥的高是（ ）
A． B． C． D．
48．现有一个圆锥与一个圆柱，它们的高相等，其中一个图形的体积是，且底面半径为3，另一个图形体积是，则另一个图形的底面半径是______．
49．圆锥绣球是虎耳草科绣球属植物，圆锥状聚伞花序尖塔形，其寓意着希望、永恒、美满与团聚．如图是按照其形状制作的圆锥绣球模型，其底面周长为，高度为，则此圆锥的侧面积为______（结果保留）
50．如图，在扇形中，．
(1)尺规作图：作的中点（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，连接，，并且，交于点，若．
①求的长；
②如图，将如图中的扇形围成圆锥，，恰好重合，求圆锥的底面半径．
【题型10 】
51．如图，扇形是圆锥的侧面展开图，且扇形半径，圆心角，则此圆锥的高（ ）
A． B． C． D．
52．如图，若从半径为的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），则这个圆锥的高是____．
53．如图，正六边形的边长为6，点，在上，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，求这个圆锥的高．
【题型11 】
54．圆锥的底面直径是，母线长，它的侧面展开图的圆心角是（ ）度．
A．60 B．120 C．160 D．240
55．如图，圆锥的底面半径为3，母线长为12，一只蜘蛛从底面圆周上一点 出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点 的最短路程是（ ）
A．12 B．18 C． D．24
56．已知圆锥的底面半径为，母线长为（如图），则圆锥的侧面展开图的圆心角为______ 度．
57．编织草帽是云南各民族擅长的工艺，其中“云南十八怪”中就有“摘下草帽当锅盖”的顺口溜．某校九年级学生参加社会实践，学习编织草帽（该草帽为圆锥形，如图所示），若这种圆锥形草帽的母线长为36cm，底面圆的半径为20cm，该草帽展开为扇形，则这个扇形的圆心角的度数是_______ ．
58．将纸杯展开后侧面形成如图所示扇环（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分），若的长为，，杯壁母线．
(1)如图所示，所要制作的纸杯规格要求：杯口直径为，杯底直径为，杯壁母线为（制作过程侧面展开图不允许有拼接）．则侧面展开图中所在的圆的半径为 ．
(2)试说明：扇环的面积．
(3)若用一张矩形纸片，按图的方式剪裁出（）中规格要求的纸杯，求这个矩形纸片的长与宽．
【题型12 】
59．如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为2，一只蚂蚁在圆锥表面从点爬到的中点，最短路径长是（ ）cm
A． B． C． D．
60．如图所示，圆锥的母线长，P为母线的中点，为圆锥底面圆的直径，两条母线、形成的平面夹角，在圆锥的曲面上，从点B到点P的最短路径长是________．
61．如图1，等腰三角形中，当顶角的大小确定时，它的对边（即底边）与邻边（即腰或）的比值也就确定了，我们把这个比值记作，即 ，当时，如．
(1) ， ，的取值范围是 ；
(2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：，）
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