精品解析：上海师范大学附属外国语中学2025-2026学年高三第一学期期中考试数学试卷

上海师范大学附属外国语中学 2025学年高三第一学期数学期中考试卷 一、填空题（1-6题每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知全集，集合，则________． 【答案】 【解析】 【详解】，， 2. 不等式的解集为________. 【答案】 【解析】 【详解】由题意，，原不等式两边同乘，得 ，整理得，解得. 结合分母不为零，原不等式的解集为. 3. 若数列为首项为，公差为的等差数列，则________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意知，，， 可得． 4. 二项式的展开式中的系数是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由展开式通项公式可求出含的项的系数. 【详解】展开式的通项为， 令，得，所以展开式中的系数为. 故答案为：. 5. 已知复数，则________． 【答案】 【解析】 【详解】， . 6. 已知圆锥的高为8，底面半径为6，则该圆锥的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理求出母线长，再根据圆锥的侧面积公式求解即可. 【详解】因为圆锥的高为8，底面半径为， 所以圆锥的母线长为， 则圆锥的侧面积. 故答案为：. 7. 已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用抛物线的定义即可求解. 【详解】设点，由题意得：抛物线的准线方程为：， 所以，所以， 所以，所以， 所以点到轴的距离为. 8. 函数，的值域是______． 【答案】 【解析】 【分析】应用辅助角公式化简函数式，结合正弦型函数性质求值域. 【详解】由，且， 所以，则函数值域为. 故答案为： 9. 有5位家长带3位儿童去爬山，8个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，且每名儿童的前后必须是家长，则不同的排列种数有________种． 【答案】2880 【解析】 【分析】排列组合中的不相邻问题，采用插空法，先对5位家长全排列满足首尾为家长的要求，再将3位儿童插入家长之间的空隙保证每名儿童前后均为家长，结合分步乘法计数原理计算即可. 【详解】5位家长排成一排，共有种排法； 从4个空隙中选3个有种选法，把3位儿童放进3个空隙中有种； 10. 如图，圆O内接边长为1的正方形ABCD，P是弧BC（包括端点）上一点，则的取值范围为____________． 【答案】 【解析】 【详解】以为原点建立如图所示坐标系， 则，设，则， 则， 由题意知，圆的半径为． 因为点在弧（包括端点）上，所以， 所以的取值范围是． 11. 如图，要在和两地之间修建一条笔直的隧道，现在从地和地测量得到：，.则__________.（结果精确到） 【答案】. 【解析】 【分析】根据题意设，则.，在，，中，分别用正弦定理，得，，再相乘化简即可求解. 【详解】由题可得， 设，则. 由题意，在中，， 在中，， 在中，， 将上述三式相乘，得， 从而有， 得， 所以. 故答案为： 12. 已知圆，圆.直线、分别过圆心M、N，且与圆M相交于A、B两点，与圆N相交于C、D两点，点P是椭圆上任意一点，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用直径端点对应的向量关系，将数量积转化为点到圆心的距离平方，再结合椭圆方程求范围. 【详解】由于，所以 . 同理，. 设，由题意得， 所以， 即原式. 当时取到下界8，当时取到上界32，且中间各值均可取得. 二、选择题（13-14题每题4分，15-16题5分，共18分） 13. 如图，是正四棱台，则下列各组直线中属于异面直线的是（ ）． A. 和； B. 和； C. 和； D. 和． 【答案】D 【解析】 【分析】根据棱台的性质及直线与直线的位置关系即可判断. 【详解】因为是正四棱台，所以，故A错误， 侧棱延长交于一点，所以与相交，故B错误， 同理与也相交，所以四点共面，所以与相交，故C错误， 与是异面直线，故D正确. 故选：D 14. 下列关于幂函数的描述中，正确的是（ ） A. 幂函数的图象都经过点和； B. 幂函数的图象不经过第三象限； C. 若幂函数的图象过点，则它的图象也经过点. D. 当指数取1，3，时，幂函数是其定义域上的严格增函数； 【答案】D 【解析】 【分析】利用幂函数的性质判断每个选项即可. 【详解】选项A，当时，幂函数不过原点，故A错误； 选项B，当时，幂函数过第三象限，故B错误； 选项C，若幂函数的图象过点，则， 所以幂函数为，当时，此时，故C错误. 选项D，当，幂函数为，在定义域单调递增， 当，幂函数为，在定义域单调递增， 当，幂函数为，在定义域单调递增，故D正确； 故选：D 15. 若函数在区间上为增函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦的和角公式,将函数化简,结合的取值范围及区间上为增函数,即可求得的取值范围. 【详解】由正弦函数的和角公式,变形化简可得 因为在区间上为增函数 所以满足 解不等式组可得 又因为 所以当时, 即 故选:C 【点睛】本题考查了正弦函数的和角公式在三角函数式化简中的应用,根据函数单调区间求参数的取值范围,属于中档题. 16. 已知，则方程的实数根个数不可能为（ ） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 【答案】A 【解析】 【分析】作出的图象，令，由对勾函数的性质作出的图象，再对分类讨论，将问题转化为关于的方程（具体到每种类型时为常数）的解的个数问题. 【详解】因为， 当时，则在上单调递增，在上单调递减， 又，，， 当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且，，，，， 作出的图象，如图所示： 令，由对勾函数的性质可知在，上单调递减， 在，上单调递增，且，，则的图象如下所示： ①当时，令或， 则关于的方程有两个实数解，关于的方程的方程也有两个实数解， 即此时对应的个数为，（以下处理方法类似）； ②当时，令或或，此时对应的个数为6； ③当时， 令或或或， 此时对应的个数为； ④当时，或或或，此时对应的个数为； ⑤当时，或或，此时对应的个数为； ⑥当时，或，此时对应的个数为3； ⑦当时，，此时对应的个数为2. 综上可知，实数根个数不可能为5个. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题关键是作出的图象，再对分类讨论，将问题转化为关于的方程（具体到每种类型时为常数）的根的问题. 三、解答题（14+14+14+18+18=78分） 17. 如图，在直三棱柱中，所有棱长均为2，D是AB的中点． （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的正弦值． 【答案】（1） 如图，连接，交于点， 因为侧面是矩形，所以为的中点， 又因为为的中点，所以在中，是连接两边中点的中位线， 则，， 而平面，平面， 故平面. （2） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，所以异面直线与所成的角为（或其补角）。 因为直三棱柱中底面， 所以， ，， 则， 平面是边长为的等边三角形，为中点，故，， 在中，，，. 为中点，故， 在中，，，， 由（1）知为的中位线，故， 在中，三边为，，， 由余弦定理：， 因此， 即异面直线与所成角的正弦值为. 18. 已知函数是定义在R上的奇函数（）． （1）求的解析式； （2）求时，函数的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1） 利用定义在上的奇函数满足的性质求解参数，再验证奇函数定义即可得到解析式； （2）先化简的表达式，通过换元将其转化为二次函数在闭区间上的值域问题求解可得. 【小问1详解】 因为是定义在上的奇函数，所以，得，即，解得. 验证：当时，， 则，满足奇函数定义. 因此函数的解析式为 【小问2详解】 由（1）知， 所以. 令，因为，且是上的增函数，故. 所以函数转化为函数，， 因此函数在上的值域就等价于函数在上的值域. 因为函数是开口向上的二次函数，对称轴为， 当时，取得最小值， 又因为，，且， 所以函数的最大值为. 因此的值域为. 19. 为迎接我校校庆，社团联组织师生共同准备了书签及明信片这两种校庆纪念品，每种纪念品均分为手绘款和普通款两类.校庆当日，志愿者小玲负责在服务点发放纪念品.在做准备工作时，小玲清点了服务点已有的各类纪念品的份数，发现缺失手绘款明信片，准备向社团联申请补领，其余纪念品的份数如下表所示： 书签 明信片 手绘款 40 普通款 150 120 （1）设每位抵达的校友可以随机抽取1份纪念品，小玲补领了手绘款明信片50张.记事件：“首位抵达的校友抽到手绘款纪念品”，事件：“首位抵达的校友没有抽到明信片”，分别计算，并判断事件是否独立； （2）设每位抵达的校友可以随机抽取2份纪念品.若小玲希望事件：“首位抵达的校友恰好抽到一张明信片，且恰好抽到一份手绘款纪念品”发生的概率大于0.2，且考虑到纪念品总数有限，希望补领的手绘款明信片的张数尽可能地少，则她应该申请补领多少张手绘款明信片？ 【答案】（1），事件A，不独立 （2）59 【解析】 【分析】（1）根据概率公式求出、，根据相互独立事件的概率公式判断是否独立； （2）表示出首位抵达的校友恰好抽到一张明信片，且恰好抽到一份手绘款纪念品的概率，解不等式求解即可. 【小问1详解】 依题意， 书签 明信片 手绘款 40 50 普通款 150 120 ， ， ， 因为， 所以事件A，不独立. 【小问2详解】 设手绘款明信片的张数为，首位抵达的校友恰好抽到一张明信片，且恰好抽到一份手绘款纪念品为事件C， 则，解得， 考虑到纪念品总数有限，希望补领的手绘款明信片的张数尽可能地少，且为整数， 所以手绘款明信片的张数为59. 20. 过点的直线与双曲线的右支交于A、B两点，离心率为． （1）求的渐近线方程； （2）记的左顶点为C，求的取值范围； （3）若分别以点A、B为圆心的两圆有公共点R（R在x轴上），它们与x轴的另一交点分别记作点P、Q，记O为坐标原点，当时，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）由双曲线的标准方程可知，再由离心率可得，进而求出，再根据渐近线方程即可求解； （2）设直线与双曲线联立，首先利用双曲线与直线右支有两个交点得出的范围；然后利用韦达定理表示出结合的范围即可求解； （3）把用韦达定理表示出来，代入不等式求出的范围，再利用弦长公式表示出，最后利用导数判断函数单调性即可求出的取值范围． 【小问1详解】 由题意知双曲线，得，又离心率为，所以， 又，即，解得，又，所以， 故渐近线方程为； 【小问2详解】 由（1）可知双曲线的标准方程为：，设直线， 联立，可得， 直线与双曲线交于两点，需满足，此式恒成立； 设，由韦达定理可得：， 当时，与只有一个交点，故； 因为与右支有两个交点，所以，即， 解得，即， 故 ， 因为，所以， 故的取值范围为； 【小问3详解】 设，由题意可知， 由圆的性质易得， ， 即，整理得， 因为，所以，故，即， ， 令，则， 令，则 ， 当时，，所以在上单调递增， ，此时，即； ，此时，即； 故的取值范围为． 21. 函数的导函数记为，若对函数的定义域内任意实数，存在实数，使得不等式成立，则称函数为上的“函数”． （1）判断函数是否是上的“函数”，请说明理由； （2）若函数是上的“函数”，求实数的取值范围； （3）已知函数是上的“函数”．若对任意的，当时，都有成立，求实数的最大值． 【答案】（1）不是 由，得， ， 若是上的函数，则对任意，须满足， 即，亦即， 但当时，，不等式不成立， 故不是上的函数. （2） （3）的最大值为11 【解析】 【分析】（1）由函数的定义，将与分别求出后代入不等式，转化为判断与在上的大小关系是否恒成立； （2）由函数的定义，将条件化为在上恒成立，代入后整理为关于的函数恒非负问题，通过求导找最小值并令其非负，分类讨论解出； （3）先由函数的定义，将条件化为在[0,3]上恒成立，通过二次函数在闭区间上按对称轴位置分类讨论求出的取值范围；再将割线斜率问题通过换元转化为的割线斜率问题，由割线斜率下确界等于导数最小值，在的范围内求的最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，得，， 若是上的函数，则对任意，须满足 ， 整理得， 令，其中，注意，且， ，关于单调递增， 当时，，故对恒成立，在上单调递增，，满足条件， 当时，，而（），故存在唯一使，即，解得， 在上单调递减，在上单调递增，最小值为 ， 要使对恒成立，须，由于，故须，即， ，解得，即，故， 综上，实数的取值范围为. 【小问3详解】 由，得，， 若是上的函数，则对任意，须满足 ， 整理得，， 二次函数开口向上，对称轴为， 当，即时，在[0,3]上单调递增，最小值为，须，即，故， 当，即时，最小值在对称轴处取得： ， 须，即，解得，由于已在此范围内，故此区间全部满足， 当，即时，在[0,3]上单调递减，最小值为，须，即，故， 综上，的取值范围为， 对任意，，有， 令，则，，定义，则 ， 即在上任意两点割线斜率均大于， 在上的最小值， 令，则，记，，其对称轴为， 当时，，在[1,3]上单调递增，最小值为， 当时，，最小值在处取得，， 在上求的最大值： 当时，单调递减，最大值在处取得，； 当时，单调递减，最大值在处取得，， 故：的最大值为11. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海师范大学附属外国语中学 2025学年高三第一学期数学期中考试卷 一、填空题（1-6题每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知全集，集合，则________． 2. 不等式的解集为________. 3. 若数列为首项为，公差为的等差数列，则________． 4. 二项式的展开式中的系数是__________. 5. 已知复数，则________． 6. 已知圆锥的高为8，底面半径为6，则该圆锥的侧面积为______． 7. 已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为________． 8. 函数，的值域是______． 9. 有5位家长带3位儿童去爬山，8个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，且每名儿童的前后必须是家长，则不同的排列种数有________种． 10. 如图，圆O内接边长为1的正方形ABCD，P是弧BC（包括端点）上一点，则的取值范围为____________． 11. 如图，要在和两地之间修建一条笔直的隧道，现在从地和地测量得到：，.则__________.（结果精确到） 12. 已知圆，圆.直线、分别过圆心M、N，且与圆M相交于A、B两点，与圆N相交于C、D两点，点P是椭圆上任意一点，则的取值范围为________. 二、选择题（13-14题每题4分，15-16题5分，共18分） 13. 如图，是正四棱台，则下列各组直线中属于异面直线的是（ ）． A. 和； B. 和； C. 和； D. 和． 14. 下列关于幂函数的描述中，正确的是（ ） A. 幂函数的图象都经过点和； B. 幂函数的图象不经过第三象限； C. 若幂函数的图象过点，则它的图象也经过点. D. 当指数取1，3，时，幂函数是其定义域上的严格增函数； 15. 若函数在区间上为增函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 16. 已知，则方程的实数根个数不可能为（ ） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 三、解答题（14+14+14+18+18=78分） 17. 如图，在直三棱柱中，所有棱长均为2，D是AB的中点． （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的正弦值． 18. 已知函数是定义在R上的奇函数（）． （1）求的解析式； （2）求时，函数的值域． 19. 为迎接我校校庆，社团联组织师生共同准备了书签及明信片这两种校庆纪念品，每种纪念品均分为手绘款和普通款两类.校庆当日，志愿者小玲负责在服务点发放纪念品.在做准备工作时，小玲清点了服务点已有的各类纪念品的份数，发现缺失手绘款明信片，准备向社团联申请补领，其余纪念品的份数如下表所示： 书签 明信片 手绘款 40 普通款 150 120 （1）设每位抵达的校友可以随机抽取1份纪念品，小玲补领了手绘款明信片50张.记事件：“首位抵达的校友抽到手绘款纪念品”，事件：“首位抵达的校友没有抽到明信片”，分别计算，并判断事件是否独立； （2）设每位抵达的校友可以随机抽取2份纪念品.若小玲希望事件：“首位抵达的校友恰好抽到一张明信片，且恰好抽到一份手绘款纪念品”发生的概率大于0.2，且考虑到纪念品总数有限，希望补领的手绘款明信片的张数尽可能地少，则她应该申请补领多少张手绘款明信片？ 20. 过点的直线与双曲线的右支交于A、B两点，离心率为． （1）求的渐近线方程； （2）记的左顶点为C，求的取值范围； （3）若分别以点A、B为圆心的两圆有公共点R（R在x轴上），它们与x轴的另一交点分别记作点P、Q，记O为坐标原点，当时，求的取值范围． 21. 函数的导函数记为，若对函数的定义域内任意实数，存在实数，使得不等式成立，则称函数为上的“函数”． （1）判断函数是否是上的“函数”，请说明理由； （2）若函数是上的“函数”，求实数的取值范围； （3）已知函数是上的“函数”．若对任意的，当时，都有成立，求实数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $