上海市闵行区上海师范大学附属中学闵行分校2026-2027学年高三上学期期中考试数学试卷

2026学年第一学期上师闵行分校期中考试 高三数学试卷 一、填空题（共12小题） 1.{4,5}2.(0,2)]3.π-arctan24.25.k+1=56.87.21 0, 3 0, 6 g.（-0,lh2-8] 10.2211.5V5 12.( 3 二、选择题（共4小题） 13.C14.D15.B16.C 三、解答题（共5小题） 17.解析：(1)AD=1,AB=2,∠DAB=60° 由余弦定理BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos60°=4+1-2=3，BD=V3, 所以AB2=AD2+BD,所以∠ADB=90°，即AD⊥BD: 因为BCI∥AD,所以BC⊥BD: 又PD⊥底面ABCD,PDC平面PBD,故PD⊥BC: BD∩PD=D,BD,PDC平面PBD,所以BC⊥平面PBD: (2)建立如图所示空间直角坐标系： 个2 怎aa停0qau 设平面PB0的一个法向量为元=(x,八2) 5 2y-32=0 -x+ 2 x=23 z=4V3→{y=6 2 z=0 令 z=4V5 所以i=(256,45)】 d-Pan 12 3 所以A到平面PBQ的距离 V-25+36+48v6 因为PD=BD=V5,所以PB=V6 -x-xIxv6-16 1√631 4=3×464. -X ,所以 18.解析：)f（-x)=a+ka,x∈R 当k=1时，f()=f(四，为偶函数： 当k=-1时，f（)=-f(x),为奇函数； 其他k值时，()≠土(x),非奇非偶， (2)由f(0)=1+k=0→k=-1 60=a-a-0-30-1030-2 负根舍去) 故f(x)=2*-2 因为2递增、2递减，故()在R上单调递增，且f(x)为奇函数， 原不等式即恤(-6刃》-f(-n)=fa）.n(?-6)<int [t2-6<t t>0→t∈(V6,3 t2-6>0 所以 19.解析：(1)各组频率为0.02×5=0.10、0.07×5=0.35、 0.05×5=0.25、0.04×5=0.20、0.02×5=0.10 平均年龄=22.5×0.10+27.5×0.35+32.5×0.25+37.5×0.20+42.5×0.10： =2.25+9.625+8.125+7.5+4.25=31.75(岁)： (2)第四组抽取0.20×20=4人，第五组抽取0.10×20=2人 共6人（含甲、乙）：从6人中任选2名，C%=15种 “甲、乙都未选中”即从其余4人中选2名，C=6种， =1- 63 故所求概率 -155； =0.2×36+0.1×42=38 (3)3545岁两组的频率之比为0.20.1=21，总平均数 0.3 88-登-刘-ej]-0 20.解析：(1)短轴长2得b=1 2得.+41→a2=4 代入 x2 故C:4 +y2=1 6长，-g0+%)-好 (2)(i) 2(x-xo)(x+x)x号-x P、S都在椭圆上， y2=1- 4 乃=号因 故 4,所以 4为定值： yo (i)T为PR中点，则 To:2)在线段S0上 +%3y_3k =kr=2 故 x+x04x。4 由(i) 女意安 k 射线P指向左下、射线PS指向右下(k<0) 故∠QPS为钝角，∠QPS=180°-B,其中0是直线P与PS的锐角夹角 tano= -5制+ -《+3_32+l≥2v5k-V5 +kk1- 12k-2k 3 当3k2=1即3时取等号 0260PZ0P四s20当k是时ZQ四程大传 此时直线P过原点、斜率为3； 所以直线P的方程为 =3x,即x-5y=0. e2+e<0 21.解析：（1)对f()=e:取=-2=1，-司 ，不满足 故不具有性质P: 对8()=x:+石 4 (不同时为零) 故具有性质P: (2)先证()单调递增：任取x>y,令=x,=-y,则+为=x-y>0, 由性质P得()+f(-)>0,即f()-f(y)>0, 于是f(2a+l)+f(a)>0 即f(2a+)>-f(a)=f(-a) 由单调性得 2a+1>-a→a>-3 (3)由y=f()具有性质P知： 当x>0时f()+f(o)>0,当x<0时f()+f(O)<0, 因为函数y=f()的图象是一条连续曲线，所以∫(O)+f(O)=0,即f(O)=0, 下面用反证法证明y=f()是奇函数， 假设存在使得f(:)+f(名)≠0，不妨设)≥0， 则由y=f(x)在R上是严格增函数有f(:)>f(O)>f(x) 若f()+f(-)>0,则构造函数 函影F()=f)-)小-f() F0)=/0)-f)f6)-fo)f）+0+rx)<0 2 2 Fk)=f)-f),f）_+f=)0 2 2 由零点存在定理知存在∈(0，），使得F(①)=0， 0=) 2 因为'=f()在R上是严格蜡函数，所以 f()-f(x) f)上f）-f）1f)+f(x>0 2 t-Xo t-Xo 2 t-xo f()+f(-x) f()-fo】+f-x)1f)+f<0 2 t+(-x) t-Xo 2 t-xo y=f(~)具有性质P矛盾.所以y=f()是奇函数。 2026学年第一学期上师闵行分校期中考试 高三数学试卷 一、填空题（共12小题） 1．已知集合，，则______． 2．不等式的解集为______． 3．若是直线的一个法向量，则直线的倾斜角大小为______． 4．若（是虚数单位），则复数的虚部是______． 5．二项式的展开式中常数项为第______项． 6．已知两个正数，的几何平均值为2，则的最小值为______． 7．将10个数据按照从小到大的顺序排列如下：11，15，17，，23，26，27，34，37，38，若该组数据的40%分位数为22，则______． 8．若是一个三角形的内角，且函数在区间上是单调函数，则的取值范围是______． 9．已知函数，，如果对任意，，都有成立，则实数的取值范围是______． 10．已知四棱柱的底面是矩形，，，，为棱的中点，则______． 11．草坪上有一个带有围栏的边长为的正三角形活动区域，点在边上，且，小王同学在该区域玩耍，他在处放置了一个手电筒，若手电筒发出的光线张角（任两条光线的最大夹角）为60°，则手电筒在内部所能照射到的地面的最大面积为______． 12．已知椭圆：（）的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合，是椭圆的左焦点，是与的公共点，若，则椭圆的离心率的取值范围为______． 二、选择题（共4小题） 13．已知，为非零实数，且，则下列命题一定成立的是（ ） A． B． C． D． 14．若是空间中的一条直线，，是空间中两个相互垂直的平面，则“”是“”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 15．某同学制作了一个质地均匀的正四面体形骰子，在其中三个面上分别写上一个数字1、2、3，第四个面写了三个数字1，2，3，随机抛掷一次，事件表示向下的面上有数字1，事件表示向下的面上有数字2，事件表示向下的面上有数字3，则（ ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立 16．若数列、均为严格增数列，且对任意正整数，都存在正整数，使得，则称数列为数列的“数列”．已知数列的前项和为，则下列选项中为假命题的是（ ） A．存在等差数列，使得是的“数列” B．存在等比数列，使得是的“数列” C．存在等差数列，使得是的“数列” D．存在等比数列，使得是的“数列” 三、解答题（共5小题） 17．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，且底面． （1）证明：平面； （2）若为的中点，求三棱锥的体积． 18．已知函数（，）． （1）讨论的奇偶性； （2）若，，不等式恒成立，求的取值范围． 19．某调研机构为了了解人们对航天知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“我爱星辰大海”航天知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄； （2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者．若有甲（年龄38）、乙（年龄40）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选中的概率； （3）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这人中35~45岁所有人的年龄的方差． 20．已知椭圆：（）的短轴长为2，且过点，设点为椭圆在第一象限内一点． （1）求椭圆方程； （2）点关于原点的对称点为，点，点为椭圆上的点，线段交线段于．记直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为， （ⅰ）求证：为定值： （ⅱ）若为中点，则当最大时，求直线方程． 21．若函数满足：对任意，，，都有，则称函数具有性质． （1）设，，分别判断与是否具有性质？并说明理由； （2）已知定义在上的奇函数具有性质，求关于的不等式的解； （3）已知函数具有性质，且图像是一条连续曲线，若在上是严格增函数，求证：是奇函数． 学科网（北京）股份有限公司 $