第07讲-因动点产生的相似三角形问题-专题讲义 2027年人教版中考数学二轮复习

因动点产生的相似三角形问题 人教版中考数学二轮复习 · 第07讲 · 专题讲义（含解析） 例题解析 例1．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在x轴负半轴上，顶点C在x轴正半轴上，顶点B在第一象限，过点B作BD⊥y轴于点D，线段OA，OC的长是一元二次方程x2﹣12x+36＝0的两根，BC＝4，∠BAC＝45°． （1）求点A，C的坐标； （2）反比例函数y的图象经过点B，求k的值； （3）在y轴上是否存在点P，使以P，B，D为顶点的三角形与以P，O，A为顶点的三角形相似？若存在，请写出满足条件的点P的个数，并直接写出其中两个点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）解一元二次方程x2﹣12x+36＝0，求出两根即可得到点A，C的坐标； （2）过点B作BE⊥AC，垂足为E，由∠BAC＝45°可知AE＝BE，设BE＝x，用勾股定理可得CE，根据AE+CE＝OA+OC，解方程求出BE，再由AE﹣OA＝OE，即可求出点B的坐标，然后求出k的值； （3）分类讨论，根据相似三角形对应边成比例求出点P的坐标． 【解答】解：（1）解一元二次方程x2﹣12x+36＝0，解得：x1＝x2＝6， ∴OA＝OC＝6， ∴A（﹣6，0），C（6，0）； （2）如图1，过点B作BE⊥AC，垂足为E， ∵∠BAC＝45°， ∴AE＝BE， 设BE＝x， ∵BC＝4， ∴CE， ∵AE+CE＝OA+OC， ∴x12， 整理得：x2﹣12x+32＝0， 解得：x1＝4（不合题意舍去），x2＝8 ∴BE＝8，OE＝8﹣6＝2， ∴B（2，8）， 把B（2，8）代入y，得k＝16． （3）存在． 如图2，若点P在OD上，若△PDB∽△AOP， 则， 即 解得：OP＝2或OP＝6 ∴P（0，2）或P（0，6）； 如图3，若点P在OD上方，△PDB∽△AOP， 则， 即， 解得：OP＝12， ∴P（0，12）； 如图4，若点P在OD上方，△BDP∽△AOP， 则， 即， 解得：OP＝4+2或OP＝4﹣2（不合题意舍去）， ∴P（0，4+2）； 如图5，若点P在y轴负半轴，△PDB∽△AOP， 则，即，解得：OP＝﹣4+2或﹣4﹣2（不合题意舍去），则P点坐标为（0，4﹣2） ∴点P的坐标为：（0，2）或（0，6）或（0，12）或（0，4+2）或（0，4﹣2）． 综上所述，满足条件的点P有5个，坐标为：（0，2）或（0，6）或（0，12）或（0，4+2）或（0，4﹣2）． 例2．已知直线y＝﹣x+3分别交x轴、y轴于A，B两点，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为t秒．线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动，它与点P以相同速度同时出发，当点P到达点A时两点同时停止运动（如图）． （1）直接写出t＝1秒时C，Q两点的坐标； （2）若以Q，C，A为顶点的三角形与△AOB相似，求t的值． 【分析】（1）根据直线方程求得A点的坐标，从而求得OA的长度；然后根据点P、Q两点的运动距离即可求得点C、Q的横坐标；将点C的横坐标代入直线方程即可求得点C的纵坐标； （2）需要分类讨论：①当△AQC∽△AOB时，点P与点Q重合，OQ＝OP；②当△ACQ∽△AOB时，△AOB、△ACQ都是等腰直角三角形，AQ＝2CP． 【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+3分别交x轴、y轴于A，B两点， ∴令y＝0，则x＝3，即A（3，0）． ∴OA＝3； ∵点P运动1秒钟， ∴OP＝1， ∵点C在直线AB上， ∴yc＝﹣1+3＝2， ∴C（1，2）， ∵点Q运动时间是1秒钟，且在x轴上， ∴AQ＝1， ∴OQ＝OA﹣AQ＝2， ∴Q（2，0）．综上所述，C（1，2），Q（2，0）； （2）由题意得：P（t，0），C（t，﹣t+3），Q（3﹣t，0）． 分两种情况讨论： 情形一：当△AQC∽△AOB时，∠AQC＝∠AOB＝90°， ∴CQ⊥OA， ∵CP⊥OA， ∴点P与点Q重合，OQ＝OP， 即3﹣t＝t，∴t＝1.5； 情形二：当△ACQ∽△AOB时，∠ACQ＝∠AOB＝90°， ∵OA＝OB＝3， ∴△AOB是等腰直角三角形， ∴△ACQ也是等腰直角三角形． ∵CP⊥OA， ∴AQ＝2CP， 即t＝2（﹣t+3），∴t＝2． ∴满足条件的t的值是1.5秒或2秒． 例3．已知，如图在直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC所在直线的解析式为y1． （1）求线段AC的长和∠ACO的度数； （2）动点P从点C开始在线段CO上以每秒个单位长度的速度向点O移动，动点Q从点O开始在线段OA上以每秒1个单位长度的速度向点A移动，（P、Q两点同时开始移动）设P、Q移动的时间为t秒． ①设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出当t为何值时，S有最小值； ②是否存在这样的时刻t，使得△OPQ与△BCP相似，并说明理由； （3）在坐标平面内存在这样的点M，使得△MAC为等腰三角形且底角为30°，写出所有符合要求的点M的坐标． 【分析】（2）①S△PBQ＝S﹣S△POQ﹣S△PBC，而△PQO与△PBC的面积可以用时间t表示出来，就可以求出S与t之间的函数关系式．②△OPQ与△BCP相似，应分△OPQ∽△CBP与△OPQ∽△CPB两种情况进行讨论．根据对应边的比相等，就可以求出函数的解析式．（3）△MAC为等腰三角形且底角为30°，应分AC是底边与腰两种情况进行讨论． 【解答】解：（1）令x＝0得y0+1＝1 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 ∴A点坐标为（0，1） 令y＝0得0x+1＝1 ∴xC点坐标为（，0） ∴AC2 在Rt△AOC中， ∵tan∠ACO ∴∠ACO＝30° 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 （2）P、Q两点同时开始移动t秒时 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 ①∵OQ＝t，PCt ∴S△POQ|OP|×|OQ|（1﹣t）t S△PBC|CP|×|BC|t×1 ∵S△PBQ＝S﹣S△POQ﹣S△PBC ∴S△PBQ ∴当t时，S△PBQ最小值为． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 ②i假设存在△OPQ∽△CBP ∴ ∴t1＝0（舍去），t2 ii△OPQ∽△CPB ∴ ∴t3，t4（舍去）； （3）M1（，0），M2（，1），M3（，﹣2），M4（2，1），M5（0，3），M6（，0）． 例4．如图，P为正方形ABCD的对称中心，A（0，3），B（1，0），直线OP交AB于N，DC于M，点H从原点O出发沿x轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点R从O出发沿OM方向以个单位每秒速度运动，运动时间为t．求： （1）C的坐标为　（4，1）　； （2）当t为何值时，△ANO与△DMR相似？ （3）△HCR面积S与t的函数关系式；并求以A、B、C、R为顶点的四边形是梯形时S的值． 【分析】（1）过C作CE⊥x轴于E，易证得△ABO≌△BCE，可得AO＝BE、OB＝CE，由此求出点C的坐标． （2）RH∥y轴，即R、H的横坐标相同； 由于AB∥CD，得∠DMR＝∠ANO，若△ANO与△DMR相似，则： 由于直线OP经过正方形的对称中线，因此OP平分∠AOB，即∠AOP＝45°，由于AB∥CD，故∠ANO＝∠DMO，若△ANO与△DMR相似，则有两种情况： ①∠DRM＝45°，此时DR∥y轴，即点R、D、H的横坐标都相同，由此求出点H的坐标； ②∠RDM＝45°，此时R、P重合，因此R、H的横坐标相同，由此求出点H的坐标． （3）①首先用t表示出PH的长，由于PH与y轴平行，可以PH为底、H、C的横坐标差的绝对值为高求出S的表达式，即可得S、t的函数关系式；要注意的是在表示高的过程中，要分H在C点左侧和H点在C点右侧两种情况讨论． ②此题应分三种情况讨论： 一、CR∥AB，此时R、M重合，可求出直线CD的解析式，联立直线OP的解析式，即可求得M点（即R）的坐标，进而得到H点坐标和t的值，然后再将t代入①的函数解析式中即可得到S的值； 二、AR∥BC，三、BR∥AC，解法同上． 【解答】解：（1）过C作CE⊥x轴于E； 由于四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝90°； 易证得△ABO≌△BCE， 则AO＝BE＝3，OB＝CE＝1， ∴C（4，1）；（2分） 同理可求，D（3，4）． （2）由于P是正方形的对称中心，由A（0，3），C（4，1）， 可得P（2，2）； 则∠MOE＝45°，又ORt，OH＝t，所以RH∥y轴，即R、H的横坐标相同； 由于AB∥CD，得∠DMR＝∠ANO，若△ANO与△DMR相似，则： ①当∠MDR＝45°时，R、P重合，此时R（2，2），故t＝2，点H（2，0）； ②当∠DRM＝45°时，DR∥y轴，此时R（3，3），故t＝3，点H（3，0）； 所以当t＝2或t＝3时，△ANO与△DMR相似． 例4．如图，P为正方形ABCD的对称中心，A（0，3），B（1，0），直线OP交AB于N，DC于M，点H从原点O出发沿x轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点R从O出发沿OM方向以个单位每秒速度运动，运动时间为t．求： （1）C的坐标为　（4，1）　； （2）当t为何值时，△ANO与△DMR相似？ （3）△HCR面积S与t的函数关系式；并求以A、B、C、R为顶点的四边形是梯形时S的值． 【解答】解：（3）①分两种情况： 一、0＜t≤4，H在E点左侧； 易知RH＝t，HE＝4﹣t，故SRH•HEt（4﹣t）t2+2t； 二、t＞4，H在E点右侧； 易知RH＝t，HE＝t﹣4，故SRH•HEt（t﹣4）t2﹣2t； ②若以A、B、C、R为顶点的四边形是梯形，分三种情况： 一、CR∥AB；此时R、M重合， 由C（4，1），D（3，4），可求得直线CD：y＝﹣3x+13； 当x＝y时，﹣3x+13＝x，解得x； 即M（即R）点横坐标为，H（，0）； 故t，代入St2+2t（0＜t≤4）可得S； 同理可求得： 二、AR∥BC时，t，S； 三、BR∥AC时，t，S； 综合①②可得： St2+2t（0＜t≤4）；（1分）St2﹣2t（t＞4）． 当CR∥AB时，t，（1分）S； 当AR∥BC时，t，S； 当BR∥AC时，t，S． 例5．定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点． （1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM＝2，MN＝3，求BN的长； （2）如图2，在△ABC中，FG是中位线，点D，E是线段BC的勾股分割点，且EC＞DE≥BD，连接AD，AE分别交FG于点M，N，求证：点M，N是线段FG的勾股分割点； （3）已知点C是线段AB上的一定点，其位置如图3所示，请在BC上画一点D，使点C，D是线段AB的勾股分割点（要求尺规作图，保留作图痕迹，画一种情形即可）； （4）如图4，已知点M，N是线段AB的勾股分割点，MN＞AM≥BN，△AMC，△MND和△NBE均为等边三角形，AE分别交CM，DM，DN于点F，G，H，若H是DN的中点，试探究S△AMF，S△BEN和S四边形MNHG的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）①当MN为最大线段时，由勾股定理求出BN；②当BN为最大线段时，由勾股定理求出BN即可； （2）先证出点M、N分别是AD、AE的中点，得出BD＝2FM，DE＝2MN，EC＝2NG，求出EC2＝BD2+DE2，得出NG2＝FM2+MN2，即可得出结论； （3）在AB上截取CE＝CA；作AE点垂直平分线，截取CF＝CA；作BF的垂直平分线，交AB于D即可； （4）先证明△DGH≌△NEH，得出DG＝EN＝b，MG＝c﹣b，再证明△AGM∽△AEN，得出比例式，得出c2＝2ab﹣ac+bc，证出c2＝a2+b2，得出a＝b，证出△DGH≌△CAF，得出S△DGH＝S△CAF，证出S△DMN＝S△ACM+S△ENB，即可得出结论． 【解答】（1）解：①当MN为最大线段时， ∵点 M、N是线段AB的勾股分割点， ∴BN； ②当BN为最大线段时， ∵点M、N是线段AB的勾股分割点， ∴BN， 综上所述：BN或； （2）证明：∵FG是△ABC的中位线， ∴FG∥BC， ∴1， ∴点M、N分别是AD、AE的中点， ∴BD＝2FM，DE＝2MN，EC＝2NG， ∵点D、E是线段BC的勾股分割点，且EC＞DE≥BD， ∴EC2＝BD2+DE2， ∴（2NG）2＝（2FM）2+（2MN）2， ∴NG2＝FM2+MN2， ∴点M、N是线段FG的勾股分割点； （3）解：作法：①在AB上截取CE＝CA； ②作AE的垂直平分线，并截取CF＝CA； ③连接BF，并作BF的垂直平分线，交AB于D；点D即为所求；如图所示： （4）解：S四边形MNHG＝S△AMF+S△BEN，理由如下： 设AM＝a，BN＝b，MN＝c， ∵H是DN的中点， ∴DH＝HNc， ∵△MND、△BNE均为等边三角形， ∴∠D＝∠DNE＝60°， 在△DGH和△NEH中， ， ∴△DGH≌△NEH（ASA）， ∴DG＝EN＝b， ∴MG＝c﹣b， ∵GM∥EN， ∴△AGM∽△AEN， ∴， ∴c2＝2ab﹣ac+bc， ∵点 M、N是线段AB的勾股分割点， ∴c2＝a2+b2， ∴（a﹣b）2＝（b﹣a）c， 又∵b﹣a≠c， ∴a＝b， 在△DGH和△CAF中， ， ∴△DGH≌△CAF（ASA）， ∴S△DGH＝S△CAF， ∵c2＝a2+b2， ∴c2a2b2， ∴S△DMN＝S△ACM+S△ENB， ∵S△DMN＝S△DGH+S四边形MNHG，S△ACM＝S△CAF+S△AMF， ∴S四边形MNHG＝S△AMF+S△BEN． 课堂练习 1．如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是　3秒或4.8秒　． 【解答】解：如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似， 则AD＝t，CE＝2t，AE＝AC﹣CE＝12﹣2t． ①当D与B对应时，有△ADE∽△ABC． ∴AD：AB＝AE：AC， ∴t：6＝（12﹣2t）：12，∴t＝3； ②当D与C对应时，有△ADE∽△ACB． ∴AD：AC＝AE：AB， ∴t：12＝（12﹣2t）：6，∴t＝4.8． 故当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒． 2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝60°，BC＝24，点P是BC边上的动点（点P与点B、C不重合），过动点P作PD∥BA交AC于点D．若△ABC与△DAP相似，则∠APD＝　60°或30　°． 【解答】解：如右图所示， ①∵△ABC∽△DAP， ∴∠APD＝∠BCA， ∴∠APD＝60°． ②∵△ABC∽△DPA， ∴∠DPA＝∠B＝30°，故答案是60°或30°． 3．直角坐标系中，动点P从点A（0，6）开始，在线段OA上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B（8，0）开始，在线段BA上以每秒2个单位的速度向点A移动．设点P、Q移动的时间为t秒，问：t为何值时△APQ与△AOB相似？ 【分析】本题要分两种情况进行讨论：①△APQ∽△AOB；②△AQP∽△AOB．根据相似三角形的性质得出关于t的方程，即可求出此时t的值． 【解答】解：AB＝10，AP＝t，AQ＝10﹣2t； 根据题意，有两种不同的对应： ①△APQ∽△AOB，有 ∴秒 ②△AQP∽△AOB，有（列出一种得（2分），两种得4分） 秒时，（算对一个得（1分），共2分） 4．如图，抛物线y＝ax2+bx+1与x轴交于两点A（﹣1，0），B（1，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）过点B作BD∥CA抛物线交于点D，求四边形ACBD的面积； （3）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，过M作MN⊥x轴于点N，使以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（3）易知OA＝OB＝OC＝1，那么△ACB是等腰直角三角形，由于AC∥BD，则∠CBD＝90°；根据B、C的坐标可求出BC、BD的长，进而可求出它们的比例关系；若以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似，那么两个直角三角形的对应直角边应该成立，可据此求出△AMN两条直角边的比例关系，连接抛物线的解析式即可求出M点的坐标． 【解答】解：（1）依题意，得：，解得；∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+1； （2）易知A（﹣1，0），C（0，1），则直线AC的解析式为：y＝x+1； 由于AC∥BD，可设直线BD的解析式为y＝x+h，则有：1+h＝0，h＝﹣1； ∴直线BD的解析式为y＝x﹣1；联立抛物线的解析式得： ，解得，；∴D（﹣2，﹣3）； ∴S四边形ACBD＝S△ABC+S△ABD2×12×3＝4； （3）∵OA＝OB＝OC＝1， ∴△ABC是等腰Rt△； ∵AC∥BD， ∴∠CBD＝90°； 易求得BC，BD＝3；∴BC：BD＝1：3； 由于∠CBD＝∠MNA＝90°，若以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似，则有： △MNA∽△CBD或△MNA∽△DBC，得： 或3；即MNAN或MN＝3AN； 设M点的坐标为（x，﹣x2+1）， ①当x＞1时，AN＝x﹣（﹣1）＝x+1，MN＝x2﹣1； ∴x2﹣1（x+1）或x2﹣1＝3（x+1） 解得x，x＝﹣1（舍去）或x＝4，x＝﹣1（舍去）；∴M点的坐标为：M（，）或（4，﹣15）； ②当x＜﹣1时，AN＝﹣1﹣x，MN＝x2﹣1； ∴x2﹣1（﹣x﹣1）或x2﹣1＝3（﹣x﹣1） 解得x，x＝﹣1（两个都不合题意，舍去）或x＝﹣2，x＝﹣1（舍去）；∴M（﹣2，﹣3）； 故存在符合条件的M点，且坐标为：M（，）或（4，﹣15）或（﹣2，﹣3）． 5．如图，已知抛物线过点A（0，6），B（2，0），C（7，）． （1）求抛物线的解析式； （2）若D是抛物线的顶点，E是抛物线的对称轴与直线AC的交点，F与E关于D对称，求证：∠CFE＝∠AFE； （3）在y轴上是否存在这样的点P，使△AFP与△FDC相似？若有请求出所有符和条件的点P的坐标；若没有，请说明理由． 【分析】（1）设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，将A、B、C三点坐标代入，列方程组求抛物线解析式； （2）求直线AC的解析式，确定E点坐标，根据对称性求F点坐标，分别求直线AF，CF的解析式，确定两直线与x轴的交点坐标，判断两个交点关于抛物线对称轴对称即可； （3）存在．由∠CFE＝∠AFE＝∠FAP，△AFP与△FDC相似时，顶点A与顶点F对应，根据△AFP∽△FDC，△AFP∽△FCD，两种情况求P点坐标． 【解答】（1）解：设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，将A、B、C三点坐标代入，得 ，解得，∴抛物线解析式为yx2﹣4x+6； （2）证明：设直线AC的解析式y＝mx+n， 将A、C两点坐标代入，得，解得， ∴yx+6， ∵yx2﹣4x+6（x﹣4）2﹣2，∴D（4，﹣2），E（4，4）， ∵F与E关于D对称， ∴F（4，﹣8），则直线AF的解析式为yx+6，CF的解析式为yx﹣22， ∴直线AF，CF与x轴的交点坐标分别为（，0），（，0）， ∵44，∴两个交点关于抛物线对称轴x＝4对称，∴∠CFE＝∠AFE； （3）解：存在．设P（0，d），则AP＝|6﹣d|，AF2， FD＝﹣2﹣（﹣8）＝6，CF， ∵∠PAF＝∠CFD，∴点P位于点A的下方， 当△AFP∽△FDC时，，即，解得d， 当△AFP∽△FCD时，，即，解得d＝﹣2， ∴P点坐标为（0，）或（0，﹣2）． 家庭作业 1．我们把两条中线互相垂直的三角形称为“称为中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形均称为“中垂三角形”，设BC＝a，AC＝b，AB＝c． 特例探索 （1）如图1，当∠ABE＝45°，c＝2时，a＝　2　，b＝　2　． 如图2，当∠ABE＝30°，c＝4时，a＝　2　，b＝　2　． 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得到AP＝BPAB＝2，根据三角形中位线的性质，得到EF∥AB，EFAB，再由勾股定理得到结果； （2）连接EF，设∠ABP＝α，类比着（1）即可证得结论． （3）连接AC交EF于H，设BE与AF的交点为P，由点E、G分别是AD，CD的中点，得到EG是△ACD的中位线于是证出BE⊥AC，由四边形ABCD是平行四边形，得到AD∥BC，AD＝BC＝2，∠EAH＝∠FCH根据E，F分别是AD，BC的中点，得到AE＝BF＝CFAD，证出四边形ABFE是平行四边形，证得EH＝FH，推出EH，AH分别是△AFE的中线，由（2）的结论得即可得到结果．或构造出“中垂三角形”，利用（2）结论计算即可． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 【解答】解：（1）∵AF⊥BE，∠ABE＝45°， ∴AP＝BPAB＝2， ∵AF，BE是△ABC的中线， ∴EF∥AB，EFAB， ∴∠PFE＝∠PEF＝45°， ∴PE＝PF＝1， 在Rt△FPB和Rt△PEA中， AE＝BF， ∴AC＝BC＝2， ∴a＝b＝2， 如图2，连接EF， 同理可得：EF4＝2， ∵EF∥AB， ∴△PEF～△ABP， ∴， 在Rt△ABP中， AB＝4，∠ABP＝30°， ∴AP＝2，PB＝2， ∴PF＝1，PE， 在Rt△APE和Rt△BPF中， AE，BF， ∴a＝2，b＝2， 故答案为：2，2，2，2； 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 归纳证明 （2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式． 拓展应用 【解答】解：（2）猜想：a2+b2＝5c2， 如图3，连接EF， 设∠ABP＝α， ∴AP＝csinα，PB＝ccosα， 由（1）同理可得，PFPA，PE， AE2＝AP2+PE2＝c2sin2α，BF2＝PB2+PF2c2cos2α， ∴c2sin2α，c2cos2α， ∴c2cos2α+c2sin2α， ∴a2+b2＝5c2； 拓展应用 （3）如图4，在▱ABCD中，点E、F、G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD＝2，AB＝3，求AF的长． 【解答】解：（3）如图4，连接AC，EF交于H，AC与BE交于点Q，设BE与AF的交点为P， 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 ∵点E、G分别是AD，CD的中点， ∴EG∥AC， ∵BE⊥EG， ∴BE⊥AC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC＝2， ∴∠EAH＝∠FCH， ∵E，F分别是AD，BC的中点， ∴AEAD，BFBC， ∴AE＝BF＝CFAD， ∵AE∥BF， 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 ∴四边形ABFE是平行四边形，∴EF＝AB＝3，AP＝PF， 在△AEH和△CFH中， ，∴△AEH≌△CFH，∴EH＝FH， ∴EP，AH分别是△AFE的中线， 由（2）的结论得：AF2+EF2＝5AE2， ∴AF2＝5EF2＝16，∴AF＝4． 或连接F与AB的中点M，证MF垂直BP，构造出“中垂三角形”，因为AB＝3，BFAD＝根号5，根据上一问的结论，直接可求AF． 2．如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点C在y轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA的点D处．已知折痕CE＝5，且tan∠EDA． （1）判断△OCD与△ADE是否相似？请说明理由； （2）求直线CE与x轴交点P的坐标； （3）是否存在过点D的直线l，使直线l、直线CE与x轴所围成的三角形和直线l、直线CE与y轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由． 【分析】（2）本题的关键是求出C、E点的坐标，根据∠EDA的正切值，可设AE＝3t，那么DA＝4t，DE＝5t．则OC＝AE+BE＝AE+DE＝8t，进而可根据（1）的相似三角形得出的关于OC、CD、AD、DE的比例关系式，来求出CD的值，然后可在直角三角形CDE中求出t的值，即可得出AE、BC的长，即确定了E点的坐标，然后根据C，E两点的坐标求出直线CE的解析式，即可求得直线CE与x轴交点P的坐标． （3）应该有两条如图 ①直线BF，根据折叠的性质可知CE必垂直平分BD，那么∠DGP＝∠CGF＝90°，而∠CFG＝∠DPG（都是∠OCP的余角），由此可得出两三角形相似，那么可根据B、D两点的坐标求出此直线的解析式．②直线DN，由于∠FCP＝∠NDO，那么可根据∠OCE即∠BEC的正切值，求出∠NDO的正切值，然后用OD的长求出ON的值，即可求出N点的坐标，然后根据N、D两点的坐标求出直线DN的解析式． 【解答】解：（1）△OCD与△ADE相似． 理由如下： 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 由折叠知，∠CDE＝∠B＝90°， ∴∠CDO+∠EDA＝90°， ∵∠CDO+∠OCD＝90°， ∴∠OCD＝∠EOA． 又∵∠COD＝∠DAE＝90°， ∴△OCD∽△ADE． （2）∵tan∠EDA， ∴设AE＝3t，则AD＝4t， 由勾股定理得DE＝5t， ∴OC＝AB＝AE+EB＝AE+DE＝3t+5t＝8t． 由（1）△OCD∽△ADE，得， ∴， ∴CD＝10t． 在△DCE中，∵CD2+DE2＝CE2， ∴（10t）2+（5t）2＝（5）2， 解得t＝1． ∴OC＝8，AE＝3，点C的坐标为（0，8）， 点E的坐标为（10，3）， 设直线CE的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得 ∴yx+8，则点P的坐标为（16，0）． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 （3）满足条件的直线l有2条：y1＝﹣2x+12，y2＝2x﹣12． 如图：准确画出两条直线． 3．阅读理解： 如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点． 解决问题： （1）如图1，∠A＝∠B＝∠DEC＝55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由； （2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E； 拓展探究： （3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系． 【分析】（1）要证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明△ADE∽△BEC，所以问题得解． （2）根据两个直角三角形相似得到强相似点的两种情况即可． （3）因为点E是梯形ABCD的AB边上的一个强相似点，所以就有相似三角形出现，根据相似三角形的对应线段成比例，可以判断出AE和BE的数量关系，从而可求出解． 【解答】解：（1）点E是四边形ABCD的边AB上的相似点． 理由：∵∠A＝55°，∴∠ADE+∠DEA＝125°． ∵∠DEC＝55°， ∴∠BEC+∠DEA＝125°． ∴∠ADE＝∠BEC．（2分） ∵∠A＝∠B，∴△ADE∽△BEC． ∴点E是四边形ABCD的AB边上的相似点． （2）作图如下： 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 （3）∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点， ∴△AEM∽△BCE∽△ECM， ∴∠BCE＝∠ECM＝∠AEM． 由折叠可知：△ECM≌△DCM， ∴∠ECM＝∠DCM，CE＝CD， ∴∠BCE∠BCD＝30°， ∴BECEAB． 在Rt△BCE中，tan∠BCEtan30°， ∴， ∴ 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 因动点产生的相似三角形问题 人教版中考数学二轮复习 · 第07讲 · 专题讲义（学生版） 例题解析 例1．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在x轴负半轴上，顶点C在x轴正半轴上，顶点B在第一象限，过点B作BD⊥y轴于点D，线段OA，OC的长是一元二次方程x2﹣12x+36＝0的两根，BC＝4，∠BAC＝45°． （1）求点A，C的坐标； （2）反比例函数y的图象经过点B，求k的值； （3）在y轴上是否存在点P，使以P，B，D为顶点的三角形与以P，O，A为顶点的三角形相似？若存在，请写出满足条件的点P的个数，并直接写出其中两个点P的坐标；若不存在，请说明理由． 例2．已知直线y＝﹣x+3分别交x轴、y轴于A，B两点，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为t秒．线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动，它与点P以相同速度同时出发，当点P到达点A时两点同时停止运动（如图）． （1）直接写出t＝1秒时C，Q两点的坐标； （2）若以Q，C，A为顶点的三角形与△AOB相似，求t的值． 例3．已知，如图在直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC所在直线的解析式为y1． （1）求线段AC的长和∠ACO的度数； （2）动点P从点C开始在线段CO上以每秒个单位长度的速度向点O移动，动点Q从点O开始在线段OA上以每秒1个单位长度的速度向点A移动，（P、Q两点同时开始移动）设P、Q移动的时间为t秒． ①设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出当t为何值时，S有最小值； ②是否存在这样的时刻t，使得△OPQ与△BCP相似，并说明理由； （3）在坐标平面内存在这样的点M，使得△MAC为等腰三角形且底角为30°，写出所有符合要求的点M的坐标． 例4．如图，P为正方形ABCD的对称中心，A（0，3），B（1，0），直线OP交AB于N，DC于M，点H从原点O出发沿x轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点R从O出发沿OM方向以个单位每秒速度运动，运动时间为t．求： （1）C的坐标为　 　； （2）当t为何值时，△ANO与△DMR相似？ （3）△HCR面积S与t的函数关系式；并求以A、B、C、R为顶点的四边形是梯形时S的值． 例5．定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点． （1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM＝2，MN＝3，求BN的长； （2）如图2，在△ABC中，FG是中位线，点D，E是线段BC的勾股分割点，且EC＞DE≥BD，连接AD，AE分别交FG于点M，N，求证：点M，N是线段FG的勾股分割点； （3）已知点C是线段AB上的一定点，其位置如图3所示，请在BC上画一点D，使点C，D是线段AB的勾股分割点（要求尺规作图，保留作图痕迹，画一种情形即可）； （4）如图4，已知点M，N是线段AB的勾股分割点，MN＞AM≥BN，△AMC，△MND和△NBE均为等边三角形，AE分别交CM，DM，DN于点F，G，H，若H是DN的中点，试探究S△AMF，S△BEN和S四边形MNHG的数量关系，并说明理由． 课堂练习 1．如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是　 　． 2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝60°，BC＝24，点P是BC边上的动点（点P与点B、C不重合），过动点P作PD∥BA交AC于点D．若△ABC与△DAP相似，则∠APD＝　 　°． 3．直角坐标系中，动点P从点A（0，6）开始，在线段OA上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B（8，0）开始，在线段BA上以每秒2个单位的速度向点A移动．设点P、Q移动的时间为t秒，问：t为何值时△APQ与△AOB相似？ 4．如图，抛物线y＝ax2+bx+1与x轴交于两点A（﹣1，0），B（1，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）过点B作BD∥CA抛物线交于点D，求四边形ACBD的面积； （3）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，过M作MN⊥x轴于点N，使以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，已知抛物线过点A（0，6），B（2，0），C（7，）． （1）求抛物线的解析式； （2）若D是抛物线的顶点，E是抛物线的对称轴与直线AC的交点，F与E关于D对称，求证：∠CFE＝∠AFE； （3）在y轴上是否存在这样的点P，使△AFP与△FDC相似？若有请求出所有符和条件的点P的坐标；若没有，请说明理由． 家庭作业 1．我们把两条中线互相垂直的三角形称为“称为中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形均称为“中垂三角形”，设BC＝a，AC＝b，AB＝c． 特例探索 （1）如图1，当∠ABE＝45°，c＝2时，a＝　 　，b＝　 　． 如图2，当∠ABE＝30°，c＝4时，a＝　 　，b＝　 　． 归纳证明 （2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式． 拓展应用 （3）如图4，在▱ABCD中，点E、F、G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD＝2，AB＝3，求AF的长． 2．如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点C在y轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA的点D处．已知折痕CE＝5，且tan∠EDA． （1）判断△OCD与△ADE是否相似？请说明理由； （2）求直线CE与x轴交点P的坐标； （3）是否存在过点D的直线l，使直线l、直线CE与x轴所围成的三角形和直线l、直线CE与y轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由． 3．阅读理解： 如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点． 解决问题： （1）如图1，∠A＝∠B＝∠DEC＝55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由； （2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E； 拓展探究： （3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $