第31章 解题方法专练 作相似三角形的常用辅助线-【学海风暴】2026-2027学年九年级下册数学同步教学(教师用书)(人教版·新教材)

解题方法专题 作相似三角形的常用辅助线 题型① 作平行线 题型② 作延长线 1.如下图，在△ABC中，点E在边BC上，且 3.如右图，在□ABCD中， BE=3EC,D是边AC的中点，AE,BD交 连接AC,点E是边BC 于点R求的位 上一点，EF⊥AC,CE= 解：如图，过点E作EH∥AC交BD BE,且∠BAE=90.若 于点H, AE 4 EF EH BE △BEH∽△BCD,CD=BC AB=3求AF的值. EH 3EC 3 解：如图，延长DC,AE交于点G BE=3ECCD=C 在□ABCD中，AB∥CD, :D是AC的中点，AD=CD, ∠BAE=90°， .EH 3 .∠BAE=∠CGE=90° “D4 ∠BEA=∠CEG, :EH∥AD,∴.△AFD△EFH,心EF=EH=3 AF AD 4 △ABEO△GCE,…0-0-是 设AE=4k,AB=3k. 2.如下图，□ABCD的对角线AC,BD相交于 CE= 能提-8器-品-2 点O,EF经过点O,分别交AB,CD于点E, 期2-益-c= 3k F,FE的延长线交CB的延长线于点M. 2,GE=2k, ..AG=AE+GE=4k+2k=6k. (1)求证：OE=OF D :∠AFE=∠AGC=90°，∠EAF=∠CAG, (2)若AD=4,AB=6,BM 3k =1,求BE的长. EF CG 2 1 △EAF△CAG,AF=AG=6=4 解：(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， .OA=OC,AB/∥CD,∠OAE=∠OCF. ∠OAE=∠OCF, 在△AOE和△C0F中，OA=OC, 题型③ 作垂线 ∠AOE=∠COF. 4.如右图，在△ABC中， .△AOE≌△C0F(ASA),.OE=OF. (2)如图，过点0作ON∥BC交AB ∠ACB=90°，AC=BC= 于点N,则△AONc∽△ACB, 4,D为BC边上一点（与点 碧器-0 B,C不重合)，连接AD.过点C作CE⊥ 04=0C,C=2' 0A1 AD交AB于点E,设CD=a. (1)求证：∠CAD=∠BCE. lc= 0N= -2AD=2.AN=BN= 24B=3. i证明：(1)：∠ACB=90°，∠CAD+∠ADC=90°. CE⊥AD,.∠BCE+∠ADC=90°， ON NE :ON/BC,△ONE△MBE,B-BE ·∠CAD=∠BCE. 子-3解得E1 下册第三十一章 13企 (2)当a=3时，求BE的长. 题型④ 作中线、中位线 6.如右图，口ABCD的对角 解：(2)如图，过点E作EF⊥BC 点F, 线交于点O,OF交BC 则∠CFE=90° 于点E,交AB的延长线 AC=BC,∠B=∠BAC=45°， 于点F.若AB=a,BC=b,BF=c,求BE .∠BEF=90°-∠B=45°=∠B,.EF=BF. 的长 设BF=x,则EF=x,CF=BC-BF=4-x. ∠ACD=90°，.∠ACD=∠CFE=90. 解：如图，取AB的申点G,连 h(1)知∠CAD=∠BCE,.△ACD∽△CFE, 接0G, 4 则OC是△ABC的中位线， AC CD 4=3 b 心C行一E,即，户x=了，解得x=1.经检验，x=】 0G三2BC ,GB= 是原分式方程的解且符合题意， AB=员 1 BF=EF=1,∴BE=2. 在△FOG中，由题意可得OG∥EB、.△FEB Co△FOG. 5-8E FG·G0= FB be 5.如右图，四边形ABCD c+2a+2e 2 是矩形，对角线AC与 BD交于点O,过点B 作BE⊥AC于点E,作 7.如右图，在△ABC中，AB⊥ BF⊥BD交AC的延长线于点F.求证： AC于点A,AE⊥BC于点 (1)△OBE∽△OFB. E,点D在AC边上.若BD= (2)OC·CF=EC·OF. DC=EC=1,求AC的长. 证明：(1)BE⊥AC,BF⊥BD, 解：如图，取BC的中点M,连 ∴∠OEB=∠OBF=90. 接AM. '∠EOB=∠BOF, AB⊥AC,∴，AM=CM .△OBE∽△OFB. (2)如图，过点C作CG⊥BF 2Bic. 于点G,则∠CGF=∠OBF ·∠MAC=∠C =90°， BD=DC,∠DBC=∠C,.∠MAC=∠DBC .OB∥CG,∴.△FCG X∠C=∠C,∴△MAC△DBC,C=BC .MC AC GC CF GC △FOB,0=OF,甲C OF,四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD交于 BO DC=1,MC-BC.2.AC-MC BC DC=2BC.① AC EC 易i证Rt△AECOOR△BAC,小BC=AC 点O,.0B=OD= 2BD,0C=O4=1 C.BD= EC=1,∴AC2=EC·BC=BC.② AC,∴OB=OC,∴.∠OBC=∠OCB,∠OBF= ∠BEF=90°，.∠CBF+∠OBC=90°，∠CBE+ hO@,4C=}C,解得AC=2或0（不合道盒. ∠OCB=90°，.∠CBF=∠CBE,即BC平分∠EBF. 含去)，4C=2. .GC=EC OC CGLBF .CE LBE.GC=ECCF=CF-OF .OC·CF=EC·OF 14 九年级数学RJ版.ON-7BC-ZAD-2.AN-BN-ZAB-3. ,ON∥BC,.△ONEC∽△MBE, 器谣 即2=3-BE T=BE,解得BE=1. 3.解：如图，延长DC,AE交于点G. ·在□ABCD中，AB∥CD, ∠BAE=90, ∴.∠BAE=∠CGE=90° ∠BEA=∠CEG, .△ABEn△GCE, 部器器 设AE=4k,AB=3k. CE=专BE, 提器品-， 瓷 =2, GC=3 GE=2k, ..AG=AE+GE=4k+2k=6k. :∠AFE=∠AGC=90°，∠EAF=∠CAG, ∴.△EAF∽△CAG, 3k 4.解：(1)证明：，∠ACB=90°，∠CAD+∠ADC=90°， ,CE⊥AD,.∠BCE+∠ADC=90°， .∠CAD=∠BCE. (2)如图，过点E作EF⊥BC于点F, 则∠CFE=90°. :AC=BC,∴∠B=∠BAC=45°， .∠BEF=90°-∠B=45°=∠B,.EF=BF. 设BF=x,则EF=x,CF=BC-BF=4-x. .∠ACD=90°，.∠ACD=∠CFE=90° 由(1)知∠CAD=∠BCE,.△ACD∽△CFE, 4 =3 人S-沿即·解得x=1.经检验，x) 是原分式方程的解且符合题意， .BF=EF=1,.BE=√2. 5.证明：(1)BE⊥AC,BF⊥BD, .∠OEB=∠OBF=90. :∠EOB=∠BOF,∴.△OBE∽△OFB. (2)如图，过点C作CG⊥BF于点G,则∠CGF= ∠OBF=90°， .OB∥G, 九年级数学RJ版 .△FCG∽△FOB, GC CFGC BO BO-OF,即CF=OF ·四边形ABCD是矩形，对角 线AC与BD交于点O, ∴.OB=OD= BD.OC-OA-TAC.BD-AC. .OB=OC,.∠OBC=∠OCB. ,∠OBF=∠BEF=90°， .∠CBF+∠OBC=90°，∠CBE+∠OCB=90°， ∴∠CBF=∠CBE,即BC平分∠EBF. ,CG⊥BF,CE⊥BE ∴.GC=EC, .GC EC OC CF-CF-OF' ∴.OC·CF=EC·OF. 6.解：如图，取AB的中点G,连 接OG, 则OG是△ABC的中位线， b OG=2 BC=2 GB= 2AB=2 在△FOG中，由题意可得OG∥EB, △FRO△R0G85-得 BE=eG0=。 FB b bc a c十2 2a+2c 7.解：如图，取BC的中点M,连接AM. ,AB⊥AC, 六AM=CM=2BC, ∴.∠MAC=∠C. .BD=DC, ∴.∠DBC=∠C, ∴.∠MAC=∠DBC. 又∠C=∠C, ∴.△MAC∽△DBC, 瓷能 DC-1.MC-BC, .Ac-MCBCBc DC 易证Rt△AEC∽Rt△BAC, 瓷肥 :EC=1,.AC2=EC·BC=BC.② 由①@，得AC=号AC,解得AC-万或0（不合题意， 舍去)，.AC=2. 31.3相似三角形的应用 第1课时相似三角形在测量中的应用 1.A2.A 3.解：(1)如图，过点E作EH ⊥CD于点H,交AB于点 J,则四边形EFBJ、四边形 EFDH都是矩形， ∴.FE=BJ=DH=1.5m, F BB FB=EJ=2 m,BD=JH= 23m,.EH=EJ十JH=2+23=25(m). AB=2.5m,.AJ=AB-BJ=2.5-1.5=1(m). ,AJ∥CH,∴.△EAJ∽△ECH, 品品需cH=125m… 12 ∴.CD=CH+DH=12.5+1.5=14(m), .大楼的高度CD为14m. (2)0.5 【解析】(2)如图，连接EG,过点A作AA'∥BD,交EG 于点A',过点A'作A'B'⊥BD于点B',交EH于 点R. AR/GH.△AERGEI10-器， 六.5-.5器R=25m 1 ER ∴.AA'=ER-EJ=2.5-2=0.5(m), .“标杆”AB应该向大楼方向移动0.5m. 4.B 5.解：如图，过点C作CE⊥PQ,交PQ的延长线于点E, 交AB的延长线于点D, AB∥PQ,∴.CD⊥AB. 设CD=xm,则CE=(60十x)m. AB∥PQ,∴.△ABC∽△PQC, 是治即千0惯 t+60180,解得x =300,∴.x+60=360, ∴.电视塔C到公路南侧PQ的距离是360m. 第2课时相似三角形与四边形的综合应用 1.C2.A 3.证明：，四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD=BC,∠D=∠B. ∠D=∠ACE,∴∠ACE=∠B :∠AEC=∠BEC,∴.△ECA∽△EBC, ÷品器c·C=ACEB, ,.AD·EC=AC·EB 4.D 40 5.17【解析】由题意，得C1=B1-BC=40-4×5=20 (cm),EF=20 cm,FG=5 cm. ,∠EFC+∠CEF=90°，∠EFC+∠GFI=90°， ∠CEF=∠IFG. ∠ECF=∠FIG=90°，.△GIF∽△FCE, 品器。 是动 ..CE=4FI. 在Rt△CEF中，由勾股定理，得CE十CF=EF, 即(4FI)2+(20-FI)2=202, 40 解得F1=行或FI=0(舍去). 故FI的长为7cem. 40 6.解：设它们出发ts时，以P,B,Q为顶点的三角形与 △ABC相似， 则BP=(10-t)cm,BQ=2tcm.分以下两种情况： D:∠B=∠R,∴当熙-股时，△PB0n△AC 190-易4=5，符合题意： ②：∠B=∠B,当部-器时，△ACB1, 10-品1=2，作合题意 综上所述，它们出发5s或2s时，以P,B,Q为顶点的 三角形与△ABC相似. 7.√3-1【解析】在Rt△ABE中，∠B=30°，AB=√3， ·AE二S,由勾股定理，得BE=AB=AE 、号·根据翻折的性质可得BF=2BE=3,∴CF=3 AD 5.:AD∥CF,.易证△ADG∽△FCG,FC 即B--cG DG 3-5=CG,解得CG=3-1. 8.证明：(1)连接BC,OB,OC,如图. :AB,AC是⊙O的两条弦，且AB =AC, ∴点A在BC的垂直平分线上. .OB=OA=OC. ∴点O在BC的垂直平分线上， ∴AO垂直平分BC,.BD=CD. (AB-AO AD. 又：∠BAO=∠DAB,△ABO∽△ADB,∴.∠OBA =∠ADB. OA=OB,∴.∠OBA=∠OAB,∴∠OAB=∠BDA, .'.AB=BD. .AB=AC,BD=CD, ∴AB=AC=BD=CD,.四边形ABDC是菱形. 下册详解详析 5△