31.2.3 相似三角形的性质-【学海风暴】2026-2027学年九年级下册数学同步教学(教师用书)(人教版·新教材)

6.解：(1)在Rt△ABC中，BC=√AB2+AC=√62+8 =10. :∠BAC=90°，AD⊥BC, ∴.∠CAB=∠ADB. 又：∠CBA=∠ABD,∴.△CBA∽△ABD, 8断即品-日0-6 (2)证明：由(1)，得△CBA∽△ABD, 、BAAC.BABD ∴∠C=∠FAD·BDDA·ACDA E为AC的中点，AD⊥BC, ∴.ED=AE=EC, ∴.∠EDC=∠C=∠FAD ∠FDB=∠EDC,.∠FDB=∠FAD. 又：∠F=∠F,∴.△DBF∽△ADF, 册E器 .BA·AF=AC·DF. 7.C【解析】：四边形ABCD是矩形， ∴.AD=BC,∠A=∠EBF=∠BCD=90° 将矩形ABCD沿DE折叠， .AD=DF=BC,∠A=∠DFE=90°， ,∴.∠BFE+∠DFC=∠BFE十∠BEF=90°， ∠BEF=∠CPD.△BEF∽△CFD5-E CD=3BF...CF=3BE=12. 设BF=x.CD2十CF2=DF2, .(3x)2+12=(x十12)2，解得x1=3,x2=0(舍去)， ..AD=BC=3+12=15. 8.解：在梯形ABCD中，AD∥BC,AB=DC,∠ABC=70°， ∴.∠D=∠A=180°-∠ABC=180°-70°=110°， ,∴.∠DFE+∠DEF=180°-110°=70°. ,∠BEF=110°， ∴.∠AEB+∠DEF=180°-110°=70°， ∴.∠DFE=∠AEB,∴.△DFE∽△AEB, ÷E-欲即四-8号解得DF-2 31.2.3相似三角形的性质 1.C2.B3.D .AB 3 4.解：AB=15cm,A'B'=10cm心AB=2 AD和A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线， △AC△ABC0-滑-2 又：AD+A'D'=15cm,.AD=9cm,A'D'=6cm. 5.B6.A 7.30【解析】由题意，得℃A。3 1C大三角形=5 设大三角形的周长为5.xcm,则小三角形的周长为 3x cm, .5x-3x=12,解得x=6,.5.x=30. 故大三角形的周长为30cm. 8.D【解析】，DE∥BC,∴.△ADE△ABC. 沿DE将△ABC剪成面积相等的两部分， ,∴.△ADE的面积是原△ABC面积的一半， 1 2 S△Ac2' .AD AB 22 9.1510.411.10变式题3 12.解：(1)证明：：∠DAC=∠B,∠C=∠C, ∴.△DACc∽△ABC. (2)设△DAC的面积为S. ,△ABD的面积为15， .△ABC的面积为15+S. 又.'△DAC∽△ABC, (验)=()- 1 即15十s=4,解得S=5, ∴.△DAC的面积为5. 13.5+1 4 解题方法专题作相似三角形的常用辅助线 1.解：如图，过点E作EH∥AC交BD于点H, ÷△BEHO△BCD,08 EH 3EC 3 :BE=3EC,小CD-4EC4 D是AC的中点，∴AD=CD 器 :EH∥AD,.△AFD∽△EFH,心EF=EH=3 AF AD 4 2.解：(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， ∴.OA=OC,AB∥CD,∴.∠OAE=∠OCF. ∠OAE=∠OCF, 在△AOE和△COF中，OA=OC, ∠AOE=∠COF, .∴.△AOE≌△COF(ASA), ∴.OE=OF. (2)如图，过点O作ON∥BC交AB 于点N,则△AON∽△ACB, 台器0 0A=0c8 下册详解详析 3 .ON-7BC-ZAD-2.AN-BN-ZAB-3. ,ON∥BC,.△ONEC∽△MBE, 器谣 即2=3-BE T=BE,解得BE=1. 3.解：如图，延长DC,AE交于点G. ·在□ABCD中，AB∥CD, ∠BAE=90, ∴.∠BAE=∠CGE=90° ∠BEA=∠CEG, .△ABEn△GCE, 部器器 设AE=4k,AB=3k. CE=专BE, 提器品-， 瓷 =2, GC=3 GE=2k, ..AG=AE+GE=4k+2k=6k. :∠AFE=∠AGC=90°，∠EAF=∠CAG, ∴.△EAF∽△CAG, 3k 4.解：(1)证明：，∠ACB=90°，∠CAD+∠ADC=90°， ,CE⊥AD,.∠BCE+∠ADC=90°， .∠CAD=∠BCE. (2)如图，过点E作EF⊥BC于点F, 则∠CFE=90°. :AC=BC,∴∠B=∠BAC=45°， .∠BEF=90°-∠B=45°=∠B,.EF=BF. 设BF=x,则EF=x,CF=BC-BF=4-x. .∠ACD=90°，.∠ACD=∠CFE=90° 由(1)知∠CAD=∠BCE,.△ACD∽△CFE, 4 =3 人S-沿即·解得x=1.经检验，x) 是原分式方程的解且符合题意， .BF=EF=1,.BE=√2. 5.证明：(1)BE⊥AC,BF⊥BD, .∠OEB=∠OBF=90. :∠EOB=∠BOF,∴.△OBE∽△OFB. (2)如图，过点C作CG⊥BF于点G,则∠CGF= ∠OBF=90°， .OB∥G, 九年级数学RJ版 .△FCG∽△FOB, GC CFGC BO BO-OF,即CF=OF ·四边形ABCD是矩形，对角 线AC与BD交于点O, ∴.OB=OD= BD.OC-OA-TAC.BD-AC. .OB=OC,.∠OBC=∠OCB. ,∠OBF=∠BEF=90°， .∠CBF+∠OBC=90°，∠CBE+∠OCB=90°， ∴∠CBF=∠CBE,即BC平分∠EBF. ,CG⊥BF,CE⊥BE ∴.GC=EC, .GC EC OC CF-CF-OF' ∴.OC·CF=EC·OF. 6.解：如图，取AB的中点G,连 接OG, 则OG是△ABC的中位线， b OG=2 BC=2 GB= 2AB=2 在△FOG中，由题意可得OG∥EB, △FRO△R0G85-得 BE=eG0=。 FB b bc a c十2 2a+2c 7.解：如图，取BC的中点M,连接AM. ,AB⊥AC, 六AM=CM=2BC, ∴.∠MAC=∠C. .BD=DC, ∴.∠DBC=∠C, ∴.∠MAC=∠DBC. 又∠C=∠C, ∴.△MAC∽△DBC, 瓷能 DC-1.MC-BC, .Ac-MCBCBc DC 易证Rt△AEC∽Rt△BAC, 瓷肥 :EC=1,.AC2=EC·BC=BC.② 由①@，得AC=号AC,解得AC-万或0（不合题意， 舍去)，.AC=2.31.2.3相似 已知识要点扫描 相似三角形的性质 (1)相似三角形的对应角相等，对应边的 比等于相似比， (2)相似三角形对应高的比、对应中线的 比、对应角平分线的比都等于相似比， (3)相似三角形周长的比等于相似比， (4)相似三角形面积的比等于相似比的 平方. 已经典例题剖析 【例1】如右图，在□ABCD 中，E是边AD的中点，连接BE 并延长交CD的延长线于点F, B 则△EDF与△BCF的周长之 比为 A.1:2B.1:3C.1:4 D.1:5 【点拨】，四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC且AD=BC,.△EDF∽△BCF. :E是边AD的中点，AD=2ED,:.E BC AD=,.△EDF与△BCF的周长之比为 1:2. 【答案】A 【例2】如右图，在□AB CD中，点E在AD上，且AE =2ED,CE交对角线BD于 点F.若SADEF=2,则S△BCF为 A.4 B.6 C.9 D.18 【点拨】，'AE=2ED,点E在AD上， ∴.AD=AE+ED=3ED, .ED 1 “AD3 ,四边形ABCD为平行四边形， ∴.AD∥BC,BC=AD, 三角形的性质 ∴△EDF∽△CBF, ED EF ED 1 ECB CE AD SADEF ·SBCF 需-- SADEF=2,SABCF=18. 【答案】D 已基础对点训练 知识点① 相似三角形中对应线段的比等于 相似比 1.(教材变式)如果两个相似三角形对应边的 比为4：5，那么它们对应中线的比为(C) A.2：√5B.2:5C.4:5 D.16:25 2.若两个相似三角形对应边上的高的比为 2:3,则它们对应角平分线的比为(B) A.4:9B.2:3 C.1:1D.3:2 3.如图，△ABC△BDC.若AC =3,BC=√3，则△ABC与 △BDC的相似比为(D) A.1:3 B.1:3 第3题图 C.3:1 D.√3：1 4.(教材变式)如下图，△ABC∽△A'BC',AB =15cm,A'B'=10cm,AD和A'D'分别是 △ABC和△A'B'C'的中线.若AD与A'D1 的和为15cm,求AD和A'D'的长， C B'D'C 解：AB=15mAg=10m增= :AD和A'D'分别是△ABC和△A'BC的中线， △ABCD△AB'C,AD=AB=2 AD AB 3 又AD+AD'=15cm, .'.AD=9 cm,A'D'=6 cm. 下册第三十一章 11 知识点②相似三角形的周长比等于相似比 5.两个相似三角形的周长比为1：2，则其相似 比为 (B) A.1:1B.1:2C.9:4D.16:81 6.如图，AC,BD相交于点E,∠A=∠C,AE =1,CE=2,则△ABE与△CED的周长比 是 (A) A.1:2B.1:4C.1:3D.1:9 E 第6题图 第8题图 7.两个相似三角形的最短边长分别为5cm和 3cm,它们的周长之差为12cm,那么大三角 形的周长为30cm. 知识点③ 相似三角形的面积比等于相似比的 平方 8.(2026九江修水一模)如图，一张锐角三角形 ABC纸片，点D,E分别在边AB,AC上， DE∥BC.若沿DE将△ABC剪成面积相等 AD 的两部分，则AB的值为 (D) 1 A.1 B.2 C2-1D] 9.转化思想如图，E,F,G,H分别是边AB, BC,CD,DA的中点.若灰色区域的面积和 是5，则白色区域的面积是 15 第9题图 第10题图 10.如图，点D,E分别在△ABC的边AC,AB 上，△ADE∽△ABC,M,N分别是DE,BC 的中点省侧 SAABC 12 九年级数学RJ版 DE 2 11.如图，在△ABC中，DE∥BC,BC=3 △ADE的面积是8，则四边形BCED的面 积为10 第11题图 变式题图 变式题如图，在△ABC中，点D在AB 上，点E在AC上，∠ADE=∠C,四边形 DBCE的面积是△ADE面积的3倍.若 DE=1.5,则BC的长为3 12.如下图，D是△ABC的边BC上一点，AB =4,DA=2,∠DAC=∠B,△ABD的面 积为15. (1)求证：△DAC∽△ABC. (2)求△DAC的面积. 解：(1)证明：：∠DAC=∠B,∠C=∠C, ∴.△DAC∽△ABC. (2)设△DAC的面积为S. △ABD的面积为15，∴△ABC的面积为15+S. 又：△DACC∽△ABC, -(=(-=子 ∴.△DAC的面积为5. 易错点对相似三角形的性质理解不透彻 13.如图，在△ABC中， S△ADE DE∥BC,S转形CED ,则AD:DB的值B☑ 1 第13题图 为 5+1 4