第04讲-图形运动所产生的面积问题-专题讲义 2027年人教版中考数学二轮复习

图形运动所产生的面积问题 人教版九年级数学二轮复习 · 第04讲 · 专题讲义（含解析） 知识链接 此类题型为中考热点题型.主要有两类：平移和旋转，这两种运动过程中通常要注意到角度的等量关系和图形的相似，计算面积时要注意面积转化和等量的替代. 三角形的相似的性质、面积的割补、等量的替代. 例题解析 例1．如图，Rt△PMN中，∠P＝90°，PM＝PN，MN＝8cm，矩形ABCD的长和宽分别为8cm和2cm，C点和M点重合，BC和MN在一条直线上．令Rt△PMN不动，矩形ABCD沿MN所在直线向右以每秒1cm的速度移动（如图2），直到C点与N点重合为止．设移动x秒后，矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为ycm2．求y与x之间的函数关系式． 【分析】在Rt△PMN中解题，要充分运用好垂直关系，作垂直辅助线，延长AD构成一个长方形，更有利解题，因为此题也是点的移动问题，可知矩形ABCD以每秒1cm的速度由开始向右移动到停止，和Rt△PMN重叠部分的形状可分为下列三种情况，（1）C点由M点运动到F点的过程中（0≤x≤2）；（2）当C点由F点运动到T点的过程中（2＜x≤6）；（3）当C点由T点运动到N点的过程中（6＜x≤8）；把思路理清晰，解题就容易了． 【解答】解：在Rt△PMN中， ∵PM＝PN，∠P＝90° ∴∠PMN＝∠PNM＝45°， 延长AD分别交PM，PN于点G、H． 过G作GF⊥MN于F，过H作HT⊥MN于T． ∵DC＝2cm， ∴MF＝GF＝2cm，TN＝HT＝2cm． ∵MN＝8cm， ∴MT＝6cm． 因此，矩形ABCD以每秒1cm的速度由开始向右移动到停止，和Rt△PMN重叠部分的形状可分为下列三种情况： （1）当C点由M点运动到F点的过程中（0≤x≤2），如图①所示， 设CD与PM交于点E，则重叠部分图形是Rt△MCE，且MC＝EC＝x． ∴yMC•ECx2（0≤x≤2）． （2）当C点由F点运动到T点的过程中（2＜x≤6），如图②所示，重叠部分图形是直角梯形MCDG． ∵MC＝x，MF＝2， ∴FC＝DG＝x﹣2，且DC＝2， ∴y（MC+GD）•DC＝2x﹣2（2＜x≤6）． （3）当C点由T点运动到N点的过程中（6＜x≤8），如图③所示， 设CD与PN交于点Q，则重叠部分图形是五边形MCQHG． ∵MC＝x， ∴CN＝CQ＝8﹣x，且DC＝2， ∴y（MN+GH）•DCCN×CQ （8﹣x）2+12（6＜x≤8）． 例2．如图①，四边形AEFG和ABCD都是正方形，它们的边长分别为a，b（b≥2a），且点F在AD上（以下问题的结果均可用a，b的代数式表示）． （1）求S△DBF； （2）把正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转45°得图②，求图②中的S△DBF； （3）把正方形AEFG绕点A旋转一周，在旋转的过程中，S△DBF是否存在最大值、最小值？如果存在，直接写出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据图形的关系，可得AF的长，根据三角形面积公式，可得△DBF面积； （2）连接AF，由题意易知AF∥BD；△DBF与△ABD同底等高，故面积相等； （3）分析可得：当F点到BD的距离取得最大、最小值时，S△BFD取得最大、最小值；分两种情况讨论可得其最大最小值． 【解答】解：（1）∵点F在AD上， ∴AF2＝a2+a2，即AFa， ∴DF＝ba， ∴S△DBFDF×AB（ba）×bb2ab； （2）连接DF，AF，由题意易知AF∥BD， ∴四边形AFDB是梯形， ∴△DBF与△ABD等高同底，即BD为两三角形的底， 由AF∥BD，得到平行线间的距离相等，即高相等， ∴S△DBF＝S△ABDb2； （3）正方形AEFG在绕A点旋转的过程中，F点的轨迹是以点A为圆心，AF为半径的圆， 第一种情况：当b＞2a时，存在最大值及最小值， 因为△BFD的边BDb，故当F点到BD的距离取得最大、最小值时，S△BFD取得最大、最小值． 如图②所示DF⊥BD时，S△BFD的最大值＝S△BFDb•（a）， S△BFD的最小值＝S△BFDb•（a）， 第二种情况：当b＝2a时，存在最大值，不存在最小值． ∴S△BFD的最大值．（如果答案为4a2或b2也可）． 例3．（2018•赣州模拟）如图1，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6；点E是对角线BD上一动点，连接CE，作EF⊥CE交AB边于点F，以CE和EF为邻边作矩形CEFG，作其对角线相交于点H． （1）①如图2，当点F与点B重合时，CE＝　　，CG＝　　； ②如图3，当点E是BD中点时，CE＝　5　，CG＝　　； （2）在图1，连接BG，当矩形CEFG随着点E的运动而变化时，猜想△EBG的形状？并加以证明； （3）在图1，的值是否会发生改变？若不变，求出它的值；若改变，说明理由； （4）在图1，设DE的长为x，矩形CEFG的面积为S，试求S关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围． 【分析】（1）①利用面积法求出CE，再利用勾股定理求出EF即可；②利用直角三角形斜边中线定理求出CE，再利用相似三角形的性质求出EF即可； （2）根据直角三角形的判定方法：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，则这个三角形是直角三角形即可判断； （3）只要证明△DCE∽△BCG，即可解决问题； （4）利用相似多边形的性质构建函数关系式即可； 【解答】解：（1）①如图2中， 在Rt△BAD中，BD10， ∵S△BCD•CD•BC•BD•CE， ∴CE．CG＝BE． ②如图3中，过点E作MN⊥AM交AB于N，交CD于M． ∵DE＝BE， ∴CEBD＝5， ∵△CME∽△ENF， ∴，∴CG＝EF，故答案为，，5，． （2）结论：△EBG是直角三角形． 理由：如图1中，连接BH． 在Rt△BCF中，∵FH＝CH， ∴BH＝FH＝CH， ∵四边形EFGC是矩形， ∴EH＝HG＝HF＝HC， ∴BH＝EH＝HG， ∴△EBG是直角三角形． （3）F如图1中，∵HE＝HC＝HG＝HB＝HF， ∴C、E、F、B、G五点共圆， ∵EF＝CG， ∴∠CBG＝∠EBF， ∵CD∥AB， ∴∠EBF＝∠CDE， ∴∠CBG＝∠CDE， ∵∠DCB＝∠ECG＝90°， ∴∠DCE＝∠BCG， ∴△DCE∽△BCG， ∴． （4）由（3）可知：， ∴矩形CEFG∽矩形ABCD， ∴（）2， ∵CE2＝（x）2+（）2，S矩形ABCD＝48， ∴S矩形CEFG[（x）2+（）2] ∴矩形CEFG的面积Sx2x+48（0≤x）． 例4．如图，已知直线yx+1交坐标轴于A，B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过点A，D，C的抛物线与直线另一个交点为E． （1）请直接写出点C，D的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止．设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围； （4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上C，E两点间的抛物线弧所扫过的面积． 【分析】（1）可先根据AB所在直线的解析式求出A，B两点的坐标，即可得出OA、OB的长．过D作DM⊥y轴于M，则△ADM≌△BAO，由此可得出MD、MA的长，也就能求出D的坐标，同理可求出C的坐标； （2）可根据A、C、D三点的坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式； （3）要分三种情况进行讨论： ①当F点在A′B′之间时，即当0＜t≤1时，此时S为三角形FBG的面积，可用正方形的速度求出AB′的长，即可求出B′F的长，然后根据∠GFB′的正切值求出B′G的长，即可得出关于S、t的函数关系式． ②当A′在x轴下方，但C′在x轴上方或x轴上时，即当1＜t≤2时，S为梯形A′GB′H的面积，可参照①的方法求出A′G和B′H的长，那么梯形的上下底就可求出，梯形的高为A′B′即正方形的边长，可根据梯形的面积计算公式得出关于S、t的函数关系式． ③当D′逐渐移动到x轴的过程中，即当2＜t≤3时，此时S为五边形A′B′C′HG的面积，S＝正方形A′B′C′D′的面积﹣三角形GHD′的面积．可据此来列关于S，t的函数关系式； （4）CE扫过的图形是个平行四边形，经过关系不难发现这个平行四边形的面积实际上就是矩形BCD′A′的面积．可通过求矩形的面积来求出CE扫过的面积． 【解答】解：（1）C（3，2）D（1，3）； （2）设抛物线为y＝ax2+bx+c，抛物线过（0，1）（3，2）（1，3）， 解得， ∴yx2x+1； （3）①当点A运动到x轴上时，t＝1， 当0＜t≤1时，如图1， ∵∠OFA＝∠GFB′， tan∠OFA， ∴tan∠GFB′， ∴GB′t ∴S△FB′GFB′×GB′tt2； ②当点C运动到x轴上时，t＝2， 当1＜t≤2时，如图2， A′B′＝AB， ∴A′Ft，∴A′G， ∵B′H， ∴S梯形A′B′HG（A′G+B′H）×A′B′ t； ③当点D运动到x轴上时，t＝3， 当2＜t≤3时，如图3， ∵A′G， ∴GD′， ∵S△AOF1×2＝1，OA＝1，△AOF∽△GD′H ∴， ∴， ∴S五边形GA′B′C′H＝（）2﹣（ t2t； （4）∵t＝3，BB′＝AA′＝3， ∴S阴影＝S矩形BB′C′C＝S矩形AA′D′D ＝AD×AA′315． 例5．在平面直角坐标系xOy中，规定：抛物线y＝a（x﹣h）2+k的伴随直线为y＝a（x﹣h）+k．例如：抛物线y＝2（x+1）2﹣3的伴随直线为y＝2（x+1）﹣3，即y＝2x﹣1． （1）在上面规定下，抛物线y＝（x+1）2﹣4的顶点坐标为　（﹣1，﹣4）　，伴随直线为　y＝x﹣3　，抛物线y＝（x+1）2﹣4与其伴随直线的交点坐标为　（0，﹣3）　和　（﹣1，﹣4）　； （2）如图，顶点在第一象限的抛物线y＝m（x﹣1）2﹣4m与其伴随直线相交于点A，B（点A在点B的左侧），与x轴交于点C，D． ①若∠CAB＝90°，求m的值； ②如果点P（x，y）是直线BC上方抛物线上的一个动点，△PBC的面积记为S，当S取得最大值时，求m的值． 【分析】（1）由抛物线的顶点式可求得其顶点坐标，由伴随直线的定义可求得伴随直线的解析式，联立伴随直线和抛物线解析式可求得其交点坐标； （2）①可先用m表示出A、B、C、D的坐标，利用勾股定理可表示出AC2、AB2和BC2，在Rt△ABC中由勾股定理可得到关于m的方程，可求得m的值；②由B、C的坐标可求得直线BC的解析式，过P作x轴的垂线交BC于点Q，则可用x表示出PQ的长，进一步表示出△PBC的面积，利用二次函数的性质可得到m的方程，可求得m的值． 【解答】解： （1）∵y＝（x+1）2﹣4， ∴顶点坐标为（﹣1，﹣4）， 由伴随直线的定义可得其伴随直线为y＝（x+1）﹣4，即y＝x﹣3， 联立抛物线与伴随直线的解析式可得，解得或， ∴其交点坐标为（0，﹣3）和（﹣1，﹣4）， 故答案为：（﹣1，﹣4）；y＝x﹣3；（0，﹣3）；（﹣1，﹣4）； （2）①∵抛物线解析式为y＝m（x﹣1）2﹣4m， ∴其伴随直线为y＝m（x﹣1）﹣4m，即y＝mx﹣5m， 联立抛物线与伴随直线的解析式可得，解得或， ∴A（1，﹣4m），B（2，﹣3m）， 在y＝m（x﹣1）2﹣4m中，令y＝0可解得x＝﹣1或x＝3， ∴C（﹣1，0），D（3，0）， ∴AC2＝4+16m2，AB2＝1+m2，BC2＝9+9m2， ∵∠CAB＝90°， ∴AC2+AB2＝BC2，即4+16m2+1+m2＝9+9m2，解得m（抛物线开口向下，舍去）或m， ∴当∠CAB＝90°时，m的值为； ②设直线BC的解析式为y＝kx+b， ∵B（2，﹣3m），C（﹣1，0）， ∴，解得， ∴直线BC解析式为y＝﹣mx﹣m， 过P作x轴的垂线交BC于点Q，如图， ∵点P的横坐标为x， ∴P（x，m（x﹣1）2﹣4m），Q（x，﹣mx﹣m）， ∵P是直线BC上方抛物线上的一个动点， ∴PQ＝m（x﹣1）2﹣4m+mx+m＝m（x2﹣x﹣2）＝m[（x）2]， ∴S△PBC[（2﹣（﹣1）]PQm（x）2m， ∴当x时，△PBC的面积有最大值m， ∴S取得最大值时，即m，解得m＝﹣2． 例6．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，点C在y轴上，∠ACB＝90°，AC、BC的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两个根（AC＜BC）．动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向点B匀速运动；同时，动点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿BA向点A匀速运动．过线段MN的中点G作边AB的垂线，垂足为点G，交△ABC的另一边于点P，连接PM、PN，当点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动，设运动时间为t秒． （1）直接写出点C的坐标，C（　0　，　4.8　）；当t　＝2.5　秒时，动点M、N相遇； （2）若点E在坐标轴上，平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点F的坐标若不存在，请说明理由． （3）设△PMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式以及自变量范围． 【分析】（1）先求出AC、BC、AB、再根据•AC•BC•CO•AB求出OC即可解决问题． （2）存在，如图1中，分两种情形讨论①当BC为对角线时，∵②当BC为边时，点E′在x轴上时或点E″在y轴上时，分别求出点F坐标即可． （3）分三种情况求函数解析式，①0＜t，②t③t先表示出MN，用相似借助OC，用时间表示出PG，面积即可确定． 【解答】解：（1）∵AC、BC的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两个根（AC＜BC）． ∴AC＝6，BC＝8， ∵∠ACB＝90°， ∴AB10． ∵•AC•BC•CO•AB， ∴CO＝4.8， ∴点C坐标（0，4.8）， 设t秒后相遇，由题意（1+3）t＝10， ∴t＝2.5．故答案分别为（0，4.8），＝2.5． （2）存在，如图1中， ①当BC为对角线时，∵OB6.4，OA＝3.6， ∴点F坐标（6.4，4.8）． ②当BC为边时，点E′在x轴上时，点F坐标（2.8，﹣4.8）；点E″在y轴上时，E″（0，），F″（﹣6.4，）． 综上所述点F坐标为（6.4，4，8）或（2.8，﹣4.8）或（﹣6.4，）． （3）①如图2中，0＜t时， ∵PG∥CO， ∴， ∴PG（t+5）， ∴S•PG•MN（t+5）（10﹣4t）t2t． ②如图3中，t时， ∵PG∥CO， ∴， ∴PG（5﹣t）， ∴S（5﹣t）（10﹣4t）t2﹣20t． ③如图4中，t时， S•MN•PG•（4t﹣10）•（5﹣t）t2+20t， 综上所述S． 课堂练习 1．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠A＝45°，AB＝10cm，CD＝4cm．等腰直角三角形PMN的斜边MN＝10cm，A点与N点重合，MN和AB在一条直线上，设等腰梯形ABCD不动，等腰直角三角形PMN沿AB所在直线以1cm/s的速度向右移动，直到点N与点B重合为止． （1）等腰直角三角形PMN在整个移动过程中与等腰梯形ABCD重叠部分的形状由　等腰直角三角　形变化为　等腰梯　形； （2）设当等腰直角三角形PMN移动x（s）时，等腰直角三角形PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积为y（cm2），求y与x之间的函数关系式； （3）当x＝4（s）时，求等腰直角三角形PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积． 【解答】解：（1）等腰直角三角形；等腰梯形（答出三角形，梯形也给分）．（2分） （2）当D点在PN上时，DN∥BC，NA＝AB﹣CD＝10﹣4＝6， 等腰直角三角形PMN在整个移动过程中与等腰梯形ABCD重叠部分图形的形状可分为以下两种情况： ①当0≤x≤6时，重叠部分的形状为等腰直角三角形EAN（如图①）．（3分） 此时AN＝x（cm），过点E作EH⊥AB于点H，则EH平分AN， ∴EHANx，（4分）∴y＝S△ANEAN•EHx•xx2．（6分） ②当6＜x≤10时，重叠部分的形状是等腰梯形ANED（如图②）．（7分）此时，AN＝x（cm）， ∵AD＝BC，∠DAF＝45°，∴∠B＝∠DAF＝45° ∵∠PNM＝∠B＝45°，∴EN∥BC， ∵CE∥BN， ∴四边形ENBC是平行四边形，CE＝BN＝10﹣x，DE＝4﹣（10﹣x）＝x﹣6．（8分） 过点D作DF⊥AB于F，过点C作CG⊥AB于G， 则AF＝BG，DF＝AF（10﹣4）＝3，（9分） ∴y＝S梯形ANED（DE+AN）•DF（x﹣6+x）×3＝3x﹣9．（10分） （3）当等腰直角三角形PMN移动到PN边经过点D时，移动时间为6（s）， ∴当x＝4（s）时，yx242＝4． ∴当x＝4（s）时，等腰直角三角形PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积是4cm2．（12分） 2．将两块大小一样含30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边AB重合，直角边不重合，已知AB＝8，BC＝AD＝4，AC与BD相交于点E，连接CD． （1）填空：如图1，AC＝　4　，BD＝　4　；四边形ABCD是　等腰　梯形； （2）请写出图1中所有的相似三角形；（不含全等三角形） （3）如图2，若以AB所在直线为轴，过点A垂直于AB的直线为轴建立如图2的平面直角坐标系，保持△ABD不动，将△ABC向x轴的正方向平移到△FGH的位置，FH与BD相交于点P，设AF＝t，△FBP面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围． 【解答】解：（1）4，4，等腰； （2）共有9对相似三角形． ①△DCE、△ABE与△ACD或△BDC两两相似， 分别是：△DCE∽△ABE，△DCE∽△ACD，△DCE∽△BDC，△ABE∽△ACD，△ABE∽△BDC；（有5对） ②△ABD∽△EAD，△ABD∽△EBC；（有2对） ③△BAC∽△EAD，△BAC∽△EBC；（有2对） 所以，一共有9对相似三角形． （3）由题意知，FP∥AE， ∴∠1＝∠PFB， 又∵∠1＝∠2＝30°， ∴∠PFB＝∠2＝30°， ∴FP＝BP 过点P作PK⊥FB于点K，则FK＝BKFB． ∵AF＝t，AB＝8， ∴FB＝8﹣t，BK（8﹣t）． 在Rt△BPK中，PK＝BK•tan∠2（8﹣t）tan30°（8﹣t）． ∴△FBP的面积S•FB•PK（8﹣t）•（8﹣t）， ∴S与t之间的函数关系式为： S（8﹣t）2，或St2t， t的取值范围为：0≤t＜8． 3．等腰△ABC，AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，P为BC的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转． （1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．求证：△BPE∽△CFP； （2）操作：将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F． ①探究1：△BPE与△CFP还相似吗？（只需写出结论） ②探究2：连接EF，△BPE与△PFE是否相似？请说明理由； ③设EF＝m，△EPF的面积为S，试用m的代数式表示S． 【解答】（1）证明：∵在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝30°． ∵∠B+∠BPE+∠BEP＝180°， ∴∠BPE+∠BEP＝150°， 又∠EPF＝30°，且∠BPE+∠EPF+∠CPF＝180°， ∴∠BPE+∠CPF＝150°， ∴∠BEP＝∠CPF， ∴△BPE∽△CFP（两角对应相等的两个三角形相似）． （2）解：①△BPE∽△CFP； ②△BPE与△PFE相似． 下面证明结论： 同（1），可证△BPE∽△CFP，得，而CP＝BP，因此． 又因为∠EBP＝∠EPF，所以△BPE∽△PFE（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）． ③由②得△BPE∽△PFE，所以∠BEP＝∠PEF． 分别过点P作PM⊥BE，PN⊥EF，垂足分别为M、N，则PM＝PN． 连AP，在Rt△ABP中，由∠B＝30°，AB＝8，可得AP＝4． 所以PM＝2，所以PN＝2， 所以sPN×EFm． 家庭作业 1．如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线yx2+bx+c经过点A、C，与AB交于点D． （1）求抛物线的函数解析式； （2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ＝CP，连接PQ，设CP＝m，△CPQ的面积为S． ①求S关于m的函数表达式； ②当S最大时，在抛物线yx2+bx+c的对称轴l上，若存在点F，使△DFQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将A、C两点坐标代入抛物线yx2+bx+c，即可求得抛物线的解析式； （2）①先用m表示出QE的长度，进而求出三角形的面积S关于m的函数； ②直接写出满足条件的F点的坐标即可，注意不要漏写． 【解答】解：（1）将A、C两点坐标代入抛物线，得 ， 解得：， ∴抛物线的解析式为yx2x+8； （2）①∵OA＝8，OC＝6， ∴AC10， 过点Q作QE⊥BC与E点，则sin∠ACB， ∴， ∴QE（10﹣m）， ∴S•CP•QEm（10﹣m）m2+3m； ②∵S•CP•QEm（10﹣m）m2+3m（m﹣5）2， ∴当m＝5时，S取最大值； 在抛物线对称轴l上存在点F，使△FDQ为直角三角形， ∵抛物线的解析式为yx2x+8的对称轴为x， D的坐标为（3，8），Q（3，4）， 当∠FDQ＝90°时，F1（，8）， 当∠FQD＝90°时，则F2（，4）， 当∠DFQ＝90°时，设F（，n）， 则FD2+FQ2＝DQ2， 即（8﹣n）2（n﹣4）2＝16， 解得：n＝6±， ∴F3（，6），F4（，6）， 满足条件的点F共有四个，坐标分别为 F1（，8），F2（，4），F3（，6），F4（，6）． 2．如图1，分别以矩形OABC的两边OA和OC所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，A点的坐标为（3，0），C点的坐标为（0，4），将矩形OABC绕O点逆时针旋转，使B点落在y轴的正半轴上，旋转后的矩形为OA1B1C1，BC、A1B1相交于点M． （1）求点B1的坐标与线段B1C的长； （2）将图1的矩形OA1B1C1沿y轴向上平移，如图2，矩形PA2B2C2是平移过程中的某一位置，BC，A2B2相交于点M1，点P运动到C点停止．设点P运动的距离为x，矩形PA2B2C2与矩形OABC重叠部分的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围． 【分析】（1）用勾股定理求矩形OABC的对角线OB长，得点B1的坐标；B1C＝B1O﹣OC； （2）求分段函数，以A2落在BC上的时刻为界，将函数分为两段，画出图形，分别求函数解析式． 【解答】解：（1）如图1，∵OB1＝OB＝5， ∴点B1的坐标为（0，5）， ∵C（0，4）， ∴OC＝4， ∴B1C＝OB1﹣OC＝5﹣4＝1； （2）在矩形OA1B1C1沿y轴向上平移到P点与C点重合过程中，点A1运动到矩形OABC边BC上时， 重叠部分的面积为△PA2C的面积，A2C， ∵A2P＝3， 根据勾股定理得：CP，即4﹣x， ∴P点移动的距离x， 当自变量x的取值范围为0≤x时， 如图2，由△B2CM1∽△B2A2P， 得CM1， 此时，y＝S△B2A2P﹣S△B2CM13×4（1+x）， 即y（x+1）2+6， 当自变量x的取值范围为x≤4时， ∴y＝S△PCM1′（x﹣4）2． 3．平面直角坐标系中，▱ABOC如图放置，点A、C的坐标分别为（0，3）、（﹣1，0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到▱A'B'OC'． （1）若抛物线过点C，A，A'，求此抛物线的解析式； （2）▱ABOC和▱A'B'OC'重叠部分△OC'D的周长； （3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：点M在何处时△AMA'的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标． 【分析】（2）先证明△C′OD∽△BOA，由相似三角形的性质即可得出重叠部分△OC'D的周长； （3）根据三角形面积求出，配方即可得到△AMA'的最大面积和M的坐标． 【解答】解：（1）∵▱ABOC绕点O顺时针旋转90°，得到▱A'B'OC'，点A的坐标为（0，3）， ∴点A′的坐标为（3，0）． ∵抛物线过点A、C、A′． 设抛物线的函数表达式为y＝ax2+bx+c（a≠0），可得 ，解得． 故此抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3． （2）∵AB∥CO，∴∠OAB＝90°， ∵AB＝OC＝1，AO＝3． ∴OB． 可证△C′OD∽△BOA， △C′OD的周长与△BOA的周长比＝OC′：OB＝1： △BOA的周长＝4， △C′OD的周长． （3）连接A′A，OM，设M点的坐标为：（m，n）， ∵点M在抛物线上， ∴n＝﹣m2+2m+3， ∴S△AMA′＝S△AMO+S△OMA′﹣S△AOA′ OA•mOA′•nOA•OA′（m+n）（m+n﹣3）， 将n＝﹣m2+2m+3代入，原式（m2﹣3m）（m）2， ∵0＜m＜3， ∵m时，n，△AMA'的面积最大S△AMA'， ∴M（，），△AMA'的面积最大S△AMA'． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 图形运动所产生的面积问题 人教版九年级数学二轮复习 · 第04讲 · 专题讲义（学生版） 知识链接 此类题型为中考热点题型.主要有两类：平移和旋转，这两种运动过程中通常要注意到角度的等量关系和图形的相似，计算面积时要注意面积转化和等量的替代. 三角形的相似的性质、面积的割补、等量的替代. 例题解析 例1．如图，Rt△PMN中，∠P＝90°，PM＝PN，MN＝8cm，矩形ABCD的长和宽分别为8cm和2cm，C点和M点重合，BC和MN在一条直线上．令Rt△PMN不动，矩形ABCD沿MN所在直线向右以每秒1cm的速度移动（如图2），直到C点与N点重合为止．设移动x秒后，矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为ycm2．求y与x之间的函数关系式． 例2．如图①，四边形AEFG和ABCD都是正方形，它们的边长分别为a，b（b≥2a），且点F在AD上（以下问题的结果均可用a，b的代数式表示）． （1）求S△DBF； （2）把正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转45°得图②，求图②中的S△DBF； （3）把正方形AEFG绕点A旋转一周，在旋转的过程中，S△DBF是否存在最大值、最小值？如果存在，直接写出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由． 例3．（2018•赣州模拟）如图1，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6；点E是对角线BD上一动点，连接CE，作EF⊥CE交AB边于点F，以CE和EF为邻边作矩形CEFG，作其对角线相交于点H． （1）①如图2，当点F与点B重合时，CE＝　 　，CG＝　 　； ②如图3，当点E是BD中点时，CE＝　 　，CG＝　 　； （2）在图1，连接BG，当矩形CEFG随着点E的运动而变化时，猜想△EBG的形状？并加以证明； （3）在图1，的值是否会发生改变？若不变，求出它的值；若改变，说明理由； （4）在图1，设DE的长为x，矩形CEFG的面积为S，试求S关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围． 例4．如图，已知直线yx+1交坐标轴于A，B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过点A，D，C的抛物线与直线另一个交点为E． （1）请直接写出点C，D的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止．设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围； （4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上C，E两点间的抛物线弧所扫过的面积． 例5．（2018•三中开学摸底考）在平面直角坐标系xOy中，规定：抛物线y＝a（x﹣h）2+k的伴随直线为y＝a（x﹣h）+k．例：抛物线y＝2（x+1）2﹣3的伴随直线为y＝2（x+1）﹣3，即y＝2x﹣1． （1）在上面规定下，抛物线y＝（x+1）2﹣4的顶点坐标为　 　，伴随直线为　 　，抛物线y＝（x+1）2﹣4与其伴随直线的交点坐标为　 　和　 　； （2）如图，顶点在第一象限的抛物线y＝m（x﹣1）2﹣4m与其伴随直线相交于点A，B（点A在点B的左侧），与x轴交于点C，D． ①若∠CAB＝90°，求m的值； ②如果点P（x，y）是直线BC上方抛物线上的一个动点，△PBC的面积记为S，当S取得最大值时，求m的值． 例6．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，点C在y轴上，∠ACB＝90°，AC、BC的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两个根（AC＜BC）．动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向点B匀速运动；同时，动点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿BA向点A匀速运动．过线段MN的中点G作边AB的垂线，垂足为点G，交△ABC的另一边于点P，连接PM、PN，当点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动，设运动时间为t秒． （1）直接写出点C的坐标，C（　 　，　 　）；当t　 　秒时，动点M、N相遇； （2）若点E在坐标轴上，平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点F的坐标若不存在，请说明理由． （3）设△PMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式以及自变量范围． 课堂练习 1．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠A＝45°，AB＝10cm，CD＝4cm．等腰直角三角形PMN的斜边MN＝10cm，A点与N点重合，MN和AB在一条直线上，设等腰梯形ABCD不动，等腰直角三角形PMN沿AB所在直线以1cm/s的速度向右移动，直到点N与点B重合为止． （1）等腰直角三角形PMN在整个移动过程中与等腰梯形ABCD重叠部分的形状由　 　形变化为　 　形； （2）设当等腰直角三角形PMN移动x（s）时，等腰直角三角形PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积为y（cm2），求y与x之间的函数关系式； （3）当x＝4（s）时，求等腰直角三角形PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积． 2．将两块大小一样含30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边AB重合，直角边不重合，已知AB＝8，BC＝AD＝4，AC与BD相交于点E，连接CD． （1）填空：如图1，AC＝　 　，BD＝　 　；四边形ABCD是　 　梯形； （2）请写出图1中所有的相似三角形；（不含全等三角形） （3）如图2，若以AB所在直线为轴，过点A垂直于AB的直线为轴建立如图2的平面直角坐标系，保持△ABD不动，将△ABC向x轴的正方向平移到△FGH的位置，FH与BD相交于点P，设AF＝t，△FBP面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围． 3．等腰△ABC，AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，P为BC的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转． （1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．求证：△BPE∽△CFP； （2）操作：将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F． ①探究1：△BPE与△CFP还相似吗？（只需写出结论） ②探究2：连接EF，△BPE与△PFE是否相似？请说明理由； ③设EF＝m，△EPF的面积为S，试用m的代数式表示S． 家庭作业 1．如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线yx2+bx+c经过点A、C，与AB交于点D． （1）求抛物线的函数解析式； （2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ＝CP，连接PQ，设CP＝m，△CPQ的面积为S． ①求S关于m的函数表达式； ②当S最大时，在抛物线yx2+bx+c的对称轴l上，若存在点F，使△DFQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图1，分别以矩形OABC的两边OA和OC所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，A点的坐标为（3，0），C点的坐标为（0，4），将矩形OABC绕O点逆时针旋转，使B点落在y轴的正半轴上，旋转后的矩形为OA1B1C1，BC、A1B1相交于点M． （1）求点B1的坐标与线段B1C的长； （2）将图1的矩形OA1B1C1沿y轴向上平移，如图2，矩形PA2B2C2是平移过程中的某一位置，BC，A2B2相交于点M1，点P运动到C点停止．设点P运动的距离为x，矩形PA2B2C2与矩形OABC重叠部分的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围． 3．平面直角坐标系中，▱ABOC如图放置，点A、C的坐标分别为（0，3）、（﹣1，0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到▱A'B'OC'． （1）若抛物线过点C，A，A'，求此抛物线的解析式； （2）▱ABOC和▱A'B'OC'重叠部分△OC'D的周长； （3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：点M在何处时△AMA'的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $