课外拓展提高 31.3 第2课时 相似三角形与四边形的综合应用&31.4 第1课时 位似图形的概念及画法-【学海风暴】2026-2027学年九年级下册数学同步教学(教师用书)(人教版·新教材)

第2课时相似三角形与四边开 1.如图，点E在正方形ABCD的对角线AC 上，EF⊥AB于点F,连接DE并延长，交边 BC于点M,交边AB的延长线于点G.若 AF=2,FB=1,则MG= (B) A.23 C.√5+1D.√10 E 第1题图 第2题图 2.（2026苏州)如图，在矩形ABCD中，AB= 3,BC=2,E是AB边上的动点（点E在点 A,B之间运动，不与点A,B重合).过点E 作CE的垂线交AD边于点F,则AE十AF 的最大值是 (C) A号 B.3 c 3.图①是装了液体的长方体容器的截面图（数 据如图).将该容器绕地面一棱进行旋转倾斜 后，水面恰好接触到容器口边缘，如图②所 51 示，此时液面的宽度AB= cm. 6 cm B 17 cm 液面高度 8 cm 桌面 图① 图② 第3题图 4.如图，工人师傅将一块锐 角三角形的铁片通过切割 加工成矩形铁片.已知 B4 △ABC的边长BC= D 第4题图 60cm,高AD=40cm,矩 形铁片的一边在BC边上，点P,Q分别在 AB,AC边上.若满足PQ：PN=7·2,则矩 形铁片PQMN的面积为 504 cm. 86 九年级数学RJ版 多的综合应用（建议用时：30分钟） 5.如下图，四边形ABCD是正方形，△BEC是 等边三角形，连接DE并延长交CB的延长 线于点F,连接BD (1)求∠BED的度数. (2)求证：△BDE∽△FDB. 解：(1)四 D 边形ABCD 是正方形， ∴∠BCD=F B 90°，BC=CD ,△BCE是等边三角形，∴.∠BCE=∠BEC=60°，BC =CE,.∠DCE=90°-60°=30°，CD=CE,.∠CED =∠CDE=}X(180-30)=75,∠BED= ∠BEC+∠CED=60°+75°=135° (2)证明：：四边形ABCD是正方形，∴.∠ABC=90°， ∠ABD=45°，.∠ABF=90°，∴∠DBF=90°+45°= 135°.∠BED=135°，.∠BED=∠DBF.又 :∠BDE=∠FDB,∴△BDEO△FDB. 6.如下图，在菱形ABCD中，点E在边BC上， 连接DE并延长，交AB的延长线于点F,连 接AC交DE于点P,连接BP. (1)求证：PB2=PE·PF. (2)若AD=6,PB=2PE,求BF的长. 解：(1)证明：四边形ABCD 是菱形，AC是菱形的对角线， .AB CD CB AD, ∠DCP=∠BCP,AD∥BC, CD∥AB,∴∠CDP=∠F. (CD=CB, 在△DCP与△BCP中，{∠DCP=∠BCP, CP=CP. .△DCP≌△BCP(SAS),∴∠CDP=∠CBP,∴ ∠CBP=∠F.又：∠BPE=∠FPB,∴.△BPE .PB PE △FPB,心pF=PBPB=PE,PF, 、PB BE PE (2)()得△BPE△FPB,心PF=FB=PB B=2E0-5-路-}= AD/BC,△BEF△ADF,小AD=AFBE BE BFBF AF=2AD.AB=AD=6.AF=2AD=12. AF .BF=AF-AB=6. 31.4 目第1课时位似图形的概 1.如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似 中心，相似比为子若△ABC的周长为4，则 △DEF的周长为 (B) A.4 B.6 C.9 D.16 第1题图 第2题图 2.如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为 原图形的2倍得到△A'B'C',则下列说法中 错误的是 (C) A.△ABC∽△A'B'C B.点C、点O、点C'在同一直线上 C.AO:AA′=1：2 D.AB∥A'B 3.如图，在正方形网格中，△ABC与△FDE位 似，则下列说法正确的是 (C) A.位似中心是点B B.位似中心是点D C.相似比为2 D.相似比为2 第3题图 4.如图，△ABC与△EDF是位似图形，位似中 心为点O,相似比为.若BC=5,则DF为 3 35 第4题图 第5题图 5.如图，放缩尺是利用图形的位似将图形放大 或缩小的工具，点O的位置固定不变，在点 位似 念及画法（建议用时：30分钟） A,A'处装有画笔.当点A处画笔沿图F运 动时，点A'处画笔画出图形F',图形就放大 了.反之，图形就缩小了.相似比可以通过调 节点B,D的位置来确定，调整时确保AB∥ DC,AD∥BC,点O,A,A'在同一条直线上. 若OD:DC=1:2,图形F的面积为1.5， 则图形F的面积为13.5 6.如下图，△ABC与△A'B'C'是位似图形，且 相似比是2 (1)请在图中画出位似中心. (2)若AB=2cm,则A'B'等于多少？ 解：(1)如图，点0即为位似中心. (2)根据题意，日增=子 .AB=2 cm, .'.A'B'=2AB=4 cm. 7.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形 组成的6X6网格中，点A,B,C,D均在格 点上 (1)在图①中，以点O为位似中心，画 △DEF,使△ABC与△DEF位似，且相似 此为的 (2)在图②中的BD上找一点P,使△APB ∽△CPD. 图① 图② 下册课外拓展提高 875.33 6.0.96【解析】如图，过点O作MN⊥ C0.8D N/ AB于点M,MN交CD于点N,则 ON=x,OM=1.2. AB∥CD,∴.△OCD∽△OBA, 1.2 8微品即后 =,. M B -单位：m 0.96. 7.4√6【解析】设△ADE的面积为k,则△AFG的面积 为2k,△ABC的面积为3k..DE∥FG∥BC, .△ADED△AFGD△ABC.:S△ADE：S△AFG: S△A=1:2:3,.△AFG和△ABC的相似比是 2:√3，.FG:BC=2：√3，即FG:12=2:√3 解得FG=4√6. 8.证明：(1)，四边形ABCD是平行四边形， .CD∥AB,AD∥BC, .∠CDE=∠DAB,∠CBF=∠DAB, ∴.∠CDE=∠CBF. ,'CE⊥AE,CF⊥AF,.∠CED=∠CFB=90°， ∴.△CDE∽△CBF CD CB (2)'△CDE∽△CBF,DE-BF 四边形ABCD是平行四边形， BC-AD.CD-AB能0 .AD·DE=AB·BF 68SE-8S∠cED-∠cFA-90. ∴.△ACF△CDE. 又，'△CBFp△CDE,.△ACF∽△CBF, AC)AC CBCB ,△ACF的边AF上的高与△CBF的边BF上的高相等， Sag-AF AC:AF SACBF BFBCT-BE 31.3相似三角形的应用 第1课时相似三角形在测量中的应用 1.B 2.B【解析】·∠ABC=∠AQP=90°，∠A=∠A, ∴△ABDn△AQP,品-A8 ,AB=40cm,BD=20cm,BQ=11.6m=1160cm, :.P2_40+1160.PQ=600cm=6m. 20 40 3.A【解析】依题意，得AB∥EF,∴.△ABH∽△FEH, ÷08:AB=1,BH=0.5,BE=25∴E 1 2.5-0.5,解得FE=4,∴BC=4. 0.5 4.氵【解析】由题意可知，AM/L, △AMCA0r,cC-8C- 易知CD∥AB,.△OCD∽△OAB, 思货9 6 2=3+4CD=7cm. 5.解：BC∥EF,AB⊥BC,CE⊥EF, ,.∠ACB=∠CDE,∠ABC=∠CED=90°，∴.△ABC p△CED, 0品时9-品m=1,2m AB BC CE⊥EF,FH⊥EF,.CE∥FH, ∴.△CED∽△HFD, 蛋-0-品D=6m .EF ED+FD=7.2 m, ∴.河的宽度EF为7.2m. 第2课时相似三角形与四边形的综合应用 1.B【解析】EF⊥AB,∠ABC=90°， ce-品-2 :AD/Bc,△ADEO△CME,0-E-2. .BC=AD=2CM,即M是BC的中点，.CM=BM. 又.'∠DCM=∠GBM,∠DMC=∠GMB, .△DCM≌△GBM,.GM=DM. 易知CD=BC=AB=AF+BF=2十1=3， .CM=2' 3 MG=DM=vD+N-√+(2)-3 21 2.C【解析】设AE=x,则BE=3-x. ,四边形ABCD是矩形，∴.∠A=∠B=90 ,CE⊥EF,.∠AEF=∠BCE=90°-∠BEC, .∴.△AEF△BCE. “BEBC32-乞AF-3, .AF AE.AF 2 AE+AF=x+(3-)1 5 2 2=-2+2x 2<0,0<x<3, 2 .当x= 2x(-8) 之时，AE+AF取得最大值， 最大位为-×豆×- 4.504【解析】如图，设PQ与AD的交点为点E. .PQ:PN=7:2, 下册详解详析 29个 .设PQ=7kcm,PN=2kcm. ,四边形PQMN为矩形， .PQ∥BC, '.△APQ∽△ABC. AD⊥BC,PQ∥BC,.AD⊥PQ, 股福 由题意可知，AD=40cm,BC=60cm, 7540-2 6 ,解得k=6, 40 ∴.PQ=42cm,PN=12cm, .矩形铁片PQMN的面积为12×42=504(cm). 5.解：(1)：四边形ABCD是正方形， .∠BCD=90°，BC=CD. :△BCE是等边三角形 '.∠BCE=∠BEC=60°，BC=CE, ∴.∠DCE=90°-60°=30°，CD=CE ÷∠CED=∠CDE=2×18s0-30)=75 .∠BED=∠BEC+∠CED=60°+75°=135°. (2)证明：，四边形ABCD是正方形， .∠ABC=90°，∠ABD=45°， .∠ABF=90°， ∴.∠DBF=90°+45°=135. :∠BED=135°，.∠BED=∠DBF. 又，∠BDE=∠FDB,.△BDE∽△FDB 6.解：(1)证明：：四边形ABCD是菱形，AC是菱形的对 角线， .AB=CD=CB=AD,∠DCP=∠BCP,AD∥BC, CD∥AB,.∠CDP=∠F. (CD=CB. 在△DCP与△BCP中，3∠DCP=∠BCP, CP=CP, ∴.△DCP≌△BCP(SAS), ∴.∠CDP=∠CBP, .∠CBP=∠F. 又：∠BPE=∠FPB,∴.△BPE∽△FPB, 路需P限=PEpF (2)由(1)得△BPE∽△FPB, 躁器器 PB=2PE, PB BE PE 1 小PF-BF-PB-2BF=2BE. :AD∥BC,∴.△BEF△ADF, 8e-E8能-6A-eAn, .AB=AD=6,..AF=2AD=12, ..BF=AF-AB=6. 30 九年级数学RJ版 31.4位似 第1课时位似图形的概念及画法 1.B2.C 3.C【解析】连接对应点AF,CE,BD,它们的交点即位 似中心， .位似中心在点G,H之间，.选项A,B不符合题意， AC=2EF,.相似比为2， ∴选项D不符合题意，选项C符合题意. 4智 5.13.5【解析】如图，连接OA..点O,A,A'在同一条 直线上，.点A在OA'上.DA∥CA',OA:AA'= OD:DC=1:2,∴.OA:OA'=1:3,∴图形F的面 积：图形F的面积=1：9.：图形F的面积为1.5， ∴.图形F'的面积=13.5. 01 6.解：(1)如图，点O即为位似中心. (公限影题盒，科治-台 .'AB=2 cm, ∴.A'B'=2AB=4cm. 7.解：(1)如图①，△DEF即为所求. (2)如图②，点P即为所求. 图① 图② 第2课时位似图形的坐标变化规律 1.A2.C 变式题C【解析】：△ABE和△CDE是以点E为位 似中心的位似图形，∴.△ABE∽△CDE.A(3,4), C(2,2),E(1,0),.由勾股定理，得AE=√2十4= 2√5，CE=√+2=√5，∴.△ABE和△CDE的相似 比为2.：D(3,1),∴.点B的横坐标为2×3-1=5，纵 坐标为1×2=2，.点B的坐标是(5,2). 3.(6-2a,-2b)【解析】如图，过点C作CM⊥AB于 点M,过点C'作C'N⊥AB'于点N,则∠ANC'= ∠AMC=90. AC 1 :△ABC与△AB'C'的相似比为2∴AC=2 又.∠CAM=∠C'AN,.△ACM△AC'N, 兴怨