31.3 第1课时 相似三角形在测量中的应用-【学海风暴】2026-2027学年九年级下册数学同步教学(教师用书)(人教版·新教材)

31.3 相似 第1课时 相似三 已知识要点扫描 相似三角形的应用 相似三角形在生产和生活中有着广泛的 应用，利用相似三角形的知识可以解决一些不 能直接测量的物体的长度、宽度或高度问题。 解决这类问题的关键是建立数学模型，构造相 似三角形，根据相似三角形的对应边的比相等 列出比例式，通过解方程求出答案， 常见的应用如下：(1)利用影长测量物体 的高度；(2)利用相似测量河的宽度；(3)借助 标杆或直尺测量物体的高度；(4)利用镜子的 反射测量旗杆的高度 已经典例题剖析 【例】跨物理学科为了测量路灯EP的长 度，小明从灯杆底部N沿人行道拉一皮卷尺到 B处，在BN之间水平放置一平面镜，移动镜 子的位置分别到C,D两点时，小明恰好能在 镜中分别看到两灯全貌，其视线如下图所示， 点B,C,D,N在同一水平直线上，且AB,MN 均垂直于BN,D,P,F三点共线，且EP⊥ MN,FM⊥MN.已知小明眼睛离地面的高度 AB=1.8 m,BC=1.2 m,CD=0.6 m,DN= 10m,MF=3m,则路灯EP的长约为 m(平面镜的大小忽略不计，结果精确 到0.1). B CD 【点拨】，AB=1.8m,BC=1.2m,CD 0.6m ∴.AB=BD=1.8m,∴.∠ADB=∠BAD 三角形的应用 角形在测量中的应用 =45°.由反射角=入射角，可得∠PDN= ∠DPN=45°，∴.PN=DN=10m.由题可知 EP⊥MN,FM⊥MN.如 图，过点E作EG⊥BN于 点G,则四边形EGNP是 矩形，∴EG=PN=10m,B CD G N EP=GN.由题可知∠ABC=∠EGC=90°， EG ∠ACB=∠ECG,∴.△ABC∽△EGC,∴. AB CG 10 CG 2 B,即.8=1.2CG= 3m,∴.GN= 20 DN+CD-CG=10+0.6 -≈3.9(m), .EP=GN=3.9m.故路灯EP的长约为3.9m. 【解】3.9 已基础对点训练 知识点①利用相似测量高度 1.古代数学文化“今有井，径五尺，不知其深 立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸 问井深几何.”这是我国古代数学著作《九章 算术》中的“井深几何”问题，由如图所示的 示意图可知其题意.设井深为x尺，则所列 方程正确的是 (A) 50.4 5_0.4 A.5+x B. 5 5 x 5 C.x+50.4 5_5-0.4 0 0.4 AE 5尺 D 0.4尺 B5尺C 第1题图 第2题图 2.(2026九江永修一模)大约在两千四五百年 下册第三十一章 15△ 前，墨子和他的学生做了世界上首个小孔成 倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记 录：“景到（倒），在午有端，与景长，说在端.” 如图所示的小孔成像实验中，若物距为 10cm,像距为15cm,蜡烛火焰倒立的像的 高度是3cm,则蜡烛火焰的高度是(A) A.2 cm B.2.5 cm C.4 cm D.4.5 cm 3.(教材变式)学习了相似 三角形相关知识后，小 明和小亮想利用“标杆” E 测量大楼的高度.如右 图，小明站立在地面点F处，小亮在点B处 竖立“标杆”AB,使得小明的头顶点E、杆顶 点A、楼顶点C在一条直线上，点F,B,D 也在一条直线上.已知小明的身高EF 1.5m,“标杆”AB=2.5m,BD=23m,FB =2m. (1)大楼的高度CD为多少米(CD垂直于地 面BD)? (2)小明站在原来的位置，小亮通过移动“标 杆”AB,用同样的方法测得楼CD上点G的 高度GD=11.5m,那么相对于第一次测量， “标杆”AB应该向大楼方向移动 0.5m. 解：(1)如图，过点E作EH ⊥CD于点H,交AB于点 J,则四边形EFBJ、四边形 EFDH都是矩形， :FE =BJ DH=1.5 m,F FB=EJ=2m,BD=JH=23 m,..EH=EJ+JH=2 +23=25(m). AB=2.5m,.AJ=AB-BJ=2.5-1.5=1(m). AJ∥CH,∴△EAJ∽△ECH, 尚-品0-若am=25m ∴.CD=CH+DH=12.5+1.5=14(m), ∴.大楼的高度CD为14m. 6 九年级数学J版 知识点②利用相似测量宽度或长度 4.跨物理学科阿基米德曾说过：“给我一个支 点，我能撬动整个地球.”这句话生动体现了 杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度， 用较小的力就能撬动重物.这一原理在生活 中随处可见.如图①，这是用杠杆撬石头的 示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动 石头.如图②所示，动力臂OA=150cm,阻 力臂OB=50cm,BD=20cm,则AC的长 度是 (B) 0D 图① 图② 第4题图 A.80 cm B.60 cm C.50 cm D.40 cm 5.方程思想下图为一条东西走向的笔直公 路，点A,B表示公路北侧间隔150m的两 棵树所在的位置，点C表示电视塔所在的位 置.小王在公路南侧沿直线PQ行走，当他 到达点P的位置时，观察并发现树A恰好 挡住电视塔C,即点P,A,C在同一条直线 上；当他继续走180m到达点Q的位置时， 以同样的方法观察，发现树B也恰好挡住电 视塔C.假设公路两侧AB∥PQ,且公路的宽 为60m,求电视塔C到公路南侧PQ的 距离. 解：如图，过点C作CE⊥PQ,交PO 北 C 东 的延长线于点E,交AB的延长线 于点D.:AB∥PQ,.CD⊥AB. 设CD=xm,则CE=(60十x)m. :AB∥PQ,∴.△ABC△POC, 是-治甲千0-器解得 =300,∴x+60=360, ∴.电视塔C到公路南侧PO的距离 是360m.31.3相似三角形的应用 第1课时相似三角形在测量中的应用 1.A2.A 3.解：(1)如图，过点E作EH ⊥CD于点H,交AB于点 J,则四边形EFBJ、四边形 EFDH都是矩形， ∴.FE=BJ=DH=1.5m, F BB FB=EJ=2 m,BD=JH= 23m,.EH=EJ十JH=2+23=25(m). AB=2.5m,.AJ=AB-BJ=2.5-1.5=1(m). ,AJ∥CH,∴.△EAJ∽△ECH, 品品需cH=125m… 12 ∴.CD=CH+DH=12.5+1.5=14(m), .大楼的高度CD为14m. (2)0.5 【解析】(2)如图，连接EG,过点A作AA'∥BD,交EG 于点A',过点A'作A'B'⊥BD于点B',交EH于 点R. AR/GH.△AERGEI10-器， 六.5-.5器R=25m 1 ER ∴.AA'=ER-EJ=2.5-2=0.5(m), .“标杆”AB应该向大楼方向移动0.5m. 4.B 5.解：如图，过点C作CE⊥PQ,交PQ的延长线于点E, 交AB的延长线于点D, AB∥PQ,∴.CD⊥AB. 设CD=xm,则CE=(60十x)m. AB∥PQ,∴.△ABC∽△PQC, 是治即千0惯 t+60180,解得x =300,∴.x+60=360, ∴.电视塔C到公路南侧PQ的距离是360m. 第2课时相似三角形与四边形的综合应用 1.C2.A 3.证明：，四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD=BC,∠D=∠B. ∠D=∠ACE,∴∠ACE=∠B :∠AEC=∠BEC,∴.△ECA∽△EBC, ÷品器c·C=ACEB, ,.AD·EC=AC·EB 4.D 40 5.17【解析】由题意，得C1=B1-BC=40-4×5=20 (cm),EF=20 cm,FG=5 cm. ,∠EFC+∠CEF=90°，∠EFC+∠GFI=90°， ∠CEF=∠IFG. ∠ECF=∠FIG=90°，.△GIF∽△FCE, 品器。 是动 ..CE=4FI. 在Rt△CEF中，由勾股定理，得CE十CF=EF, 即(4FI)2+(20-FI)2=202, 40 解得F1=行或FI=0(舍去). 故FI的长为7cem. 40 6.解：设它们出发ts时，以P,B,Q为顶点的三角形与 △ABC相似， 则BP=(10-t)cm,BQ=2tcm.分以下两种情况： D:∠B=∠R,∴当熙-股时，△PB0n△AC 190-易4=5，符合题意： ②：∠B=∠B,当部-器时，△ACB1, 10-品1=2，作合题意 综上所述，它们出发5s或2s时，以P,B,Q为顶点的 三角形与△ABC相似. 7.√3-1【解析】在Rt△ABE中，∠B=30°，AB=√3， ·AE二S,由勾股定理，得BE=AB=AE 、号·根据翻折的性质可得BF=2BE=3,∴CF=3 AD 5.:AD∥CF,.易证△ADG∽△FCG,FC 即B--cG DG 3-5=CG,解得CG=3-1. 8.证明：(1)连接BC,OB,OC,如图. :AB,AC是⊙O的两条弦，且AB =AC, ∴点A在BC的垂直平分线上. .OB=OA=OC. ∴点O在BC的垂直平分线上， ∴AO垂直平分BC,.BD=CD. (AB-AO AD. 又：∠BAO=∠DAB,△ABO∽△ADB,∴.∠OBA =∠ADB. OA=OB,∴.∠OBA=∠OAB,∴∠OAB=∠BDA, .'.AB=BD. .AB=AC,BD=CD, ∴AB=AC=BD=CD,.四边形ABDC是菱形. 下册详解详析 5△