期中（第1章～3章）阶段复习解答题考点汇总训练（十六大类型）-2026-2027学年浙教版九年级上册数学《典例全解·题型通关》

2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 期中（第1章～3章）阶段复习解答题考点汇总训练 （十六大类型） 目录 考点一二次函数的意义 1 考点二二次函数的图象 2 考点三二次函数的性质 4 考点四二次函数与一元二次方程的关系 5 考点五二次函数的应用 6 考点六随机事件 8 考点七简单随机事件的概率 9 考点八用频率估计概率 11 考点九概率的简单应用 13 考点十圆的有关概念 14 考点十一圆心角 15 考点十二垂径定理 16 考点十三圆周角 18 考点十四圆内接四边形 19 考点十五正多边形 20 考点十六弧长及扇形的面积 21 考点一二次函数的意义 1．写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．学校准备将一块长，宽的矩形绿地进行扩建，如果长和宽都增加，扩建成一个大矩形，设增加的面积是，求与之间的函数解析式． 3．已知函数（m为常数）． (1)当m满足什么条件时，该函数是二次函数？ (2)当m满足什么条件时，该函数是一次函数？ (3)该函数可能是正比例函数吗？ 考点二二次函数的图象 4．如图，菱形的顶点，，在抛物线上，其中点为坐标原点，对角线在轴上，且． (1)点的坐标为________； (2)求出菱形的面积． 5．已知二次函数的图象的顶点坐标为． (1)写出m，k的值． (2)判断点是否在这个函数的图象上． (3)将该二次函数的图象先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得函数．求a，b，c的值． 6．已知二次函数． (1)求该二次函数图象的顶点坐标和对称轴； (2)在下面给定的平面直角坐标系中画出该函数的图象（只要求画出图象，不必列表）； (3)根据图象直接写出：当时，x的取值范围． 考点三二次函数的性质 7．已知筝形的对角线，的长度为整数值，且满足 设的长为，四边形的面积为，试求为多少时，有最大值，并求出的最大值 8．根据下列条件分别求出a的值或取值范围． (1)函数，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． (2)函数有最大值． (3)抛物线与抛物线的形状相同． 9．如图，抛物线与轴交于两点，且过点． (1)求的值； (2)设抛物线交轴于点，抛物线的顶点是点，求四边形的面积． (3)在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出周长的最小值和点的坐标；若不存在，请说明理由． 考点四二次函数与一元二次方程的关系 10．已知抛物线． (1)用配方法求顶点坐标、对称轴； (2)直接写出当取何值时，；当取何值时，；当取何值时， 11．如图所示，直线交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线的顶点为A，且经过点B． (1)求该抛物线所对应的二次函数的表达式． (2)若点在该抛物线上，求m的值． (3)直接写出，x的取值范围． 12．如图，抛物线与轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点，点是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接、、、，延长交轴于点． (1)若，求点的坐标和线段的长度； (2)若对任意，、两点总关于轴对称，求点的坐标（用含的式子表示）； (3)当点运动到某一位置时，恰好使得点是线段的中点． ①求证：； ②该抛物线上存在一点，若此时恰好满足，且对于动点总有实数满足恒成立，求实数n的取值范围． 考点五二次函数的应用 13．要建造一个矩形花圃，其中一边靠墙，其他三边用40米的篱笆围成矩形花圃，已知墙长16米，设长为x米，矩形面积为S平方米． (1)求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？ 14．如图，某经济开发区计划在道路上方搭建一座抛物线形彩虹桥，已知道路的宽为，路内侧两边各有宽的绿化带，其余路面正常通行，桥面最高处到路面的距离为．以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的表达式； (2)按计划在该彩虹桥下方对称安置两个支撑柱进行支撑，若要确保道路的正常通行，求支撑柱的最大高度． 15．如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象．把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到绿化带的距离为d（单位：m）． (1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； (2)求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； (3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围． 考点六随机事件 16．在一个不透明的口袋中装有除颜色外无其他差别的5个红球，3个蓝球和2个白球，它们已经在口袋中被搅匀了，请判断以下事件是随机事件、不可能事件还是必然事件． (1)任意取出1个球，是白球； (2)任意取出6个球，至少有1个是红球； (3)任意取出5个球，全是蓝球． 17．如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域． (1)转动6次，指针都指向红色区域，则第7次转动时指针指向红色区域是 事件； （填“随机”、“必然”或“不可能”） (2)转动转盘，指针指向哪种颜色的可能性最大？指向哪种颜色的可能性最小？ (3)能否通过改变各颜色区域的数目，使指针指向每种颜色区域的可能性相同？请写出你的方案． 18．盒中装有红球、黄球共100个，每个球除颜色以外都相同，每次从盒中摸一个球，摸三次，请你设计下面几种情况的摸球方案． (1)摸到红球是不可能的； (2)摸到红球是必然的； (3)摸到红球情况有三种：很可能，可能，不太可能． 考点七简单随机事件的概率 19．班级里有位女同学和位男同学，每位同学的名字都被分别写在一张小纸条上，并放入一个盒中搅匀．如果老师随机地从盒中取出1张纸条，那么是抽到男同学名字的概率大还是抽到女同学名字的概率大，还是这两个概率一样大？ 20．准备三张大小一样的纸片，上面印有不同的图案（如照片、自己画的图片等），把每张纸片都对折，剪成大小一样的两张图片（如图所示）．将这六张小纸片有图案的一面朝下，然后混合，让你的同伴随机抽出两张小纸片．你认为抽出的两张小纸片正好能成功拼成原图的机会大吗？猜一猜，大概平均几次里会有一次成功呢？收集拼图片活动的试验数据，检验恰好拼成原图的频率是否随试验次数的增加而趋于稳定． 实验者 试验次数（） 成功次数（） 成功的频率（） 同学A 20 4 0.20 同学B 20 5 0.25 同学C 20 3 0.15 同学D 20 4 0.20 同学E 20 6 0.25 同学F 20 2 0.10 合计 120 24 0.20 21．在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的12个小球，其中红球4个，黑球8个． (1)先从袋子中取出个红球，不放回，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A．请完成下列表格： 事件A 必然事件 随机事件 m的值 ______ ______ (2)从袋子中取出n个黑球不放回，再从袋子中随机摸出1个球，摸出的球是黑球的可能性大小与摸出的球是红球的可能性大小相同，求n的值． 考点八用频率估计概率 22．《测圆海镜》《四元玉鉴》《几何原本》均为世界数学宝库中不可多得的瑰宝．将上述三本数学典籍依次记为、、，将2个写有字母，6个写有字母，4个写有字母的形状大小完全相同的小球放入一个不透明的布袋中，将袋中的小球摇匀后，从中随机摸出一个小球，记下小球上的字母后放回，记为随机摸球1次． (1)随机摸球20次，其中摸出写有字母的小球4次，则这20次摸球中，摸出写有字母的小球的频率是________； (2)已知《测圆海镜》和《四元玉鉴》是我国著作，《几何原本》是外国著作，小美和小乐玩摸球游戏，随机摸球1次，若摸出的小球上字母所对应的典籍是我国著作，则小美赢；若摸出的小球上字母所对应的典籍是外国著作，则小乐赢．请分别计算出小美赢的概率和小乐赢的概率，并说明谁赢的概率大． 23．在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是试验中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 70 128 171 302 481 599 1806 摸到白球的频率 0.7 0.64 0.57 0.604 0.601 0.599 0.602 (1)请估计当n很大时，摸到白球的概率（精确到0.1）． (2)若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有1个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.5，那么可以推测出x最有可能是多少？ 24．一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球若干个，这些球除颜色外其他都相同．小明从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后放回并摇匀，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题： (1)摸到黑球的频率稳定在___________附近（结果精确到）： (2)若袋子中有4个黑球． ①估算袋子中两种颜色的球的总个数； ②若小明又将个相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，则摸出黑球的概率为___________．（用含的式子表示） 考点九概率的简单应用 25．一家冷饮厂在电视里做广告，说他们厂生产的雪糕在小木棍上印有四种图案，集齐四根印有不同图案的小木棍就能够拼成一幅图，凭此可以在指定的商店领取一份奖品．假设该厂准备的印有四种图案的小木棍一样多，而且每支雪糕中夹入印有哪种图案的小木棍也完全是随机的，那么，平均要买多少支雪糕才能得奖呢？ 26．为刺激消费，某超市举行促销活动，凡在超市购物总额超过元，便可以转动一次转盘，转盘分成个大小相同的扇形，部分扇形涂有红、黄、蓝三种颜色，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或蓝色区域，顾客就可以分别获得元、元、元的购物券．小军妈妈去超市购物元． (1)求小军妈妈获得购物券的概率； (2)小军妈妈获得哪种购物券的概率最大？请说明理由． 27．某校举行“传颂中华家风，弘扬中华美德”演讲比赛．每班选拔一人参加．七年级（1）班的小丽和小华表现都很优秀，现在打算从这2名同学中任选1名参加学校的演讲比赛．为此设计了如下游戏规则：在一个不透明的袋子里装有10个除号码外其余都相同的小球，小球的号码分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9，10．将它们充分摇匀，并从中任意摸出一个小球．规定摸出小球的号码是质数时，则小丽去；摸出小球的号码能被5整除时，则小华去．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．如果不公平，应该如何修改游戏规则才能对双方公平？ 考点十圆的有关概念 28．如图，已知的半径为6，A是上一点，是的弦，连接，，D，E分别是，的中点，求的最大值． 29．乐乐发现墙上点A处挂着一个圆形的装饰物，如图所示，悬挂绳分别切于点B、C，连接． (1)求证：垂直平分． (2)当为，四边形为正方形时，求的面积．（结果保留π） 30．如图，在中，，是的内切圆，切点分别是、、． (1)连接、，则______． (2)若，，求的半径． (3)在（2）的条件下，的外心和内心的距离等于______． 考点十一圆心角 31．如图，是的直径，是上一点，为延长线上一点，连接与交于点，且，若，求的度数． 32．如图，是直径，D是弦的延长线上一点，且，的延长线交于点E． (1)吗？为什么？ (2)若弧的度数为，求弧的度数？（用含m的式子表示） 33．如图，点在以为直径的上，连接，，过点作，垂足为，在圆上取一点，使连接，． (1)求证：； (2)若，求的半径和的长． 考点十二垂径定理 34．如图，是的直径，点C在上，连接，过点O作，交于点D，且点C、D位于的同侧，过点D作于点E．若，的半径长为，过点O作于点H，求的长． 35．如图，以为圆心的两个同心圆中，不经过圆心的线段与两圆相交，自左向右的交点依次为点、、、． (1)求证：； (2)连接、，如果，，，求小圆半径的值． 36．在历史的长河中，很多文物难免损耗或破碎断裂，而文物修复师能运用自身拥有的多门学科的专业知识去修复破损的文物，使其重获新生．如图，某文物修复师在修复一件破碎的古代瓷器束口盏（盏口原貌为圆形）的时候，仅凭一块碎片就初步推算出了该文物原貌口径的尺寸．如图是文物修复师根据碎片的切面画出的几何图形．碎片的边缘是圆弧，表示为弧，测得弧所对的弦长为，弧中点到弦的距离为．设弧所在圆的圆心为，半径于，连接．求这个盏口半径的长． 考点十三圆周角 37．判断下列各图中的是不是圆周角，并说明理由． (1) 38．如图，是的直径，点D在半径上． (1)求作射线，使得点C在半圆上，射线是的平分线；要求：①用无刻度直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹； (2)在（1）的条件下，连接，若，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 39．如图，是的外接圆，平分交于点，平分交于点． (1)若，，求的度数； (2)若，到弦的距离为3， ①求半径的长； ②连接，设，，请直接写出与之间的函数关系式和的最大值． 考点十四圆内接四边形 40．如图，四边形内接于，E是延长线上的一点，的延长线交于点F，，． (1)求的度数； (2)求证：四边形是平行四边形． 41．如图，是直径，E、D是上两点，延长与交于C，且． (1)求证：． (2)若，，求． 42．我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”． (1)如图1，“等对角四边形”内接于，，则______，______； (2)如图2，“等对角四边形”内接于，且，，点在的延长线上，连接，，，，请证明：四边形是“等对角四边形”； 考点十五正多边形 43．如图所示的齿轮有20个齿，相邻两齿之间的间隔相等．相邻两齿与圆心连线的夹角为多少度？如果让这样的齿轮旋转1周，那么在旋转过程中有多少次和原图形重合？ 44．按要求作图： (1)在图1中画的内接正三角形； (2)在图2中画的内接正八边形． 45．如图，为等边的外接圆，半径为2，点在劣弧上运动（不与点A，B重合），连接，，． (1)求证：是的平分线； (2)若，求四边形的面积； (3)若点M，N分别在线段，上运动（不含端点），经过探究发现，当为直径时，的周长有最大值，请直接写出的值． 考点十六弧长及扇形的面积 46．如图，已知． (1)用直尺和圆规作出的外接圆O； (2)若，，求的长度． 47．如图，有一直径为4的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为60°的扇形ABC． (1)求剪下的扇形ABC（即阴影部分）的半径； (2)若用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥形铁帽，求此圆锥形铁帽的底面圆的半径r． 48．大家元摩天轮建在屋顶，建筑面积约1万，高101米，共48只轿厢，可同时容纳384人，现今是全国第二大摩天轮，也是国内最大的屋顶摩天轮，坐落在石角镇美林湖社区湖岸西路，距广清纺织园仅几分钟车程，作为清远的地标建筑之一，这里也是很多旅客的打卡圣地．如图1，是夜幕下的摩天轮，灯光璀璨，绽放异彩，图2是其示意图，虚线部分被屋顶遮住了． (1)在图2中画出摩天轮的圆心O（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若已知摩天轮的半径为，拱门下端为．求扇形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 期中（第1章～3章）阶段复习解答题考点汇总训练 （十六大类型） 目录 考点一二次函数的意义 1 考点二二次函数的图象 3 考点三二次函数的性质 7 考点四二次函数与一元二次方程的关系 11 考点五二次函数的应用 17 考点六随机事件 20 考点七简单随机事件的概率 22 考点八用频率估计概率 25 考点九概率的简单应用 27 考点十圆的有关概念 30 考点十一圆心角 33 考点十二垂径定理 37 考点十三圆周角 40 考点十四圆内接四边形 46 考点十五正多边形 50 考点十六弧长及扇形的面积 54 考点一二次函数的意义 1．写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)二次项系数是，一次项系数是，常数项是 (2)二次项系数是，一次项系数是，常数项是 (3)二次项系数是，一次项系数是，常数项是 (4)二次项系数是，一次项系数是，常数项是 【详解】（1）解：二次项系数是，一次项系数是，常数项是； （2）解：二次项系数是，一次项系数是，常数项是； （3）解：二次项系数是，一次项系数是，常数项是； （4）解：， 二次项系数是，一次项系数是，常数项是． 2．学校准备将一块长，宽的矩形绿地进行扩建，如果长和宽都增加，扩建成一个大矩形，设增加的面积是，求与之间的函数解析式． 【答案】 【分析】根据题意可得长和宽增加后矩形的长为，宽为，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 即与之间的函数解析式为． 3．已知函数（m为常数）． (1)当m满足什么条件时，该函数是二次函数？ (2)当m满足什么条件时，该函数是一次函数？ (3)该函数可能是正比例函数吗？ 【答案】(1) (2) (3)该函数不可能是正比例函数 【分析】（1）根据二次函数的定义，二次项的系数不能为0，列出不等式，求解得出m的取值范围即可； （2）根据一次函数的定义，一次项的系数不能为零，且二次项的系数应该为0，据此求解得出m的值即可； （3）根据正比例函数的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：∵函数是二次函数， ∴， 解得， 故当时，该函数是二次函数． （2）解：∵函数是一次函数， ∴且， 解得， 故当时，该函数是一次函数． （3）解：该函数的常数项是，不可能为0， ∴该函数不可能是正比例函数． 考点二二次函数的图象 4．如图，菱形的顶点，，在抛物线上，其中点为坐标原点，对角线在轴上，且． (1)点的坐标为________； (2)求出菱形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，交轴于点，由菱形的性质可知，且，从而可推导出点的纵坐标，再将点的纵坐标代入抛物线中，由点所在象限判断正负号即可． （2）长度已知，由点、的坐标可知的长度，结合菱形的性质可求得的长度，再代入菱形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，连接交轴于点， 为菱形，为坐标原点，为对角线且与轴重合， ，即轴， 根据菱形的性质，可知， ， 点的坐标为， 又轴， 轴， 点的纵坐标为， 将代入中， 得， 整理，得， 解得， 由于点在第一象限，第一象限的点的坐标大于， 故， 点的坐标为． （2）解：， ， 由菱形的性质可知，，， ， 菱形的面积是：． 5．已知二次函数的图象的顶点坐标为． (1)写出m，k的值． (2)判断点是否在这个函数的图象上． (3)将该二次函数的图象先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得函数．求a，b，c的值． 【答案】(1) ， (2) 点在这个函数的图象上 (3) ，， 【分析】（1）直接根据顶点式的性质，作答即可； （2）把代入函数解析式，求出函数值，进行判断即可； （3）根据平移规则求出平移后的解析式，即可得出结果. 【详解】（1）解：∵二次函数的顶点坐标为， 又∵图象顶点坐标为， ∴，； （2）解：由（1）得函数解析式为， 当时，， 故点在该函数图象上； （3）解：由（1）得原函数解析式为， 向左平移1个单位，得， 向下平移2个单位，得， ∵， ∴，，. 6．已知二次函数． (1)求该二次函数图象的顶点坐标和对称轴； (2)在下面给定的平面直角坐标系中画出该函数的图象（只要求画出图象，不必列表）； (3)根据图象直接写出：当时，x的取值范围． 【答案】(1)顶点坐标是，对称轴是直线 (2)该函数的图象如图： (3)当时， 【分析】（1）先配方成顶点式，即可写出顶点坐标； （2）根据五点作图法即可作图； （3）根据函数图象即可求解． 【详解】（1）解：． 所以图象的顶点坐标是，对称轴是直线； （2）解：画图要点： ①抛物线开口向上，顶点坐标是，对称轴是直线； ②与x轴交于、两点； ③与y轴交于，其关于对称轴的对称点为； ④用平滑曲线顺次连接上述各点，图象略； （3）解：由图象得，当时，． 考点三二次函数的性质 7．已知筝形的对角线，的长度为整数值，且满足 设的长为，四边形的面积为，试求为多少时，有最大值，并求出的最大值 【答案】当时，面积取最大值为 【分析】设，则，根据题意列出面积S与x的函数关系式，化为顶点式即可求解． 【详解】解：设，则 根据题意得：筝形面积 当时，均为整数，面积取最大值． 8．根据下列条件分别求出a的值或取值范围． (1)函数，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． (2)函数有最大值． (3)抛物线与抛物线的形状相同． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的开口方向、最值与二次项系数的关系． （1）根据二次函数的开口方向与增减性的关系，时，开口向下，时随增大而减小，时随增大而增大； （2）根据二次函数的最值与开口方向的关系，时，开口向下，函数有最大值； （3）抛物线的形状由二次项系数的绝对值决定，若两个抛物线形状相同，则它们二次项系数的绝对值相等，即可算出的取值． 【详解】（1）解：∵当时，随增大而减小，时，随增大而增大， ∴， 解得：． （2）解：∵函数有最大值， ∴抛物线开口向下，即：， 解得：． （3）解：∵抛物线与抛物线的形状相同， ∴， 解得：或． 9．如图，抛物线与轴交于两点，且过点． (1)求的值； (2)设抛物线交轴于点，抛物线的顶点是点，求四边形的面积． (3)在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出周长的最小值和点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)的值为，的值为 (2) (3)存在满足条件的点；周长的最小值为，点的坐标为 【分析】（1）将三个点的坐标代入二次函数一般式，得到三元一次方程组，直接求解方程组即可得到三个参数的取值； （2）首先根据抛物线解析式求出y轴交点C和顶点D的坐标，利用A、B两点都在x轴上的特点，将四边形沿x轴方向分割为两个三角形和一个梯形，分别计算各部分面积后求和，即可得到四边形的面积； （3）周长由三部分组成，是固定长度，因此只需让的和最小即可．再利用抛物线的对称性，将转化为，根据两点之间线段最短，的最小值就是线段的长度，此时Q点就是直线和对称轴的交点，代入计算即可得到Q点坐标和周长最小值． 【详解】（1）解：已知抛物线与轴交于两点，且过点， 则， 解得， 所以的值为，的值为． （2）解：当时，，即， 因为， 所以顶点． 过点作轴于， 则，， 因为， 所以，，， 则 ， 所以四边形的面积为． （3）解：由题意，的周长为，其中， 因为点A和点B关于抛物线对称轴对称， 所以， 因此， 当B、Q、C三点共线时，取得最小值，最小值为线段的长度， ， 因此周长的最小值为， 设直线的解析式为，代入，得： ， 解得， 即直线的解析式为． 将代入，可得， 即． 所以存在满足条件的点，周长的最小值为，点的坐标为． 考点四二次函数与一元二次方程的关系 10．已知抛物线． (1)用配方法求顶点坐标、对称轴； (2)直接写出当取何值时，；当取何值时，；当取何值时， 【答案】(1) 顶点坐标为，对称轴为直线 (2) 当或时，； 当或时，； 当时， 【分析】（1）把抛物线的解析式整理成顶点坐标式，根据解析式即可得到抛物线的顶点坐标和对称轴； （2）由抛物线的解析式可知抛物线开口向上，解方程即可求出当或时，；根据抛物线的开口向上可知：当或时，；当时，． 【详解】（1）解：， 配方得：， 抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线； （2）解：抛物线中， 抛物线开口向上， 解方程， 分解因式可得：， 可得：，， 解得：，， 当或时，； 当或时，； 当时，． 11．如图所示，直线交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线的顶点为A，且经过点B． (1)求该抛物线所对应的二次函数的表达式． (2)若点在该抛物线上，求m的值． (3)直接写出，x的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】（1）先利用一次函数解析式确定A、B点的坐标，然后设顶点式，利用待定系数法求抛物线解析式； （2）把C点坐标代入抛物线解析式得到关于m的一元二次方程，然后解方程可确定m的值； （3）观察函数图象，写出一次函数图象在二次函数图象上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】（1）解：当时， 解得， ∴， 当时，， ∴， 由题意得，设抛物线解析式为， 把代入得 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：把点代入中， 得 解得，； （3）解：由图可得，当或时，一次函数图象在二次函数图象上方． 12．如图，抛物线与轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点，点是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接、、、，延长交轴于点． (1)若，求点的坐标和线段的长度； (2)若对任意，、两点总关于轴对称，求点的坐标（用含的式子表示）； (3)当点运动到某一位置时，恰好使得点是线段的中点． ①求证：； ②该抛物线上存在一点，若此时恰好满足，且对于动点总有实数满足恒成立，求实数n的取值范围． 【答案】(1)，的长度为4 (2)点的坐标为 (3)①证明：由题可知点． ∵点是线段的中点， ，即点在线段的垂直平分线上． ∵， ∴点的横坐标为3，即，代入抛物线， 得，即点的坐标为． ∵点是线段的中点， 设点， ∴，即， ∴点的坐标为，即． 由(2)知点的坐标为，即， ； ②或 【分析】（1）当时，得，当时，得，可得点，进而可得的长，当时，可得的坐标； （2）首先，得到，再当时，，且，可得，然后，由、两点总关于x轴对称，得，进而可得直线的解析式为，接着，由点为直线与抛物线的交点，联立成方程组，解方程组即可得到点D的坐标； （3）①由题可知点，由点是线段的中点，得点在线段的垂直平分线上，再由，可得点的横坐标为3，代入抛物线的解析式得，进而得点的坐标为，由点是线段的中点，设点，可得点的坐标为，即，进而可证得结论； ②由①可知点的坐标为，可得，再由，，，可得，进而得，解得，接着，可得抛物线的解析式为，然后，由动点在抛物线上，可得，令，得其对称轴为直线，可得当时，随的增大而增大，当时，得的最小值为，进而得，即，令，结合图象即可得出n的取值范围． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 解得， ∵抛物线与轴交于两点（点在点左侧）， ∴． ∴的长度为． 当时，， ∴； （2）解：由题可知当时，， ∴， 当时，，且， 整理，得， 解得， ∴，即， ∵对任意，、两点总关于x轴对称， ∴， 设直线的解析式为， 将代入，可得 ，解得， ∴直线的解析式为， ∵点为直线与抛物线的交点， ∴解方程组，得或(点舍去）， ∴点的坐标为； （3）①略； ②解:由①可知点的坐标为． ∴， ，，， ． ∴， ，即． ∴抛物线的解析式为． ∵动点在抛物线上， ． 令， ∴其对称轴为直线． 则当时，随的增大而增大． ∴当时，有最小值，的最小值为． ，即． 令， 当时，，解得， 结合的图象可得，当时，即的取值范围为或． 考点五二次函数的应用 13．要建造一个矩形花圃，其中一边靠墙，其他三边用40米的篱笆围成矩形花圃，已知墙长16米，设长为x米，矩形面积为S平方米． (1)求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)当时，矩形场地面积S最大，最大面积是平方米 【分析】（1）根据矩形的性质求出，即可表示出S与x之间的函数关系式，再根据墙长16米，即可确定自变量x的取值范围； （2）由，得出当时，S随着x的增大而减小，所以当时，矩形场地面积S最大，最大面积是． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵篱笆的总长为40米， ∴， ∵墙长16米， ∴，解得：， ∴． （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下， ∴当时，S随着x的增大而减小， ∴当时，矩形场地面积S最大，，最大面积是平方米． 14．如图，某经济开发区计划在道路上方搭建一座抛物线形彩虹桥，已知道路的宽为，路内侧两边各有宽的绿化带，其余路面正常通行，桥面最高处到路面的距离为．以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的表达式； (2)按计划在该彩虹桥下方对称安置两个支撑柱进行支撑，若要确保道路的正常通行，求支撑柱的最大高度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）确定抛物线顶点坐标和点B坐标，利用待定系数法求解即可； （2）根据“确保道路正常通行”确定支撑柱的横坐标范围，代入抛物线解析式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴顶点，点， 设抛物线的表达式为， 把点代入得， 解得， ∴抛物线的表达式为． （2）解：∵要确保道路的正常通行， ∴两个支撑柱之间的距离最少为， ∵支撑柱对称安置且要确保道路正常通行， ∴支撑柱到的距离至少为， 令，则， ∴支撑柱的最大高度为． 15．如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象．把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到绿化带的距离为d（单位：m）． (1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； (2)求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； (3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由顶点设，再根据抛物线过点，可得a的值，从而解决问题； （2）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，可得点B的坐标； （3）根据，求出点F的坐标，利用增减性可得d的最大值和最小值，从而得出答案． 【详解】（1）解：由题意得顶点， 设， 又∵抛物线过点， ， ∴， ∴上边缘抛物线的函数解析式为， 当时，， 解得，（舍去）， ∴喷出水的最大射程为； （2）解：∵， ∴对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， ∴， ∴点B的坐标为； （3）解：， 点的纵坐标为0.5， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， 当时，要使，则， 当时，随的增大而增大，且时，， ∴当时，要使，则， ，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， 的最大值为， 再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是， 的最小值为2， 综上所述，的取值范围是． 考点六随机事件 16．在一个不透明的口袋中装有除颜色外无其他差别的5个红球，3个蓝球和2个白球，它们已经在口袋中被搅匀了，请判断以下事件是随机事件、不可能事件还是必然事件． (1)任意取出1个球，是白球； (2)任意取出6个球，至少有1个是红球； (3)任意取出5个球，全是蓝球． 【答案】(1)随机事件 (2)必然事件 (3)不可能事件 【分析】（1）口袋存在白球，但不是全部都是白球，结果不确定，属于随机事件． （2）非红球总数只有5个，抽取6个球，不可能全部不是红球，故此事件必然发生． （3）蓝球数量不足5个，无法拿出5个蓝球，故此事件不可能发生． 【详解】（1）解：口袋里有白球，也有红球、蓝球．取一个球，可能拿到白球，也可能拿不到． 所以这是随机事件； （2）解：蓝球加白球一共只有个，就算把全部蓝球、白球都取出，最多拿出5个不是红球的球，取第6个一定是红球，这件事一定发生，所以是必然事件； （3）解：口袋中蓝球只有3个，最多只能取出3个蓝球，不可能取出5个蓝球，这件事一定不会发生，所以是不可能事件． 17．如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域． (1)转动6次，指针都指向红色区域，则第7次转动时指针指向红色区域是 事件； （填“随机”、“必然”或“不可能”） (2)转动转盘，指针指向哪种颜色的可能性最大？指向哪种颜色的可能性最小？ (3)能否通过改变各颜色区域的数目，使指针指向每种颜色区域的可能性相同？请写出你的方案． 【答案】(1)随机； (2)指针指向红色的可能性最大，指向黄色的可能性最小； (3)将1个红色区域改为黄色区域，能使指针指向每种颜色区域的可能性相同． 【分析】（1）根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可解答； （2）根据可能性的大小分别对每一项进行分析，即可得出答案； （3）当三种颜色面积相等的时候能使指针指向每种颜色区域的可能性相同． 【详解】（1）解：第7次转动时指针指向红色区域是随机事件； （2）解：∵指针都指向红色区域的概率为， 指针都指向蓝色区域的概率为：， 指针都指向黄色区域的概率为：， ∴指针指向红色的可能性最大，指向黄色的可能性最小； （3）略． 18．盒中装有红球、黄球共100个，每个球除颜色以外都相同，每次从盒中摸一个球，摸三次，请你设计下面几种情况的摸球方案． (1)摸到红球是不可能的； (2)摸到红球是必然的； (3)摸到红球情况有三种：很可能，可能，不太可能． 【答案】(1)盒中只有100个黄球，任意摸出1个球不可能是红球； (2)盒中只有100个红球，摸出1个红球； (3) 盒中有99个红球、1个黄球，摸到红球； 盒中有50个红球，50个黄球，摸出1个红球； 盒中有99个黄球，1个红球，摸出1个红球（答案不唯一）． 【分析】（1）不放红球即可． （2）都放红球即可． （3）根据可能性的程度确定红球比例即可． 【详解】(1)盒中只有100个黄球，任意摸出1个球不可能是红球； (2)盒中只有100个红球，摸出1个红球； (3)盒中有99个红球、1个黄球，摸到红球； 盒中有50个红球，50个黄球，摸出1个红球； 盒中有99个黄球，1个红球，摸出1个红球（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查随机事件概率的运算方法，能够通过概率大小确定红球个数是解题关键． 考点七简单随机事件的概率 19．班级里有位女同学和位男同学，每位同学的名字都被分别写在一张小纸条上，并放入一个盒中搅匀．如果老师随机地从盒中取出1张纸条，那么是抽到男同学名字的概率大还是抽到女同学名字的概率大，还是这两个概率一样大？ 【答案】 抽到男同学名字的概率大 【详解】解：全班一共有名同学，全班同学名字被抽到的概率是均等的，因此所有机会均等的结果有个，男同学名字被抽到的结果有个，女同学名字被抽到的结果有个． ∴抽到女同学名字的概率为，抽到男同学名字的概率为， ∵， ∴抽到男同学的概率大． 20．准备三张大小一样的纸片，上面印有不同的图案（如照片、自己画的图片等），把每张纸片都对折，剪成大小一样的两张图片（如图所示）．将这六张小纸片有图案的一面朝下，然后混合，让你的同伴随机抽出两张小纸片．你认为抽出的两张小纸片正好能成功拼成原图的机会大吗？猜一猜，大概平均几次里会有一次成功呢？收集拼图片活动的试验数据，检验恰好拼成原图的频率是否随试验次数的增加而趋于稳定． 【答案】猜测：抽出的两张小纸片正好能成功拼成原图的机会不大，若尝试20次，大概平均次里会有一次成功； 收集拼图片活动的试验数据如下： 实验者 试验次数（） 成功次数（） 成功的频率（） 同学A 20 4 0.20 同学B 20 5 0.25 同学C 20 3 0.15 同学D 20 4 0.20 同学E 20 6 0.25 同学F 20 2 0.10 合计 120 24 0.20 检验发现：少量试验时，各组的频率会出现波动（0.20、0.25、0.15、0.10各不相同）；把多组试验合并，总试验次数变多，总频率就接近理论值 0.2，即大量重复试验时，拼成原图的频率会逐渐稳定在 0.2 附近 21．在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的12个小球，其中红球4个，黑球8个． (1)先从袋子中取出个红球，不放回，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A．请完成下列表格： 事件A 必然事件 随机事件 m的值 ______ ______ (2)从袋子中取出n个黑球不放回，再从袋子中随机摸出1个球，摸出的球是黑球的可能性大小与摸出的球是红球的可能性大小相同，求n的值． 【答案】(1) 事件A 必然事件 随机事件 m的值 4 2或3 (2)n的值为4 【分析】（1）根据必然事件（一定会发生）和随机事件（可能发生也可能不发生）的定义，结合袋中红球、黑球的数量变化来确定m的取值； （2）根据题意得出取出n个黑球后，黑球剩余个，红球仍为4个，由摸出黑球与红球可能性相同，可得出剩余黑球数量与剩余红球数量相等，列出一元一次方程即可求解n的值． 【详解】（1）解：当袋子中全为黑球，即先从袋子中取出4个红球时，再从袋子中随机摸出1个球，摸到黑球是必然事件； ∵，当取出2个或3个红球时， ∴摸到黑球为随机事件． （2）解：取出n个黑球后，黑球剩余个，红球仍为4个，则总球数剩余个， ∵摸出黑球与红球可能性相同， ∴剩余黑球数剩余红球数， ∴， 解得， ∴n的值为4． 考点八用频率估计概率 22．《测圆海镜》《四元玉鉴》《几何原本》均为世界数学宝库中不可多得的瑰宝．将上述三本数学典籍依次记为、、，将2个写有字母，6个写有字母，4个写有字母的形状大小完全相同的小球放入一个不透明的布袋中，将袋中的小球摇匀后，从中随机摸出一个小球，记下小球上的字母后放回，记为随机摸球1次． (1)随机摸球20次，其中摸出写有字母的小球4次，则这20次摸球中，摸出写有字母的小球的频率是________； (2)已知《测圆海镜》和《四元玉鉴》是我国著作，《几何原本》是外国著作，小美和小乐玩摸球游戏，随机摸球1次，若摸出的小球上字母所对应的典籍是我国著作，则小美赢；若摸出的小球上字母所对应的典籍是外国著作，则小乐赢．请分别计算出小美赢的概率和小乐赢的概率，并说明谁赢的概率大． 【答案】(1)； (2)解：， 因为小球上字母为、所对应的典籍是我国著作，小球上字母为所对应的典籍是外国著作，写有字母、、的小球个数分别为2、6、4， 所以小美赢的概率为， 小乐赢的概率为， 因为， 所以小美赢的概率大． 【分析】（1）直接根据频率的公式计算即可； （2）由概率公式分别求出小美赢的概率和小乐赢的概率，再比较即可． 【详解】（1）解：随机摸球20次，其中摸出写有字母的小球4次，则这20次摸球中，摸出写有字母的小球的频率是； （2）略. 23．在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是试验中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 70 128 171 302 481 599 1806 摸到白球的频率 0.7 0.64 0.57 0.604 0.601 0.599 0.602 (1)请估计当n很大时，摸到白球的概率（精确到0.1）． (2)若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有1个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.5，那么可以推测出x最有可能是多少？ 【答案】(1)0.6 (2)10 【详解】（1）解：根据表中数据，估计当n很大时，摸到白球的概率为0.6； （2）解：估算盒子里原来约有白球（个）， ∵放入的x个球中白球只有1个， ∴， 解得， 答：可以推测出x最有可能是10． 24．一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球若干个，这些球除颜色外其他都相同．小明从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后放回并摇匀，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题： (1)摸到黑球的频率稳定在___________附近（结果精确到）： (2)若袋子中有4个黑球． ①估算袋子中两种颜色的球的总个数； ②若小明又将个相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，则摸出黑球的概率为___________．（用含的式子表示） 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）观察统计图，并利用频率估计概率的原理，即可得出结果； （2）①根据总球数黑球个数概率，计算即可得出结果；②根据概率等于所求情况数与总情况数之比，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：观察统计图可知，随着摸球次数的增加，摸到黑球的频率在附近波动，并逐渐趋于稳定，利用频率估计概率的原理，摸到黑球的频率稳定在附近； （2）解：①∵摸到黑球的频率稳定在附近，袋子中有4个黑球， ∴袋子中两种颜色的球的总个数为（个）； ②将个相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，袋子里黑球的总数变为，球的总个数变为，故此时摸出黑球的概率为． 考点九概率的简单应用 25．一家冷饮厂在电视里做广告，说他们厂生产的雪糕在小木棍上印有四种图案，集齐四根印有不同图案的小木棍就能够拼成一幅图，凭此可以在指定的商店领取一份奖品．假设该厂准备的印有四种图案的小木棍一样多，而且每支雪糕中夹入印有哪种图案的小木棍也完全是随机的，那么，平均要买多少支雪糕才能得奖呢？ 【答案】支 【分析】将集齐4种不同图案的过程分为4个阶段，分别计算每个阶段获得新图案平均需要购买的雪糕数，再求和得到总的平均购买数． 【详解】解 我们把集齐4种不同图案的过程分为4个阶段，分别计算每个阶段的平均购买数量再求和. 获得第一种不同图案阶段： 此时没有任何图案，买1支一定能得到第一种图案，该阶段平均需要买1支； 获得第二种不同图案阶段： 已经获得1种图案，抽到新图案的概率为， 该阶段平均购买次数为支； 获得第三种不同图案阶段： 已经获得2种图案，抽到新图案的概率为， 该阶段平均购买次数为支； 获得第四种不同图案阶段： 已经获得3种图案，抽到新图案的概率为， 该阶段平均购买次数为支； 总平均购买次数为： （支）． 答：平均要买支雪糕才能得奖． 26．为刺激消费，某超市举行促销活动，凡在超市购物总额超过元，便可以转动一次转盘，转盘分成个大小相同的扇形，部分扇形涂有红、黄、蓝三种颜色，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或蓝色区域，顾客就可以分别获得元、元、元的购物券．小军妈妈去超市购物元． (1)求小军妈妈获得购物券的概率； (2)小军妈妈获得哪种购物券的概率最大？请说明理由． 【答案】(1) (2)∵指针指向红色区域的结果有种， ∴P（获得元购物券）； ∵指针指向黄色区域的结果有种， ∴P（获得元购物券）； ∵指针指向蓝色区域的结果有4种， ∴P（获得元购物券）； ∵， ∴小军妈妈获得元购物券的概率最大 【分析】（1）先确定转盘所有等可能的结果数为，再统计出能获得购物券的红、黄、蓝区域的结果数，最后用获得购物券的结果数除以总结果数得到概率； （2）先分别数出红、黄、蓝三种颜色区域的数量，再分别计算出获得对应金额购物券的概率，最后比较三个概率的大小，即可得出哪种购物券的概率最大． 【详解】（1）解：转盘共有个扇形，所以转盘停止后，指针指向的区域可能的结果共有种，且它们出现的可能性相同， 指针指向红色、黄色、蓝色的区域的结果共有种， ∴（获购物券）． （2）略 27．某校举行“传颂中华家风，弘扬中华美德”演讲比赛．每班选拔一人参加．七年级（1）班的小丽和小华表现都很优秀，现在打算从这2名同学中任选1名参加学校的演讲比赛．为此设计了如下游戏规则：在一个不透明的袋子里装有10个除号码外其余都相同的小球，小球的号码分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9，10．将它们充分摇匀，并从中任意摸出一个小球．规定摸出小球的号码是质数时，则小丽去；摸出小球的号码能被5整除时，则小华去．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．如果不公平，应该如何修改游戏规则才能对双方公平？ 【答案】不公平，理由如下： 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，质数有2，3，5，7；被5整除的数有5，10， ∴小丽去的概率为，小华去的概率为． ∵， ∴这个游戏不公平． 游戏规则修改为摸出小球的号码为奇数时，小丽去；摸出小球的号码为偶数时，小华去． 【分析】分别计算小丽去的概率和小华去的概率，若概率相等则公平，若概率不相等则不公平；要修改游戏规则达到对双方公平的目的，则应使小丽去的概率和小华去的概率相等． 【详解】解：游戏规则修改为摸出小球的号码为奇数时，小丽去；摸出小球的号码为偶数时，小华去． 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，奇数有1，3，5，7，9；偶数有2， 4， 6， 8， 10； ∴小丽去的概率为，小华去的概率为， ∴游戏规则修改为摸出小球的号码为奇数时，小丽去；摸出小球的号码为偶数时，小华去，才能对双方公平． 考点十圆的有关概念 28．如图，已知的半径为6，A是上一点，是的弦，连接，，D，E分别是，的中点，求的最大值． 【答案】6 【分析】由是的中位线，从而得出，当为直径时即可求出的最大值． 【详解】解：∵D，E分别是，的中点， ∴是的中位线， ， ∴当取最大值时，的值最大． ∵当为的直径时值最大，此时， ∴的最大值为6． 29．乐乐发现墙上点A处挂着一个圆形的装饰物，如图所示，悬挂绳分别切于点B、C，连接． (1)求证：垂直平分． (2)当为，四边形为正方形时，求的面积．（结果保留π） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据切线长定理以及线段垂直平分线的判定证明即可； （2）先根据正方形的性质求出半径，再由圆的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵悬挂绳分别切于点B、C， ∴ ∵ ∴垂直平分； （2）解：∵四边形为正方形时 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴的面积 30．如图，在中，，是的内切圆，切点分别是、、． (1)连接、，则______． (2)若，，求的半径． (3)在（2）的条件下，的外心和内心的距离等于______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1） 内心是三角形三条角平分线的交点，故平分，平分．在中，，因此，再由三角形内角和定理得． （2）设半径为r，由切线长定理得，，．于是三边可表示为，，．利用勾股定理建立关于的方程，即可求得答案． （3）由（2）知，，．直角三角形的外心位于斜边中点，设斜边的中点为，则到切点的距离为，而且，在中利用勾股定理可求得外心与内心的距离． 【详解】（1）解：是的内切圆， 平分，平分， 在中，， ， ， ． （2）解：设半径为r，连接、， 是的内切圆，切点分别为、、， 由切线长定理得：，，， ，，， 四边形是正方形，， ，， ， 在中，由勾股定理得： ， 解得： 或 （舍去负值）， 的半径． （3）解：由（2）知，，， 设斜边的中点为，则是的外心， 分别连接， ，， ， ， 是内切圆半径，， ， 在中，由勾股定理得： ， 的外心和内心的距离为． 考点十一圆心角 31．如图，是的直径，是上一点，为延长线上一点，连接与交于点，且，若，求的度数． 【答案】 【分析】连接，利用等腰三角形的性质得到，以及三角形外角的性质求出，结合即可求解． 【详解】解：如图，连接， ，，， ， ， 是的外角， ， ， ， ， ． 32．如图，是直径，D是弦的延长线上一点，且，的延长线交于点E． (1)吗？为什么？ (2)若弧的度数为，求弧的度数？（用含m的式子表示） 【答案】(1)，理由如下： 如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴，， ∴． (2) 【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证得结论； （2）连接，根据圆周角定理和等边对等角可推出，结合直径所对的圆周角是直角和三角形外角的性质可由求得的度数，进而求得弧的度数． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ∵弧的度数为， ∴， 由（1）可知， ∴， ∴， 又∵是直径， ∴， ∴， ∴弧的度数为． 33．如图，点在以为直径的上，连接，，过点作，垂足为，在圆上取一点，使连接，． (1)求证：； (2)若，求的半径和的长． 【答案】(1)证明：∵为的直径， ∴，即 又∵， ∴ ∵ ∴ ∴； (2)的半径为， 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，得出，进而根据同角的余角相等得出，结合已知得出，进而可得； （2）设的半径为，由（1）可得，根据正弦的定义，可得，求得，，勾股定理求得，进而求得，证明，过点作于点，则，进而解，求得，进而求得的长，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：设的半径为， 由（1）可得 ∴ ∴ 解得：， ∴， 在中， ∴ ∴ ∵ ∴ 如图，过点作于点，则 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 考点十二垂径定理 34．如图，是的直径，点C在上，连接，过点O作，交于点D，且点C、D位于的同侧，过点D作于点E．若，的半径长为，过点O作于点H，求的长． 【答案】4 【分析】先证明，进而根据全等三角形的性质及勾股定理可得，再根据垂径定理可求得． 【详解】解：，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ∵， ． 35．如图，以为圆心的两个同心圆中，不经过圆心的线段与两圆相交，自左向右的交点依次为点、、、． (1)求证：； (2)连接、，如果，，，求小圆半径的值． 【答案】(1) 证明：如图，过点作于点， ∵， ∴，， ∴， 即； (2) 【分析】（）过点作于点，由垂径定理得，，进而即可求证； （）连接、，可得，，即得，设，则，，利用勾股定理求出的值进而即可求解； 本题考查了垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接、， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 设，则，， 在中，∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 即小圆半径的值为． 36．在历史的长河中，很多文物难免损耗或破碎断裂，而文物修复师能运用自身拥有的多门学科的专业知识去修复破损的文物，使其重获新生．如图，某文物修复师在修复一件破碎的古代瓷器束口盏（盏口原貌为圆形）的时候，仅凭一块碎片就初步推算出了该文物原貌口径的尺寸．如图是文物修复师根据碎片的切面画出的几何图形．碎片的边缘是圆弧，表示为弧，测得弧所对的弦长为，弧中点到弦的距离为．设弧所在圆的圆心为，半径于，连接．求这个盏口半径的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．由垂径定理得出，设这个盏口半径的长为，则，再利用勾股定理即可得出． 【详解】解：由题意得：，，， ， 设这个盏口半径的长为，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得． 答：这个盏口半径的长为． 考点十三圆周角 37．判断下列各图中的是不是圆周角，并说明理由． (1) 【答案】(1)角的边与圆没有两个交点，不是圆周角，不符合圆周角定义． (2)角的顶点不在圆上，不是圆周角，不符合圆周角定义． (3)角的顶点在圆上，角的两边与圆相交，是圆周角，符合圆周角定义． (4)角的顶点不在圆上，不是圆周角，不符合圆周角定义． 【分析】根据圆周角的定义作答即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 38．如图，是的直径，点D在半径上． (1)求作射线，使得点C在半圆上，射线是的平分线；要求：①用无刻度直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹； (2)在（1）的条件下，连接，若，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)数量关系：． 理由：设的半径为r，连接，过C作于点F． 则． ∵是直径， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． ∴． 【分析】（1）过点O作的垂线交于点E，作直线交于点C，就是的平分线． （2）设的半径为r，连接，过C作于点F．根据直径性质和角平分线性质得．由等腰三角形性质得．，由三角形内角和性质得．可得是等腰直角三角形，得．由勾股定理得，求出，得，．即得． 【详解】（1）解：以A、B为圆心，大于的长为半径分别画弧，两弧交下面于点P， 作直线，交于点C， 连接， 则即为的平分线． 理由：连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴平分． （2）略． 39．如图，是的外接圆，平分交于点，平分交于点． (1)若，，求的度数； (2)若，到弦的距离为3， ①求半径的长； ②连接，设，，请直接写出与之间的函数关系式和的最大值． 【答案】(1) (2)①；②（）， 的最大值为 ． 【分析】（1）由圆周角定理得 、；由角平分线定义与同弧所对圆周角相等求出 与 ，从而得 ； （2）①先证 ，设 ，由 到 的距离为 得 ，再由同弧所对圆心角等于圆周角的二倍证 为等边三角形，得半径长；②作弦 的弦心距 ，由垂径定理得 为 中点，在两个直角三角形中用勾股定理消去 ，得 与 的函数关系式，再确定 的最大值． 【详解】（1）解：， ∴ （同弧所对圆周角等于圆心角的一半）， ∴ ． ∵ 平分 ， ∴ ． ∴ （同弧 所对的圆周角相等）． ∵ 平分 ， ∴ ． ∴ ． （2）解：在 中， ∵ 与 是同弧 所对的圆周角， ∴ ． ∵ ，， ∴ ， ∴ （邻补角）． 在 中，， ∴ ， ∴ （等角对等边）． ① 设 ． ∴ ∴， 连接，则，则 ． ∵ ， 在 Rt 中，， ∴ ， ∴ ，，． ∵ 与 是同弧 所对的圆心角与圆周角， ∴ ． ∵ ， ∴ 是等边三角形， ∴ ，即 的半径长为 ． ② 作 于 ． ∵ ，由垂径定理，垂足 为弦 的中点， ∴ ． ∵ ，， ∴ ，． 由 （直径是圆中最长的弦），得 ，故 ， ∴ ． 在 Rt 中，， 在 Rt 中，， ∴ ， ∴ ． ∵ 在线段 上且不与 重合， ∴ ， 随 的增大而减小， 当 为 的直径时，，此时 与 重合，， ∴ 取得最大值 ． 考点十四圆内接四边形 40．如图，四边形内接于，E是延长线上的一点，的延长线交于点F，，． (1)求的度数； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1) (2)证明：由（1）得：是等边三角形，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴：四边形是平行四边形． 【分析】（1）证明是等边三角形，可得，再由圆内接四边形的性质可得，即可求解； （2）根据，可得，从而得到，进而得到，再由圆内接四边形的性质可得，从而得到，即可求证． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）略 41．如图，是直径，E、D是上两点，延长与交于C，且． (1)求证：． (2)若，，求． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）由等边对等角可得，由圆内接四边形的性质可得，从而得出，即可得证； （2）连接，由圆周角定理可得，由等腰三角形的性质可得，证明，由相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：如图：连接， ， ∵是直径， ∴，即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴． 42．我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”． (1)如图1，“等对角四边形”内接于，，则______，______； (2)如图2，“等对角四边形”内接于，且，，点在的延长线上，连接，，，，请证明：四边形是“等对角四边形”； 【答案】(1)， (2)证明：∵“等对角四边形”内接于， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是“等对角四边形”； 【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补，并结合“等对角四边形”的定义计算即可得解； （2）由“等对角四边形”的定义可得，，，再由等腰三角形的性质并结合圆周角定理得出，即可得证． 【详解】（1）解：∵“等对角四边形”内接于，， ∴，，， ∴， 故答案为：90，120； （2）略 考点十五正多边形 43．如图所示的齿轮有20个齿，相邻两齿之间的间隔相等．相邻两齿与圆心连线的夹角为多少度？如果让这样的齿轮旋转1周，那么在旋转过程中有多少次和原图形重合？ 【答案】，20次 【分析】由一个圆的圆心角为 ，可得相邻两齿间的圆心角α的度数，根据旋转角为α即可解答； 【详解】解：∵齿轮有20个齿，相邻两齿之间的间隔相等， ∴此图形可以看成正二十边形， 相邻两齿与圆心连线的夹角． 如果让这样的齿轮旋转1周，那么在旋转过程中有20次和原图形重合． 44．按要求作图： (1)在图1中画的内接正三角形； (2)在图2中画的内接正八边形． 【答案】(1)解：以圆的半径长为半径，在圆周上依次截取得到6个等分点，先画的内接正六边形，再在正六边形的基础上，选择不相邻的三个顶点，顺次连接，即可作正三角形．如图，是的内接正三角形． (2)解：先画圆的两条互相垂直的直径，4个端点顺次连接，画出圆的内接正方形，再在正方形的基础上，用圆规分别作的垂直平分线，交圆于点，依次连接8个点，即可作正八边形．如图，八边形是的内接正八边形． 【分析】（1）利用正六边形的每个角都是，每段弧所对应的圆周角是，间隔选取这两个点，则能保证圆弧所对应的圆周角是，即可作出正三角形． （2）先作出互相垂直的两条直径，是为了将每段弧等于，再利用垂直平分得到的弧，即可得到圆周上的8个等分点，依次连接即可作出正八边形． 【详解】（1）略 （2）略 45．如图，为等边的外接圆，半径为2，点在劣弧上运动（不与点A，B重合），连接，，． (1)求证：是的平分线； (2)若，求四边形的面积； (3)若点M，N分别在线段，上运动（不含端点），经过探究发现，当为直径时，的周长有最大值，请直接写出的值． 【答案】(1)是等边三角形 ，， ∴在中，， ． 是的平分线； (2) (3) 【分析】（1）根据是等边三角形，得角相等，进而得到弧与弧相等，结合圆周角定理即可证明平分； （2）先利用旋转法将绕点顺时针旋转得到，可推导出，，进而将四边形的面积转化为等边的面积，代入长度计算即可； （3）当为直径时，先确定点位置及各相关线段、角度的数值，再利用对称法将的三边转化为共线的线段，找到周长最大值对应的情况，结合等边三角形边长计算结果即可． 【详解】（1）略； （2）延长到点，使，连接， ∵四边形内接于， ∴， 又，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 设边上的高为， ∴在， ∴等边三角形面积公式为，，代入得： ； （3）当为直径时，，作点关于的对称点，关于的对称点，则： ，， 的周长， ∵是的内接等边三角形， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴ ∴， 由对称性得：，，， ∴，， ∴， 所以周长的最大值． 考点十六弧长及扇形的面积 46．如图，已知． (1)用直尺和圆规作出的外接圆O； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)圆O即为所求： (2) 【分析】（1）三角形的外接圆圆心是三角形三边垂直平分线的交点，分别作线段的垂直平分线，相交于点O，以点O为圆心，的长为半径画圆即可； （2）连接，，，设交于点D可得，根据等腰三角形三线合一性质得，可知为等边三角形，得到半径的长，再利用弧长公式计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图：连接，，，设交于点D， ， ． ，， 垂直平分，是等腰三角形， ， 为等边三角形， ， 的长度为． 47．如图，有一直径为4的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为60°的扇形ABC． (1)求剪下的扇形ABC（即阴影部分）的半径； (2)若用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥形铁帽，求此圆锥形铁帽的底面圆的半径r． 【答案】(1)剪下的扇形ABC（即阴影部分）的半径为2； (2) 【分析】（1）连接OA，作OD⊥AB于点D，利用直角三角形的性质以及垂径定理即可求得AB的长即剪下的扇形ABC（即阴影部分）的半径； （2）先根据弧长公式计算出弧BC的长，然后根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长计算该圆锥的底面圆的半径． 【详解】（1）解：连接OA，OB，OC，作OD⊥AB于点D． 则AD=AB， ∵BA= CA，OA= OA，OB= OC， ∴△BAO≌△CAO， ∴∠BAO=∠CAO， ∵∠BAC=60°， ∴∠BAO=30 °， ∵圆的直径为4， ∴ OA=2， ∴OD=1，DA==， ∴AB=2DA=2； ∴剪下的扇形ABC（即阴影部分）的半径为2； （2）解：则扇形（即阴影部分）的弧长是：， 根据题意得：， 解得：r=． 答：此圆锥形铁帽的底面圆的半径为． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长公式，垂径定理，正确求得AB的长是关键． 48．大家元摩天轮建在屋顶，建筑面积约1万，高101米，共48只轿厢，可同时容纳384人，现今是全国第二大摩天轮，也是国内最大的屋顶摩天轮，坐落在石角镇美林湖社区湖岸西路，距广清纺织园仅几分钟车程，作为清远的地标建筑之一，这里也是很多旅客的打卡圣地．如图1，是夜幕下的摩天轮，灯光璀璨，绽放异彩，图2是其示意图，虚线部分被屋顶遮住了． (1)在图2中画出摩天轮的圆心O（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若已知摩天轮的半径为，拱门下端为．求扇形的面积． 【答案】(1)如图，点O即为所求 (2) 【分析】（1）在圆弧上任取一点，作和的垂直平分线，交点即可为圆心O； （2）证明为等边三角形，再利用扇形面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接及， ， ， 为等边三角形， ， ． 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