辽宁省2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题（二）

绝密★启用前 25一26学年度（上）期中考试高一年级 数学试卷 本卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号 条形码粘贴在答题卡的指定位置。考试结束后，将答题卡交回。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标 号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题所给的四个选项中， 有且只有一项是符合题目要求的。 1.全集U=R,集合A={x|x2+2x-3>0},B={x|x2-4≤0}，则(CuA)∩ B= A.{x|-1≤x≤2} B.{x|一3≤x≤-2或1≤x≤2} C.{x|-2≤x≤1》 D.{x|-2≤x≤3} 2.命题“H1≤x≤2,2x2一a≥0”为真命题的一个必要不充分条件是 A.a≤1 B.a=1 C.a≤2 D.a≤4 3.若函数f(x)=√ax2一ax十2的定义域为R,则实数a的取值范围是 A.[0,8] B.(0,8] C.(0,+∞) D.[0,+∞) \C P 4.已知0<c<1<b<a,则指数函数y=a,y=b,y=c分 CC. 别对应图中的哪个函数 A.C3,C1,C2 B.C1,C2,C3 C.C3,C2,C1 D.C1,C3,C2 高一·数学第1页（共8页） 5.已知x>1,y>1,且xy-x=y十1，则x+2y的最小值是 A.2√2+3 B.5 C.42 D.7 3-z,x≤0， 6.设f(x) 若f(x)=x十a有且仅有两个解，则实数a的取 f(x-1),x>0, 值范围是 A.[1,2) B.[2,3] C.[2,3) D.[2,+o) 7.已知函数f(x)的定义域为(0，十∞)，且满足Hx1,x2∈(0，十∞)，x1≠x2,都 有f(x)-f(x>0,则称函数f(x)具有性质P.已知函数f（x)具有 x1-x2 性质P,则不等式f(z-3》<f(x_9 x+3 的解集为 A.（-∞，-2) B.(3,+∞) C.(-2,+∞) D.(6,+∞) 8.已知函数f(x)满足Hx,y∈R,3xf(y)一3'f(x)≤(9x一9')f(x)f(y),且 f1)=号，则fx)的最大值是 A. B. √6 C.1 6 D.2 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题所给的四个选项中， 有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。 9.下列指数幂运算中，正确的是 A.9y=y(y<0) B.x=1 C.[-x)]=x(x>0) D.a@-a'(a>0) 高一·数学第2页（共8页） 10.已知两个实数x,y满足x2+y2-) 2xy=2,则 A.zy By≤专 C.x2+y2≥2 n+y≤ 11.已知函数f(x)的定义域为{xx≠0)，f(x)=f(3),且f(x)+f() 2,则 A.f(3)=1 B.函数f(3)的图象关于点(0,2)中心对称 C.函数f(3)的图象关于直线x=2对称 D.f(3°)+f(3)+f(32)+f(33)+…+f(3224)=2025 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知f3-0)+期f1=一 13.若函数f(x)=mx2-2x十1有两个零点x1,x2,且x1<1,x2>1,则实数m 的取值范围为 14.非物质文化遗产承载着民族的历史和文化记忆，帮助人们理解和连接过去和 现在，为弘扬和传承非物质文化遗产，某校组织高一年级100名学生去社区 参加非物质文化遗产的学习活动，一共有A,B,C三项学习活动，每个同学至 少参加一项活动，其中有52人参加了A,43人参加了B,49人参加了C,既参 加了A又参加了B的有24人，既参加了A又参加了C的有20人，既参加了 B又参加了C的有17人，则三项活动都参加的人数为 高一·数学第3页（共8页） 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程 或演算步骤) 15.(13分)函数f(x)满足对任意x,y∈R都有f(x十y)=f(x)十f(y),且 f(4)=一2，当x>0时，f(x)<0. (1)判断并证明f(x)在R上的单调性； (2)求不等式f(x2一2x)>f(2一x)+1的解集. 高一·数学第4页（共8页） 16.(15分)已知函数f(x)=m(m>0且m≠1)的图象过点(3,27). (1)求f(x)的解析式； (2)设函数G(x)=f(x)十af(2x)(a∈R),求G(x)在(-∞，0]上的最大值. 高一·数学第5页（共8页） 17.(15分)如今电商直播已成为各企业拓展营销渠道的重要方式之一，通过直播 网购的形式，人们足不出户就可尝遍全国各地的特色食品.小王计划通过电 商直播经销A,B两种商品，通过调查分析发现，当投入成本为t(t≥0)万元 时，经销A,B商品所获得的收益分别为f(t)万元与g(t)万元，其中f(t)= 10t+1 t+1,0≤t≤5， t+1,g(t)= 小王计划一共投入10万元用于经销这 2+61-9,5<≤10， 两种商品. (1)假设小王只经销其中一种商品，求他能获得的收益； (2)如果小王经销这两种商品，请帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最 大收益，并求出最大收益， 高一·数学第6页（共8页） 18.（17分)已知二次函数y=ax2十bx十c,其中a,b,c∈R且a≠0. (1)证明：二次函数y=ax2十bx十c与x轴正半轴和负半轴各有一个交点的 充要条件是ac<0; (2)若a,b,c∈Z,且当x=0和x=1时，y均为奇数，证明：方程ax2十bx+ c=0无整数根. 高一·数学第7页（共8页） 19.(17分)我们知道，函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件 是函数y=f(x)为偶函数，我们可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于 直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数y=f(x十a)为偶函数.同理，函 数y=g(x)的图象关于点P(m,n)成中心对称图形的充要条件是函数y= g(x十m)一n为奇函数. (1)若函数f(x)=2x2+3x一6满足f(x十a)为偶函数，求a的值； ②)若函数g)2十1判断函数g的图象是香为中心对称图翻 如果是，求出其对称中心；如果不是，请说明理由； 2 (3)在(2)的条件下，解关于x的方程2g(x+1)+ 8(x+1)+1=3, 高一·数学第8页（共8页）数学 参考答案及解析 25一26学年度（上)期中考试高一年级数学 一、选择题 1.C【详解】由题得A={x2+2x-3>0}={x<-3或x>1,B={x-2≤x≤2}， 所以CA={x|-3≤x≤1}，所以(CA)OB={x-2≤x≤1}. 2.D【详解】命题“1≤x≤2,2x2-a≥0”为真命题，即a≤2x2在[1,2]上恒成立，即a≤2， 在各选项中，a≤2的一个必要不充分条件只能是a≤4. 3.A【详解】因为函数f(x)=√ar2-a+2的定义域为R,所以2-+2≥0在R上恒成立， 「a>0 当a=0时，2>0恒成立：当a≠0时，满足G-as0解得0<a≤8，综上，实数a的取值范 围是[0,8] 4.B【详解】如图： 作直线x=1,得到直线与三个指数函数图象的交点，因为0<c<1<b<a,所以可得y=a对应 C,y=b对应C,y=c对应C 5.D【详解】因为x>1y>1，g-x=y+1,可得y= =0号，所以x+2=42+2-+ x-1 4+21+4士32x-14+37,当且仅当x号即x=3时，等号成立，所以2x+D x-1 x-1 1x-1 的最小值为7. 6.C【详解】由题意知，当x≤0时，fx)= 则此时y=f(x)在(-∞，0]上单调递减，且值域 答案第1页，共8页 数学 为[1，+o).当x>0时，由f(x)=f(x-1)可知，当x∈(0,1]时， f-目”，当re回时，f=，当xe2时， 3 -份”。，作出商数=的用象如同所示，若 22 ,012345x f(x)=x+a有且仅有两个解，则y=f(x)与y=x+a的图象有且仅 有两个交点，由图可知，实数a的取值范围是[2,3). 7B【详解】因为对任意的5,5(0，+)，且≠西，都有f(）(>0,不妨设0<55， X1-X2 f(5)-f(s)f()_f(s) 即对任意两个不相等的正实数1，x3，都有6 =西一>0’所以 ￥-北3 ￥-七 f儿))，所以函数g的国是(Q,)上的增函数，由f因的定义城为(@*)，得在 -r9+o用，-代代9 x+3 x+3 x-3x2-9 则g-3)g(-),所以0<-3<-9，解得x>3,赦不等式fx-3<:9》的解失为民+)。 x+3 8.A【详解】x,y∈R,3f(y)-3f(x)≤(9-9）f(x)f(y)①. 令x=y,y=x得，3f(x)-3f(y)≤(9-9)f(y)f(x), 即(9-9)f(x)f(y)≤3f(y)-3f(x)②， 由①②可得3f(y)-3yf(x)=(9-9)f(x)f(y)③， ®中令y=1可得3f0-3)=(9-/()/0),即33-3f()-(-/)x专 f)=。6=662W612,当且仅当3=V6时等号成立 +323× 3x 所以f(x)的最大值是5. 12 答案第2页，共8页 数学 二、选择题 9BCD【详解】因为=0)=-)户0y<0:所以选项A错误： 因为=六=0，所送项B瑞： 因为可-：所以达项c正瑞， 因为aa-aa=-aa片-a>0,所以选项D正确 10ABD【详解】2y=(+明 w,解得w2号当且仅当x=-y=士25时， 2w=2≥-3 等号成立，放A正确：由+=222w,解相w≤，当且仅当x=y=士25时，等号成 3 立，故B正确：自+2-w=2,得2(+）4=w, 由-2+2 三之头。 s2-以4”，解物+y 31 当仅当=-y=±25时，+=令；当且仅当=y=士25时，+y-号故c错误，D正确， 5 3 11.ACD【详解】对于A,令x=1,则f(1)=f(3),且f(1)+f(1)=2,可得(1)=1， 所以3)=1，故A正确：对于B,由f)+/)2,可得/3)+3)=2， 所以函数了3)的图象关于点(Q1)中心对称，故B错误：对于c,由)=寸()可得了飞)了3)，所 以函数f(3“)的图象关于直线x=对称，故C正确： 对于0，设8()=f3)=f)g0-)@, 又g)=f6)=2-J（2g(x)@,@②可得g1-)=2-g(-. 所以g1+)=2-g(x),即8(x+2)=2-8(x+1)=2-[2-8(x)]=8(x), 所以f(3)=f(3）,所以f(3)=f(3)=f(3)=…=f(30)=1, f(1)=f(32)=f(34)==f(324)=1,所以f(3)+f(3)+f(32)+f(3)+…+f(3024)=2025,故D正确. 三、填空题 12含【￥1由题意，令2.得m名 13.(0,1)【详解】f(x)=x2-2x+1的图象恒过点(0,1)， 答案第3页，共8页 数学 由题意可得方程x2-2x+1=0有两根x1,x2,且x1,x>1, m>0 0 所以{f(1)=-2+1长0或{f(1)=-2+1>0,解得0<，故实数的取值范围为(0,1) △=4-4m>0 △=4-4>0 14.17【详解】设集合A={参加学习活动A的学生}，集合B={参加学习活动B的学生}， 集合C={参加学习活动C的学生，设三项活动都参加的人数为x,用cad(A)来表示有限集合A中 元素的个数，则card(A∩B∩C)=x,则由题意可得 card(AUBUC)=card(A)+cad(B)+cad(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(A∩C)+card(A∩B∩C), 即100=52+43+49-24-17-20+x,解得x=17. 四、解答题 15.解：（1)(x)为R上的单调递减函数.…1分 证明如下： 设，x∈R且<，因为f(x+)=f(x)+f(y), 所以f(5)=f(-+)=代6-)+孔)， …3分 所以f(s)-f(x)=-f6-), 因为x2-x>0,所以-f(3-x)>0, 即f(x)>f(2), 所以∫(x)为R上的单调递减函数。…6分 (2)令x=y=0,可得f(0)=0,令x=y=2,可得f(2)=-1,令x=2,y=-2,可得f(-2)=1, …8分 所以原不等式化为f(x2-2x)>f(2-刈+f(-2）=孔2-x-习=无-，…10分 因为f(x)为R上的单调递减函数，所以x2-2x<-x,解得0K<1,所以不等式的解集为(0,1) … …13分 16.解：(1)因为f(x)=m*(>0目1≠1)的图象过点(3,27)， 所以m2=27,即m=3. 所以f(x)=3. …5分 答案第4页，共8页 数学 (2)由(1)得G(x)=3+a.32, 令3*=k,当x∈(-n,0]时，k∈(0,1]，令q(k)=k2+k,k∈(0,1].…6分 当a=0时，q(k)=k在(0,1]上单调递增，则G(x)=q()=1;…8分 当ar0时，q)=+k-ak+-ke0], 2a.4a 若a>0,则函数q(k)在(0,1]上单调递增，则G(x)ms=q(1)=1+a;…10分 若-】≤a<0,则-2之1，则函数gd)在(01上单调递增，G(e=q0=1+a;12分 2 2a 1 1 …14分 综上所达，若ac()在（可上的最人信为 1 4a 若a≥-分，G()在（←m0]上的最大值为1+a. 15分 17.解：(1)因为投入10万元，即t=10, 若只经销A商品，则所获得的收益为f(10)=11万元： …4分 若只经销B商品，则所获得的收益为g(10)=1万元.… …7分 (2)设B商品投入t万元，则A商品投入10-t万元， 可知总收益h(t)=f(10-t)+g(t)=11-t+g(t),…8分 *0s1s,则40-1g2-t}2-:1),品16 当且仅当+1=，名，即1=2时.等号成立 所以在[0,5]上的总收益最大值为16万元： …10分 若5<t≤10，则h(t)=11-t- +6t-9=1+5+2. 2 2 可知h的图象开口向下，对称轴为t=5,则h)<h(5)= 2, 所以在(5,10]上的总收益最大值小于万元，……s………………13分 因为916，所以4商品投入8万元，B商品投入2万元，总收益最大，最大值为16万元…15分 18.证明：(1)二次函数y=ax2+bx+c与x轴正半轴和负半轴各有一个交点，即一元二次方程ax2+bx+c=0 答案第5页，共8页 数学 有一正根和一负根， 证明必要性：若一元二次方程ax+bx+c=0有一正根和一负根， 则由根与系数的关系得55=仁<0，即c<0: …3分 a 证明充分性：若ac<0成立， 此时一元二次方程ax2+bx+c=0的4=b2-4ac>0, 方程有两个不同的根，且x=<0, 即一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根. 所以二次函数y=+bx+c与x轴正半轴和负半轴各有一个交点的充要条件是ac<0.…7分 (2)当x=0时，y=C,故c是奇数，当x=1时，y=a+b+c是奇数，故a+b为偶数，…9分 设方程ax2+x+c=0有两根为，，则5+5=b, a 当a,b为偶数时，若x,x,都为整数，则b,c必须同时可被a整除，显然不成立；若x为整数，x2不为整 数，ax2,bx都为偶数，则ay2+bx+c≠0，与题设矛盾；…11分 b 当a,b为奇数时，若，x3都为整数，+x=-2必为奇数，则x1,x2必有一奇一偶，X必为偶数，而为 a a 奇数，不成立：若=b+-4@,X(m+)=-c,当X为奇数时，m+b为偶数，则c为偶数，与恩设 2a 矛盾：当马为偶数时，ax+b为奇数，则c为偶数，与题设矛盾，若=b-v6-ac,同理…16分 2a 综上，ax2+br+c=0无整数根.… 。。。。。。。。。。 …17分 解：1D因为1心)=2x+3x-6=2x+】 8 所以f(田图象的对称轴为直线x=- 4 所以fx-2x2为偶函数，所以a=氵 …5分 (2)函数g(x)的图象是中心对称图形，对称中心为（但，0）.…6分 理由如下： 2 3-1-1 g(x)=1- 34+131+1 ·7分 3x-1 g(x+1-3+1 8+-11- =-8(x+1), …9分 3*+11+3 所以函数8(x+1)是奇函数，所以函数8(x)是中心对称图形，对称中心为(1,0)…10分 答案第6页，共8页 数学 (3)令g+)+1=元，则元=3-1+1=23 >0, 3+13*+1 则方程28(x+1)+， 2 g(x+1)+1 3化为1+1-5 Γ2 解得或=2…1B分 当-时，g+=- 2即1-21 -3十2解得x-1:…15分 2=1,无解， 当2=2时，g+0=1,即13 所以原方程的解为X=-1.…I7分 答案第7页，共8页 数学 2025一2026学年度（上）高一年级期中考试高一数学细目表 题号 题型 分值 考查的主要内容及知识点 难度 1 单选题 6 集合的交集补集混合运算 易 2 单选题 5 充分条件与必要条件 易 3 单选题 6 根据函数的定义域求参数取值范围 易 4 单选题 5 指数函数的图象与性质 易 5 单选题 5 基本不等式求最值 易 6 单选题 5 由方程解的个数求参数 易 7 单选题 5 函数的新定义问题 中 8 单选题 5 利用抽象函数不等式求最值 中 9 多选题 6 指数式的运算 易 10 多选题 6 基本不等式 易 11 多选题 6 函数对称性的应用 中 12 填空题 5 函数值的求解 易 13 填空题 6 根据二次函数零点分布求参数取值范围 易 14 填空题 6 容斥原理的应用 难 15 解答题 13 根据函数单调性解不等式 易 16 解答题 15 指数函数的性质综合 易 17 解答题 15 函数的实际应用 中 18 解答题 17 一元二次方程根的分布 中 19 解答题 17 函数的对称性综合 难 答案第8页，共8页