期中（第1章～3章）阶段复习填空题考点汇总训练（十六大类型）-2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》（浙教版）

2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 期中（第1章～3章）阶段复习填空题考点汇总训练 （十六大类型） 目录 考点一二次函数的意义 1 考点二二次函数的图象 2 考点三二次函数的性质 2 考点四二次函数与一元二次方程的关系 3 考点五二次函数的应用 3 考点六随机事件 4 考点七简单随机事件的概率 4 考点八用频率估计概率 5 考点九概率的简单应用 5 考点十圆的有关概念 6 考点十一圆心角 7 考点十二垂径定理 8 考点十三圆周角 8 考点十四圆内接四边形 9 考点十五正多边形 10 考点十六弧长及扇形的面积 10 考点一二次函数的意义 1．我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．设邀请x支球队参加比赛，共安排y场比赛，则y与x的函数关系式为_________． 2．已知二次函数，定义新运算：对于任意，称满足等式的解为该函数的“特征值”（其中，，为函数的二次项、一次项、常数项系数），若该函数的“特征值”的取值范围是，则的最小值是________． 3．已知函数是关于的二次函数，则的值为________． 考点二二次函数的图象 4．把抛物线向左平移2个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为___________． 5．已知点，在二次函数的图象上，则，的大小关系是____________________．（用“<”连接） 6．已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，且m满足，则当时，y的值为______． 考点三二次函数的性质 7．已知抛物线，当时，函数的最大值为____________． 8．已知二次函数（）的图象如图所示，给出以下结论：；；．其中正确的有______．（填序号） 9．如图．点中，点是轴上一动点，以点为旋转中心，将线段逆时针旋转90°，得到线段，连接，则线段的最小值为_____． 考点四二次函数与一元二次方程的关系 10．设函数与轴的交点坐标为，，若函数，则时自变量的取值范围是________． 11．抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②；③；④方程有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为________个． 12．在二次函数中，自变量可以取任意实数，与的几组对应值如下： … 0 1 2 … … 13 … 根据以上信息，关于的一元二次方程的两个实数根中，其中一个实数根的整数部分是_______． 考点五二次函数的应用 13．为贯彻实施劳动课程，某校计划建造一个矩形种植场地，为充分利用现有资源，该矩形种植场地一面靠墙(墙的长度为)；另外三面用栅栏围成．已知栅栏的总长度为， 设矩形场地中垂直于墙的一边长为（如图)．矩形种植场地的面积最大值是_______． 14．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽．以抛物线的顶点为原点，对称轴为轴建立平面直角坐标系．抛物线的解析式为___________． 15．道县某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）之间满足一次函数关系（其图象如图所示），则这种干果每千克降价___________元时，可获得最大利润． 考点六随机事件 16．“在只装有白棋的盒子中摸出一颗棋子是白棋”是________事件．（填“必然”“不可能”或“随机”） 17．用2，4，5三张卡片摆三位数，摆出的数是偶数算赢，摆出的数是奇数算输，用这三张卡片摆出的数是偶数的可能性是________（每张卡片都要用）. 18．袋子里3个白球、2个黑球和1个绿球，每次摸一个球出来，第一回摸球，直到摸到黑球后将所有摸出的球放回袋中，第二回摸球，直到摸到白球后将所有摸出的球放回袋中，两回一共最多摸出______个球． 考点七简单随机事件的概率 19．将形状与大小都相同的张数字卡片（上面分别写有数字）背面朝上，从中任意抽取一张，抽到的数字①不大于，②不小于，③是奇数，④是偶数的概率分别记为、、、，则、、、按从小到大排列的顺序为___________．（用“”连接） 20．小王和小李玩象棋比赛（每局必分胜负），七局四胜，已知小李全程没有领先过小王，最终小王获胜，问一共有______种不同情况 21．一个袋子里装有除颜色以外其他均相同的3个小球，其中红球2个、黑球1个．摸出一个球记录颜色后放回，搅匀后再摸出一个球并记录，则两次摸到的都是黑球的概率为________． 考点八用频率估计概率 22．一个袋子中有黑色、红色和黄色三种颜色的球，这些球除颜色外其他都相同，若从中任意摸出一球，记下颜色后再放回去，重复这样的试验600次，有120次摸出了黄球，则这次试验中随机摸出的一球为黄球的频率为_____． 23．工厂新进一台机床，机床经过调试后，操作人员将做出的200个零件混匀在一起进行试验：随机抽取1个零件检测后放回，多次重复这个试验．通过大量试验后发现，抽到不合格零件的频率为，估计这批零件中不合格零件的数量为________个． 24．在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共50个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的统计数据： 摸球的次数n 1000 2000 3000 5000 8000 10000 摸到黑球的次数m 510 1180 1890 3400 4896 6010 摸到黑球的频率 0.51 0.59 0.63 0.68 0.612 0.601 根据实验提供的数据，学习小组可以估计出袋子中黑球的个数是________． 考点九概率的简单应用 25．事件发生的概率为，大量重复做这种试验，事件平均每次发生的次数是_____． 26．小明在一次数学活动课上制作了一个质地均匀的抽奖转盘，如图所示，盘面被等分成八个扇形区域，每个扇形区域里标的数字，，分别代表获得一、二、三等奖．若转动转盘一次，转盘停止后（当指针恰好指在分界线上时，不记，重转），指针所指区域为获奖结果，那么获得二等奖的概率为______． 27．如图，一个靶面被等分成个扇形，在靶面上画一个小的同心圆并涂色．甲，乙两人玩掷飞镖游戏，当飞镖掷中靶面阴影部分时，甲胜，否则乙胜（没有掷中靶面或掷到边界线时重掷）．这个游戏对甲、乙来说是__________的．（填“公平”或“不公平”） 考点十圆的有关概念 28．如图，矩形中，，点在边上且，点为直线上一动点，连接，将沿着折痕折叠，得到 ，动点在边上，连接，则 最小值是_______． 29．如图，在中，是高线，以点为圆心作，使B，D，C三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则的半径的取值范围是_______． 30．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，则的外接圆圆心的坐标为______________． 考点十一圆心角 31．如图，是的直径，点E，D，C在上，已知，那么的度数为______． 32．如图，在中，，，点为的内心，连接，以为圆心，长为半径作，交边于点，．若，则的长为______． 33．如图，某公园圆形喷泉的直径是景观轴线，长为6米．A，B，C，D为喷泉边缘上的四个喷头位置，其中A，D为直径两端．已知，且，则喷头C，D之间的距离为______米． 考点十二垂径定理 34．如图，是的弦，半径于点，且，则的长为_______． 35．如图，两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于两点，大圆的半径为10，小圆半径为7．若，则弦的长是__________． 36．如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面宽度为10米．小明为了计算圆弧所在圆的半径，他在左侧水面处测得桥洞高米，则圆弧所在圆的半径的长度为______米． 考点十三圆周角 37．如图，A是外一点，切于点B，过圆心O，且交于点D．若，，则的长度为_________． 38．司南是我国古代辨别方向的一种仪器，早在战国时期就已经被发明，是指南针的始祖（如图1）．司南中心为一圆形，圆心为点，根据八个方位将圆形八等分（图2中的点，连接，并延长交于点．则点位于点的北偏东的角度是______． 39．把正方形和正方形拼接在一起，、、三点共线，过、、三点作．分别交边，于点、，若，，则的半径长为______． 考点十四圆内接四边形 40．如图，是内接四边形的一个外角，若，那么的度数为_______． 41．如图，在四边形中，，，，求的最大值为______． 42．如图，是的直径，点D是的中点，、的延长线相交于点P．若，，则和之间的数量关系为________________． 考点十五正多边形 43．“正六边形”在一些地区园林窗洞的设计中有着广泛的应用．已知半径为的正六边形的窗洞如图所示，那么它的周长是______． 44．大疆航拍无人机在距地面相同的高空，沿正多边形航线飞行完成拍摄任务，它到达正多边形的每个顶点时需要转动才能继续沿该正多边形的边飞行，则这个正多边形的边数为__________． 45．如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口，则_____________． 考点十六弧长及扇形的面积 46．如图，为的直径，点是的中点，交于点，是的切线，与的延长线交于点，，，下列结论：①；②；③；④的长为．其中正确的是______． 47．如图，中，，将绕点O顺时针旋转，得到，若点A的坐标为，则点A经过的路径长为_________． 48．如图，分别以n边形的顶点为圆心，以为半径画圆，当时，则图中阴影部分的面积之和为______．（注：结果用含π的式子表示） 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 期中（第1章～3章）阶段复习填空题考点汇总训练 （十六大类型） 目录 考点一二次函数的意义 1 考点二二次函数的图象 3 考点三二次函数的性质 4 考点四二次函数与一元二次方程的关系 6 考点五二次函数的应用 8 考点六随机事件 10 考点七简单随机事件的概率 11 考点八用频率估计概率 13 考点九概率的简单应用 14 考点十圆的有关概念 15 考点十一圆心角 18 考点十二垂径定理 21 考点十三圆周角 23 考点十四圆内接四边形 27 考点十五正多边形 29 考点十六弧长及扇形的面积 31 考点一二次函数的意义 1．我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．设邀请x支球队参加比赛，共安排y场比赛，则y与x的函数关系式为_________． 【答案】 【分析】结合单循环赛制的计数规则，消除重复统计的场次，建立总比赛场数与参赛球队数的对应关系． 【详解】解：∵ 赛制为单循环，每两队之间仅赛1场，参赛球队总数为支， ∴ 每支球队需与其余支球队各赛1场，所有球队累计统计的比赛场数为， ∵ 上述累计统计中，每场比赛会被对阵的两支球队各计数1次，存在重复， ∴ 实际总比赛场数需将累计计数除以2，消除重复部分， ∴ 与的函数关系式为． 2．已知二次函数，定义新运算：对于任意，称满足等式的解为该函数的“特征值”（其中，，为函数的二次项、一次项、常数项系数），若该函数的“特征值”的取值范围是，则的最小值是________． 【答案】 【分析】先根据二次函数解析式确定二次项、一次项、常数项系数，代入新运算等式求出特征值关于的表达式，再根据特征值的取值范围列出一元一次不等式组，求解得到的取值范围，即可得出的最小值． 【详解】解：二次函数中二次项系数，一次项系数，常数项系数， 将代入等式得：， 整理得， 解得， ∵特征值满足， ∴， ∴， ∴的最小值是． 3．已知函数是关于的二次函数，则的值为________． 【答案】1 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴且， 解得：或且， ∴． 考点二二次函数的图象 4．把抛物线向左平移2个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为___________． 【答案】 【分析】依据抛物线平移的“左加右减，上加下减”规律，对原解析式的自变量项和常数项做对应调整，即可得到平移后的抛物线解析式． 【详解】解：抛物线平移遵循“左加右减，上加下减”的规则． ∵ 原抛物线解析式为，需先向左平移2个单位， ∴ 按照左加的规则，将解析式中的替换为，得到第一次平移后的解析式． ∵ 再将第一次平移得到的抛物线向上平移3个单位， ∴ 按照上加的规则，在解析式整体后加3，得到． 化简后得到最终平移后的解析式为． 5．已知点，在二次函数的图象上，则，的大小关系是____________________．（用“<”连接） 【答案】 【分析】将两点的横坐标代入二次函数解析式，计算得到对应函数值，比较大小即可． 【详解】解：将代入二次函数，得： ， 将代入二次函数，得： ， 两个函数值表达式中常数相同，且， ，即． 6．已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，且m满足，则当时，y的值为______． 【答案】2 【分析】先解关于的一元二次方程得到两个根，再根据二次函数的增减性确定对称轴的范围，筛选出符合条件的，最后代入计算的值． 【详解】解：∵ ， ∴ 因式分解得， 解得或， ∵ 二次函数中，，图象开口向下，对称轴为直线， 开口向下时，对称轴左侧随增大而增大，对称轴右侧随增大而减小， 又∵ 当时，随增大而增大，当时，随增大而减小， ∴ ， ∴ 符合条件的， ∴ 二次函数解析式为， 将代入得：． 考点三二次函数的性质 7．已知抛物线，当时，函数的最大值为____________． 【答案】 【分析】将二次函数配方为顶点式，结合开口方向与给定的自变量取值范围，比较区间端点的函数值即可得到最大值 【详解】解：∵， ∴二次项系数为，抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点处取得函数最小值， ∵自变量取值范围为， ∴计算区间端点的函数值： 当时，， 当时，， ∴该区间内函数的最大值为． 8．已知二次函数（）的图象如图所示，给出以下结论：；；．其中正确的有______．（填序号） 【答案】 【分析】根据时的函数值判断的符号，从而判断；根据抛物线开口方向确定的符号，对称轴位置确定的符号，从而判断；根据与轴交点确定的符号，从而判断． 【详解】解：∵当时，图象在轴下方， ∴，即，故结论正确； ∵抛物线对称轴在轴左侧， ∴， 由图象可知，抛物线开口向下， ∴， ∴，故结论错误； ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴， ∴，故结论正确； 综上所述，正确的结论是． 9．如图．点中，点是轴上一动点，以点为旋转中心，将线段逆时针旋转90°，得到线段，连接，则线段的最小值为_____． 【答案】/ 【分析】本题主要考查旋转的性质，勾股定理及二次函数的最值问题，掌握配方法求最值是解题的关键． 设，则，根据勾股定理得，结合配方法求最值即可求解． 【详解】设，则， 由题知，， ， ， 时，取得最小值． 故答案为：． 考点四二次函数与一元二次方程的关系 10．设函数与轴的交点坐标为，，若函数，则时自变量的取值范围是________． 【答案】 【分析】先根据原函数与x轴的交点求出对称轴，计算得到h的值，再结合抛物线平移规律得到与x轴的交点坐标，最后根据开口方向确定时x的取值范围． 【详解】解：∵原函数与轴的交点坐标为、． ∴该函数的对称轴为直线． ∵顶点式二次函数的对称轴为直线． ∴原函数的对称轴满足，解得． ∴函数的对称轴为直线． ∵两个函数的二次项系数、常数项完全一致，仅对称轴位置存在差异． ∴的图象是由原函数图象向右平移个单位长度得到的． ∴与轴的交点坐标为原交点向右平移4个单位，即，． ∵，抛物线开口向上． ∴当时，自变量的取值范围是． 11．抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②；③；④方程有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为________个． 【答案】4 【分析】由抛物线与轴有两个交点得到，可判断①的正误；由抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性得抛物线与轴的另一个交点在点和之间，观察时，值的大小，进而可判断②的正误；将抛物线的顶点代入可得，由抛物线的对称轴为直线可得，可得的关系，进而可判断③的正误；一元二次方程的根，可以看作二次函数的图象与直线的交点的横坐标，进而可判断④的正误． 【详解】解：∵抛物线与轴有两个交点， ∴相关的一元二次方程的根的判别式，故①正确； ∵顶点为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与轴的一个交点A在点和之间， ∴抛物线与轴的另一个交点在点和之间， ∴当时，， ∴，故②正确； 将抛物线的顶点代入解析式得， ∵抛物线的对称轴为直线，即， ∴，即，故③正确； ∵与的交点的横坐标即为的根， ∴由图象知二次函数的图象与直线只有一个交点， ∴方程有两个相等的实数根，故④正确． 故正确结论有①②③④，共4个． 12．在二次函数中，自变量可以取任意实数，与的几组对应值如下： … 0 1 2 … … 13 … 根据以上信息，关于的一元二次方程的两个实数根中，其中一个实数根的整数部分是_______． 【答案】1 【分析】一元二次方程的根对应二次函数值为0时的自变量取值，根据表格中相邻自变量对应的函数值的正负变化，确定根所在的区间，即可得到根的整数部分 【详解】解：根据题意得：一元二次方程的实数根是二次函数中函数值时对应的自变量的值， ∵当时，对应的函数值，当时，对应的函数值， ∴函数值由负变正的过程中，存在一个使得，且该的取值范围为， ∴这个实数根的整数部分为． 考点五二次函数的应用 13．为贯彻实施劳动课程，某校计划建造一个矩形种植场地，为充分利用现有资源，该矩形种植场地一面靠墙(墙的长度为)；另外三面用栅栏围成．已知栅栏的总长度为， 设矩形场地中垂直于墙的一边长为（如图)．矩形种植场地的面积最大值是_______． 【答案】 【分析】首先求x的取值范围，再根据二次函数得性质求在范围内的最值即可． 【详解】解：矩形种植场地的面积， ∵， ∴， ∵，， ∴时，， 则时，矩形种植场地的面积最大为． 14．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽．以抛物线的顶点为原点，对称轴为轴建立平面直角坐标系．抛物线的解析式为___________． 【答案】 【分析】根据题意可知抛物线顶点在原点，可设解析式为，由拱高和水面宽可确定抛物线经过点，代入求解即可； 【详解】解：设抛物线的解析式为， 拱顶离水面，水面宽，且以顶点为原点， 抛物线经过点， 将代入，得，解得， 抛物线的解析式为． 15．道县某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）之间满足一次函数关系（其图象如图所示），则这种干果每千克降价___________元时，可获得最大利润． 【答案】5 【分析】利用待定系数法可求出；设获得的利润为W元，根据总利润每千克的利润销售量列出W关于x的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设， 由题意得，， ∴， ∴； 设获得的利润为W元， 则 ， ∵， ∴当时，W有最大值，最大值为2250， ∴这种干果每千克降价5元时，可获得最大利润． 考点六随机事件 16．“在只装有白棋的盒子中摸出一颗棋子是白棋”是________事件．（填“必然”“不可能”或“随机”） 【答案】必然 【详解】解：必然事件指在一定条件下一定发生的事件，不可能事件指在一定条件下一定不发生的事件，随机事件指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件 ∵盒子中只装有白棋， ∴摸出一颗棋子一定是白棋，该事件一定发生， 因此该事件是必然事件． 17．用2，4，5三张卡片摆三位数，摆出的数是偶数算赢，摆出的数是奇数算输，用这三张卡片摆出的数是偶数的可能性是________（每张卡片都要用）. 【答案】 【分析】三张卡片全部使用，需摆出三位数，个位为偶数时该数是偶数，先求出所有摆法的总数量，再求出偶数的数量，即可计算出可能性. 【详解】解：三张卡片全排列，可得所有不同的三位数共6个，分别为245，254，425，452，524，542，偶数要求个位为偶数，符合条件的数共4个，分别为254，452，524，542， ∴摆出偶数的可能性为 . 18．袋子里3个白球、2个黑球和1个绿球，每次摸一个球出来，第一回摸球，直到摸到黑球后将所有摸出的球放回袋中，第二回摸球，直到摸到白球后将所有摸出的球放回袋中，两回一共最多摸出______个球． 【答案】9 【分析】根据要使两回一共摸出的球最多，那么第一次要把除黑球外的其它球摸完才能摸到黑球，第二次要把除白球外的其它球摸完才能摸到白球，再结合题目情境即可得答案． 【详解】解：要使两回一共摸出的球最多，那么第一次要把除黑球外的其它球摸完才能摸到黑球，第二次要把除白球外的其它球摸完才能摸到白球， ∴第一次摸到3个白球、1个绿球，摸了4个，第5个一定能摸到黑球，第二次先摸到2个黑球和1个绿球，摸了3个，第4个一定能摸到白球， ∴两回一共摸出的球最多为：（个）， ∴两回一共最多摸出9个球． 考点七简单随机事件的概率 19．将形状与大小都相同的张数字卡片（上面分别写有数字）背面朝上，从中任意抽取一张，抽到的数字①不大于，②不小于，③是奇数，④是偶数的概率分别记为、、、，则、、、按从小到大排列的顺序为___________．（用“”连接） 【答案】 【分析】总共有种等可能的抽取结果，分别找出四个事件对应的符合条件的结果数，计算各概率后比较大小即可． 【详解】解：总共有种等可能的抽取结果，分别计算四个概率： ①不大于的数字有，，，共种，因此； ②中没有不小于的数字，共种，因此； ③中的奇数有，，，，，共种，因此； ④中的偶数有，，，，共4种，因此； 比较大小可得，因此从小到大排列为． 20．小王和小李玩象棋比赛（每局必分胜负），七局四胜，已知小李全程没有领先过小王，最终小王获胜，问一共有______种不同情况 【答案】 【分析】本题要求小王最终获胜且小李全程未领先，按比赛结束的不同局数分类，计算每类符合条件的情况数再求和即可得到结果． 【详解】解：由题意，小王最终胜4局，小李胜局不超过3局，且任意时刻小李胜场数不超过小王胜场数，分情况讨论： ①比赛4局结束：小王连胜4局，符合条件，共1种情况； ②比赛5局结束：第5局小王胜，前4局小王胜3局，小李胜1局，第一局必须为小王胜（否则小李开局领先），剩余3局选1局小李胜即可，共种，均满足条件，共种情况； ③比赛6局结束：第6局小王胜，前5局小王胜3局，小李胜2局，第一局必须为小王胜，若第二局小李胜，则第三局小王胜，第四、五局小李选1局胜即可，共2种情况；若第二局小王胜，则第三、四、五局小李选2局胜即可，共3种情况；因此，一共有5种情况； ④比赛7局结束：第7局小王胜，前6局小王胜3局，小李胜3局，第一局必须为小王胜，在剩余五局中，小李可以胜第二、四、六局，或第二、五、六局或第三、五、六局或第三、四、六局或第四、五、六局，共5种情况； 综上所述， 总情况数为：． 21．一个袋子里装有除颜色以外其他均相同的3个小球，其中红球2个、黑球1个．摸出一个球记录颜色后放回，搅匀后再摸出一个球并记录，则两次摸到的都是黑球的概率为________． 【答案】 【分析】先列表得到所有等可能的结果，再得出两次摸到的都是黑球的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【详解】解：记两个红球分别为A，B，黑球为C，列表如下： 第一次第二次 由表格可知，一共有9种等可能的结果，其中两次摸到的都是黑球的结果有1种， ∴两次摸到的都是黑球的概率为． 考点八用频率估计概率 22．一个袋子中有黑色、红色和黄色三种颜色的球，这些球除颜色外其他都相同，若从中任意摸出一球，记下颜色后再放回去，重复这样的试验600次，有120次摸出了黄球，则这次试验中随机摸出的一球为黄球的频率为_____． 【答案】 【详解】解：由题意可知，这次试验中随机摸出的一球为黄球的频率为． 23．工厂新进一台机床，机床经过调试后，操作人员将做出的200个零件混匀在一起进行试验：随机抽取1个零件检测后放回，多次重复这个试验．通过大量试验后发现，抽到不合格零件的频率为，估计这批零件中不合格零件的数量为________个． 【答案】10 【分析】根据大量重复试验下频率可估计概率的规律，结合总零件数计算不合格零件的估计数量． 【详解】解：∵大量重复试验中，事件发生的频率可用来估计该事件发生的概率． ∴ 估计从这批零件中抽到不合格零件的概率为， ∴估计这批零件中不合格零件的数量为． 24．在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共50个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的统计数据： 摸球的次数n 1000 2000 3000 5000 8000 10000 摸到黑球的次数m 510 1180 1890 3400 4896 6010 摸到黑球的频率 0.51 0.59 0.63 0.68 0.612 0.601 根据实验提供的数据，学习小组可以估计出袋子中黑球的个数是________． 【答案】30 【分析】根据表格数据估计摸到黑球的概率，再结合球的总数求得黑球的数量即可． 【详解】解：由表可知，随着摸球次数增加，摸到黑球的频率逐渐稳定在附近，因此可估计摸到黑球的概率为， 所以黑球的个数约为个． 考点九概率的简单应用 25．事件发生的概率为，大量重复做这种试验，事件平均每次发生的次数是_____． 【答案】5 【分析】本题主要考查了概率的意义及概率的简单应用，熟练掌握大量重复试验中事件发生的平均次数等于试验次数乘以事件发生的概率是解题的关键． 根据概率的意义，在大量重复试验中，事件发生的频率趋近于其概率．因此，计算事件平均每次发生的次数，可直接用试验总次数乘以事件的概率． 【详解】解：， 故答案为：． 26．小明在一次数学活动课上制作了一个质地均匀的抽奖转盘，如图所示，盘面被等分成八个扇形区域，每个扇形区域里标的数字，，分别代表获得一、二、三等奖．若转动转盘一次，转盘停止后（当指针恰好指在分界线上时，不记，重转），指针所指区域为获奖结果，那么获得二等奖的概率为______． 【答案】 【分析】用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：有个，共有种情况， 故转动转盘一次，转盘停止后（当指针恰好指在分界线上时，不记，重转），指针所指区域为获奖结果，那么获得二等奖的概率为． 27．如图，一个靶面被等分成个扇形，在靶面上画一个小的同心圆并涂色．甲，乙两人玩掷飞镖游戏，当飞镖掷中靶面阴影部分时，甲胜，否则乙胜（没有掷中靶面或掷到边界线时重掷）．这个游戏对甲、乙来说是__________的．（填“公平”或“不公平”） 【答案】公平 【分析】本题考查的是几何概率，根据图中阴影部分的面积与空白部分的面积相等，可知飞镖掷中靶面阴影部分和掷中空白部分概率相等，所以这个游戏对甲、乙来说公平． 【详解】解：由图可知，靶面上阴影部分的面积与空白部分的面积相等， 飞镖掷中靶面阴影部分和掷中空白部分概率相等， 这个游戏对甲、乙来说公平． 考点十圆的有关概念 28．如图，矩形中，，点在边上且，点为直线上一动点，连接，将沿着折痕折叠，得到 ，动点在边上，连接，则 最小值是_______． 【答案】4 【分析】由题意可得点在以点为圆心、为半径的圆上，作关于的对称线段，点关于的对称点为，以点为圆心、为半径画圆，连接交于点，交于点，则，即得，由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值为的长，再利用勾股定理解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴点在以点为圆心、为半径的圆上， 如图，作关于的对称线段，点关于的对称点为，以点为圆心、为半径画圆，连接交于点，交于点， 则， ∴， 由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值为的长， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即最小值是， 29．如图，在中，是高线，以点为圆心作，使B，D，C三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则的半径的取值范围是_______． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求出长，再利用等面积法求出高；算出B、D、C三点到圆心的距离，根据“至少一点在圆内，至少一点在圆外”列条件求半径取值范围． 【详解】解：，，， ， ， ． 可得三点到点距离：，，． 要使，，三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外： 当，三点都不在圆内，不符合题意； 当，三点都不在圆外，不符合题意； 当时，，点在内；，点在外，满足条件． 的半径的取值范围为． 30．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，则的外接圆圆心的坐标为______________． 【答案】 【分析】的外接圆圆心是其三边的垂直平分线所在直线的交点，因此分别作线段的垂直平分线，二者的交点即为的外接圆圆心． 【详解】解：如图所示，分别作线段的垂直平分线，二者的交点即为的外接圆圆心， ∴的外接圆圆心的坐标为． 考点十一圆心角 31．如图，是的直径，点E，D，C在上，已知，那么的度数为______． 【答案】/90度 【分析】先根据弧相等得出，再根据是的直径得出，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 即的度数为． 32．如图，在中，，，点为的内心，连接，以为圆心，长为半径作，交边于点，．若，则的长为______． 【答案】 【分析】作于点M，作于点N，连接，设与圆交于点F，由点为的内心，可求出，，证明得，求出，然后根据弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，作于点M，作于点N，连接，设与圆交于点F，则， ∵，， ∴， ∵点为的内心， ∴，，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为∶． 33．如图，某公园圆形喷泉的直径是景观轴线，长为6米．A，B，C，D为喷泉边缘上的四个喷头位置，其中A，D为直径两端．已知，且，则喷头C，D之间的距离为______米． 【答案】3 【分析】由直径的长度求出圆的半径，明确的长度均等于半径．因为弧等于弧，所以对应圆心角与相等，结合已知的度数，求出的度数．根据的边长和角度特征，利用对应三角形的性质，求解的长度． 【详解】设圆形喷泉的圆心为点，连接， ∵直径米， ∴圆的半径米． ∵，且， ∴， ∴． ∵是直径，， ∴． ∴是等边三角形， ∴ 考点十二垂径定理 34．如图，是的弦，半径于点，且，则的长为_______． 【答案】 【分析】利用垂径定理求解即可． 【详解】解：∵是的弦，半径于点， ∴． 35．如图，两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于两点，大圆的半径为10，小圆半径为7．若，则弦的长是__________． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，过圆心作弦的垂线构造直角三角形是解题的关键． 作于点，连接、，根据垂径定理可得，，再利用勾股定理分别求出和的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，作于点，连接、， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 36．如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面宽度为10米．小明为了计算圆弧所在圆的半径，他在左侧水面处测得桥洞高米，则圆弧所在圆的半径的长度为______米． 【答案】 【分析】设圆心为，半径为，过点作于，连接，构造直角三角形，利用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：设圆弧所在圆的圆心为，半径为 过点作于点，连接 ，过点作交的延长线于点 ， ， ， ， ， ， 四边形为矩形 ， ， 设，则 ， 在中，， 即 ， 在中，， 即， ， 解得 ， ， ， 故圆弧所在圆的半径的长度为米． 考点十三圆周角 37．如图，A是外一点，切于点B，过圆心O，且交于点D．若，，则的长度为_________． 【答案】 【分析】本题考查了圆的基本性质，切线的性质，勾股定理等；连接，由圆的基本性质得 ，由切线的性质得，由勾股定理得，即可求解；掌握切线的性质，能熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】解：连接， ， ， ， ， ， 切于点B， ， ， ， 解得：， ； 故答案：． 38．司南是我国古代辨别方向的一种仪器，早在战国时期就已经被发明，是指南针的始祖（如图1）．司南中心为一圆形，圆心为点，根据八个方位将圆形八等分（图2中的点，连接，并延长交于点．则点位于点的北偏东的角度是______． 【答案】 【分析】连接，根据八个方位将圆形八等分，可得、、、、、、所对的圆心角都相等，且都为，从而确定为南北方向，将所求角度转化为圆周角求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由图可得被点八等分， ∴、、、、、、所对的圆心角都相等，且都为， ∴，， ∴， 由图可得在南北方向， ∴也在南北方向， ∵ ∴点位于点的北偏东的角度是． 39．把正方形和正方形拼接在一起，、、三点共线，过、、三点作．分别交边，于点、，若，，则的半径长为______． 【答案】 【分析】连接，，，，，根据题意可以推得，根据直角所对的弦是直径可知是的直径，根据直径所对圆周角是直角可得和是直角三角形；设，根据题意和勾股定理列式求解即可． 【详解】解：连接，，，，， 设， ∵正方形和正方形， ∴， ∴， 则是的直径， ∴， ∵， ∴， 则， ∵， ∴，， ∴， 则在中，， 在中，， 即 解得或（舍） 代入可得， ∴半径为． 考点十四圆内接四边形 40．如图，是内接四边形的一个外角，若，那么的度数为_______． 【答案】 /164度 【分析】利用圆内接四边形的外角等于内对角求出的度数，再根据圆周角定理求出的度数. 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴，， ∵是内接四边形的一个外角，， ∴， ∴， ∴. 41．如图，在四边形中，，，，求的最大值为______． 【答案】 【分析】本题考查四点共圆的性质、垂径定理等性质，解题的关键是判断出四点共圆以及圆内最长的弦为直径． 根据角度关系判断出四点共圆，而为圆周角，为圆周角所对的弦，根据垂径定理等性质可求出圆的半径，最终求出的最大值． 【详解】解：在四边形中，，， ∴， ∴四点共圆，设圆心为O，过点O作交于点E，连接、如图： ∵圆周角， ∴圆心角， ∴为顶角的等腰三角形， ∴为锐角的直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴，由勾股定理可得方程，解得， 为圆内的弦，而圆内长度最大的弦为直径，故． 故答案为：． 42．如图，是的直径，点D是的中点，、的延长线相交于点P．若，，则和之间的数量关系为________________． 【答案】 【分析】连接，则，根据直角三角形的性质和圆内接四边形的性质求出的度数，证明，结合可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 考点十五正多边形 43．“正六边形”在一些地区园林窗洞的设计中有着广泛的应用．已知半径为的正六边形的窗洞如图所示，那么它的周长是______． 【答案】 【分析】设正六边形的中心为点，连接、，求出中心角，证明是等边三角形，得出，再求出周长即可． 【详解】解：如图，设正六边形的中心为点，连接、， 则， ∴中心角， ∴是等边三角形， ∴， ∴它的周长是． 44．大疆航拍无人机在距地面相同的高空，沿正多边形航线飞行完成拍摄任务，它到达正多边形的每个顶点时需要转动才能继续沿该正多边形的边飞行，则这个正多边形的边数为__________． 【答案】 【分析】根据题意可知无人机在顶点处转动的角度即为正多边形的外角，利用多边形的外角和定理列式计算即可求解． 【详解】解：设这个正多边形的边数为， 根据题意，无人机到达正多边形的每个顶点时需要转动， 即该正多边形的每个外角为， 由多边形的外角和等于， 得． 45．如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口，则_____________． 【答案】 【分析】如图，连接、，过O作于H．解直角三角形求出即可． 【详解】解：如图，连接、，过O作于H． ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴. 考点十六弧长及扇形的面积 46．如图，为的直径，点是的中点，交于点，是的切线，与的延长线交于点，，，下列结论：①；②；③；④的长为．其中正确的是______． 【答案】①②③ 【详解】解：∵点是的中点， ∴， ∴． 又∵， ∴，结论①正确． 由，得，即， ∴． ∵是直径， ∴， ∴在中，， ∴，结论②正确． 连接交于点， ∵， ∴的半径， ∴， ∴是等边三角形，． ∵点是的中点， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴，故③正确． 由③知， ∴的长为．故④错误． 47．如图，中，，将绕点O顺时针旋转，得到，若点A的坐标为，则点A经过的路径长为_________． 【答案】 【分析】先分析得出点A经过的路径为圆弧，其圆心为点O，半径为，圆心角为，在由已知条件根据勾股定理，求出，最后运用弧长公式求出点A经过的路径长． 【详解】∵将绕点O顺时针旋转，得到， ∴点A经过的路径为圆弧，其圆心为点O，半径为，圆心角为， ∵点A的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴点A经过的路径长为的长， ∴． 48．如图，分别以n边形的顶点为圆心，以为半径画圆，当时，则图中阴影部分的面积之和为______．（注：结果用含π的式子表示） 【答案】 【详解】解：当时，n边形的外角和为， ∴图中阴影部分的面积之和为 学科网（北京）股份有限公司 $