专题09 圆的有关概念（期中重难点复习）2026-2027学年九年级上学期数学期中考试重难点专题训练（人教版）

专题09 圆的有关概念（期中重难点复习） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 圆的基本概念辨析】 1 【题型2 圆的周长和面积问题】 2 【题型3 判断点与圆的位置关系】 3 【题型4 利用点与圆的位置关系求半径】 4 【题型5 点与圆上一点的最值问题】 4 【题型6 三角形外接圆的概念辨析】 6 【题型7 求三角形外心坐标】 8 【题型8 求特殊三角形外接圆的半径】 9 【题型9 判断三角形外接圆的圆心位置】 10 【题型10 判断确定圆的条件】 11 【题型11 画圆(尺规作图)】 13 【题型12 用反证法证明命题】 14 【题型1 】 1．下列说法中，正确的是（     ） A．弧是半圆，半圆是弧 B．直径是弦，弦不一定是直径 C．长度相等的弧是等弧 D．圆的任意一条弦都等于直径的一半 2．把圆规的两脚分开，两脚间的距离是，再把有针尖的一只脚固定在一点上，把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆，则这个圆的（     ） A．半径是 B．直径是 C．周长是 D．面积是 3．一棵40年树龄的树，树干的横截面（圆形）直径为，则横截面的半径平均每年增加____________． 4．如图，A，B，C三点在上，若，则的度数是__________． 5．体育课上要在操场上画一个半径为的圆．小明说用一根长的绳子和一根木桩就可以完成． (1)写出小明画圆的方法； (2)说明这样画出的曲线是圆的理由． 6．已知：如图，、是的两条直径，、分别是、的中点，连接、．求证：． 【题型2 】 7．一个圆柱的体积为，底面直径为，它的高为（     ）． A． B． C． 8．小明把一个半圆平均分成12份，拼成一个新的图形（如图）．这个新图形的周长与半圆周长相比（     ） A．半圆周长更长 B．新图形的周长更长 C．一样长 D．无法比较． 9．一块长方形铁皮按右图方式进行裁剪，刚好能做成一个圆柱形油桶（接头处、铁皮厚度忽略不计）．油桶的底面直径是( )，油桶高( )，这个油桶的容积是( )． 10．乐乐发现墙上点A处挂着一个圆形的装饰物，如图所示，悬挂绳分别切于点B、C，连接． (1)求证：垂直平分． (2)当为，四边形为正方形时，求的面积．（结果保留π） 【题型3 】 11．已知的半径为6，点P在的内部，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 12．在中，，以为圆心为半径画，使与线段有且只有两个公共点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 13．已知的半径为5，点P在内，则的长_______5．（填“>”“<”或“=”） 14．如图，的半径，圆心O到直线l的距离．在直线l上有P，Q，R三点，并且，，．那么，P，Q，R三点与圆分别有怎样的位置关系？ 【题型4 】 15．已知外一点，若线段，则的半径为（     ） A．9 B．8 C．6 D．10 16．点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（   ） A． B． C． D． 17．已知的半径为，点到圆心的距离为，若点在圆内，通过画图，观察可以得出的取值范围是__________． 18．如图，在中，，以点C为圆心作，半径为r． (1)当r取什么值时，点A，B都在圆外？ (2)当r取什么值时，点A在圆内，点B在圆外？ 【题型5 】 19．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，顶点为D，P是以点为圆心，4为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接．则线段的最小值是（     ） A．10 B．11 C．12 D．13 20．如图，在中，，，，是以斜边为直径的半圆上一动点，为的中点，连接，则 的最小值为（     ） A． B． C． D． 21．如图，在中，，，，点D是半径为4的上一动点，点M是的中点，则的取值范围是________． 22．如图，在矩形中，，，为矩形的中心，以点为圆心，1为半径作，为上的一个动点，连接，，，则面积的最大值为________． 23．如图，在矩形中，，，以点C为圆心作与直线相切于点E，点P是上一个动点，连接交于点Q，作于点T． (1)当时，求的值； (2)请仅用一把无刻度的直尺，画出点P的位置（用P表示），使的值最大，的最大值为______． 24．将正方形的边绕点逆时针旋转得到，连接交边于点，平分交于点，连接、． (1)如图1，求证：是等腰直角三角形（温馨提示：若思考有困难，可尝试证明）． (2)如图2，连接交于点，求证：． (3)如图3，点在线段上，，连接．若，直接写出的最小值． 【题型6 】 25．下列叙述不正确的是（     ） A．矩形的四个顶点在同一个圆上 B．直角三角形的三个顶点在同一个圆上 C．三角形的三个顶点在同一个圆上 D．菱形的四个顶点在同一个圆上 26．如图方格纸中，每个方格的边长是1，、两点皆在格点上，在方格纸上再找两个格点、，使得的外心为，则长度为（     ） A．4 B． C． D．5 27．如图，填空： （1）是的______________三角形． （2）是的______________圆． （3）圆心O是的______________的交点． 28．如图，已知的外心为，内心为，，点为中点，与交于，与交于，且，，是圆的切线，点是中点，连接，．证明：． 【题型7 】 29．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是点、点、点，则的外心的坐标为（     ） A． B． C． D． 30．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，则的外接圆圆心的坐标为______________． 31．如图，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)以原点O为位似中心，画出三角形，使它与的相似比为； (2)直接写出的外心坐标． 【题型8 】 32．设的两条直角边长分别为6，8，则此直角三角形外接圆半径为（     ） A．5 B．5或4 C． D．5或 33．在锐角中，，，所对的边分别为a，b，c，有以下结论：（其中R为的外接圆半径）成立．在中，若，，，则的外接圆面积为（    ） A． B． C． D． 34．在中，，，，则这个三角形的外接圆的半径是________． 35．如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外接圆的半径为_____________． 36．如图，在中，． (1)用尺规作的外接圆（保留作图痕迹，标出圆心O） (2)求的外接圆的半径． 37．如图，在中，，，所对的边分别为a，b，c． (1)，，，求的长； (2)为的外接圆，已知的半径为R，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，，求的外接圆面积． 【题型9 】 38．如图，以点O为圆心，4为半径作扇形，已知，点E在上，且，垂直平分，动点P在线段上运动（不与点D重合），设的外心为I． 结论Ⅰ：四边形为矩形； 结论Ⅱ：的最小值为2． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（     ） A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 39．如图，是的外接圆，，则的度数等于________． 40．在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上． (1)用直尺作出的外接圆圆心． (2)若方格纸中每个小正方形的边长为1，求外接圆的面积． 41．如图，在等腰直角中， 是线段上一个动点，连结，以为斜边构造等腰直角 为的中点，连结 ． (1)【特值尝试】若，则 ， ； (2)设的面积为． 【周密思考】①求关于的函数表达式． 【问题解决】②记关于直线的对称点为，当在的外接圆上时，求此时的面积． 【题型10 判断确定圆的条件】 42．用反证法证明“过同一条直线上的三点不能作圆”时，第一步应假设（     ） A．过同一条直线上的三点不能作圆 B．过同一条直线上的三点可以作一个圆 C．过任意三点都不能作圆 D．过同一条直线上的三点只能作一个圆 43．下列说法：①直径是弦 ②弦是直径 ③半圆是弧，但弧不一定是半圆 ④三个点确定一个圆 ⑤长度相等的两条弧是等弧．正确的命题有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 44．如图，中，，，，在直角坐标系中运动，其中，点，分别在轴负半轴和轴正半轴上运动，求点到点距离的最大值 __ ． 45．如图，和均为直角三角形，，求证：A，B，C，D四点在同一个圆上． 46．如图，点是直角坐标系第三象限内的一个点． (1)求作，使得经过、两点且圆心在轴上；（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)若点的坐标为，求的半径． 【题型11 】 47．如图，已知直线l和直线外的两点A，B（直线与l不垂直），求作经过点A，B的圆，并使它的圆心在直线l上． 48．用尺规作过三角形三个顶点的圆． 已知：如图，． 求作：，使它过三点A，B，C． 49．在四边形中，如果，，那么四边形叫作筝形． (1)从角、对角线这两个方面进行研究，写出筝形有别于一般四边形的条特殊性质．（无需证明） (2)如图，已知，为筝形的一组邻边．用三种不同的方法将筝形补全；要求：①用无刻度直尺和圆规作图；②保留作图痕迹，写出必要的文字说明． 【题型12 】 50．用反证法证明"一个三角形中不能有两个角是直角"时，第一步应假设（     ） A．三角形中三个角都是直角 B．三角形中有两个角是直角 C．三角形中没有直角 D．三角形中只有一个直角 51．下列说法中，正确的是（     ） A．顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的图形是菱形 B．关于的方程有两个不相等实根，则的取值范围是且 C．正方形的对角线所在的直线是它的对称轴，它有2条对称轴 D．用反证法证明“一个三角形中至多有一个钝角”时，应假设“一个三角形中没有钝角” 52．定义：对于两个分式和，若满足（是不为0的常数），则称是的“和美分式”，此时称为“和美数”．下列结论： ①若，，则是的“和美分式”； ②若，且是的“和美分式”，且“和美数”为2，则； ③若分式和，，（，为常数），则一定是的“和美分式”； ④若是的“和美分式”，则不可能是的“和美分式”． 其中正确的是（     ） A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④ 53．填空： 小明尝试用反证法证明“一个三角形中不能含有两个直角”，他写出了以下三个步骤： ①假设在中，和都是直角； ②则，________________； ③假设不成立，所以一个三角形中________含有两个直角．（填“能”或“不能”） 54．用反证法证明命题 “已知a，b，c是三条不同的直线，如果，，那么”时，第一步应假设______． 55．在学习反证法后，乐乐尝试用反证法证明“如图，已知P是直线l外一点，直线、相交于点P，且，则直线与直线l必相交”这一命题：他假设直线与直线l不相交，则有，又因为，所以与平行，这与__________________________________矛盾，故假设不成立，所以直线与直线l必相交． 56．反证法：先假设求证的结论是错误的，由此推导出与已知定义、定理、公理或条件相矛盾的结果，从而否定开始的假设，得出先前求证结果的正确性． 求证：两直线平行，同位角相等． 以下是用反证法证明该命题正确性的过程，请填空： 已知：， 证明：， 假设（ ）． 过点画一条直线，使得， ， （ ）． （已知）， 和都过点 ，且都平行于．与平行公理（ ）产生矛盾． 假设不成立， 原命题成立． 57．用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．完成下列证明过程． 已知：． 求证：中至少有一个内角小于或等于． 证明：假设中没有一个内角小于或等于， 则_____， _____，_____， _________． 这与_________________________矛盾，假设不成立． ______________________________________________． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 圆的有关概念（期中重难点复习） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 圆的基本概念辨析】 1 【题型2 圆的周长和面积问题】 4 【题型3 判断点与圆的位置关系】 6 【题型4 利用点与圆的位置关系求半径】 8 【题型5 点与圆上一点的最值问题】 9 【题型6 三角形外接圆的概念辨析】 20 【题型7 求三角形外心坐标】 25 【题型8 求特殊三角形外接圆的半径】 27 【题型9 判断三角形外接圆的圆心位置】 32 【题型10 判断确定圆的条件】 39 【题型11 画圆(尺规作图)】 42 【题型12 用反证法证明命题】 44 【题型1 】 1．下列说法中，正确的是（     ） A．弧是半圆，半圆是弧 B．直径是弦，弦不一定是直径 C．长度相等的弧是等弧 D．圆的任意一条弦都等于直径的一半 【答案】B 【分析】注意区分弧与半圆、弦与直径、等弧与长度相等的弧等易混概念，逐一判断选项． 【详解】解：A选项，弧不一定是半圆，半圆是弧，A错误； B选项，直径是弦，弦不一定是直径，B正确； C选项，长度相等的弧不一定在同圆或等圆中，不一定能完全重合，不是等弧，C错误； D选项，弦的长度不一定等于直径的一半，D错误． 2．把圆规的两脚分开，两脚间的距离是，再把有针尖的一只脚固定在一点上，把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆，则这个圆的（     ） A．半径是 B．直径是 C．周长是 D．面积是 【答案】A 【详解】解：∵圆规两脚间的距离为所画圆的半径，两脚间距离为． ∴该圆的半径为． 3．一棵40年树龄的树，树干的横截面（圆形）直径为，则横截面的半径平均每年增加____________． 【答案】 【分析】先根据直径计算出当前横截面的总半径，再用总半径除以树龄，即可得到半径的年平均增加量． 【详解】解：∵树干的横截面（圆形）直径为， ∴半径为， ∵该树树龄为40年， ∴半径平均每年增加的长度为 4．如图，A，B，C三点在上，若，则的度数是__________． 【答案】 【分析】连接，由圆的半径相等得，由平行线性质得，由等腰三角形性质即得 ． 【详解】解：如图，连接， ∵，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 5．体育课上要在操场上画一个半径为的圆．小明说用一根长的绳子和一根木桩就可以完成． (1)写出小明画圆的方法； (2)说明这样画出的曲线是圆的理由． 【答案】(1)解：把木桩固定在定点上，用长的绳子一端系在木桩上，拉紧绳子另一端绕木桩转一圈； (2)解：在同一个平面内，线段绕固定端点旋转一周，另一端点形成的图形叫圆． 6．已知：如图，、是的两条直径，、分别是、的中点，连接、．求证：． 【答案】证明：∵、是的两条直径， ∴， ∵、分别是、的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【分析】由圆的性质得到，再证明，进一步证明，则可证明． 【题型2 】 7．一个圆柱的体积为，底面直径为，它的高为（     ）． A． B． C． 【答案】C 【分析】利用圆柱的体积公式，进行解答，即可． 【详解】解：∵ 底面直径为， ∴ 底面半径为： ， ∴ 底面积 为：， ∵ 圆柱体积 ， ∴ ． 8．小明把一个半圆平均分成12份，拼成一个新的图形（如图）．这个新图形的周长与半圆周长相比（     ） A．半圆周长更长 B．新图形的周长更长 C．一样长 D．无法比较． 【答案】C 【详解】解：通过观察图形可知，把这个半圆平均分成12份，拼成一个新的图形，这个新图形的两条边之和等于半圆的弧，另外两条边之和等于半圆的直径，所以这个新图形的周长等于半圆的周长． 9．一块长方形铁皮按右图方式进行裁剪，刚好能做成一个圆柱形油桶（接头处、铁皮厚度忽略不计）．油桶的底面直径是( )，油桶高( )，这个油桶的容积是( )． 【答案】 【分析】设底面直径为，由题意可得，求出底面直径再根据油桶高进行计算，再根据底面积乘以高计算出容积． 【详解】解：设底面直径为，由题意可得， 即， 解得， 油桶高：， 油桶的容积：L． 10．乐乐发现墙上点A处挂着一个圆形的装饰物，如图所示，悬挂绳分别切于点B、C，连接． (1)求证：垂直平分． (2)当为，四边形为正方形时，求的面积．（结果保留π） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据切线长定理以及线段垂直平分线的判定证明即可； （2）先根据正方形的性质求出半径，再由圆的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵悬挂绳分别切于点B、C， ∴ ∵ ∴垂直平分； （2）解：∵四边形为正方形时 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴的面积 【题型3 】 11．已知的半径为6，点P在的内部，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵的半径为6，点在的内部， ∴． 12．在中，，以为圆心为半径画，使与线段有且只有两个公共点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由勾股定理得，过点作于点，利用三角形的面积可得，再结合图形解答即可求解． 【详解】解：∵ ，，， ∴ ， 如图，过点作于点， ∵， ∴， 解得， 当时，与线段相切，只有一个交点，如图； 当时，与线段有两个交点； 当时，与线段只有一个交点； 当时，与线段没有交点； ∴当与线段有且只有两个公共点时，的取值范围是． 13．已知的半径为5，点P在内，则的长_______5．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】已知的半径和点的位置，根据点与圆的位置关系的判定规则即可得到结论． 【详解】解：∵点与圆的位置关系规则为：点在圆内时，点到圆心的距离小于圆的半径， ∵的圆心为，半径为，点在内， ∴． 14．如图，的半径，圆心O到直线l的距离．在直线l上有P，Q，R三点，并且，，．那么，P，Q，R三点与圆分别有怎样的位置关系？ 【答案】点P在圆上；点Q在圆外；点R在圆内； 【分析】连接，利用勾股定理计算的长度，即可作出判断． 【详解】解：连接，如图， ∵圆心O到直线l的距离， ∴， 在中，，则点P在圆上； 在中，，则点Q在圆外； 在中，，则点R在圆内； 【题型4 】 15．已知外一点，若线段，则的半径为（     ） A．9 B．8 C．6 D．10 【答案】C 【详解】解：∵点在外， ∴点到圆心O的距离大于半径， 结合线段，可得半径小于7， 选项中只有6符合条件. 16．点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是关键．点在圆外时，点到圆心的距离大于半径，且圆的半径为正数即可求解． 【详解】解：点P在圆O外， 点P到圆心O的距离大于圆O的半径r， 点P到圆心O的距离为，且圆的半径， ． 故选：A． 17．已知的半径为，点到圆心的距离为，若点在圆内，通过画图，观察可以得出的取值范围是__________． 【答案】 【分析】已知半径为，点在圆内，结合点到圆心距离的非负性，根据点与圆的位置关系判定规则推导的取值范围 【详解】解：∵点到圆心的距离为非负值，即，点在圆内的判定条件是点到圆心的距离小于圆的半径，的半径为， ∴点到圆心的距离满足， ∴综合可得的取值范围是． 18．如图，在中，，以点C为圆心作，半径为r． (1)当r取什么值时，点A，B都在圆外？ (2)当r取什么值时，点A在圆内，点B在圆外？ 【答案】(1)当时，点A，B都在圆外． (2)时，点A在圆内，点B在圆外． 【分析】（1）根据点与圆的位置关系，判断点到圆心的距离与半径的大小关系，从而确定的范围． （2）同样根据点与圆的位置关系，分别确定点在圆内、点在圆外时的范围，再取交集． 【详解】（1）解：， 当时，点A，B都在圆外． （2）解：， 当，即时，点A在圆内，点B在圆外． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，掌握点到圆心的距离与半径的关系：时点在圆外，时点在圆内是解题的关键． 【题型5 】 19．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，顶点为D，P是以点为圆心，4为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接．则线段的最小值是（     ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】先求抛物线与x轴交点A、顶点D的坐标，令抛物线解析式中求解A点坐标，根据顶点式或顶点坐标公式求D点坐标．利用Q是中点的条件，结合三角形中位线定理，找和P点相关线段的数量关系，确定Q点的运动轨迹．计算D点到Q点轨迹圆心的距离，再根据圆上一点到定点的最短距离为两点距离减半径，求出的最小值． 【详解】令抛物线中， 解得， 结合图像A在x轴负半轴，得； 抛物线的顶点D在y轴上，坐标为． 连接和， ∵Q是的中点，A点是定点，取线段的中点M， 根据三角形中位线定理，可得． ∵圆C半径为4， ∴， ∴， ∴Q点的轨迹是以定点M为圆心、半径为2的圆． ∵、， ∴中点M的坐标为； 根据两点距离公式 ， 点D到圆M上点的最短距离为“点到圆心的距离减去半径”， ∴的最小值为． 20．如图，在中，，，，是以斜边为直径的半圆上一动点，为的中点，连接，则 的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设的中点为O，连接，，先根据直角三角形斜边上的中线性质和勾股定理得到，，进而推导出，根据三线合一得到，则点M在以为直径的圆上运动，设圆心为，连接，当M在线段上即点处时，最小，过作于H，证明是等边三角形得，然后利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得，进而可得答案． 【详解】解：如图，设的中点为O，连接，， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∵是以斜边为直径的半圆上一动点， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 则点M在以为直径的圆上运动，设圆心为，连接，当M在线段上（即点处）时，最小， 过作于H，则， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 在中，，， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴的最小值为． 21．如图，在中，，，，点D是半径为4的上一动点，点M是的中点，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】取的中点，连接，取的中点，连接，，利用三角形中位线定理求出的长，确定点的轨迹，再求出点到的距离，从而得到点到距离的取值范围，最后利用三角形面积公式求解． 【详解】解：取的中点，连接，取的中点，连接，， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵点在半径为4的上， ∴， ∴，即点在以为圆心，2为半径的圆上运动， 设点到的距离为， ∵点在以为圆心，2为半径的圆上，且圆心到的距离为4 ， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 22．如图，在矩形中，，，为矩形的中心，以点为圆心，1为半径作，为上的一个动点，连接，，，则面积的最大值为________． 【答案】 【分析】当点到直线的距离最大时，的面积最大，过点作于点，的延长线交于点，此时点到直线的距离最大，为的长．根据勾股定理先求得的长，进而求得的长，根据等面积法求得的长，从而求得的长，最后根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】由题意知，当点到直线的距离最大时，的面积最大， 如图，连接． 点为矩形的中心， ，，三点共线， 过点作于点，的延长线交于点，此时点到直线的距离最大，为的长． 四边形是矩形， ，，， ， ． ， ， ， 的最大面积． 23．如图，在矩形中，，，以点C为圆心作与直线相切于点E，点P是上一个动点，连接交于点Q，作于点T． (1)当时，求的值； (2)请仅用一把无刻度的直尺，画出点P的位置（用P表示），使的值最大，的最大值为______． 【答案】(1) (2)连接并延长交于点 如图， 最大值为 【分析】（1）过点作于点，勾股定理求得，等面积法求得，进而证明，根据相似三角形的性质，即可求解； （2）由（1）可得当取得最大值时，的值最大，进而得出的最大值为 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 在矩形中，，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴     ∴ （2）解：∵ ∴当取得最大值时，的值最大 当为的直径时，最大 ∵以点C为圆心作与直线相切于点E， 同（1）可得，则 ∴的最大值为 24．将正方形的边绕点逆时针旋转得到，连接交边于点，平分交于点，连接、． (1)如图1，求证：是等腰直角三角形（温馨提示：若思考有困难，可尝试证明）． (2)如图2，连接交于点，求证：． (3)如图3，点在线段上，，连接．若，直接写出的最小值． 【答案】(1)证明：∵平分， ∴， ∵正方形的边绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． (2)证明：由（1）证得， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即① ， 如图：过 作 于 ， 则， ∵， ∴， ∴，即② ， ∵，， ∴， ∴ 由①②两式得， ，即． (3) 【分析】（1）先利用正方形的性质证明可得，，再证明，即可证明结论； （2）由（1）证得， ，证明可得，即① ；如图：过 作 于 ， 则，证明可得，即② ；利用等腰三角形的性质可得，即，最后结合①②即可证明结论； （3）如图：取 中点 ， 连接 ． 即，可证得；再说明 点在以 为 圆心， 为半径的圆上运动， 当 点运动到 上时， 即 、、 三点共线时， 取得最小值． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图：取 中点 ， 连接 ． 即，由（1）可得， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 作与的垂直平分线交于点，作，连接，， ∴ 点在以 圆心， 为半径的圆上运动， 当 点运动到 上时， 即 、、 三点共线时， 取得最小值． 如图：过 作 于 ， 交 于 ，在圆O优弧上取一点N，连接，则四边形是圆O的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴为等腰直角三角形，其中， ∵四边形为正方形， ∴， 又， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的最小值为． 【题型6 】 25．下列叙述不正确的是（     ） A．矩形的四个顶点在同一个圆上 B．直角三角形的三个顶点在同一个圆上 C．三角形的三个顶点在同一个圆上 D．菱形的四个顶点在同一个圆上 【答案】D 【详解】解：∵ 不在同一条直线上的三个点确定一个圆， ∴任意三角形的三个顶点共圆, ∴ B、C正确； ∵矩形的四个角都是直角， ∴矩形的对角互补， ∴矩形的四个顶点在同一个圆上， ∴A正确； ∵菱形对角相等，一般菱形的对角和不为, ∴菱形的四个顶点不一定共圆， ∴D错误． 26．如图方格纸中，每个方格的边长是1，、两点皆在格点上，在方格纸上再找两个格点、，使得的外心为，则长度为（     ） A．4 B． C． D．5 【答案】B 【分析】根据三角形的外心到三角形各顶点的距离相等以及勾股定理确定点、的位置，然后利用勾股定理求出线段长度． 【详解】解：点、的位置如图所示， ∵的外心为， ∴， ∵， ∴， ∵点、在格点上， ∴点、的位置即可确定， ∴． 27．如图，填空： （1）是的______________三角形． （2）是的______________圆． （3）圆心O是的______________的交点． 【答案】 内接 外接 三边垂直平分线 【分析】直接根据三角形的外接圆与外心相关概念分别分析得出即可． 【详解】解：（1）由题意得，是的内接三角形； （2）由题意得，是的外接圆； （3）∵是的外接圆， ∴圆心O是的三边垂直平分线的交点． 28．如图，已知的外心为，内心为，，点为中点，与交于，与交于，且，，是圆的切线，点是中点，连接，．证明：． 【答案】证明：如图，在上取点，使， ∵点为的内心，， ∴平分，平分，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，连接、、、、、，过点作于点， ∴， ∴， ∵点为的内心，点为的外心， ∴平分，， ∴， ∵，是圆的切线， ∴，， ∴垂直平分， ∴，且与的交点为的中点， 又∵点为中点， ∴点在上，即交于点 ∴， ∵在中，对着圆心角和圆周角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵点是中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵在中，对着圆心角和圆周角，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】如图，在上取点，使，证明得，证明得，推出，继而得到，如图，连接、、、、、，过点作于点，推出，，得，证明得，再证明得，，继而得到，根据得，根据圆周角定理得，推出，再证明即可得证． 【详解】略． 【题型7 】 29．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是点、点、点，则的外心的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据网格作，的垂直平分线，两条线交于点，可得点是的外心． 【详解】解：如图，根据网格作，的垂直平分线，两条线交于点， 点是的外心， 的外心的坐标为． 30．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，则的外接圆圆心的坐标为______________． 【答案】 【分析】的外接圆圆心是其三边的垂直平分线所在直线的交点，因此分别作线段的垂直平分线，二者的交点即为的外接圆圆心． 【详解】解：如图所示，分别作线段的垂直平分线，二者的交点即为的外接圆圆心， ∴的外接圆圆心的坐标为． 31．如图，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)以原点O为位似中心，画出三角形，使它与的相似比为； (2)直接写出的外心坐标． 【答案】(1)如图，即为所求； (2) 【分析】（1）把A、B、C点的横、纵坐标都乘以得到、、的坐标，然后描点顺次连接即可； （2）作和的垂直平分线得到的外心，再写出它的坐标． 【详解】（1）略 （2）解：如图，的外心为点P，坐标为． 【题型8 】 32．设的两条直角边长分别为6，8，则此直角三角形外接圆半径为（     ） A．5 B．5或4 C． D．5或 【答案】A 【详解】解：∵的两条直角边长分别为6，8． ∴斜边长． ∴外接圆半径． 33．在锐角中，，，所对的边分别为a，b，c，有以下结论：（其中R为的外接圆半径）成立．在中，若，，，则的外接圆面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形内角和定理求出，根据公式求出R，根据圆的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：在中，，， 则， ∴， 即， 解得：， ∴的外接圆面积为：． 34．在中，，，，则这个三角形的外接圆的半径是________． 【答案】 【分析】先根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，再利用直角三角形外接圆直径等于斜边长计算半径. 【详解】解：∵ 在中，，，，有,　 ∴ ， ∵ 直角三角形的外接圆直径等于斜边长度， ∴ 三角形外接圆的半径为 ． 35．如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外接圆的半径为_____________． 【答案】 【分析】根据点、的坐标特征确定线段的垂直平分线，设出圆心坐标，利用圆心到点、的距离相等建立方程求出圆心纵坐标，最后利用两点间距离公式计算半径即可． 【详解】解：点，的纵坐标相同， 线段平行于轴，且中点横坐标为， 线段的垂直平分线为直线， 的外接圆圆心在线段的垂直平分线上， 设外接圆圆心坐标为， 点到点、的距离相等，且， ， ， ， ， ， ， ， 外接圆圆心坐标为， 外接圆半径． 36．如图，在中，． (1)用尺规作的外接圆（保留作图痕迹，标出圆心O） (2)求的外接圆的半径． 【答案】(1)如图所示 (2)5 【分析】（1）分别以点B，C为圆心，以为半径画弧，两弧交于点D，E，作直线，再以点A，C为圆心，以为半径画弧，两弧交于点G，H，作直线，两直线交于点O，以点O为圆心，以为半径画弧，则即为所求作； （2）根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：根据勾股定理，得， ∴， 所以的外接圆的半径是5． 37．如图，在中，，，所对的边分别为a，b，c． (1)，，，求的长； (2)为的外接圆，已知的半径为R，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，，求的外接圆面积． 【答案】(1) (2)证明：如图，过点A作的直径，连接 、， ∵为的外接圆，已知的半径为R， ∴，，，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，即． (3)的外接圆面积为 【分析】（1）过点 作于点，则，在和中，利用锐角三角函数和勾股定理即可求解； （2）过点A作的直径，连接 、，由为的外接圆，已知的半径为R，可得，，，，则在和中，即可证明结论； （3）由，，可得，利用（2）的结论即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点 作于点，则， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴． （2）略 （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的外接圆面积为． 【题型9 】 38．如图，以点O为圆心，4为半径作扇形，已知，点E在上，且，垂直平分，动点P在线段上运动（不与点D重合），设的外心为I． 结论Ⅰ：四边形为矩形； 结论Ⅱ：的最小值为2． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（     ） A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 【答案】A 【分析】Ⅰ：连接，，证明，求出，证明，则四边形是平行四边形，即可证明四边形为矩形；Ⅱ：先判断最短时，的位置，过作于H，过作于，利用三角形的中位线的性质与勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，，则， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∵垂直平分，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形为矩形； 故结论Ⅰ正确； 如图，为直角三角形， ∴的外心是的中点， 当P，C重合时，最短， 过作于H，过作于， 垂直平分 四边形为矩形， ． 即的最小值为2． 故Ⅱ正确． 39．如图，是的外接圆，，则的度数等于________． 【答案】/度 【分析】利用是的外接圆，可得，再根据等腰三角形底角相等和三角形的内角和为，可求得的大小，最后再利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可解答． 【详解】解：如图：连接， 是的外接圆， ， ， ， 根据圆周角定理可知，． 40．在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上． (1)用直尺作出的外接圆圆心． (2)若方格纸中每个小正方形的边长为1，求外接圆的面积． 【答案】(1)如图所示，点即为所求． (2)外接圆的面积为 【分析】（1）三角形外接圆的圆心是三条边垂直平分线的交点，作两条边的垂直平分线，交点就是外接圆的圆心； （2）连接，利用勾股定理求得半径，再计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接， ， 故外接圆的面积为． 41．如图，在等腰直角中， 是线段上一个动点，连结，以为斜边构造等腰直角 为的中点，连结 ． (1)【特值尝试】若，则 ， ； (2)设的面积为． 【周密思考】①求关于的函数表达式． 【问题解决】②记关于直线的对称点为，当在的外接圆上时，求此时的面积． 【答案】(1)， (2)关于的函数表达式为，此时的面积为 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定定理解答即可； （2）画出符合题意的图形，利用直角三角形的斜边上的中线的性质和相似三角形的性质得到，过点作于点，过点作，交的延长线于点，利用全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质求得，，再利用三角形的面积公式解答即可得出结论：由知：，则点为的外接圆的圆心，利用求临界值的方法求得当点关于直线的对称点在的外接圆上时的值，连接交于点，则垂直平分，即 ，利用轴对称的性质，直角三角形的边角关系定理解答求得值，代入式即可． 【详解】（1）解：， ，为等腰直角三角形， ，， ， 为的中点， ， ， 为等腰直角三角形，， ， ， ， 为等腰直角三角形，， ，， ， ， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ，， ， ． （2）解：由（1）知， ， ， 如图，过点作于点，过点作，交的延长线于点， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 四边形为矩形， ， ， ， 是线段上一个动点，， ， 关于的函数表达式为； 由知：， 点为的外接圆的圆心， 当点关于直线的对称点为在的外接圆上时，如图， 连接交于点，则垂直平分，即 ， ， ， ， ， ， ， ， 或， 或， 由知，， ， ， 此时的面积为． 【题型10 判断确定圆的条件】 42．用反证法证明“过同一条直线上的三点不能作圆”时，第一步应假设（     ） A．过同一条直线上的三点不能作圆 B．过同一条直线上的三点可以作一个圆 C．过任意三点都不能作圆 D．过同一条直线上的三点只能作一个圆 【答案】B 【详解】解：原命题的结论为过同一条直线上的三点不能作圆， 反证法第一步需假设结论的反面成立，即过同一条直线上的三点可以作一个圆，对应选项B． 43．下列说法：①直径是弦 ②弦是直径 ③半圆是弧，但弧不一定是半圆 ④三个点确定一个圆 ⑤长度相等的两条弧是等弧．正确的命题有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①②中，直径是过圆心的特殊弦，故①正确，②错误； ③∵半圆是弧的一种，弧包含优弧、劣弧，∴该说法正确； ④∵共线的三个点不能确定一个圆，∴该说法错误； ⑤∵长度相等的弧不一定能完全重合，∴该说法错误； 综上，正确的命题共2个． 44．如图，中，，，，在直角坐标系中运动，其中，点，分别在轴负半轴和轴正半轴上运动，求点到点距离的最大值 __ ． 【答案】2 【分析】取的中点D，连接、，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，进而可得点A、O、B、C在以为直径的上，可知当为的直径时取最大值． 【详解】解：取的中点D，连接、， ，， ， 点A、O、B、C在以为直径的上， 为的一条弦， 当为的直径时取最大值，最大值为2， 即点到点距离的最大值为2． 45．如图，和均为直角三角形，，求证：A，B，C，D四点在同一个圆上． 【答案】证明：如图，取的中点O，以点O为圆心，长为半径作圆，连接，． 和都为直角三角形，且， ∴，分别为和斜边上的中线， ， ∴A，B，C，D四点在同一个圆上． 【分析】取的中点O，以点O为圆心，长为半径作圆，连接，，根据直角三角形的性质求解即可； 【详解】略 46．如图，点是直角坐标系第三象限内的一个点． (1)求作，使得经过、两点且圆心在轴上；（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)若点的坐标为，求的半径． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）圆心M一定在线段的垂直平分线上，故作线段的垂直平分线交x轴于点M，再以M为圆心， 的长为半径画圆即可； （2）设点M的坐标为，根据，即建立方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设点M的坐标为， 由圆的性质可得，则 ∴， ∴ ∴， 解得， ∴圆心的坐标为． ∴的半径为． 【题型11 】 47．如图，已知直线l和直线外的两点A，B（直线与l不垂直），求作经过点A，B的圆，并使它的圆心在直线l上． 【答案】如图，圆O即为所求： 【分析】连接，作出的垂直平分线交直线l于O点，以O为圆心，为半径作圆即可． 【详解】略 48．用尺规作过三角形三个顶点的圆． 已知：如图，． 求作：，使它过三点A，B，C． 【答案】 【分析】作的垂直平分线；作的垂直平分线，交于O；连接，以O为圆心，为半径作；则即为所求． 【详解】略． 49．在四边形中，如果，，那么四边形叫作筝形． (1)从角、对角线这两个方面进行研究，写出筝形有别于一般四边形的条特殊性质．（无需证明） (2)如图，已知，为筝形的一组邻边．用三种不同的方法将筝形补全；要求：①用无刻度直尺和圆规作图；②保留作图痕迹，写出必要的文字说明． 【答案】(1)筝形的对角线互相垂直；筝形有一组对角相等 (2)，， 【分析】（1）连接、，得到，推出，与关于对称，且点与点为对应点，推出； （2）①连接，作，再在射线上截取，连接，则四边形即为所求；②连接，作点关于的对称点，连接、，则四边形即为所求；③分别以、为圆心，、为半径作圆，两圆交于一点，连接、，则四边形即为所求． 【详解】（1）解：连接、， ，，， ，与关于对称， ，， 故筝形的两条性质为：筝形的对角线互相垂直；筝形有一组对角相等； （2）略 【题型12 】 50．用反证法证明"一个三角形中不能有两个角是直角"时，第一步应假设（     ） A．三角形中三个角都是直角 B．三角形中有两个角是直角 C．三角形中没有直角 D．三角形中只有一个直角 【答案】B 【分析】根据反证法基本步骤判断即可． 【详解】解：反证法第一步需假设原命题的结论不成立， 原命题结论为“一个三角形中不能有两个角是直角”， 故假设“三角形中有两个角是直角”． 51．下列说法中，正确的是（     ） A．顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的图形是菱形 B．关于的方程有两个不相等实根，则的取值范围是且 C．正方形的对角线所在的直线是它的对称轴，它有2条对称轴 D．用反证法证明“一个三角形中至多有一个钝角”时，应假设“一个三角形中没有钝角” 【答案】B 【详解】解：A、顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的图形是矩形，不一定是菱形，故选项A不符合题意； B、∵关于的方程有两个不相等实根，∴， 解得：且，故选项B符合题意； C、正方形有4条对称轴，分别是2条对角线所在的直线和2条两边的垂直平分线，故选项C不符合题意； D、用反证法证明“一个三角形中至多有一个钝角”时，第一步应假设一个三角形中至少有两个钝角 故选项D不符合题意；故选：B． 52．定义：对于两个分式和，若满足（是不为0的常数），则称是的“和美分式”，此时称为“和美数”．下列结论： ①若，，则是的“和美分式”； ②若，且是的“和美分式”，且“和美数”为2，则； ③若分式和，，（，为常数），则一定是的“和美分式”； ④若是的“和美分式”，则不可能是的“和美分式”． 其中正确的是（     ） A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题为新定义题型，根据“和美分式”的定义，逐一计算每个结论中的值，判断结果是否为非零常数，即可得到正确选项． 【详解】解：① ， ，，符合定义，①正确； ② 根据定义，是的和美分式，和美数为，则 ，②错误； ③ ， ，若时，则，不符合题意，故③错误； ④ 假设是的“和美分式”，则由题意得 解得，即均为常数，不符合题意， 故假设不成立， ∴若是的“和美分式”，则不可能是的“和美分式”，故④正确， 综上，①④正确． 53．填空： 小明尝试用反证法证明“一个三角形中不能含有两个直角”，他写出了以下三个步骤： ①假设在中，和都是直角； ②则，________________； ③假设不成立，所以一个三角形中________含有两个直角．（填“能”或“不能”） 【答案】 这与三角形内角和定理矛盾 不能 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，用反证法证明命题，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 反证法通过假设结论不成立，推导出矛盾，从而证明原命题成立．本题假设三角形有两个直角，导致内角和大于，与三角形内角和定理矛盾，故假设不成立． 【详解】解：假设中和都是直角， 则，，． 又， 则， 这与三角形内角和定理矛盾， 故假设不成立， 所以一个三角形中不能含有两个直角． 故步骤②填“这与三角形内角和定理矛盾”，步骤③填“不能”． 故答案为：这与三角形内角和定理矛盾，不能． 54．用反证法证明命题 “已知a，b，c是三条不同的直线，如果，，那么”时，第一步应假设______． 【答案】a与c不平行 【详解】解：由题意，第一步应假设a与c不平行. 55．在学习反证法后，乐乐尝试用反证法证明“如图，已知P是直线l外一点，直线、相交于点P，且，则直线与直线l必相交”这一命题：他假设直线与直线l不相交，则有，又因为，所以与平行，这与__________________________________矛盾，故假设不成立，所以直线与直线l必相交． 【答案】直线相交 【分析】假设直线与直线l不相交，则有，根据平行线的传递性得出与平行，得出与条件：直线相交矛盾结论即可． 【详解】解：假设直线与直线l不相交，则有， 又因为， 所以与平行， 这与直线相交矛盾，故假设不成立， 所以直线与直线l必相交． 56．反证法：先假设求证的结论是错误的，由此推导出与已知定义、定理、公理或条件相矛盾的结果，从而否定开始的假设，得出先前求证结果的正确性． 求证：两直线平行，同位角相等． 以下是用反证法证明该命题正确性的过程，请填空： 已知：， 证明：， 假设（ ）． 过点画一条直线，使得， ， （ ）． （已知）， 和都过点 ，且都平行于．与平行公理（ ）产生矛盾． 假设不成立， 原命题成立． 【答案】；；同位角相等，两直线平行；过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】利用反证法的一般步骤解答即可． 【详解】略 57．用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．完成下列证明过程． 已知：． 求证：中至少有一个内角小于或等于． 证明：假设中没有一个内角小于或等于， 则_____， _____，_____， _________． 这与_________________________矛盾，假设不成立． ______________________________________________． 【答案】；；；；三角形的内角和为；中至少有一个内角小于或等于 【分析】先对原命题结论进行否定，假设三角形三个内角全都大于，由此推出三个内角相加大于，该结果和三角形内角和定理互相矛盾，即可判定假设错误，故原来的命题成立． 【详解】略 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $