浙江省宁波市2026—2027学年浙教版九年级数学上册期中考试模拟卷（第1章～3章）

浙江省宁波市2026—2027学年浙教版九年级数学 上册期中考试模拟卷（第1章～3章） （考试时间：120分钟，满分：120分） 一、选择题（共30分） 1．将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，所得的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 2．下列成语所反映事件中，发生的可能性最大的是（     ） A．竹篮打水 B．水中捞月 C．守株待兔 D．水涨船高 3．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数最有可能是（     ） A．7 B．10 C．12 D．15 4．下列函数中，是的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 5．已知外一点，若线段，则的半径为（     ） A．9 B．8 C．6 D．10 6．石拱桥是我国古代人民建筑艺术上的智慧象征如图，拱桥的形状是抛物线，其函数解析式为，当水面离拱顶的距离为m时，水面的宽度为（     ）. A． B． C． D． 7．如图，已知点在上，点在内，和均为直角，的半径为，，则的长度为（） A． B． C． D． 8．如图，点A、B、C、D、E都是上的点，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 9．如图，在扇形中，，圆心角，是上的点，，则阴影部分的面积为（     ）． A． B． C． D． 10．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②；③；④当时，x的值只能为0；⑤，其中正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（共18分） 11．二次函数的二次项系数是______． 12．一个不透明盒子中装有除颜色外其他都相同的20颗蓝色幸运星，颗红色幸运星和15颗黄色幸运星（已搅匀），若小明在盒子中随机摸出一颗幸运星，则摸到红色幸运星的概率为______． 13．已知点，，都在抛物线上，则，，的大小关系为___________．（用符号连接） 14．已知二次函数（）的图象如图所示，给出以下结论：；；．其中正确的有______．（填序号） 15．如图①为某酒店的圆形旋转门，可看成如图②由外围的和3翼隔风玻璃组成，外围圆有通道和，且它们关于圆心中心对称，圆内的3翼隔风玻璃可绕圆心转动，且所成的夹角，3翼隔风玻璃在转动过程中，始终使大厅内外空气隔离，起到对大厅内保温作用．例如：当隔风玻璃转到如图②位置时，大厅内外空气被隔风玻璃，隔离．则通道所对圆心角的度数的最大值为________． 16．司南是我国古代辨别方向的一种仪器，早在战国时期就已经被发明，是指南针的始祖（如图1）．司南中心为一圆形，圆心为点，根据八个方位将圆形八等分（图2中的点，连接，并延长交于点．则点位于点的北偏东的角度是______． 三、解答题（共72分） 17．已知抛物线（m为常数）的对称轴是直线求此抛物线的解析式． 18．求下列二次函数图象的顶点坐标． (1)（配方法）； (2)（公式法）． 19．某校数学兴趣小组开展摸球试验，具体操作如下：在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的小球共个，这些球除颜色外无其他差别，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后再把它放回盒子里搅匀，再随机摸出一球记下颜色，不断重复摸球试验．根据多次试验结果绘制出如下统计图： (1)请你根据统计图数据估计：从不透明的盒子里随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率约为_______（精确到）；试估算盒子里有_______个白球． (2)根据第（1）题的估算结果，若从盒子里随机摸出两球，请画树状图或列表求“摸到两个颜色相同小球”的概率． 20．如图，是直径，D是弦的延长线上一点，且，的延长线交于点E． (1)吗？为什么？ (2)若弧的度数为，求弧的度数？（用含m的式子表示） 21．如图，小林将两块完全相同的含角的三角板放置于平面直角坐标系中，三角板的斜边与轴重合，直角顶点在抛物线上，三角板的直角边与轴重合． (1)求的值； (2)通过计算，判断点是否在抛物线上． 22．如图，正六边形内接于，连接、． (1)若P是上的动点，连接、，求的度数； (2)若的面积为，求的面积．（结果保留） 23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，与轴交于点，与轴交于点、 (1)求二次函数的表达式； (2)若点为抛物线第一象限内的任意一点（点在上方），求：当的面积最大时点的坐标，并求出的最大面积； (3)若点在抛物线上，点在其对称轴上，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标． 24．在学习完“圆”这一章内容后，同学们会感受到：一些有关三角形、四边形的几何问题，如果与圆相结合，运用圆的相关知识，就能使问题的解决呈现出“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的妙境． (1)【学习心得】例如：如图①，在中，，，是外一点，且，在求的度数时，如图②，若以点为圆心，长为半径作辅助圆，则，两点必在上，则___________． (2)【初步运用】如图③，在四边形中，，，则___________； (3)【问题迁移】如图④，在平面直角坐标系中，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，将直线绕点逆时针方向旋转交轴的正半轴于点，若点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标； (4)【深入研究】在图④的基础上，若点的坐标为，点的坐标为，为线段上的点，若满足的点恰好有两个，请直接写出的取值范围为___________． 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省宁波市2026—2027学年浙教版九年级数学 上册期中考试模拟卷（第1章～3章） （考试时间：120分钟，满分：120分） 一、选择题（共30分） 1．将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，所得的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，所得的抛物线解析式是，即． 2．下列成语所反映事件中，发生的可能性最大的是（     ） A．竹篮打水 B．水中捞月 C．守株待兔 D．水涨船高 【答案】D 【分析】必然事件发生的可能性最大，只需找出对应必然事件的选项． 【详解】解：竹篮打水、水中捞月均为不可能事件，发生可能性为； 守株待兔是随机事件，发生可能性介于与之间； 水涨船高是必然事件，发生可能性为； 故水涨船高发生的可能性最大，答案为D． 3．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数最有可能是（     ） A．7 B．10 C．12 D．15 【答案】A 【分析】利用频率与概率的关系来估算袋子中红球的个数即可． 【详解】解：由题意得红球个数约为． 4．下列函数中，是的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先排除非整式函数，再判断剩余函数的自变量最高次数是否为2． 【详解】解：A选项是一次函数，不符合二次函数的定义，故不符合题意； B选项是二次函数，符合题意； C选项不是整式函数，不符合二次函数的定义，故不符合题意； D选项不是整式函数，不符合二次函数的定义，故不符合题意． 5．已知外一点，若线段，则的半径为（     ） A．9 B．8 C．6 D．10 【答案】C 【详解】解：∵点在外， ∴点到圆心O的距离大于半径， 结合线段，可得半径小于7， 选项中只有6符合条件. 6．石拱桥是我国古代人民建筑艺术上的智慧象征如图，拱桥的形状是抛物线，其函数解析式为，当水面离拱顶的距离为m时，水面的宽度为（     ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，得到方程求解，进而得到水面的宽度． 【详解】解：根据题意，令，解得：， 故水面的宽度为米． 7．如图，已知点在上，点在内，和均为直角，的半径为，，则的长度为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】两个直角给出；过圆心作弦的垂线，一方面由垂径定理算出圆心到的距离，另一方面借矩形把已知的、搬到辅助线上，再用勾股定理求出，相减即得． 【详解】解：∵，， ∴． 过圆心作于点，延长交的延长线于点（如图）， ∵，且是的弦， ∴点是的中点， ∴． 在中，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，． ∴． 在中，， ∴． ∴． 【点睛】本题考查垂径定理、矩形的判定与勾股定理的综合运用．关键有两步：一是由得，从而两平行线间的距离就是；二是过圆心作弦的垂线，先用垂径定理求出与，再由矩形把搬到、把搬到，由得，最后在中求，由得解． 8．如图，点A、B、C、D、E都是上的点，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接、，根据圆内接四边形的性质求出，根据等腰三角形的性质求出，再根据圆内接四边形的性质计算即可． 【详解】解：连接、， 点、、、都是上的点， ， ， ， ， ， 点、、、都是上的点， ， ． 9．如图，在扇形中，，圆心角，是上的点，，则阴影部分的面积为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据圆周角定理求出，进而求出，利用阴影部分的面积等于求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积等于 ． 10．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②；③；④当时，x的值只能为0；⑤，其中正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】由抛物线开口方向、对称轴及与坐标轴交点确定系数关系，代入特殊值验证． 【详解】解：由图象可得，抛物线开口向上，则， ∵对称轴为直线 ， ∴， ∴， 故①错误； ∵， ∴， 故③正确； 当时，图象在轴下方， ∴， 故②错误； ∵抛物线过点，对称轴为， ∴点关于对称轴的对称点为， ∴当时，或， 故④错误； 当 时，， 将代入得 ，即， ∴， ∵， ∴， 故⑤正确； 综上，正确的结论有2个． 二、填空题（共18分） 11．二次函数的二次项系数是______． 【答案】 【详解】解：二次函数的一般形式为（），其中为二次项系数， 对比函数，其二次项为，对应的二次项系数为． 12．一个不透明盒子中装有除颜色外其他都相同的20颗蓝色幸运星，颗红色幸运星和15颗黄色幸运星（已搅匀），若小明在盒子中随机摸出一颗幸运星，则摸到红色幸运星的概率为______． 【答案】 【详解】解：∵盒子中装有20颗蓝色幸运星，35颗红色幸运星，15颗黄色幸运星， ∴盒中幸运星的总数量为颗， ∵随机摸出1颗幸运星时，所有等可能的结果共70种， 其中摸到红色幸运星的结果有35种， ∴摸到红色幸运星的概率为． 13．已知点，，都在抛物线上，则，，的大小关系为___________．（用符号连接） 【答案】 【分析】将三个点的横坐标分别代入抛物线解析式，计算出对应纵坐标值后比较大小即可． 【详解】解：∵点，，都在抛物线上， ∴，，， ∵， ∴． 14．已知二次函数（）的图象如图所示，给出以下结论：；；．其中正确的有______．（填序号） 【答案】 【分析】根据时的函数值判断的符号，从而判断；根据抛物线开口方向确定的符号，对称轴位置确定的符号，从而判断；根据与轴交点确定的符号，从而判断． 【详解】解：∵当时，图象在轴下方， ∴，即，故结论正确； ∵抛物线对称轴在轴左侧， ∴， 由图象可知，抛物线开口向下， ∴， ∴，故结论错误； ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴， ∴，故结论正确； 综上所述，正确的结论是． 15．如图①为某酒店的圆形旋转门，可看成如图②由外围的和3翼隔风玻璃组成，外围圆有通道和，且它们关于圆心中心对称，圆内的3翼隔风玻璃可绕圆心转动，且所成的夹角，3翼隔风玻璃在转动过程中，始终使大厅内外空气隔离，起到对大厅内保温作用．例如：当隔风玻璃转到如图②位置时，大厅内外空气被隔风玻璃，隔离．则通道所对圆心角的度数的最大值为________． 【答案】60 【分析】根据中心对称性质可知，结合隔风玻璃夹角为及始终隔离空气的条件，可得与之和不能超过，从而求解． 【详解】解：∵和关于圆心中心对称， ∴， ∵3翼隔风玻璃所成的夹角为，且在转动过程中始终使大厅内外空气隔离， ∴通道和不能同时与隔风玻璃连通， ∴， ∴， ∴， ∴通道所对圆心角的度数的最大值为． 16．司南是我国古代辨别方向的一种仪器，早在战国时期就已经被发明，是指南针的始祖（如图1）．司南中心为一圆形，圆心为点，根据八个方位将圆形八等分（图2中的点，连接，并延长交于点．则点位于点的北偏东的角度是______． 【答案】 【分析】连接，根据八个方位将圆形八等分，可得、、、、、、所对的圆心角都相等，且都为，从而确定为南北方向，将所求角度转化为圆周角求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由图可得被点八等分， ∴、、、、、、所对的圆心角都相等，且都为， ∴，， ∴， 由图可得在南北方向， ∴也在南北方向， ∵ ∴点位于点的北偏东的角度是． 三、解答题（共72分） 17．已知抛物线（m为常数）的对称轴是直线求此抛物线的解析式． 【答案】 【分析】先代入二次函数一般式的对称轴公式，求出参数，再代回原表达式即得到原抛物线解析式． 【详解】解：抛物线的对称轴公式为， 在抛物线中，，，， 将，代入中， 得， 解得， 将代入原抛物线表达式， 得抛物线解析式为． 18．求下列二次函数图象的顶点坐标． (1)（配方法）； (2)（公式法）． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 配方得， 可得顶点坐标为． （2）解：， 可得，，， 计算顶点横坐标：， 计算顶点纵坐标：， 可得顶点坐标为． 19．某校数学兴趣小组开展摸球试验，具体操作如下：在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的小球共个，这些球除颜色外无其他差别，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后再把它放回盒子里搅匀，再随机摸出一球记下颜色，不断重复摸球试验．根据多次试验结果绘制出如下统计图： (1)请你根据统计图数据估计：从不透明的盒子里随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率约为_______（精确到）；试估算盒子里有_______个白球． (2)根据第（1）题的估算结果，若从盒子里随机摸出两球，请画树状图或列表求“摸到两个颜色相同小球”的概率． 【答案】(1)；； (2)． 【分析】本题考查了利用频率估计概率、概率的计算（列表法 / 树状图法），掌握用频率估计概率的思想及古典概型的计算方法是解题关键． （1）利用 “大量重复试验中，频率稳定值近似为概率” 的思想，结合概率与球数的关系确定白球数量； （2）通过列表法列出所有摸球的等可能结果，再根据“符合条件的结果数总结果数”计算概率． 【详解】（1）解：根据统计图，随着摸球次数增加，白球频率稳定在 附近， 因此摸出白球的概率约为； 白球数量总球数白球概率， 故盒子里有个白球； （2）解：先将三个白球记为、、，黑球记为，随机摸出两球列表如下： 第1球第2球 共有种等可能结果，而“摸到的两个球是颜色相同的小球”有种：， 所以（摸到两个颜色相同小球）． 20．如图，是直径，D是弦的延长线上一点，且，的延长线交于点E． (1)吗？为什么？ (2)若弧的度数为，求弧的度数？（用含m的式子表示） 【答案】(1)，理由如下： 如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴，， ∴． (2) 【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证得结论； （2）连接，根据圆周角定理和等边对等角可推出，结合直径所对的圆周角是直角和三角形外角的性质可由求得的度数，进而求得弧的度数． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ∵弧的度数为， ∴， 由（1）可知， ∴， ∴， 又∵是直径， ∴， ∴， ∴弧的度数为． 21．如图，小林将两块完全相同的含角的三角板放置于平面直角坐标系中，三角板的斜边与轴重合，直角顶点在抛物线上，三角板的直角边与轴重合． (1)求的值； (2)通过计算，判断点是否在抛物线上． 【答案】(1) (2)点在抛物线上． 【分析】（1）将代入抛物线解析式即可解答； （2）先求出点的坐标，再判断即可． 【详解】（1）解：将点代入，得； （2）解：由（1）得点的坐标为， ， ∴点的坐标为， 将代入中， 得， ∴点在抛物线上． 22．如图，正六边形内接于，连接、． (1)若P是上的动点，连接、，求的度数； (2)若的面积为，求的面积．（结果保留） 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了圆内接正六边形问题，解题的关键是掌握圆内接正六边形的性质及弦和圆周角之间的关系． （）连接，利用弦和圆周角的关系即可求出的值； （）证明是等边三角形，利用三角函数求出，，再根据的面积为求出圆的半径，即可求出面积． 【详解】（1）如图所示，连接 ， ∵六边形是正六边形， ∴ ，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴是等边三角形， ∴； ∴，， ∴， ∴， 即的半径为． 面积为： 23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，与轴交于点，与轴交于点、 (1)求二次函数的表达式； (2)若点为抛物线第一象限内的任意一点（点在上方），求：当的面积最大时点的坐标，并求出的最大面积； (3)若点在抛物线上，点在其对称轴上，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)；； (3)存在，或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意得出，再由待定系数法确定直线的函数解析式为，过点P作轴，交于点E，结合图象，求三角形面积，得出函数关系式求解即可； （3）设，，根据平行四边形的性质分三种情况分析：①与为对角线；②与为对角线；③与为对角线；列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和， ∴， 解得 ∴； （2）当时，， ∴， 设直线的函数解析式为， ∵， ∴， 解得：， ∴， 过点P作轴，交于点E，如图所示： 设，则， ∴， ∴， 当时面积最大，此时， 当时， 故； （3）函数对称轴为直线， ∵点在抛物线上，点在其对称轴上， ∴设， ，， 分三种情况（对角线互相平分）： ①与为对角线：得 ， 解得， ∴； ②与为对角线： ， 解得， 此时与重合，不能构成平行四边形，舍去； ③与为对角线： ， 解得， ∴ 综上，或 24．在学习完“圆”这一章内容后，同学们会感受到：一些有关三角形、四边形的几何问题，如果与圆相结合，运用圆的相关知识，就能使问题的解决呈现出“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的妙境． (1)【学习心得】例如：如图①，在中，，，是外一点，且，在求的度数时，如图②，若以点为圆心，长为半径作辅助圆，则，两点必在上，则___________． (2)【初步运用】如图③，在四边形中，，，则___________； (3)【问题迁移】如图④，在平面直角坐标系中，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，将直线绕点逆时针方向旋转交轴的正半轴于点，若点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标； (4)【深入研究】在图④的基础上，若点的坐标为，点的坐标为，为线段上的点，若满足的点恰好有两个，请直接写出的取值范围为___________． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为 (4)或 【分析】（1）根据圆周角定理即可得出答案； （2）根据得出、、、都在以为直径的圆上，作四边形的外接圆，根据圆周角定理即可得出答案； （3）作的外接圆，圆心为，过点作轴于，轴于，连接、、，根据旋转的性质得出，根据圆周角定理得出，是等腰直角三角形，根据点、坐标得出，，根据等腰直角三角形的性质得出，，根据，得出四边形是矩形，可得，，利用勾股定理求出，进而求出，即可得出点坐标； （4）分两种情况讨论，当点在上方时，过点作于，此时，延长交轴于，当、在上时，设交于，由得出点在上，求出与相切及、在上时，，即可得出答案；当点在下方时，同理可求解． 【详解】（1）解：∵和分别是所对的圆心角和圆周角，， ∴； （2）解：∵， ∴、、、都在以为直径的圆上， 如图所示，作四边形的外接圆， ∵和都是所对的圆周角，， ∴； （3）解：如图，作的外接圆，圆心为，过点作轴于，轴于，连接、、， ∵将直线绕点逆时针方向旋转交轴的正半轴于点， ∴， ∵和分别是所对的圆周角和圆心角， ∴，是等腰直角三角形， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴点的坐标为； （4）解：∵，， ∴点在上， 当点在上方时， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴轴，， 如图当与相切时，过点作于，此时，延长交轴于，当、在上时，设交于，则轴，轴，， 由（3）可知，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵满足的点恰好有两个， ∴的取值范围为； 当点在下方时， 同理，可得的取值范围为． 综上，的取值范围为或． 学科网（北京）股份有限公司 $