精品解析：浙江省宁波市奉化区奉港中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025－2026学年浙江省宁波市奉化区奉港中学九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下事件中，必然发生的是（ ） A. 打开电视机，正在播放体育节目 B. 正五边形的外角和为180° C. 通常情况下，水加热到100℃沸腾 D. 掷一次骰子，向上一面是5点 3. ⊙O的半径是，点A到圆心O的距离是，则点A与圆的位置关系是（ ） A. 点在圆上 B. 点在圆内 C. 点在圆外 D. 不能确定 4. 如图，在三角形纸片ABC中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（ ） A. B. C. D. 5. 以下四个命题中属于假命题的是（ ） A. 直径是弦 B. 过三点一定可以作一个圆 C. 半径相等的两个半圆是等弧 D. 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 6. 如图，正五边形内接于⊙，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE：CE＝2：3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则＝（　　） A. 4：10：25 B. 4：9：25 C. 2：3：5 D. 2：5：25 8. 将二次函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，顶点在直线上，则k的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 9. 如图，在中有边长分别为a，b，c的三个正方形，则a，b，c满足的表达式为（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线（，，为常数，且）经过点和，且，当时，随着的增大而减小．下列结论：①；②若点，点都在抛物线上，则；③；④若，则．其中结论正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 抛物线的顶点坐标是_____． 12. 已知圆的半径为，圆心角为，则这个圆心角所对的弧长为_____． 13. 3与27的比例中项是_____． 14. 如图，二次函数的图象经过点且与y轴交点C，点B和点C关于该二次函数图象的对称轴对称，一次函数的图象经过点A及点B，则不等式的解集为_____． 15. 如图，月洞门为中国古典建筑中常见的过径门，因圆形如月而得名．某地园林中有一个圆弧形门洞，高为，地面入口宽为，则该门洞的半径为______m． 16. 如图，已知矩形，将沿翻折得，将沿翻折得，点F正好落在所在直线上，问当时， _____． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （1）已知，且，求a的值． （2）已知，求x的值． 18. 在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是． （1）在边上找一点P，使； （2）画出以点O为位似中心，位似比为的． 19. 2024年12月4日，我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”列入人类非物质文化遗产代表作名录．虽然春节已过，但新年的喜悦和希望仍然在我们心中回荡，为此张老师在班会上，提议同学从“A．贴春联”“B．吃饺子”“C．挂灯笼”“D．拜新年”这四个春节习俗中，随机选择一个进行讲解．如图，班长做了4张背面完全相同的卡片，将卡片洗匀后背面朝上放在桌子上． （1）佳佳从这四张卡片中随机摸出一张，摸到“B．吃饺子”的概率是______； （2）若欢欢先从这些卡片中随机摸出一张卡片，记下卡片上的习俗，然后将卡片放回，洗匀，乐乐再从这些卡片中随机摸出一张卡片，记下卡片上的习俗，请利用画树状图或列表的方法求他们两人摸到的习俗相同的概率． 20. 如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为，为半圆的直径． （1）求抛物线与x轴的交点坐标：A______；B______． （2）求这个“果圆”被y轴截得的的长． 21. 如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连结EF、EO，若DE=，∠DPA=45°． （1）求⊙O的半径; （2）求图中阴影部分的面积． 22. 某商家独家销售具有地方特色的某种商品，每件进价为40元．经过市场调查，一周的销售量y件与销售单价x（x≥50）元/件的关系如下表： 销售单价x（元/件） … 55 60 70 75 … 一周的销售量y（件） … 450 400 300 250 … （1）直接写出y与x的函数关系式：　 　.　 （2）设一周的销售利润为S元，请求出S与x的函数关系式，并确定当销售单价在什么范围内变化时，一周的销售利润随着销售单价的增大而增大？ （3）雅安地震牵动亿万人民的心，商家决定将商品一周的销售利润全部寄往灾区，在商家购进该商品的贷款不超过10000元情况下，请你求出该商家最大捐款数额是多少元？ 23. 如图，四边形内接于，满足，连接，，长，于点． （1）若，求的度数； （2）求证：； （3）若，，，求的长． 24. 如图，在Rt△ABC中，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由点B出发沿BA的方向向点A匀速运动，速度为1cm/s，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s，连接PQ．设运动的时间为t（s），其中0＜t＜4．解答下列问题： （1）AP＝　 　，AQ＝　 　；（用含t的代数式表示） （2）当t为何值时，以P、Q、A为顶点的三角形与△ABC相似？ （3）点P、Q在运动过程中，△APQ能否成为等腰三角形？若能，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年浙江省宁波市奉化区奉港中学九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的概念逐项判断即可． 【详解】A．是一次函数，故此选项不符合题意； B．是二次函数，故此选项符合题意； C．不是二次函数，故此选项不符合题意； D．是反比例函数，故此选项不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的概念，根据二次函数的定义“一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项”．熟练掌握函数的概念及其表达式是解答的关键． 2. 以下事件中，必然发生的是（ ） A. 打开电视机，正在播放体育节目 B. 正五边形的外角和为180° C. 通常情况下，水加热到100℃沸腾 D. 掷一次骰子，向上一面是5点 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件： A、打开电视机，可能播放体育节目、也可能播放戏曲等其它节目，为随机事件，故本选项错误； B、任何正多边形的外角和是360°，故本选项错误； C、通常情况下，水加热到100℃沸腾，符合物理学原理，故本选项正确； D、掷一次骰子，向上一面可能是1，2，3，4，5，6，中的任何一个，故本选项错误．学．科．网] 故选C． 3. ⊙O的半径是，点A到圆心O的距离是，则点A与圆的位置关系是（ ） A. 点在圆上 B. 点在圆内 C. 点在圆外 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，正确把握判定方法是解题关键．直接利用点与圆的位置关系进而判断得出答案，点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外；假设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则有：，点在圆内，点在圆上，点在圆外． 【详解】解：∵的半径为，点A到圆心O的距离为，， ∴点A与的位置关系是点A在圆内， 故选：B． 4. 如图，在三角形纸片ABC中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可． 【详解】解：在三角形纸片ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12． A．因为 ，对应边， ，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误； B．因为 ，对应边，又∠A＝∠A，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项正确； C．因为 ，对应边，即：，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误； D、因为 ，对应边， ，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等切夹角相等的两三角形相似是解题关键． 5. 以下四个命题中属于假命题的是（ ） A. 直径是弦 B. 过三点一定可以作一个圆 C. 半径相等的两个半圆是等弧 D. 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的概念，确定圆的条件，等弧的概念，轴对称图形和中心对称图形的概念判断． 【详解】A.直径是弦， 是真命题； B.过不在同一直线上的三点一定可以作一个圆， 是假命题； C. 半径相等的两个半圆是等弧， 是真命题； D.圆既是轴对称图形，又是中心对称图形， 是真命题； 故选B． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 6. 如图，正五边形内接于⊙，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角的性质即可求解. 【详解】连接CO、DO，正五边形内心与相邻两点的夹角为72°，即∠COD=72°， 同一圆中，同弧或同弦所对应的圆周角为圆心角的一半， 故∠CPD=, 故选B. 【点睛】此题主要考查圆内接多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理的应用. 7. 如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE：CE＝2：3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则＝（　　） A. 4：10：25 B. 4：9：25 C. 2：3：5 D. 2：5：25 【答案】A 【解析】 【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，得到DEAB，DC=BA，得到△DEF∽△BAF， 得到，，从而得到，整理即可． 【详解】因为四边形ABCD是平行四边形， 所以DEAB，DC=BA， 所以△DEF∽△BAF， 所以，， 所以， 所以==4：10：25， 故选A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键． 8. 将二次函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，顶点在直线上，则k的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出二次函数的图象平移后的顶点坐标，再将它代入，即可求出k的值． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴将的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位后顶点坐标为． 根据顶点在直线上，得， 解得． 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，难度适中．根据点的平移规律：右加左减，上加下减，正确求出二次函数的图象平移后的顶点坐标是解题的关键． 9. 如图，在中有边长分别为a，b，c的三个正方形，则a，b，c满足的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据在中有边长分别为a，b，c的三个正方形，得出图中三角形都相似，且与a、b、c关系密切的是和，只要它们相似即可得出所求的结论． 【详解】解：∵图中三个四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴，， 又∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，平行线的性质，余角的性质，解题的关键是证明． 10. 抛物线（，，为常数，且）经过点和，且，当时，随着的增大而减小．下列结论：①；②若点，点都在抛物线上，则；③；④若，则．其中结论正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】利用x<-1时，y随着x的增大而减小可判断抛物线开口向上，则a>0，由于抛物线经过点（-1,0）和（m,0），且1<m<2，可判断抛物线的对称轴的位置，所以，于是可对①进行判断； 通过比较点A到对称轴的距离和点B到对称轴的距离可对②进行判断； 根据二次函数图象上点的坐标特征得到a-b+c=0，am2+bm+c=0，消去c，再因式分解得到(m+1)(m-1)+b(m-1)=0，于是可对③进行判断； 利用抛物线顶点的纵坐标小于-1得到，然后利用不等式性质变形后可对④进行判断． 【详解】 ∵抛物线过点，当时，随着的增大而减小， ∴抛物线开口向上．∴． ∵抛物线经过点和，且， ∴．∴．故①正确； ∵点，点都在抛物线上，而点到对称轴的距离比点到对称轴 的距离要大， ∴．故②错误； ∵抛物线经过点和， ∴，． ∴，即． ∴．故③正确； ∵，∴．又， ∴．故④错误． 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数关系，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，常数项c决定抛物线与轴交点，决定与x轴交点个数． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 抛物线的顶点坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质，根据抛物线的解析式为进行求解即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴此函数的顶点坐标为． 故答案为：． 12. 已知圆的半径为，圆心角为，则这个圆心角所对的弧长为_____． 【答案】π 【解析】 【分析】本题考查了弧长的计算，解题的关键是掌握弧长计算公式． 根据弧长公式 进行计算． 【详解】由弧长公式，得 ． 故答案为：． 13. 3与27的比例中项是_____． 【答案】或． 【解析】 【分析】本题考查了比例中项的概念，关键是掌握比例的有关性质，比例中项的平方等于两个数的乘积，据此即可求解． 【详解】解：设3和27的比例中项是x，则 ， 或， 故答案为：或． 14. 如图，二次函数的图象经过点且与y轴交点C，点B和点C关于该二次函数图象的对称轴对称，一次函数的图象经过点A及点B，则不等式的解集为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式，先求出点C的坐标，根据点B和点C关于该二次函数图象的对称轴对称，得到点B的坐标，再根据图象即可解答． 【详解】解：∵二次函数的图象与y轴交点C， ∴， ， 点和点关于该二次函数图象的对称轴直线对称， ， ∵二次函数与一次函数的图象经过点和点， ∴不等式的解集为二次函数在一次函数的图象下方时，自变量x的取值范围，即， 故答案为：． 15. 如图，月洞门为中国古典建筑中常见的过径门，因圆形如月而得名．某地园林中有一个圆弧形门洞，高为，地面入口宽为，则该门洞的半径为______m． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理的应用，设半径为r，根据垂径定理可以列方程求解即可． 【详解】解：设圆的半径为r， 由题意可知，， 在中，，， ， 解得． 经检验：是方程的解， 故答案为：． 16. 如图，已知矩形，将沿翻折得，将沿翻折得，点F正好落在所在直线上，问当时， _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质和翻折的性质得出相等的边和直角，假设，则，证明，利用对应边成比例列出方程求解，然后分情况进行讨论求出的长度即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， 假设，则， 由翻折的性质得， ，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得或， 当时，， ∴， 由勾股定理得，； 当时，， ∴， 由勾股定理得，； 综上，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，翻折的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，解题的关键是掌握以上性质． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （1）已知，且，求a的值． （2）已知，求x的值． 【答案】（1）12  （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握“设法”和内项乘积等于外项乘积是解题的关键． （1）利用“设法”正确表示出各数，求出代入求值即可； （2）利用内项乘积等于外项乘积列出方程，解方程即可． 【详解】解：（1）因为，则设，，， 所以， 解得 所以； （2） 即 解得 18. 在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是． （1）在边上找一点P，使； （2）画出以点O为位似中心，位似比为的． 【答案】（1） 如图，点P即为所求； （2）如图，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图-位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质． （1）取格点J，连接交于点P，点P即为所求； （2）利用位似变换的性质作出A，B，C的对应点即可． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 19. 2024年12月4日，我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”列入人类非物质文化遗产代表作名录．虽然春节已过，但新年的喜悦和希望仍然在我们心中回荡，为此张老师在班会上，提议同学从“A．贴春联”“B．吃饺子”“C．挂灯笼”“D．拜新年”这四个春节习俗中，随机选择一个进行讲解．如图，班长做了4张背面完全相同的卡片，将卡片洗匀后背面朝上放在桌子上． （1）佳佳从这四张卡片中随机摸出一张，摸到“B．吃饺子”的概率是______； （2）若欢欢先从这些卡片中随机摸出一张卡片，记下卡片上的习俗，然后将卡片放回，洗匀，乐乐再从这些卡片中随机摸出一张卡片，记下卡片上的习俗，请利用画树状图或列表的方法求他们两人摸到的习俗相同的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有种等可能的结果，其中抽到“B．吃饺子”的结果有种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及两人摸到的习俗相同的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有种等可能的结果，其中抽到“B．吃饺子”的结果有种， ∴甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到“B．吃饺子”的概率是； 【小问2详解】 解：列表如下： 共有种等可能的结果，其中两人摸到的习俗相同的结果有：，，，，共种， ∴他们两人摸到的习俗相同的概率为． 20. 如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为，为半圆的直径． （1）求抛物线与x轴的交点坐标：A______；B______． （2）求这个“果圆”被y轴截得的的长． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了抛物线与坐标轴的交点问题、解一元二次方程、圆周角定理、相似三角形的判定和性质，读懂题目信息，理解“果圆”的定义是解题的关键． （1）把代入函数解析式，解得，进而可求出两点的坐标； （2）连接，，由抛物线的解析式可求出的坐标，进而求出，，的长，在直角三角形中，利用相似三角形的判定和性质可求出的长，进而可求出的长． 【小问1详解】 解：当时，， 解得：或， ∴，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：连接，， 抛物线的解析式为， 点的坐标为， 的长为， ， ，， 为半圆的直径， ， ， ∴， ∴， ∴， ， ， ． 21. 如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连结EF、EO，若DE=，∠DPA=45°． （1）求⊙O的半径; （2）求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) 2 ;(2)π-2. 【解析】 【分析】（1）因为AB⊥DE，求得CE的长，因为DE平分AO，求得CO的长，根据勾股定理求得⊙O的半径 （2）连结OF，根据S阴影=S扇形– S△EOF求得 【详解】解：（1）∵直径AB⊥DE ∴ ∵DE平分AO ∴ 又∵ ∴ 在Rt△COE中， ∴⊙O的半径为2 （2）连结OF 在Rt△DCP中， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴S阴影= 【点睛】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了扇形的面积公式、圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系． 22. 某商家独家销售具有地方特色的某种商品，每件进价为40元．经过市场调查，一周的销售量y件与销售单价x（x≥50）元/件的关系如下表： 销售单价x（元/件） … 55 60 70 75 … 一周的销售量y（件） … 450 400 300 250 … （1）直接写出y与x的函数关系式：　 　.　 （2）设一周的销售利润为S元，请求出S与x的函数关系式，并确定当销售单价在什么范围内变化时，一周的销售利润随着销售单价的增大而增大？ （3）雅安地震牵动亿万人民的心，商家决定将商品一周的销售利润全部寄往灾区，在商家购进该商品的贷款不超过10000元情况下，请你求出该商家最大捐款数额是多少元？ 【答案】解：（1）y=﹣10x+1000；（2）当40≤x≤70时，销售利润随着销售单价的增大而增大；（3）该商家最大捐款数额是8750元． 【解析】 【详解】（1）设y=kx+b，把点的坐标代入解析式，求出k、b的值，即可得出函数解析式： 设y=kx+b，由题意得，，解得：． ∴y与x的函数关系式为：y=﹣10x+1000． （2）由题意得，S=（x﹣40）y=（x﹣40）（﹣10x+1000） =﹣10x2+1400x﹣40000 =﹣10（x﹣70）2+9000． ∵﹣10＜0，∴函数图象开口向下，对称轴为x=70． ∴当40≤x≤70时，销售利润随着销售单价的增大而增大． （3）当购进该商品的贷款为10000元时，y=10000÷40=250（件），此时x=75． 由（2）得当x≥70时，S随x的增大而减小， ∴当x=75时，销售利润最大，此时S=8750． ∴该商家最大捐款数额是8750元． 23. 如图，四边形内接于，满足，连接，，长，于点． （1）若，求的度数； （2）求证：； （3）若，，，求的长． 【答案】（1） （2）证明：∵四边形内接于， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）首先由得到，然后根据三角形外角的性质求解即可； （2）首先根据圆内接四边形的性质结合平角得到，然后由即可证明； （3）如图所示，过点C作于点H，首先得到，得到，，同理可证，，得到，然后求出，勾股定理求出，，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 ∵， ∴ ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图所示，过点C作于点H ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 同理可证， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 由（2）得， ∴ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了圆周角定理，三角形外角的性质，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 24. 如图，在Rt△ABC中，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由点B出发沿BA的方向向点A匀速运动，速度为1cm/s，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s，连接PQ．设运动的时间为t（s），其中0＜t＜4．解答下列问题： （1）AP＝　 　，AQ＝　 　；（用含t的代数式表示） （2）当t为何值时，以P、Q、A为顶点的三角形与△ABC相似？ （3）点P、Q在运动过程中，△APQ能否成为等腰三角形？若能，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（5﹣t）cm，tcm；（2）t的值为或时，以P、Q、A为顶点的三角形与△ABC相似；（3）当t的值为或或时，△APQ能成为等腰三角形 【解析】 【分析】（1）由勾股定理得，再由题意得，，则； （2）分两种情况：①，②，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可； （3）分三种情况：，和，根据等腰三角形的性质，运用相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：（1）在中，由勾股定理得：， 由题意得：，， ， 故答案为：，； （2）分两种情况： ①如图1， 当时，， 则， 即， 解得：； ②如图2， 当时，， 则， 即， 解得：； 综上所述，的值为或时，以、、为顶点的三角形与相似； （3）能成为等腰三角形，理由如下： 分三种情况： ①如图3， 当时， ， 解得：； ②如图4， 当时，过点作于， 则，， ， ， ， ， 解得：； ③如图5， 当时，过点作于， 则，， ， ， ， 解得：， 综上所述，当的值为或或时，能成为等腰三角形． 【点睛】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及分类讨论等知识，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质和勾股定理，证明三角形相似． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $