第3章 05-3.2.2 第1课时 双曲线的简单几何性质（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（人教A版）

该高中数学课件聚焦双曲线的简单几何性质，涵盖渐近线方程、离心率、焦点等核心知识点，通过对比椭圆性质导入，题组从基础到能力分层设计，结合易错警示和方程设法总结，构建连贯的知识学习支架。 其亮点在于以分层题组和素养培养为导向，如易错题分析发展推理意识，离心率问题提升运算能力，方程设法总结体现数学语言表达。学生能巩固基础并提升思维，教师可借助分层素材高效开展教学。

第三章 圆锥曲线的方程 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 3.2　双曲线 3.2.2　双曲线的简单几何性质 第1课时　双曲线的简单几何性质 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　双曲线的简单几何性质 1.[2026河南濮阳第一高级中学质检]双曲线C: - =1的渐近线方程为 ( ) A.y=± x　    B.y=± x　    C.y=± x　    D.y=± x     B     解析　由双曲线方程知,实轴长2a=10,虚轴长2b=8,∴渐近线方程为y=± x=± x. 名师点睛　已知双曲线的标准方程,可直接把等号右侧的1替换为0得到其渐近线方程,不必刻意区分焦 点位置来记忆对应公式.如在本题中,令 - =0,整理得渐近线方程为y=± x. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2025福建泉州晋江一中期中]已知双曲线C1过点A(- ,1),且与双曲线C2:x2-3y2=1有相同的渐近线,则 双曲线C1的标准方程为 ( ) A. - =1　    B. - =1　    C. - =1　    D. - =1     A     解析　由题可设双曲线C1的方程为x2-3y2=λ(λ≠0,λ≠1),又因为C1过点A(- ,1),所以15-3=λ,解得λ=12, 所以双曲线C1的标准方程是 - =1. 小题速解　代入A点坐标逐项检验,可知只有A选项符合. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2025浙江台州期中]已知双曲线 -y2=1(m>0)的焦距为6,则该双曲线的渐近线方程为( ) A.y=± x　    B.y=± x　    C.y=± x　    D.y=± x     B     解析　由已知得双曲线的焦距2c=6,即c=3,所以32=m+1,解得m=8,即双曲线方程为 -y2=1,则其渐近线 方程为y=± x. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026浙江强基联盟月考]双曲线 - =1(a>0,b>0)的离心率为 ,则其渐近线方程为 ( ) A.y=±2x　    B.y=± x　    C.y=± x　    D.y=± x     A     解析　由双曲线 - =1(a>0,b>0)的离心率为 ,知c= a, 则b2=c2-a2=4a2⇒b=2a, 所以渐近线方程为y=± x=±2x. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[多选题][2026广东佛山期中]已知焦点在y轴上的等轴双曲线C(对称中心为坐标原点O)的实轴长与 圆O的半径相等,C与圆O在第一、二、三、四象限内的交点分别为P,Q,M,N,且|PQ|= ,则 ( ) A.C的渐近线方程为y=±x B.C的焦距为  C.|PN|=  D.四边形PQMN的面积为2      ACD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由双曲线为等轴双曲线,可知渐近线方程为y=±x,故A正确; 设等轴双曲线C的方程为 - =1①,a>0, 则以实轴长2a为半径的圆O的方程为x2+y2=4a2②, 联立①②消去y2,可得x2= a2⇒x=± a, 因为|PQ|= ,所以2× a= ⇒a=1,所以c2=2a2=2,则c= , 则C的焦距为2 ,故B错误; 联立①②消去x2,可得y2= a2⇒y=± a, 因为a=1,所以y=± ,即|PN|=2× = ,故C正确; 根据双曲线和圆的对称性,可知四边形PQMN是矩形, 其面积为|PQ||PN|= × =2 ,故D正确.   第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026四川绵阳中学月考]已知a>b>0,椭圆C1的方程为 + =1,双曲线C2的方程为 - =1,C1与C2的 离心率之积为 ,则双曲线C2的两条渐近线的夹角大小为 ( ) A.30°　    B.60°　    C.90°　    D.120°     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　椭圆C1的离心率e1= ,双曲线C2的离心率e2= , ∴e1e2= = = ,∴ =1- = ,∴ = , ∴设双曲线C2的两条渐近线的倾斜角分别为θ1,θ2,θ2>θ1,则tan θ1= = ,tan θ2=- =- ,可知两条渐近线 的倾斜角分别为60°和120°, 又两条直线夹角(记为α)的取值范围为0°≤α≤90°, ∴双曲线C2的两条渐近线的夹角大小为120°-60°=60°. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[易错题][2026黑龙江哈尔滨第十二中学月考]已知双曲线C的一条渐近线方程为y=2x,实轴长为4, 则C的方程为____________________.      -  =1或  -x2=1     解析　当双曲线C的焦点在x轴上时,设其方程为 - =1(a1>0,b1>0), ∵渐近线方程为y=2x,实轴长为4,∴ =2且2a1=4,解得a1=2,b1=4,∴C的方程为 - =1. 当双曲线C的焦点在y轴上时,设其方程为 - =1(a2>0,b2>0), ∵渐近线方程为y=2x,实轴长为4,∴ =2且2a2=4,解得a2=2,b2=1,∴C的方程为 -x2=1. 综上,C的方程为 - =1或 -x2=1. 第1讲　描述运动的基本概念 名师点睛    常见双曲线方程的设法 (1)当双曲线的焦点位置不确定时,为了避免讨论,可设双曲线的方程为mx2-ny2=1(mn>0). (2)渐近线方程为y=± x(m>0,n>0)的双曲线方程可设为 - =λ(λ≠0);如果两条渐近线的方程为Ax± By=0(A>0,B>0),那么双曲线的方程可设为A2x2-B2y2=m(m≠0). (3)与双曲线 - =1 或 - =1 (a>0,b>0)共渐近线的双曲线方程可设为 - =λ 或 - =λ (λ≠0, λ≠1). (4)与双曲线 - =1(a>0,b>0)的离心率相等的双曲线方程可设为 - =λ(λ>0,λ≠1)或 - =λ(λ>0,λ ≠1). 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2025江西部分高中期中联考]已知F是双曲线C: -y2=1的右焦点,则点F到C的渐近线的距离为_____.     1     解析　根据 -y2=1,得a2=16,b2=1,则a=4,b=1,c2=17,则c= ,所以右焦点为F( ,0). 易知渐近线方程为y=± x,化成一般式为±x-4y=0. 根据点到直线的距离公式,知F( ,0)到C的渐近线的距离d= =1. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2025广东深圳期中]若椭圆 + =1与双曲线 - =1有相同的焦点,则k的值为_________.     2     解析　依题意知,椭圆与双曲线的焦点都在x轴上,则9-k2=k+3且k>0,所以k=2. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2026湖南长沙雅礼中学月考]已知O为坐标原点,双曲线C: - =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1, F2,一条渐近线为l,设过点F1且与l垂直的直线为l1,l1交l于点N,且交双曲线C的右支于点M,若 = ( +  ),则双曲线C的两条渐近线方程分别为__________________.     y=2x,y=-2x     第1讲　描述运动的基本概念 解析　依题意,不妨设渐近线l的方程为y=- x,即bx+ay=0, 由题可得F1(-c,0)到该渐近线的距离为|NF1|= = =b, 又|OF1|=c,所以|ON|=a, 由题知N为MF1的中点, 又O为F1F2的中点, 所以ON∥MF2,且|ON|= |MF2|,故|MF2|=2a, 又因为|MF1|-|MF2|=2a,|MF1|=2b, 所以2b=4a,即 =2, 所以双曲线C的两条渐近线方程分别为y= x=2x,y=- x=-2x. 第1讲　描述运动的基本概念 11.[教材习题改编][2026河南南阳六校联考]已知双曲线C:6x2-4y2=24,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点. (1)求该双曲线的顶点坐标、焦点坐标、离心率与渐近线方程; (2)设Q(x,y)是第一象限内曲线C上的点,且 · =4,求x的值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)双曲线6x2-4y2=24即 - =1,可得a=2,b= ,c= , 故该双曲线的顶点坐标为(-2,0),(2,0),焦点坐标为(- ,0),( ,0),离心率e= = ,渐近线方程为y=±  x=± x. (2)由Q(x,y)在C上,得y2=6 , 又∵点Q在第一象限内,∴x>2, 又F1(- ,0),F2( ,0), ∴ · =(- -x,-y)·( -x,-y)=x2-10+y2= x2-16=4, ∴x=2 . 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　求双曲线的离心率的值或取值范围 12.[2026吉林长春实验中学期中]双曲线 - =1(a>0,b>0)的一条渐近线经过点(1, ),则该双曲线的离 心率为 ( ) A.2　    B.3　    C.2 　    D.2      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　双曲线 - =1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=± x,由题知渐近线y= x经过点(1, ), 所以 = ,即b= a, 所以c= = =2 a, 所以该双曲线的离心率为 =2 . 第1讲　描述运动的基本概念 13.[易错题][2026福建厦门第一中学期中]已知双曲线 - =1(a>b>0)的两条渐近线的夹角为 ,则 此双曲线的离心率为 ( ) A.2　    B. 　    C. 　    D.      C     解析　易得双曲线 - =1(a>b>0)的渐近线方程为y=± x,由两条渐近线的夹角为 ,可得 =tan  =  ,∴双曲线的离心率e= = = . 第1讲　描述运动的基本概念 易错警示　在双曲线 - =1(a>b>0)中,a>b>0是一个确定的已知条件,由此可得经过第一、三象限的 渐近线的倾斜角只有 一种情况. 第1讲　描述运动的基本概念 14.[2025重庆模拟]已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的下、上焦点分别为F1,F2,点M在C的下支上,过点M 作C的一条渐近线的垂线,垂足为D.若|MD|>|F1F2|-|MF2|恒成立,则C的离心率的取值范围为 ( ) A. 　    B. 　    C.(1,2)　    D.      A     解析　由题知|F1F2|=2c,点F1(0,-c)到渐近线y=± x的距离d= =b.由双曲线的定义可得|MF2|-|MF1|= 2a,故|MF2|=|MF1|+2a,则|MD|+|MF2|=|MD|+|MF1|+2a,其最小值为d+2a=2a+b,由|MD|>|F1F2|-|MF2|恒成立,得| MD|+|MF2|>|F1F2|恒成立,即2a+b>2c,即b>2c-2a,即b2>4c2+4a2-8ac,即c2-a2>4c2+4a2-8ac,故1< < ,即C的离 心率的取值范围为 . 第1讲　描述运动的基本概念 15.[2026天津耀华中学期中]已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),点P在 C上,|OP|=c,直线PQ是∠F1PF2的平分线所在的直线,OQ∥PF2,|OQ|=2b,则双曲线C的离心率e=_________. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　不妨设P在右支上,则|PF1|>|PF2|,如图,   因为|OP|=c,所以|OF1|=|OF2|=|OP|,故PF1⊥PF2, 取PF1的中点M,连接OM,则OM∥PF2,又OQ∥PF2,所以Q在直线MO上, 而|PF1|>|PF2|,故Q在MO的延长线上, 由PF1⊥PF2,OM∥PF2可得OM⊥MP,又PQ平分∠F1PF2, 所以∠MPQ=45°,故|MP|=|MQ|=|MO|+|OQ|= |PF2|+2b, 故|PF1|=2|MP|=|PF2|+4b,故|PF1|-|PF2|=4b,所以2a=4b,即a=2b, 所以e= = = . 第1讲　描述运动的基本概念 16.[2026陕西西安期中]已知双曲线 - =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上 (点P不在x轴上),且|PF1|=5|PF2|. (1)用a表示|PF1|,|PF2|; (2)若∠F1PF2是钝角,求双曲线的离心率e的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)∵点P在双曲线的右支上(点P不在x轴上), ∴根据双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a, ∵|PF1|=5|PF2|, ∴|PF2|= a,|PF1|= a. (2)在△F1PF2中,由余弦定理的推论可得,cos∠F1PF2= = , ∵∠F1PF2是钝角,∴13a2-8c2<0且 ≠-1,即 > 且 ≠ , ∴ > 且 ≠ ,即e> 且e≠ .在△PF1F2中,易知|PF1|+|PF2|>|F1F2|,即 a+ a>2c,即 < ,故离心率e 的取值范围为 . 第1讲　描述运动的基本概念 17.[2025山西太原期中]定义:以已知双曲线的虚轴为实轴、实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭 双曲线. (1)已知双曲线C的中心为原点,焦点在y轴上,且焦距为16,离心率为 ,求C的共轭双曲线的方程; (2)已知双曲线C1和它的共轭双曲线C2的离心率分别为e1,e2. (i)求证: + =1; (ii)求 + 的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)设双曲线C的焦距为2c,实轴长为2a,虚轴长为2b,其中a,b,c>0. 由题意知,2c=16, = ,解得a=6,c=8,从而b2=c2-a2=28, 因为双曲线C的中心为原点,焦点在y轴上,所以C的方程为 - =1, 从而它的共轭双曲线的方程为 - =1. (2)不妨设双曲线C1的标准方程为 - =1(a1>0,b1>0), 则C2的标准方程为 - =1, 所以e1= ,e2= . (i)证明: + = + =1. 第1讲　描述运动的基本概念 (ii) + = + = = = , 因为a1>0,b1>0,所以0< ≤1,当且仅当a1=b1时取等号, 所以1< ≤ ,即 + 的取值范围是(1, ]. 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 3.2　双曲线 3.2.2　双曲线的简单几何性质 第1课时　双曲线的简单几何性质 第1讲　描述运动的基本概念 题组一    双曲线的离心率及其应用 1.[2026上海交通大学附属中学嘉定分校月考]已知双曲线C的中心为原点,对称轴为坐标轴,则“C的离 心率为2”是“C的一条渐近线方程为y= x”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　若双曲线C的离心率为2,则e2= =1+ =4,所以 =3, 当双曲线C的焦点在x轴上时,其渐近线方程为y=± x=± x;当双曲线C的焦点在y轴上时,其渐近线方程 为y=± x=± x, 所以“C的离心率为2”不是“C的一条渐近线方程为y= x”的充分条件. 反之,若双曲线C的一条渐近线方程为y= x, 当双曲线C的焦点在x轴上时,其渐近线方程为y=± x,所以 = ,故离心率e= =2; 当双曲线C的焦点在y轴上时,其渐近线方程为y=± x,所以 = ,故离心率e= = , 所以“C的离心率为2”不是“C的一条渐近线方程为y= x”的必要条件. 综上,“C的离心率为2”是“C的一条渐近线方程为y= x”的既不充分也不必要条件. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026四川绵阳南山中学期中]已知双曲线mx2+ny2=1的离心率为e,且两条渐近线互相垂直,则e+m+n=  ( ) A. 　    B.1　     C. 　    D.2     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　当双曲线的焦点在x轴上时,m>0且n<0,则标准方程为 - =1, 渐近线方程为y=± x=± x, 因为两条渐近线互相垂直,所以 · = =-1,解得m=-n,成立, 则离心率e= = ,所以e+m+n= +0= . 当双曲线的焦点在y轴上时,m<0且n>0,则标准方程为 - =1, 第1讲　描述运动的基本概念 渐近线方程为y=± =± , 因为两条渐近线互相垂直,所以 · = =-1, 解得m=-n,成立, 则离心率e= = , 所以e+m+n= +0= . 综上知,e+m+n= . 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026陕西渭南校级联考]已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若在C上存在点P (不是顶点),使得∠PF2F1=3∠PF1F2,则C的离心率的取值范围为 ( ) A.( ,2)　    B.( ,2)　     C.(1, ]　    D.(1, ]     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题可知点P在双曲线的右支上,设PF1与y轴交于Q点,连接QF2,如图,   则|QF1|=|QF2|,所以∠QF1F2=∠QF2F1, 所以∠PF2Q=∠PF2F1-∠QF2F1=2∠PF1F2, 又∠PQF2=∠QF1F2+∠QF2F1=2∠PF1F2,故∠PF2Q=∠PQF2,所以|PQ|=|PF2|,又|PF1|-|PF2|=2a, 所以|PF1|-|PF2|=|PF1|-|PQ|=|QF1|=2a, (思路探究:求离心率的取值范围,关键是找到a与c的不等关系,在Rt△QOF1中,|OF1|=c,|QF1|=2a,∠QF1O< 45°,结合隐含条件|QF1|>|OF1|,即2a>c,得到关于a,c的不等关系式,进而求出离心率的范围) 第1讲　描述运动的基本概念 在Rt△QOF1中,|QF1|>|OF1|,即2a>c,因此e= <2. 在△PF1F2中,由∠PF2F1=3∠PF1F2,且三角形的内角和为180°, 可得∠PF1F2< =45°,则cos∠PF1F2= >cos 45°,即 > ,即e= > , 所以C的离心率的取值范围为( ,2). 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026河南平顶山期中]已知双曲线C: - =1的左、右焦点分别为F1,F2,过右焦点F2作直线l,交双曲线 的右支于A,B两点,以AB为直径的圆过F1,若 =  ,则双曲线C的离心率的平方为 ( )   A. 　    B. 　     C. 　    D.      A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为 =  ,所以| |= | |,即|BF2|= |F2A|, 令|AF2|=3t,t>0,则|BF2|=10t,|AB|=13t, 由双曲线的定义得|AF1|=|AF2|+2a=3t+2a,|BF1|=|BF2|+2a=10t+2a, 因为以AB为直径的圆过F1,所以BF1⊥AF1,故 + =|AB|2, 即(3t+2a)2+(10t+2a)2=(13t)2, 整理得15t2-13at-2a2=(15t+2a)(t-a)=0,解得t=a(舍负), 则|AF1|=5a,|AF2|=3a,|AB|=13a. 在△AF1F2中,由余弦定理得 = + -2|AF1||AF2|·cos∠F1AF2, (结合余弦定理建立齐次方程求离心率) 即(2c)2=(5a)2+(3a)2-2×5a×3a× , 整理得73a2=13c2,则e2= = . 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026河北衡水二中期中]已知双曲线 - =1(a>0,b>0),A,B为双曲线上关于原点对称的两点,M为双 曲线上的另一点,记直线MA,MB的斜率分别为k1,k2,若k1·k2= ,则该双曲线的离心率为 ( ) A. 　    B. 　     C. 　    D.      A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设A(x1,y1),M(x2,y2),由A,B为双曲线上关于原点对称的两点,知B(-x1,-y1),所以k1·k2= · =  , 又点A,M在双曲线上,所以  两式相减得 = ,可得 = , 因为k1·k2= ,所以 = , 因此e= = = = = . 第1讲　描述运动的基本概念 6.[多选题][2025福建龙岩期中]已知椭圆C1: + =1(a>b>0)与双曲线C2: - =1(m>0,n>0)有相同的 焦点,且左、右焦点分别为F1,F2,若C1与C2在第一象限内的交点为P,且PF1⊥PF2,C1,C2的离心率分别为e1, e2,则下列结论中正确的是( ) A.若|PF1|= +1,|PF2|= -1,则e2=2 B.若e1= ,则e2=2 C.e1e2的最小值为1 D.记△F1PF2的内切圆圆心为I,C2的右顶点为E,则IE⊥x轴     ABD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,根据双曲线的定义,得2m=|PF1|-|PF2|= +1-( -1)=2,所以m=1, 因为PF1⊥PF2,所以在△PF1F2中,根据勾股定理可得 + =(2c)2, 即( +1)2+( -1)2=(2c)2,即16=4c2,解得c=2(舍负), 故双曲线C2的离心率e2= =2,因此A正确; 对于B,设|PF1|=s,|PF2|=t,s>0,t>0,由椭圆的定义,得s+t=2a①,由双曲线的定义,得s-t=2m②,联立①②,解得s =a+m,t=a-m, 因为PF1⊥PF2,所以s2+t2=4c2,即(a+m)2+(a-m)2=4c2,化简得a2+m2=2c2, 根据e1= = = ,不妨设a= R,c=2R,R>0, 代入a2+m2=2c2得7R2+m2=8R2,所以m=R, 则双曲线C2的离心率e2= = =2,因此B正确; 第1讲　描述运动的基本概念 对于C,由B中分析知a2+m2=2c2,则 + =2,由基本不等式得2= + ≥ ,所以e1e2≥1,当且仅当e1=e2=1 时取等号,又椭圆和双曲线的离心率不可能相等,故等号取不到,因此C错误; 对于D,设圆I与边PF1,PF2,F1F2分别切于点N,K,M,则IM⊥x轴,|PN|=|PK|,|F1N|=|F1M|,|F2M|=|F2K|, 因为|PF1|-|PF2|=2m,所以|PN|+|F1N|-|PK|-|F2K|=2m,所以|F1N|-|F2K|=2m,即|F1M|-|F2M|=2m,而E(m,0),F1(-c,0), F2(c,0),所以|F1E|-|F2E|=(m+c)-(c-m)=2m,所以M与E重合,所以IE⊥x轴,因此D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2025广东东莞期中]如图,过双曲线C: - =1(a>0,b>0)的右焦点F作直线l,使直线l与双曲线C的一条 渐近线垂直,垂足为A,且与另一条渐近线交于点B(A,B均在y轴右侧).已知O为坐标原点,若△OAB的内切 圆的半径为 a,则双曲线C的离心率为_________.   第1讲　描述运动的基本概念 解析　设△OAB的内切圆的圆心为M,则M在∠AOB的平分线Ox上,过点M分别作MN⊥OA于N,MT⊥AB 于T,如图,   结合FA⊥OA,|MN|=|MT|得四边形MTAN为正方形,由焦点到渐近线的距离为b得|FA|=b,又|OF|=c,所以| OA|=a, 又|NA|=|NM|= a,所以|NO|= a, 所以 =tan∠AOF=tan∠NOM= = ,从而可得e= = = . 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026江苏南通第一中学期中]已知O是坐标原点,F1,F2分别是双曲线C: - =1(a>0,b>0)的左、右焦 点,A,B为双曲线C上的两点,若 =3 ,且以F1F2为直径的圆恰好过点A,则双曲线C的离心率为 _________. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　设A(x1,y1),B(x2,y2), 又F1(-c,0),F2(c,0), 所以 =(x2-c,y2), =(x1+c,y1). 因为 =3 , 所以 即  因为A,B在双曲线上, 所以 整理得 =-8,则x1=- . 易得以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=c2,因为该圆过点A,所以 + =c2②. 第1讲　描述运动的基本概念 又c2=a2+b2③,所以联立①②③,得 则 = (c2+b2)= (2c2-a2),所以 = (2c2-a2), 整理得2c4-7a2c2+5a4=0,则2e4-7e2+5=0,解得e2= 或e2=1(舍去), 所以e= . 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　双曲线性质的综合应用 9.[2026广东领航高中联盟期中]已知O为坐标原点,双曲线E:x2-y2=1的右焦点为F,虚轴的上端点为A,线 段AF与E交于点B,则 = ( ) A.2- 　    B.2- 　    C. 　    D.      A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意得E的半焦距c= = ,A(0,1),F( ,0), 作BH⊥OF于点H,如图,设|BH|=t,   易得tan∠AFO= =-tan∠AFx=-kAF= ,解得|HF|= t,故B( - t,t), 将B点坐标代入x2-y2=1,得2(1-t)2-t2=1,化简得t2-4t+1=0,又0<|BH|<|OA|,即0<t<1,所以t=2- . 易得△BHF∽△AOF, 所以 = = =2- . 第1讲　描述运动的基本概念 10.[多选题][2026湖南长沙一中月考]已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,左、 右顶点分别为A1,A2,以F1F2为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点,点M位于第一象限,且∠A1 MA2= ,则下列说法一定正确的是 ( ) A.∠MA2N=  B.双曲线C的离心率为  C.|MA1|=2|MA2| D.当a=1时,四边形NF1MF2的面积为      AC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　依题意可作示意图如下:   易知以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=c2, 直线MN的方程为y= x, 联立 得 或  故M(a,b),N(-a,-b), 又因为A1(-a,0),A2(a,0), 第1讲　描述运动的基本概念 所以 =(-2a,-b), =(0,-b), 所以 · =b2,| |= ,| |=b, 又因为∠A1MA2= ,所以 b =b2, 从而得4a2=3b2,所以c2=a2+b2= . 对于A,由对称性可得四边形MA1NA2为平行四边形, 因为∠A1MA2= , 所以∠MA2N= ,故A正确; 对于B,e2= = , 又因为e>0,所以e= ,故B错误; 第1讲　描述运动的基本概念 对于C,因为| |= = =2b,| |=b, 所以|MA1|=2|MA2|,故C正确; 对于D,当a=1时,b= ,c= , 所以|F1F2|=2c= , 所以 = ×2c×b=bc= , 所以四边形NF1MF2的面积S=2 = ,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 11.[多选题][2026江西景德镇第一中学月考]已知等轴双曲线x2-y2=4的左、右两顶点分别为A,B,而 P(x0,y0)为双曲线右支上任意一点(异于B点),设∠PAB=α,∠PBA=β,点P到两条渐近线的距离分别为d1,d2, 则下列结论正确的是 ( ) A.离心率e= 　     B. 的值随着x0的增大而增大 C.tan α·tan β=-1　     D.d1与d2的乘积为定值1     AC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,等轴双曲线的离心率为 ,所以A正确; 对于B,在△PAB中,结合正弦定理可知 = = , 显然π-β,α均为锐角且随着x0的增大分别减小和增大, 则sin(π-β),sin α均为正数且随着x0的增大分别减小和增大, 所以 的值随着x0的增大而减小,所以B错误; 对于C,由P(x0,y0)为双曲线右支上任意一点(异于B点),可知 - =4,x0>2, 又A(-2,0),B(2,0),所以tan α·tan β=-kPAkPB=- · =- =-1,所以C正确; 对于D,双曲线C:x2-y2=4的渐近线方程为y=±x, 则d1·d2= · = =2,所以D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2026河北沧州四校期中联考]已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)与椭圆 + =1有共同的左、右焦点 F1,F2,以线段F1F2为直径的圆与双曲线C及其渐近线在第一象限内分别交于点M,N,且线段NF1的中点在 另一条渐近线上,则△OMF2(O为坐标原点)的面积为_________.     6     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由椭圆 + =1知F1(-4,0),F2(4,0),所以a2+b2=16. 双曲线C: - =1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=± x. 以线段F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=16. 由 得(a2+b2)x2=16a2, 所以x2=a2,所以N(a,b). 记线段NF1的中点为P,则P . 由题知点P在渐近线y=- x上,所以 =- × ,解得a=2, 所以b=2 , 第1讲　描述运动的基本概念 所以双曲线C的方程为 - =1. 由 得 所以M( ,3), 所以△OMF2的面积为 |OF2|·yM= ×4×3=6. 第1讲　描述运动的基本概念 13.已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的焦点与椭圆 + =1的焦点重合,离心率互为倒数,设F1,F2分别为 双曲线C的左、右焦点,P为其右支上任意一点. (1)求双曲线C的离心率; (2)求 的最小值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)易知椭圆 + =1的离心率为 = , 因为双曲线C与椭圆 + =1的离心率互为倒数, 所以双曲线C的离心率为3. (2)因为双曲线C的焦点与椭圆 + =1的焦点重合,椭圆的半焦距c1= =3, 所以双曲线C的半焦距c2=3, 由(1)知 =3,故a=1,b2= -a2=8, 则双曲线C的方程为x2- =1. 由F1,F2分别为双曲线C的左、右焦点,P为其右支上任意一点,可得|PF1|-|PF2|=2a=2,即|PF1|=2+|PF2|, 所以 = = = +|PF2|+4,因为|PF2|≥c2-a=2, 第1讲　描述运动的基本概念 所以 +|PF2|+4≥2 +4=8, 当且仅当 =|PF2|,即|PF2|=2时,等号成立, 则 的最小值为8. 第1讲　描述运动的基本概念 $