精品解析：天津市第九中学2026-2027学年高三年级上学期10月月考数学试题

26-27-1高三数学随堂测验（10月份） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数有意义求得集合A，进而求出集合B，再利用交集的定义求解即得. 【详解】由，得，又，因此， 所以． 故选：B 2. “”是“函数在区间上为减函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】函数在上单调递减，在上单调递增. 所以“”可以得到“函数在区间上为减函数”， 但“函数在区间上为减函数”可得 “”. 故“”是“函数在区间上为减函数”的充分不必要条件. 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据函数奇偶性的定义与判断方法，求得为奇函数，再结合，即可得到答案. 【详解】由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 且满足， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，可排除B、D选项； 又由，可排除C选项，所以选项A符合题意. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，所以，所以. 5. 某城市在创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城市”的满意程度，组织居民给活动打分（分数为整数，满分100分），从中随机抽取一个容量为100的样本，发现数据均在内.现将这些分数分成6组并画出样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示观察图形，则下列说法错误的是（ ） A. 频率分布直方图中第三组的频数为15人 B. 根据频率分布直方图估计样本的众数为75分 C. 根据频率分布直方图估计样本的中位数为75分 D. 根据频率分布直方图估计样本的平均数为75分 【答案】D 【解析】 【分析】利用频率分布直方图的性质直接求解. 【详解】分数在内的频率为， 所以第三组的频数为（人），故A正确； 因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点，从图中可看出众数的估计值为75分，故B正确； 因为，， 所以中位数位为：，故C正确； 样本平均数的估计值为： （分），故D错误. 故选：D. 6. 已知平面向量，且，则（ ） A. 9 B. 3 C. 4 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用垂直关系的向量表示及数量积运算律求得，进而求出目标值. 【详解】由，得，由，得 则，而，所以. 故选：C 7. 关于函数，则下列结论中： ①为该函数的一个周期； ②该函数的图象关于直线对称； ③将该函数的图象向左平移个单位长度得到的图象： ④该函数在区间上单调递减. 所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】C 【解析】 【分析】对①，根据周期公式求出最小正周期结合周期函数定义判断；对②，根据余弦函数的对称性代入验证；对③，根据平移变换求平移后函数表达式判断；对④，根据余弦函数的单调性求解判断. 【详解】对于①，由周期公式可得，所以函数的最小正周期为，所以，均是其周期.故①正确； 对于②，当时，，所以是其对称轴，故②正确； 对于③，将函数图象向左平移个单位得到，故③错误； 对于④，，，由余弦函数的单调性可知，函数在上单调递减，故④正确. 综上，正确的有①②④. 故选：C. 8. 已知函数的图象满足以下特征：图象经过点，并且在y轴右侧的第一个零点为，第一个最低点为，函数在上的值域为，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据正弦函数的性质得，进而，，再结合函数的对称性得，最后根据题意即可得m的取值范围. 【详解】因为函数图象经过点，并且在y轴右侧的第一个零点为，第一个最低点为， 所以，，， 所以，，解得，（） 所以故， 因为，令，则，解得；当时，； 所以，根据对称性可知，当时，， 因为函数在上的值域为， 所以，，即m的取值范围为. 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分. 9. 展开式中项的系数为______用数字作答 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式定理即可求解． 【详解】的展开式的通项为， 令，0得的系数为 故答案为： 10. 复数z满足，其中为虚数单位，则复数的虚部为__________. 【答案】 【解析】 【详解】由，得， 得， 得，得复数的虚部为. 11. 若实数x、y满足，则的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用不等式求最值即可. 【详解】，解得，当时，取得最大值. 故答案为：. 12. 盒子里装有同样大小的4个白球和3个黑球，甲先从中取2球（不放回），之后乙再从盒子中取1个球.（1）则甲所取的2个球为同色球的概率为____________；（2）设事件为“甲所取的2个球为同色球”，事件为“乙所取的球与甲所取的球不同色”，则在事件发生的条件下，求事件发生的概率____________. 【答案】 ①. ； ②. . 【解析】 【分析】（1）利用超几何分布求概率即可； （2）利用条件概公式求解即可. 【详解】解：（1）设事件A为“甲所取的2个球为同色球” 所以. （2），. 故答案为：；. 13. 在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，则可用表示为 __；若，则的最大值为 __． 【答案】 ①. ②. ． 【解析】 【分析】由，得到，设，再由余弦定理和基本不等式求得，得到，即可求解. 【详解】在中，，，点为的中点，点为的中点， 由，则， 设， 由余弦定理可得， 因为，可得，即，当且仅当时取等号， 又因为，则， 则 ， 即的最大值为． 故答案为：；． 三、解答题：本题共2小题，共35分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 14. 已知向量，，设函数的图像关于直线对称，其中，为常数，且，． （1）求函数的最小正周期； （2）若的图像经过点，，求函数在区间，上的取值范围． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】(1)通过两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简函数的解析式，再利用对称轴求出，求解函数的周期． (2)通过的范围求出相位的范围，利用三角函数的性质求解函数的最值即可． 【小问1详解】 向量，，，函数， 所以 ， 由直线是图像的一条对称轴，可得， 所以，即． 又，，所以时，． 所以的最小正周期是． 【小问2详解】 由(1)可知， 若的图像经过点，，则，解得， 所以， 由，得， 所以， 得， 故函数在区间，上的取值范围为，． 15. 已知的内角的对边分别为，且. （1）求的大小： （2）若， （i）求的面积； （ii）求. 【答案】（1）； （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合两角和得正弦公式及三角形内角关系即可得出答案； （2）利用余弦定理求得边，根据三角形面积公式可得面积，再根据余弦定理可得，再利用二倍角公式及和差角公式即得. 【小问1详解】 因为， 所以， 即， 则， 因为，所以， 所以， 所以； 【小问2详解】 （i）由余弦定理得， 即，解得（舍去）或， 所以的面积为； （ii）由上可得，又， 所以， 所以，， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 26-27-1高三数学随堂测验（10月份） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“函数在区间上为减函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 某城市在创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城市”的满意程度，组织居民给活动打分（分数为整数，满分100分），从中随机抽取一个容量为100的样本，发现数据均在内.现将这些分数分成6组并画出样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示观察图形，则下列说法错误的是（ ） A. 频率分布直方图中第三组的频数为15人 B. 根据频率分布直方图估计样本的众数为75分 C. 根据频率分布直方图估计样本的中位数为75分 D. 根据频率分布直方图估计样本的平均数为75分 6. 已知平面向量，且，则（ ） A. 9 B. 3 C. 4 D. 16 7. 关于函数，则下列结论中： ①为该函数的一个周期； ②该函数的图象关于直线对称； ③将该函数的图象向左平移个单位长度得到的图象： ④该函数在区间上单调递减. 所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①②④ D. ①③④ 8. 已知函数的图象满足以下特征：图象经过点，并且在y轴右侧的第一个零点为，第一个最低点为，函数在上的值域为，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分. 9. 展开式中项的系数为______用数字作答 10. 复数z满足，其中为虚数单位，则复数的虚部为__________. 11. 若实数x、y满足，则的最大值是______． 12. 盒子里装有同样大小的4个白球和3个黑球，甲先从中取2球（不放回），之后乙再从盒子中取1个球.（1）则甲所取的2个球为同色球的概率为____________；（2）设事件为“甲所取的2个球为同色球”，事件为“乙所取的球与甲所取的球不同色”，则在事件发生的条件下，求事件发生的概率____________. 13. 在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，则可用表示为 __；若，则的最大值为 __． 三、解答题：本题共2小题，共35分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 14. 已知向量，，设函数的图像关于直线对称，其中，为常数，且，． （1）求函数的最小正周期； （2）若的图像经过点，，求函数在区间，上的取值范围． 15. 已知的内角的对边分别为，且. （1）求的大小： （2）若， （i）求的面积； （ii）求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $