精品解析：天津市天津大学附属中学2026届高三上学期12月月考数学试题

天津大学附属中学2025~2026学年度第一学期高三年级12月考 数学学科试卷 一、选择题：（每小题5分，共45分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 如图所示的“心形”图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”图形在x轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ） A. B. C. D. 4. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知，，，则三者的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 已知等差数列的前项和为.若，则（ ） A. －12 B. －13 C. D. 7. 在一段时间内，分5次测得某种商品的价格（万元）和需求量之间的一组数据，绘制散点图如图所示，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为，根据上述信息，如下判断正确的是（ ） 价格 2 需求量 12 10 7 A. 商品的价格和需求量存在正相关关系 B. 与不具有线性相关关系 C. D. 价格定为万元，预测需求量大约为 8. 已知函数的部分图象如图所示，关于该函数有下列四个说法： ①在区间上单调递减 ②的图象可由的图象向左平移个单位得到 ③的对称轴为 ④在区间上的最小值为 以上四个说法中，正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 已知是坐标原点，是双曲线的左焦点，平面内一点满足是等边三角形，线段与双曲线交于点，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（每小题5分，共30分） 10. 已知，为虚数单位，若为实数，则的值为________. 11. 的展开式中，的系数为_____________． 12. 已知圆C的圆心坐标为，直线与圆C相交于A，B两点，且，则圆C的半径为________. 13. 已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是_____. 14. 已知平行四边形的面积为，，为线段的中点．若为线段上的一点，且，则______________，的最小值为______________． 15. 已知函数,若关于x的方程有6个根，则m的取值范围为________. 三、解答题：（共75分） 16. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，的面积为，． （1）求A的值； （2）求b的值； （3）求的值． 17. 在如图所示的几何体中，平面，， 是 的中点，，，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成夹角的余弦值； （3）求点 到平面的距离． 18. 已知是等差数列，是公比大于0的等比数列，且，． （1）求和的通项公式： （2）求数列的前项和： （3）设数列满足其中，求的前项和． 19. 已知椭圆的离心率为，点在上，直线与交于不同于的两点. （1）求的方程； （2）若，求面积的最大值. 20. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）解关于的不等式（其中为的导数）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津大学附属中学2025~2026学年度第一学期高三年级12月考 数学学科试卷 一、选择题：（每小题5分，共45分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法和对数函数定义域，求出集合，根据集合交集的运算方法，求出结果. 【详解】已知，解得，所以， 已知，定义域，解得，所以， 可得. 故选：C. 2. “”是“”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由解得，结合充分不必要条件的定义判断即可. 【详解】∵， ∴应是充分不必要条件， 故选：A． 3. 如图所示的“心形”图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”图形在x轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇偶性和最值排除错误答案即可. 【详解】A选项：易知为偶函数，当时，， 此函数在上单调递增，在上单调递减，且，故A正确； B选项：记，则，故B错误； C选项：，故C错误； D选项：记，则，故D错误. 故选：A 4. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】举反例判断A，B，C，利用平行的传递性得到，再利用面面平行的性质得到判断D即可. 【详解】对于A，若，则或，故A错误， 对于B，若，则或与异面，故B错误， 对于C，若，则或与相交，故C错误， 对于D，因为，所以，而，可得，故D正确. 故选：D 5. 已知，，，则三者的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性比较大小. 【详解】，则， 所以三者的大小关系是. 故选：A 6. 已知等差数列的前项和为.若，则（ ） A. －12 B. －13 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的求和公式即可得到方程组，解出，最后利用等差数列前项和公式即可得到答案. 【详解】设该等差数列的公差为， 则由题意得，解得， 则. 故选：C. 7. 在一段时间内，分5次测得某种商品的价格（万元）和需求量之间的一组数据，绘制散点图如图所示，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为，根据上述信息，如下判断正确的是（ ） 价格 2 需求量 12 10 7 A. 商品的价格和需求量存在正相关关系 B. 与不具有线性相关关系 C. D. 价格定为万元，预测需求量大约为 【答案】D 【解析】 【分析】由散点图判断A，根据回归直线方程判断B，求出，，根据回归直线方程必过样本中心点求出，令求出，即可判断D. 【详解】由散点图可知，商品的价格和需求量存在负相关关系，故A错误； 由经验回归方程为，可知与具有线性相关关系，故A错误； 又，， 又经验回归直线方程必过样本中心点， 则，解得，故C错误； 当时，， 所以价格定为万元，预测需求量大约为，故D正确． 故选：D． 8. 已知函数的部分图象如图所示，关于该函数有下列四个说法： ①在区间上单调递减 ②的图象可由的图象向左平移个单位得到 ③的对称轴为 ④在区间上的最小值为 以上四个说法中，正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据题中给定图象可得函数解析式，然后利用正弦函数的性质和图象变换对各个选项进行判断即可． 【详解】由图可知，，即，则， 此时，又， 则，，即，， 又，所以，则. 对于①，当时，， 因为函数在上单调递减， 所以在区间上单调递减，故①正确； 对于②，的图象向左平移得到，故②正确； 对于③，令，解得， 所以的对称轴为，故③错误； 对于④，当时，，则， 则，则在区间上的最小值为，故④正确. 故选：C. 9. 已知是坐标原点，是双曲线的左焦点，平面内一点满足是等边三角形，线段与双曲线交于点，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设双曲线的右焦点为，根据是等边三角形得，再由可得，在中利用余弦定理可得，再由双曲线定义可得答案. 【详解】设双曲线的右焦点为，连接， 因为是等边三角形，所以， ，又，所以， 在中，， 则，则，则. 故选：A. 二、填空题：（每小题5分，共30分） 10. 已知，为虚数单位，若为实数，则的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法法则化简，结合已知可得，求解即可. 【详解】， 因为为实数，所以，解得. 故答案为：. 11. 的展开式中，的系数为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由二项式展开式的通项公式代入计算，即可得到结果. 【详解】二项式展开式的通项公式为， 令，解得，所以， 即的系数为. 故答案为： 12. 已知圆C的圆心坐标为，直线与圆C相交于A，B两点，且，则圆C的半径为________. 【答案】 【解析】 【分析】设圆的半径为，先根据点到直线距离公式可求得圆心到直线的距离，再根据垂径定理即可求解. 【详解】设圆的半径为，由题意知圆心坐标为，直线， 根据点到直线距离公式， 且，弦长的一半为， 由垂径定理可得，代入可求得， 则. 故答案为： 13. 已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为，，且，则， 所以 ， 当且仅当时，即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 14. 已知平行四边形的面积为，，为线段的中点．若为线段上的一点，且，则______________，的最小值为______________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】由平行四边形的面积为，，可得，由已知得，然后根据三点共线即可得，从而得出，得，然后利用基本不等式即可求出的最小值. 【详解】因为平行四边形的面积为，， 所以，得， 如图，连接，则， 因为，又为平行四边形，则 ， 所以， 因为三点共线， 所以，得， 所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 故答案为：；. 15. 已知函数,若关于x的方程有6个根，则m的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】先作出函数的图像，结合图像可把问题转化为在上有两个不同实根，，数形结合即可求得答案． 【详解】作出函数图像如图所示： 令，则可化为， 若有6个根， 结合图像可知方程在上有2个不相等的实根， 不妨设，， 则，解得， 故m的取值范围为. 故答案为： 三、解答题：（共75分） 16. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，的面积为，． （1）求A的值； （2）求b的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2）8 （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化及三角恒等变形化简得，结合三角形内角即可求A的值； （2）由面积公式可得，利用余弦定理得，结合即可求b的值； （3）由（2）知，利用余弦定理的推论可求，根据倍角公式求出，最后用和差公式求值即可． 【小问1详解】 由正弦定理得， ， ，， 又，所以． 【小问2详解】 ，即①， 又，即②， 由①②解得或， 又， 所以b的值为8． 【小问3详解】 由（2）知， 所以， ， 又，所以，， 则， 所以 ， 即的值为． 17. 在如图所示的几何体中，平面，， 是 的中点，，，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成夹角的余弦值； （3）求点 到平面的距离． 【答案】（1）证明：法一：如图，平面，，可得平面， 由，可得，则直线，， 两两垂直， 以为原点，分别以，，的方向为 ， ， 轴的正方向建立空间直角坐标系． 由题意可得，，，，，． 由平面，取平面的一个法向量为，由， 可得， 又平面，所以平面． 法二：取 中点 ，连接，，由 是 的中点，可得，而， 则，又，于是四边形是平行四边形． 所以， 又平面平面，所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）法一：建立空间直角坐标系，求出平面法向量即可证明；法二：构造平行四边形然后结合线面平行的判定定理即可证明； （2）由二面角的公式代入计算，即可得到结果； （3）由点到面的距离公式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得，， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得， 设平面与平面的夹角为 ， 因此． 所以平面与平面夹角的余弦值为． 【小问3详解】 由（2）知平面的一个法向量为， 且， 则点 到平面的距离为． 18. 已知是等差数列，是公比大于0的等比数列，且，． （1）求和的通项公式： （2）求数列的前项和： （3）设数列满足其中，求的前项和． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式，求解出等差数列公差与等比数列公比，进而求得结果即可； （2）直接利用错位相减法进行求和即可； （3）首先求出数列的通项公式，然后分为奇数项和偶数项分别根据等差数列和等比数列前项和进行求解即可. 【小问1详解】 是等差数列，是各项都为正数的等比数列，设公差为，公比为，由． 可得：， 解得：或（负值舍去） 则，； 【小问2详解】 记数列的前项和为，则 ， 两式相减可得， 化为； 【小问3详解】 ， 则数列的前项和 ． 19. 已知椭圆的离心率为，点在上，直线与交于不同于的两点. （1）求的方程； （2）若，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题中条件，列出方程组，求出，即可得出椭圆方程； （2）由题意先得直线的斜率存在，设直线，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，以及题中条件，得再表示出三角形的面积，构造函数，求出最值即可. 【小问1详解】 由题意可知：，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 若，可知直线的斜率存在， 设直线， 联立方程，消去可，则，整理可得， 可得 因为，则， 由，可得，则， 整理可得， 则，且，则， 可得，解得 且满足，可知直线过定点， 则面积， 令，则 可得， 令， 任取，则， 所以在内单调递增，则， 所以当时，面积取到最大值 【点睛】思路点睛： 求解椭圆中三角形面积问题时，一般需要联立直线与椭圆方程，结合韦达定理、弦长公式、三角形面积公式等表示出三角形面积，再进行求解即可.有时也需要将三角形分割成小三角形，由小三角形的面积和表示出大三角形面积. 20. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）解关于的不等式（其中为的导数）. 【答案】（1） （2）或. （3） 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义求出切点处的导数，再由点斜式方程写出切线方程即可； （2）利用导数研究的单调性，求出，转化为解不等式即可； （3）转化为，通过分类讨论构造函数，研究函数的性质解不等式. 【小问1详解】 ，可得，又， 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 当时，，，所以，在上单调递减， 当时，令， 因为，所以在上单调递增， 所以，即，所以在上单调递增， 所以， 若恒成立，则， 整理得，解得或. 【小问3详解】 由得， 即， 当时，，不等式成立； 当时，，不等式化为， 当时，不等式的左边右边，所以， ①当时，令， 所以函数在上单调递减， 所以，即， 令， 则单调递减；单调递增， 所以， 所以，故， ②当时，不等式化为， 令， ，函数在上单调递增， 所以， 由，得， 所以不等式成立， 综上，不等式的解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $