期中（第1章～3章）阶段复习选择题考点汇总训练（十六大类型）-2026-2027学年浙教版九年级上册数学《典例全解·题型通关》
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内容正文：
2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》
期中（第1章～3章）阶段复习选择题考点汇总训练
（十六大类型）
目录
考点一二次函数的意义 1
考点二二次函数的图象 2
考点三二次函数的性质 4
考点四二次函数与一次二元方程的关系 7
考点五二次函数的应用 8
考点六随机事件 10
考点七简单随机事件的概率 12
考点八用频率估计概率 14
考点九概率的简单应用 15
考点十圆的有关概念 17
考点十一圆心角 19
考点十二垂径定理 20
考点十三圆周角 24
考点十四圆内接四边形 26
考点十五正多边形 32
考点十六弧长及扇形的面积 34
考点一二次函数的意义
1．在中，边的长为边上的高比长的2倍多1，则的面积与之间的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：∵的长为，边上的高比长的2倍多1，，
∴边上的高为，
∴．
2．下列函数是二次函数的是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A选项自变量的次数是1，不是二次函数，不符合题意；
B选项的自变量在分母上，不是二次函数，不符合题意；
C选项是二次函数，符合题意；
D选项自变量的次数是1，不是二次函数，不符合题意．
3．若二次函数的图象经过原点，则m的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】根据函数图象经过原点，把坐标代入函数解析式，求解参数即可．
【详解】解：二次函数的图象过原点，
∴把代入解析式得
解得：．
考点二二次函数的图象
4．下列抛物线中，抛物线的开口最小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】抛物线开口大小由二次项系数的绝对值决定，绝对值越大，开口越小．
【详解】解：各选项二次项系数的绝对值分别为，，，，
∵ ，
∴ 抛物线的开口最小．
5．将二次函数的图象向右平移1个单位长度，得到的二次函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：将二次函数的图象向右平移1个单位长度，得．
6．如图，已知抛物线与直线交于A，B两点．点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移4个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，则点M的横坐标的取值范围是（ ）．
A． B．或
C． D．或
【答案】B
【分析】分类求解确定MN的位置，进而求解．
【详解】解：解
得或，
∴点A的坐标为（﹣1，3），点B的坐标为（2，0），
当点M在线段AB上时，线段MN与抛物线只有一个公共点，
∵M，N的距离为4，而A、B的水平距离是3，故此时只有一个交点，即﹣1≤＜2；
当点M在点A的左侧时，线段MN与抛物线没有公共点；
当点M在点B的右侧时，当 ＝3时，抛物线和MN交于抛物线的顶点（1，﹣1），即＝3时，线段MN与抛物线只有一个公共点，
综上，﹣1≤＜2 或＝3．
故选：B．
【点睛】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质、坐标与图形变化﹣平移，分类求解确定MN的位置是解题的关键．
考点三二次函数的性质
7．在同一平面直角坐标系中，函数与（为常数，且）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数顶点坐标排除部分选项，再利用的符号一致性判断一次函数图象位置，即可得出答案．
【详解】解：∵二次函数的解析式为，
∴顶点坐标为，在轴的正半轴，故A、B选项不符合题意，
∵C、D选项的抛物线开口向下，
∴，
∴函数的图象经过一、二、四象限，
∴D选项不符合题意，C选项符合题意．
8．已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如表，
x
……
0
3
5
……
y
……
0
……
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向上
B．当时，的值随的值增大而增大
C．图象经过第二、三、四象限
D．图象的对称轴是直线
【答案】D
【分析】根据二次函数的图象和性质进行判断即可．
【详解】解：将代入，得．
将，代入解析式，得．
解得．
∴二次函数解析式为．
∵，
∴图象开口向下，A错误．
图象的对称轴是直线，D正确．
∵开口向下，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，B错误．
∵抛物线顶点坐标为，开口向下，与轴交于和，
∴当时，，图象经过第一、三、四象限，C错误．
9．如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点，连接，，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】设抛物线与轴的另一个交点为，连接，，根据解析式求得的坐标，根据轴对称的性质得出，继而得出取得最小值，最小值为的长，勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，设抛物线与轴的另一个交点为，连接，，
∵，令，
即，
解得：，
∴,
令，解得，
∴，
∵点是对称轴上的一个动点，
∴，
∵
∴当三点共线时，取得最小值，最小值为的长，
即，
故选：D．
【点睛】本题考查了根据二次函数对称性求线段和的最值，掌握二次函数对称性是解题的关键．
考点四二次函数与一次二元方程的关系
10．抛物线与x轴的交点坐标是（ ）
A． B．和 C．和 D．没有交点
【答案】C
【分析】令，求出x的值，即可得出抛物线与x轴的交点坐标．
【详解】解：当时，，
解得，，
所以抛物线与x轴的交点坐标为和．
11．已知二次函数的图象上有两点和，则的值等于（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】和两点纵坐标相同，都在二次函数的图象上，因此是对应一元二次方程的两个根，利用方程解的定义变形所求代数式，结合根与系数的关系即可求解．
【详解】解：二次函数的图象上有两点和，
把和两点坐标代入函数解析式中，
得，，
整理得，，
是一元二次方程的两个根，
由一元二次方程根与系数的关系得，，
又由得，，
将代入所求代数式中得，
．
12．已知二次函数的图象如图所示，根据图中提供的信息，可求得使成立的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【分析】观察函数图象，找出纵坐标时对应的横坐标x的值，再根据图象在直线下方的部分确定x的取值范围．
【详解】解：由图象知，当时，；
当时，，
由函数图象可得，x的取值范围是．
考点五二次函数的应用
13．小亮爸爸想用长为米的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为米，面积为平方米，则与的函数关系式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据栅栏总长表示出平行于墙的一边长，利用矩形面积公式列出函数关系式．
【详解】解：设矩形与墙垂直的一边长为米，
∵栅栏总长为米，且一边靠墙，
∴与墙平行的一边长为米，
∴．
14．如图，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为时，水面的宽度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令，解方程即可求出水面的宽度．
【详解】解：根据题意，令，，
解得：，
故水面的宽度为米．
15．如图，在地面上的A处竖直安装一个水管，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与点A的水平距离为处达到最高点C，点C距离地面的高度为，水柱落地点D到A处的距离为，则水管的顶端B距地面的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，得到，设抛物线的解析式为，将代入求出函数解析式，进而求出时的函数值即为的长．
【详解】解：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，如图所示：
则：，
设抛物线的解析式为，
将代入，得：，
解得，
∴，
当时，，
∴高度为．
考点六随机事件
16．下列事件中，属于不可能事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放天气预报
B．在一个只装有红球的袋子里摸出黑球
C．今年的除夕夜会下雪
D．任意抛掷一枚硬币8次，正面朝上有6次
【答案】B
【详解】解：A．打开电视机，正在播放天气预报，是随机事件，不符合题意．
B．在一个只装有红球的袋子里摸出黑球，是不可能事件，符合题意．
C．今年的除夕夜会下雪，是随机事件，不符合题意．
D．任意抛掷一枚硬币次，正面朝上有次，是随机事件，不符合题意．
17．欢欢和园园抛豆子玩游戏，每人都有3颗豆子，每局每人可以随机抛出1-3颗（且抛出1-3颗豆子的可能性相同），如果两人抛出的豆子数的和是奇数则欢欢赢，如果和是偶数则是园园赢．那么两人谁赢的可能性大（ ）
A．欢欢大 B．园园大 C．两人一样大 D．无法确定
【答案】B
【分析】需列举两人抛豆的所有等可能结果，统计和为奇、偶的结果数，比较赢的可能性大小．
【详解】解：两人抛出的豆子数均有、、共种等可能情况，所有组合共种且等可能，对应和的奇偶性如下：
和为偶，和为奇，和为偶，
和为奇，和为偶，和为奇，
和为偶，和为奇，和为偶．
∵和为奇数的结果有种，和为偶数的结果有种．
又∵，
∴ 园园赢的可能性大．
18．一个不透明的袋子中有大小相同的5个红球和8个黄球，如果要使两种颜色的球摸到的可能性相等，那么需要再往袋中放入红球的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】此题考查一元一次方程的应用，事件的可能性，要使摸到红球和黄球的可能性相等，需使红球与黄球的数量相等。
【详解】设需要再放入x个红球，
放入后，红球有个，黄球有8个，
∵摸到两种球的可能性相等，
∴，
解得
∴需要放入3个红球，
故选：C
考点七简单随机事件的概率
19．盒子里有个球，它们只有颜色不同，其中红球有个，黄球有个，黑球有个．小军从中任意摸一个球，下面说法正确的是（ ）
A．一定是红球 B．摸出红球的可能性最大
C．不可能是黑球 D．摸出红球的可能性最小
【答案】B
【分析】计算各颜色球被摸出的概率，逐一判断选项正误.
【详解】解：∵总球数为10，其中红球6个，黄球3个，黑球1个，
∴摸出红球的概率为， 摸出黄球的概率为， 摸出黑球的概率为，
∵ ，
∴ 摸出红球的可能性最大，摸出黑球的可能性最小，
A、摸球为随机事件，可能摸到红球，也可能摸到其他颜色的球，并非一定是红球，故A错误；
B、摸出红球的可能性最大，故B正确；
C、盒中有黑球，因此有可能摸到黑球，并非不可能，故C错误；
D、 摸出黑球的可能性最小，并非红球，故D错误.
20．如图是一个被平均分成三个扇形的转盘，让转盘自由转动2次，指针指向的数分别记为，，则关于，的方程组，有正整数解的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先通过枚举法得出所有可能的结果，再用含a，b的式子表示出x，找出x，y均为正整数时a，b的值，最后利用概率公式即可求解．
【详解】解：由题意知，转盘自由转动2次，共有9种可能的结果，分别为，，，，，，，，，
，
得，
则，
当时，，无论a取1，2，3，x均不是正整数，不合题意；
当时，，无论a取1，2，3，x均不是正整数，不合题意；
当时，，a取1或 3时，x均不是正整数，不合题意，取2时，，
将代入得，
解得，符合题意；
综上可知，只有，，即为时方程组有正整数解，
故有正整数解的概率为．
21．色光三原色（）是指红、绿、蓝三色．将这三种色光按一定比例混合可以呈现各种光色．配色规律如图所示（例如：红和蓝按一定比例混合可以呈现紫色），现小刘、小李两位同学分别从色光三原色中随机选择一种色光，将两人所选择的色光进行混合，则可以呈现青色的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】正确地画出树状图，利用概率公式进行求解即可．
【详解】
由树状图可得，共有9种等可能的结果，其中可以呈现青色的结果有2种，
∴将两人所选择的色光进行混合，则可以呈现青色的概率为．
考点八用频率估计概率
22．将七、八、九年级学生分为六批依次在劳动周种植南瓜种子，并分别记录一周内各批次学生代表在相同条件下（仅种子数量不同）种植的南瓜种子的发芽率情况，数据如下表．则下列说法错误的是（ ）
种植数
100
200
400
600
800
1000
发芽数
92
180
352
546
712
900
发芽率
0.92
0.90
0.88
0.91
0.89
0.90
A．如果在此条件下继续种植1000颗南瓜种子，则发芽的种子数一定为907颗
B．由此估计出该南瓜种子在此条件下发芽的概率为0.9
C．可以用实验次数累计最多时的频率作为概率的估计值
D．在大量重复的种植中，随着种植次数与种子种植个数的增加，南瓜种子发芽的频率会越来越稳定，因此可以用频率来估计概率
【答案】A
【分析】解题突破口是明确概率是频率的稳定估计值，随机事件的结果不具有必然性.
【详解】解：选项A：在此条件下种植颗南瓜种子，发芽种子数为随机事件，无法确定一定为颗，表述错误.
选项B：随着种植种子数量增加，发芽率稳定在附近，可估计该条件下种子发芽概率为，表述正确.
选项C：实验次数越多，频率越接近概率，可用实验次数累计最多时的频率作为概率的估计值，表述正确.
选项D：大量重复种植中，随着种植次数与种子数量增加，发芽频率会逐渐稳定，因此可用频率估计概率，表述正确.
23．某学习小组做摸球试验，在一个不透明的袋子里装有红、黄两种颜色的小球共10个，除颜色外都相同．将球搅匀后，随机摸出5个球，发现3个是红球，估计袋中红球的个数是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【详解】解：∵随机摸出的5个球中，有3个是红球，
∴摸到红球的频率为，
∵袋中共有10个球，
∴估计袋中红球的个数为（个）．
24．数学课上学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中共有个球，其中有个白球、个红球、个黑球和个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ）
A．黑色 B．红色 C．黄色 D．白色
【答案】A
【分析】本题考查利用频率估计概率，解题的关键是理解题意；
由频率图可知：抽出某个颜色的球的概率稳定在，然后问题可求解．
【详解】解：由图可知：抽出某个颜色的球的概率稳定在，
∵，
∴抽出某个球的颜色最有可能的是黑色；
故选：A．
考点九概率的简单应用
25．某超市举行有奖促销活动，顾客在超市购物满200元有一次抽奖的机会，规则如下：如图，抽奖转盘被等分成四个扇形区域，每个扇形上分别写有1元、2元、3元、5元，抽奖时，顾客转动转盘两次，转盘停止后，指针所指区域内的金额之和即为顾客获得的奖金（当指针指向分界线时，重转）．顾客抽奖一次，关于抽奖结果，下列说法正确的是（ ）
A．共有12种等可能的结果
B．顾客获得的奖金金额有7种不同的可能
C．顾客获得4元或6元奖金的概率最大，概率均为
D．顾客获得5元奖金的概率为
【答案】C
【详解】画树状图如图所示：
由树状图可知，共有16种等可能结果，故A选项不正确；
顾客获得的奖金金额有8种不同的可能，故B选项不正确；
顾客获得4元或6元奖金的等可能结果数均为3，高于其它金额，故顾客获得4元或6元奖金的概率最大，概率均为，故C选项正确；
顾客获得5元奖金的可能结果数均为2，其概率为，故D选项不正确．
26．某市端午赛龙舟，“追风”与“破浪”两队进行三局两胜的友谊赛，双方各有快、中、慢三种龙舟，同规格较量，“追风”队皆占优．但“破浪”队的快速舟可胜“追风”队的中速舟，中速舟可胜“追风”队的慢速舟．若“追风”队按快、中、慢顺序固定出场，“破浪”队随机安排顺序．则“破浪”队获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先列出“破浪”队所有等可能的出场顺序，找出满足“破浪”队获胜的情况，再根据概率公式计算概率，即可得到答案．
【详解】解：∵“追风”队出场顺序固定为快，中，慢，设“破浪”队的三种龙舟为快，中，慢，对“破浪”队的出场顺序进行列举，所有等可能的结果共6种，分别为：快中慢，快慢中，中快慢，中慢快，慢快中，慢中快．
根据比赛规则，“破浪”队要获得三局两胜，仅有一种出场顺序满足获胜条件，即：“破浪”队慢对“追风”队快（输一局），快对“追风”队中（赢一局），中对“追风”队慢（赢一局）．
∴“破浪”队获胜的概率为 ．
27．甲乙两人想利用摸球游戏来决定谁去看电影，他们在袋中装了个红球，个黄球、个白球，这个球除颜色外完全相同，任意摸出一个球，若摸到红球，甲去看电影；若摸到黄球，乙去看电影；若摸到白球，两人均不去看电影，这个游戏规则（ ）
A．对甲有利 B．对乙有利 C．对双方公平 D．无法判断
【答案】C
【分析】分别计算甲、乙获得看电影机会的概率，比较概率大小即可求解．
【详解】解：∵袋中共有个除颜色外完全相同的球，其中红球个，黄球个，
∴甲去看电影的概率为 ，乙去看电影的概率为 ，
∵ ，
∴这个游戏规则对双方公平．
考点十圆的有关概念
28．已知外一点，若线段，则的半径为（ ）
A．9 B．8 C．6 D．10
【答案】C
【详解】解：∵点在外，
∴点到圆心O的距离大于半径，
结合线段，可得半径小于7，
选项中只有6符合条件.
29．已知的半径为6，点P在的内部，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵的半径为6，点在的内部，
∴．
30．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，顶点为D，P是以点为圆心，4为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接．则线段的最小值是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】B
【分析】先求抛物线与x轴交点A、顶点D的坐标，令抛物线解析式中求解A点坐标，根据顶点式或顶点坐标公式求D点坐标．利用Q是中点的条件，结合三角形中位线定理，找和P点相关线段的数量关系，确定Q点的运动轨迹．计算D点到Q点轨迹圆心的距离，再根据圆上一点到定点的最短距离为两点距离减半径，求出的最小值．
【详解】令抛物线中，
解得，
结合图像A在x轴负半轴，得；
抛物线的顶点D在y轴上，坐标为．
连接和，
∵Q是的中点，A点是定点，取线段的中点M，
根据三角形中位线定理，可得．
∵圆C半径为4，
∴，
∴，
∴Q点的轨迹是以定点M为圆心、半径为2的圆．
∵、，
∴中点M的坐标为；
根据两点距离公式 ，
点D到圆M上点的最短距离为“点到圆心的距离减去半径”，
∴的最小值为．
考点十一圆心角
31．如图，是半圆O的直径，，，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据弧、弦、圆心角之间的关系得到，根据即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
32．如图，在中，是弦，，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由等边对等角得到的度数，再由三角形外角的性质求出的度数即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴的度数为．
33．在中，圆心角，则弦与弦的关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】C
【分析】作的平分线构造等圆心角，得到等弦，结合三角形三边关系比较弦长大小．
【详解】解：如图，作的平分线，交于点，连接、、、，
则，
∵，
∴，
∵在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等，
∴，
在中，，
∴，即．
考点十二垂径定理
34．的半径为5，弦，则圆心O到弦的距离为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
【答案】B
【分析】过点O作于点C，根据垂径定理可得，进而根据勾股定理求解即可．
【详解】解：过点O作于点C，如图：
则，
在中，．
∴圆心O到弦的距离为3．
35．已知锐角．如图，
（1）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交射线于点，连接；
（2）分别以点，为圆心，长为半径作弧，交于点，，连接；
（3）连接，，分别交，于点，．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据作法可得，，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，即可对A选项进行判断；根据圆周角等于圆心角的一半，即可对C选项进行判断；过点O作的垂线，根据垂径定理的相关性质即可对B选项进行判断，根据全等三角形得到与相等的，结合反证法即可对D选项进行判断.
【详解】解：由作法可知，
∴，故A选项正确，不符合题意；
如解图，过点O作交圆于，交弧于点，
∴，
∴，
∴，
∴，故B选项正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴， 故C选项正确，不符合题意；
如解图，连接，在和中，
，
∴ ，
∴, ，
假设，
结合垂径定理同理可得：，
∴，
∴，
∴，
∴ ，
此时，与题干矛盾，
所以假设不成立，故D选项错误，符合题意．
【点睛】本题考查了作图－复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，也考查了圆心角、弧、弦的关系和垂径定理、全等三角形．
36．如图，圆弧形桥拱的跨度米，拱高米，则拱桥的半径为（ ）
A．3米 B．8米 C．10米 D．20米
【答案】C
【分析】设圆弧形桥拱的圆心是O，半径为r米，连接，则O、D、C三点共线，根据垂径定理得米，再由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】解：设圆弧形桥拱的圆心是O，半径为r米，如图，连接，则O、D、C三点共线，
∵拱高为，
∴，
∵米，
∴米，
在中，根据勾股定理，得：，
即，
解得：，
即拱桥的半径为10米．
考点十三圆周角
37．下列图形中的角是圆周角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角，
只有选项C符合题意．
38．如图，中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由得，且，故得．
【详解】
解：，
，
∵，
∴，
∵，
．
【点睛】本题考查了圆的有关性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键．
39．如图，中，，，．点P为内一点，且满足．当的长度最小时，则的长是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据勾股定理的逆定理得，又长度一定，则点P在以中点O为圆心，长为半径的圆上运动，所以当B、P、O三点共线时，最短；在中，利用勾股定理可求的长，并得到点P是的中点，根据直角三角形斜边上的中线性质可求解．
【详解】解：，
∴，
取中点O，并以O为圆心，长为半径画圆，则点P在此圆上运动，当B、P、O三点共线时，最短，
，
，，
，
，
∴点P是的中点，
∴在中，．
考点十四圆内接四边形
40．如图，，，是上的点，且，现给出下列度数的圆周角，仅用一把无刻度的直尺无法画出的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作直径，连接，在上取点E，连接，根据圆内接四边形的性质可得的度数，再由直径，可求出的度数，然后根据圆内接四边形的性质可得的度数，即可．
【详解】解：如图，作直径，连接，在上取点E，连接，
∵四边形为的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵四边形为的内接四边形，
∴，
综上所述，仅用一把无刻度的直尺能画出，则仅无法画出的是．
41．如图，已知四边形是菱形，，，对角线相交于点O，过点D作交的延长线于点E，连接交于点，的延长线交于点G，连接，、分别是、边上的动点，且，连接、，与交于点P，连接，则下列结论：①；②；③；④；⑤最小值是．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①③④⑤ D．①②③④⑤
【答案】C
【分析】证出即可得①正确；先证出，再求出的长，然后求出的长即可得②错误；证出即可得③正确；过点作于点，先求出的长，再根据正切的定义计算即可得④正确；先证出点在等边的外接圆上，圆心为的垂直平分线的交点，连接，，求出的长，则可得的长，再根据即可得⑤正确．
【详解】解：∵四边形是菱形，，
∴，，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，结论①正确；
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，，
∵，
∴，
∴在中，，
∴，
∵，
∴，（等腰三角形的三线合一），
∴，
∴在中，，
∴，，
∴，结论②错误；
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，结论③正确；
如图，过点作于点，
∴，
∴在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴在中，，结论④正确；
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴如图，点共圆，即点在等边的外接圆上，圆心为的垂直平分线的交点，
连接，，
∴，
∴在中，，，
∴，，
又∵，当且仅当点共线时，等号成立，
∴最小值是，结论⑤正确；
综上，结论正确的有①③④⑤．
【点睛】本题的难点在于利用圆内接四边形的性质得出点的运动轨迹．
42．如图，在中， ，，，点是上一动点， ，，垂足分别为， ，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先解可得，然后推出四边形内接于，且为直径，可得，继而得到，当最小时，则最小，而时最小，据此求解即可．
【详解】解：如图，过点作于点，
∴，
∵在中， ，，，
∴，
，
∴，
在中，，
∵，，
∴，，
∴，
∴四边形为圆内接四边形，
连接，则为直径，取中点为，连接、，过点作于点，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴当最小时，则最小，当时最小，
∵，
∴，
∴，
即的最小值为．
考点十五正多边形
43．若正五边形绕着它的中心旋转一定的角度后与原来位置重合，则这个角度可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查正多边形的旋转对称性，正n边形绕中心旋转后与自身重合，最小旋转角度为．
【详解】解：∴正五边形的最小旋转角为，
∴当旋转角度是的整数倍，即可与原位置重合，
选项中只有符合要求．
44．若正边形的中心角为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】考查正多边形中心角的计算公式．正边形的中心角有个，每个中心角度数为．
【详解】解：已知正边形的中心角为，代入公式得．
45．如图，正五边形内接于，的直径为，连接，，，．小慧、小丽经过探索，分别得到以下结论．小慧：；小丽：．下列关于两人结论的判断中，正确的是（ ）
A．小慧和小丽的结论都正确 B．小慧和小丽的结论都错误
C．小慧的结论正确，小丽的结论错误 D．小慧的结论错误，小丽的结论正确
【答案】A
【分析】连接交于点，则，利用“同弧所对圆周角等于圆心角的一半”得到，即可算出小慧的结论是正确的；利用垂径定理可知，，则点是的中点且，，易求得，进而计算，利用“半径相等”及故“等边对等角”求得，由“三角形内角和定理”求得，则，由“对顶角相等”得，再由“三角形内角和定理”算得，从而，则：，小丽的结论正确．
【详解】
解：连接交于点，
∵正五边形内接于，
∴，
，
∴，
故小慧的结论正确；
∵，
∴，的直径为，
∴，点是的中点
∴
∴
即，，
，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
又，，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
故小丽的结论正确．
故选： ．
【点睛】本题考查了圆和正多边形的相关知识，圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，垂径定理等，熟练掌握这些知识是解决问题的关键．
考点十六弧长及扇形的面积
46．图①是中国古代女子主要裙式之一的马面裙，可以近似地看作扇环（如图②），已知裙长为米，的长度为米，圆心角，则裙摆的长为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】A
【分析】由题意知，，求得米，得到米，然后根据弧长公式计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
解得米，
∵裙长为米，
∴米，
∴（米）．
47．如图，的半径为，点为平面上一定点，，点为上任意一点．连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段；当点沿着圆周转动时，点所经过的路径长为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】通过旋转构造等腰直角三角形，结合平行四边形判定确定点C的轨迹圆半径及圆心角，然后再利用弧长公式求解即可．
【详解】解：如图：连接，作点D，使得为等腰直角三角形，，且D在的逆时针方向，将绕点O逆时针旋转得到，
∴，
∵将线段绕点逆时针旋转，得到线段，
∴，
∴，
∴ 四边形为平行四边形，
∴，
∴点C在以D为圆心，为半径的圆上运动，
∵点沿着圆周转动，即旋转，
∴旋转，即旋转，
∴点C转过的圆心角为，
∴点C经过的路径长为．
48．如图，是的直径，弦垂直平分半径，C为垂足，弦与半径相交于点P，连接，若，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据垂径定理得的长，再根据已知平分得，解直角三角形求解．求出扇形的圆心角，再根据扇形面积和三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：连接．
∵直径，，
，
．
平分，
．
，
，
．
在中，．
的半径为．
在中，
，
．
．
，
，，
，
．
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$2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》
期中（第1章～3章）阶段复习选择题考点汇总训练
（十六大类型）
目录
考点一二次函数的意义 1
考点二二次函数的图象 2
考点三二次函数的性质 3
考点四二次函数与一次二元方程的关系 4
考点五二次函数的应用 4
考点六随机事件 5
考点七简单随机事件的概率 5
考点八用频率估计概率 6
考点九概率的简单应用 7
考点十圆的有关概念 8
考点十一圆心角 8
考点十二垂径定理 9
考点十三圆周角 10
考点十四圆内接四边形 11
考点十五正多边形 12
考点十六弧长及扇形的面积 12
考点一二次函数的意义
1．在中，边的长为边上的高比长的2倍多1，则的面积与之间的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
2．下列函数是二次函数的是（）
A． B． C． D．
3．若二次函数的图象经过原点，则m的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
考点二二次函数的图象
4．下列抛物线中，抛物线的开口最小的是（ ）
A． B． C． D．
5．将二次函数的图象向右平移1个单位长度，得到的二次函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，已知抛物线与直线交于A，B两点．点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移4个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，则点M的横坐标的取值范围是（ ）．
A． B．或
C． D．或
考点三二次函数的性质
7．在同一平面直角坐标系中，函数与（为常数，且）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如表，
x
……
0
3
5
……
y
……
0
……
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向上
B．当时，的值随的值增大而增大
C．图象经过第二、三、四象限
D．图象的对称轴是直线
9．如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点，连接，，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
考点四二次函数与一次二元方程的关系
10．抛物线与x轴的交点坐标是（ ）
A． B．和 C．和 D．没有交点
11．已知二次函数的图象上有两点和，则的值等于（）
A． B． C． D．
12．已知二次函数的图象如图所示，根据图中提供的信息，可求得使成立的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
考点五二次函数的应用
13．小亮爸爸想用长为米的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为米，面积为平方米，则与的函数关系式是（ ）
A． B．
C． D．
14．如图，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为时，水面的宽度为（ ）
A． B． C． D．
15．如图，在地面上的A处竖直安装一个水管，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与点A的水平距离为处达到最高点C，点C距离地面的高度为，水柱落地点D到A处的距离为，则水管的顶端B距地面的高度为（ ）
A． B． C． D．
考点六随机事件
16．下列事件中，属于不可能事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放天气预报
B．在一个只装有红球的袋子里摸出黑球
C．今年的除夕夜会下雪
D．任意抛掷一枚硬币8次，正面朝上有6次
17．欢欢和园园抛豆子玩游戏，每人都有3颗豆子，每局每人可以随机抛出1-3颗（且抛出1-3颗豆子的可能性相同），如果两人抛出的豆子数的和是奇数则欢欢赢，如果和是偶数则是园园赢．那么两人谁赢的可能性大（ ）
A．欢欢大 B．园园大 C．两人一样大 D．无法确定
18．一个不透明的袋子中有大小相同的5个红球和8个黄球，如果要使两种颜色的球摸到的可能性相等，那么需要再往袋中放入红球的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
考点七简单随机事件的概率
19．盒子里有个球，它们只有颜色不同，其中红球有个，黄球有个，黑球有个．小军从中任意摸一个球，下面说法正确的是（ ）
A．一定是红球 B．摸出红球的可能性最大
C．不可能是黑球 D．摸出红球的可能性最小
20．如图是一个被平均分成三个扇形的转盘，让转盘自由转动2次，指针指向的数分别记为，，则关于，的方程组，有正整数解的概率为（ ）
A． B． C． D．
21．色光三原色（）是指红、绿、蓝三色．将这三种色光按一定比例混合可以呈现各种光色．配色规律如图所示（例如：红和蓝按一定比例混合可以呈现紫色），现小刘、小李两位同学分别从色光三原色中随机选择一种色光，将两人所选择的色光进行混合，则可以呈现青色的概率为（ ）
A． B． C． D．
考点八用频率估计概率
22．将七、八、九年级学生分为六批依次在劳动周种植南瓜种子，并分别记录一周内各批次学生代表在相同条件下（仅种子数量不同）种植的南瓜种子的发芽率情况，数据如下表．则下列说法错误的是（ ）
种植数
100
200
400
600
800
1000
发芽数
92
180
352
546
712
900
发芽率
0.92
0.90
0.88
0.91
0.89
0.90
A．如果在此条件下继续种植1000颗南瓜种子，则发芽的种子数一定为907颗
B．由此估计出该南瓜种子在此条件下发芽的概率为0.9
C．可以用实验次数累计最多时的频率作为概率的估计值
D．在大量重复的种植中，随着种植次数与种子种植个数的增加，南瓜种子发芽的频率会越来越稳定，因此可以用频率来估计概率
23．某学习小组做摸球试验，在一个不透明的袋子里装有红、黄两种颜色的小球共10个，除颜色外都相同．将球搅匀后，随机摸出5个球，发现3个是红球，估计袋中红球的个数是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
24．数学课上学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中共有个球，其中有个白球、个红球、个黑球和个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ）
A．黑色 B．红色 C．黄色 D．白色
考点九概率的简单应用
25．某超市举行有奖促销活动，顾客在超市购物满200元有一次抽奖的机会，规则如下：如图，抽奖转盘被等分成四个扇形区域，每个扇形上分别写有1元、2元、3元、5元，抽奖时，顾客转动转盘两次，转盘停止后，指针所指区域内的金额之和即为顾客获得的奖金（当指针指向分界线时，重转）．顾客抽奖一次，关于抽奖结果，下列说法正确的是（ ）
A．共有12种等可能的结果
B．顾客获得的奖金金额有7种不同的可能
C．顾客获得4元或6元奖金的概率最大，概率均为
D．顾客获得5元奖金的概率为
26．某市端午赛龙舟，“追风”与“破浪”两队进行三局两胜的友谊赛，双方各有快、中、慢三种龙舟，同规格较量，“追风”队皆占优．但“破浪”队的快速舟可胜“追风”队的中速舟，中速舟可胜“追风”队的慢速舟．若“追风”队按快、中、慢顺序固定出场，“破浪”队随机安排顺序．则“破浪”队获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
27．甲乙两人想利用摸球游戏来决定谁去看电影，他们在袋中装了个红球，个黄球、个白球，这个球除颜色外完全相同，任意摸出一个球，若摸到红球，甲去看电影；若摸到黄球，乙去看电影；若摸到白球，两人均不去看电影，这个游戏规则（ ）
A．对甲有利 B．对乙有利 C．对双方公平 D．无法判断
考点十圆的有关概念
28．已知外一点，若线段，则的半径为（ ）
A．9 B．8 C．6 D．10
29．已知的半径为6，点P在的内部，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
30．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，顶点为D，P是以点为圆心，4为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接．则线段的最小值是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
考点十一圆心角
31．如图，是半圆O的直径，，，的度数为（ ）
A． B． C． D．
32．如图，在中，是弦，，的度数为（ ）
A． B． C． D．
33．在中，圆心角，则弦与弦的关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
考点十二垂径定理
34．的半径为5，弦，则圆心O到弦的距离为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
35．已知锐角．如图，
（1）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交射线于点，连接；
（2）分别以点，为圆心，长为半径作弧，交于点，，连接；
（3）连接，，分别交，于点，．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
36．如图，圆弧形桥拱的跨度米，拱高米，则拱桥的半径为（ ）
A．3米 B．8米 C．10米 D．20米
考点十三圆周角
37．下列图形中的角是圆周角的是（ ）
A． B． C． D．
38．如图，中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
39．如图，中，，，．点P为内一点，且满足．当的长度最小时，则的长是（ ）
A．1 B． C． D．
考点十四圆内接四边形
40．如图，，，是上的点，且，现给出下列度数的圆周角，仅用一把无刻度的直尺无法画出的是（ ）
A． B． C． D．
41．如图，已知四边形是菱形，，，对角线相交于点O，过点D作交的延长线于点E，连接交于点，的延长线交于点G，连接，、分别是、边上的动点，且，连接、，与交于点P，连接，则下列结论：①；②；③；④；⑤最小值是．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①③④⑤ D．①②③④⑤
42．如图，在中， ，，，点是上一动点， ，，垂足分别为， ，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
考点十五正多边形
43．若正五边形绕着它的中心旋转一定的角度后与原来位置重合，则这个角度可以是（ ）
A． B． C． D．
44．若正边形的中心角为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
45．如图，正五边形内接于，的直径为，连接，，，．小慧、小丽经过探索，分别得到以下结论．小慧：；小丽：．下列关于两人结论的判断中，正确的是（ ）
A．小慧和小丽的结论都正确 B．小慧和小丽的结论都错误
C．小慧的结论正确，小丽的结论错误 D．小慧的结论错误，小丽的结论正确
考点十六弧长及扇形的面积
46．图①是中国古代女子主要裙式之一的马面裙，可以近似地看作扇环（如图②），已知裙长为米，的长度为米，圆心角，则裙摆的长为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
47．如图，的半径为，点为平面上一定点，，点为上任意一点．连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段；当点沿着圆周转动时，点所经过的路径长为（ ）．
A． B． C． D．
48．如图，是的直径，弦垂直平分半径，C为垂足，弦与半径相交于点P，连接，若，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
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