期中考试模拟卷 2026-2027学年人教版九年级上册数学

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上学期数学期中考试模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 测试范围：人教版九年级上册第25-28章。 一﹑单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列四个图形中，是中心对称图形的为（     ） A． B． C． D． 2．二次函数的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 3．对于一元二次方程，该方程根的情况为（） A．没有实数根 B．两根之和是 C．两根之积是 D．有两个不相等的实数根 4．电影《浪浪山小妖怪》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，全国第一天票房约0.5亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达2亿元，设增长率为，则方程可以列为（    ） A． B． C． D． 5．下列问题中的变量之间的关系，可以用反比例函数（为常数，）表示的是（     ） A．苹果的单价一定，购买的数量（千克）与总价（元） B．圆柱体的体积一定，它的底面积（平方分米）与高（分米） C．计划种植的树木总数一定，已种植的数量（棵）与未种植的数量（棵） D．汽车的速度一定，行驶的时间（小时）与路程（千米） 6．当三角形的面积为时，底与该底边上的高之间的函数关系的图象是（    ） A． B． C． D． 7．把一根长为的铁丝弯成一个长方形，设这个长方形的一边长为，它的面积为，则与之间的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 8．已知是关于的二次函数，那么的值为（     ） A． B．2 C． D．0 9．将方程化为一元二次方程的一般式，正确的是（     ） A． B． C． D． 10．如图所示，在平面直角坐标系中，点坐标为，为等腰直角三角形，且，点是线段的中点，将绕点以每秒的速度顺时针旋转，则第秒时点的坐标为（    ） A． B． C． D． 11．如图，二次函数与x轴交于点、，与y轴交于点，其中．则下列结论： ①；②方程没有实数根；③；④．其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点与原点重合，顶点，分别在轴、轴上，反比例函数的图象与正方形的两边，分别交于点，，轴，垂足为，连接，，，与相交于点，直线与轴、轴分别交于点，．下列结论：①；②四边形与面积相等；③若，则；④若，，则直线的函数解析式为．其中结论正确的序号为（     ） A．①③④ B．①②④ C．②④ D．①② 二﹑填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．若m、n是方程的两个根，则________． 14．在平面直角坐标系中，为原点，点在第二象限，且．若反比例函数的图象经过点，则的取值范围是______． 15．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④，正确的是________． 16．已知如图，在菱形中，，点P是上一点且．将绕点 B 顺时针旋转得到，连接交于点O、连接，则的长为__________． 三、解答题（本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）解方程： (1)； (2)． 18．（8分）已知与成反比例，且当时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当时，求y的值． 19．（10分）如图，二次函数的图象经过、两点． (1)求这个二次函数解析式； (2)点为坐标平面内一点，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 20．（10分）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长，篱笆长．设垂直于墙的边长为米，平行于墙的边为米，围成的矩形面积为． (1)求与，与的关系式，并求出的取值范围． (2)围成的矩形花圃面积能否为，若能，求出的值． (3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的值． 21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求和的值； (2)点是轴上一点，连接，且，求点的坐标． (3)观察图象，直接写出不等式的解集． 22．（12分）某商家为深圳大运会议提供制作纪念品所需的环保树脂．今年三月份该环保树脂供应千克，四、五两个月供应量的月平均增长率相同，五月份供应量达到千克． (1)求四、五两个月供应量的月平均增长率； (2)从六月起，该商家将同款环保树脂面向其他生产商供货，采用降价促销方式．经调查，每千克降价元，月供应量增加千克．已知该环保树脂每千克盈利元，且以五月份供应量千克为基准．当每千克降价多少元时，商家六月份能获利元？ 23．（12分）【问题呈现】某同学在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题；如图①，，分别是正方形的，边上的动点，连接，和，．若，，试求的长度． 【问题解决】该同学的思路是：如图②，将绕点逆时针旋转，可以得出和全等，然后再证明，从而得到．请你帮助该同学完成余下的解题过程． ∵是绕点逆时针旋转得到的， ∴．，，． ∵四边形是正方形，∴， ∴，∴、、在同一直线上， …… (1)补全上述解题过程； 【方法应用】 (2)如图③，在中，，，点，在边上，且．若，，则线段的长为____________； 【拓展提升】 (3)如图④，在中，，于点．若，，则的面积为____________． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学期中考试模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 测试范围：人教版九年级上册第25-28章。 一﹑单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列四个图形中，是中心对称图形的为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、是中心对称图形，符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意. 2．二次函数的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ∴该二次函数的顶点坐标为． 3．对于一元二次方程，该方程根的情况为（） A．没有实数根 B．两根之和是 C．两根之积是 D．有两个不相等的实数根 【答案】A 【详解】解：由一元二次方程得，，． ∴． ∴该方程没有实数根． 4．电影《浪浪山小妖怪》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，全国第一天票房约0.5亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达2亿元，设增长率为，则方程可以列为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】表示出第二天和第三天票房，然后根据“三天后累计票房收入达2亿元”列方程． 【详解】解：∵第一天票房约0.5亿元，增长率为， ∴第二天票房为亿元，第三天票房为亿元， 根据题意得，． 5．下列问题中的变量之间的关系，可以用反比例函数（为常数，）表示的是（     ） A．苹果的单价一定，购买的数量（千克）与总价（元） B．圆柱体的体积一定，它的底面积（平方分米）与高（分米） C．计划种植的树木总数一定，已种植的数量（棵）与未种植的数量（棵） D．汽车的速度一定，行驶的时间（小时）与路程（千米） 【答案】B 【分析】将反比例函数（）变形为（定值），通过判断两变量乘积是否为非零定值来筛选选项． 【详解】解：A选项：当单价为定值时，变量关系为（，定值），是正比例函数，故A选项不符合； B选项：设圆柱体积为（，定值），则底面积与高满足，即，故B选项符合反比例函数形式； C选项：设树木总数为（为定值），则已种植数量与未种植数量满足，是一次函数，故C选项不符合； Ｄ选项：当速度为定值时，变量关系为（，定值），是正比例函数，故Ｄ选项不符合； 6．当三角形的面积为时，底与该底边上的高之间的函数关系的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据三角形面积公式列出底和高的关系式，得到反比例函数；重点要注意：底、高都是正数，自变量，所以图像只取第一象限的分支，排除有第二、四象限分支的选项． 【详解】解：三角形面积公式： 整理：，， 这里底、高是线段长度，，，图像是反比例函数在第一象限内的一支． 函数，当时，；当时，，对照选项， 选． 7．把一根长为的铁丝弯成一个长方形，设这个长方形的一边长为，它的面积为，则与之间的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由长方形周长求出邻边长度，再代入面积公式推导与的函数关系式． 【详解】解：∵长方形周长为，一边长为， ∴相邻一边长为， ∴． 8．已知是关于的二次函数，那么的值为（     ） A． B．2 C． D．0 【答案】A 【分析】需同时满足x的次数为2、二次项系数不为0，据此列方程与不等式求解即可． 【详解】解：由二次函数定义得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 9．将方程化为一元二次方程的一般式，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的一般形式为，先去括号，然后移项，合并同类项，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ． 10．如图所示，在平面直角坐标系中，点坐标为，为等腰直角三角形，且，点是线段的中点，将绕点以每秒的速度顺时针旋转，则第秒时点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据等腰直角三角形的性质得到，，求出，然后判断出第秒时点的坐标和第秒时点的坐标相同，进而求解即可． 【详解】解：∵点坐标为，为等腰直角三角形，且， ∴，， ∵点是线段的中点， ∴， ∵将绕点以每秒的速度顺时针旋转，， ∴秒循环一次， ∵， ∴第秒时点的坐标和第秒时点的坐标相同，如图， 由旋转得，，，， ∴点的坐标为，即第秒时点的坐标为． 11．如图，二次函数与x轴交于点、，与y轴交于点，其中．则下列结论： ①；②方程没有实数根；③；④．其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据题意得到图象开口向上，对称轴直线为，，则，当时，代入计算可判定①；根据二次函数与直线的位置关系可判定②；根据题意得到，可判定③；根据函数最小值的大小可判定④；由此即可求解． 【详解】解：二次函数与轴交于点、，图象开口向上， ∴对称轴直线为，， ∴， 当时，， ∴，即， ∴， ∴，故①正确； 图象开口向上，对称轴直线为， ∴当时，函数有最小值，最小值在轴的下方， ∴抛物线与直线有两个不同的交点， ∴方程有两个不相等的实数根，故②错误； ∵二次函数与轴交于点，其中， ∴当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，，故③正确； 当时，函数有最小值，最小值为，， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①③④． 12．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点与原点重合，顶点，分别在轴、轴上，反比例函数的图象与正方形的两边，分别交于点，，轴，垂足为，连接，，，与相交于点，直线与轴、轴分别交于点，．下列结论：①；②四边形与面积相等；③若，则；④若，，则直线的函数解析式为．其中结论正确的序号为（     ） A．①③④ B．①②④ C．②④ D．①② 【答案】B 【分析】通过证明，即可判断①；通过，即可判断②；根据全等三角形的性质及正方形得出，，确定，求出k值即可判断③；证明得到，则可证明是等边三角形，得到，利用勾股定理建立方程求出点E、F的坐标从而求得直线解析式，即可判断④． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵点E、F都在反比例函数的图象上，反比例函数图象在第一象限，即， ∴，即， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴都是等腰直角三角形， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴，即， ∴①正确； ∵点E、F都在反比例函数的图象上，反比例函数图象在第一象限，即， ∴， ∴， ∴， ∴②正确； ∵，， ∴， ∵，， ∴，即，解得， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象与正方形的两边分别交于点E，F， ∴， ∴③错误； 在与中 ， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， 由（3）得， 设正方形的边长为，则， 在中， ， 即，解得或（舍去） ∴， ∴， 设直线的解析式为，过点 则有，解得 故直线的解析式为， ∴④正确； ∴正确序号为①②④． 二﹑填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．若m、n是方程的两个根，则________． 【答案】 【分析】已知m、n是一元二次方程的两个根，可借助根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再代入目标代数式完成计算． 【详解】解：∵ 一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为5，常数项为， ∴ 根据根与系数的关系，两根之和，两根之积， 将上述值代入所求代数式，可得：． 14．在平面直角坐标系中，为原点，点在第二象限，且．若反比例函数的图象经过点，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】设点A坐标为，结合第二象限点的坐标特征、即可得，再根据反比例函数的图象经过点A，即可得，再根据，即可得，进而得，进一步得，进一步推理即可得的取值范围． 【详解】解：设点A的坐标为， ∵ 点A在第二象限， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， ∵ 反比例函数的图象经过点A， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴ ， ∵ ，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴的取值范围为． 15．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④，正确的是________． 【答案】①②④ 【分析】首先根据图象特征（开口方向、对称轴、截距、交点位置）确定系数a，b，c的符号及相互关系，然后利用特殊点的坐标判断代数式的符号，逐个分析结论是否正确． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，所以． 抛物线的对称轴为直线，由图象可知，对称轴为直线，所以，解得． 因为，所以． 由此可知，结论③是错误的． 设抛物线与y轴的交点坐标为，由图象可知，抛物线与y轴交于负半轴，所以． 结论①： 当时，函数值，观察图象，当时，对应的图象上的点位于x轴下方，即，所以． 故结论①正确． 分析结论②： 根据前面分析可知：，，，所以． 故结论②正确． 分析结论④： 抛物线与x轴有两个不同的交点，说明对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，根据根的判别式，． 故结论④正确． 综上所述，正确的结论是①、②、④． 16．已知如图，在菱形中，，点P是上一点且．将绕点 B 顺时针旋转得到，连接交于点O、连接，则的长为__________． 【答案】 【分析】连接，可得，则可证明三点共线，过点作，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，连接， 四边形为菱形，， ， ，为等边三角形， ， ， 根据三角形面积公式可得， ， 将绕点 B 顺时针旋转得到， ， ，即， ， ， ，， ， ，即三点共线， ， ， ． 三、解答题（本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）移项后，利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： ∵，，， ∴， ∴， ∴，． （2）解： 移项得， 因式分解得，，即， ∴或， 解得，． 18．（8分）已知与成反比例，且当时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，再由当时，，求出k的值，即可求解； （2）把代入（1）中函数解析式，即可求解． 【详解】（1）解：设， 因为当时，， 所以， 解得：， ∴， 即y与x之间的函数关系式为； （2）解：当时，． 19．（10分）如图，二次函数的图象经过、两点． (1)求这个二次函数解析式； (2)点为坐标平面内一点，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)、、 【分析】(1)先把、两点代入二次函数中，得出、的值，即可求出二次函数的解析式； (2)根据以、、、为顶点的四边形是平行四边形，分情况讨论即可得出点的坐标． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过、两点， ，解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：设点坐标为， 、， 当为对角线时，则，， ∴，， ∴点； 当为对角线时，，， ∴，， ∴点； 当为对角线时，，， ∴，， ∴点； 综上所述：的坐标为、、． 20．（10分）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长，篱笆长．设垂直于墙的边长为米，平行于墙的边为米，围成的矩形面积为． (1)求与，与的关系式，并求出的取值范围． (2)围成的矩形花圃面积能否为，若能，求出的值． (3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的值． 【答案】(1) （），（） (2)能， (3)存在，的最大值为，此时 【分析】(1)根据可求出与之间的关系，根据墙的长度可确定的范围；根据面积公式可确立二次函数关系式； (2)令，得一元二次方程，判断此方程有解，再解方程即可 ； (3)根据自变量的取值范围和二次函数的性质确定函数的最大值即可． 【详解】（1）解：∵篱笆长， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵墙长 ， ∴， 解得：， ∴（）， 矩形面积， ∴， ∴， ∴（）； （2）解：能，，理由如下， 令，则，整理得：， 此时，， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴围成的矩形花圃面积能为， ∴， ∴，， ∵， ∴； （3）解：存在，的最大值为，此时，理由如下， ， ∵， ∴有最大值， 又， ∴当时，取得最大值，此时， 即当时，的最大值为． 21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求和的值； (2)点是轴上一点，连接，且，求点的坐标． (3)观察图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2)的坐标为或 (3) 【分析】（1）由题意把代入可得，再把代入即可求的值； （2）根据，可求出，分两种情况：当在右侧时，可得的坐标为，当在左侧时，可得的坐标为； （3）根据图象求解即可． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， 点的坐标为， 又点也在反比例函数上， （2）解：∵点是轴上一点，连接，且，如图， ， ∵， ， ， ∵直线， 当时，则， ∴点的坐标为； 当在右侧时， ， ， 当在左侧时， ， ， 综上所述，的坐标为或． （3）解：由图象可知，关于的解集为：． 22．（12分）某商家为深圳大运会议提供制作纪念品所需的环保树脂．今年三月份该环保树脂供应千克，四、五两个月供应量的月平均增长率相同，五月份供应量达到千克． (1)求四、五两个月供应量的月平均增长率； (2)从六月起，该商家将同款环保树脂面向其他生产商供货，采用降价促销方式．经调查，每千克降价元，月供应量增加千克．已知该环保树脂每千克盈利元，且以五月份供应量千克为基准．当每千克降价多少元时，商家六月份能获利元？ 【答案】(1)四、五两个月供应量的月平均增长率为 (2)当每千克降价元时，商家六月份能获利元 【分析】（1）设月平均增长率为，根据增长率公式列出一元二次方程求解，舍去不符合实际意义的根； （2）设每千克降价元，表达出降价后每千克利润和总供应量，依据“总利润单件利润销售量”列一元二次方程求解，舍去负根． 【详解】（1）解：设四、五两个月供应量的月平均增长率为，根据题意得： ， ， 或， 故，（不符合题意，舍去）． 答：四、五两个月供应量的月平均增长率为； （2）解：设每千克降价元，根据题意得： ， 即． 解得（不符合题意，舍去）， 答：当每千克降价元时，商家六月份能获利元． 23．（12分）【问题呈现】某同学在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题；如图①，，分别是正方形的，边上的动点，连接，和，．若，，试求的长度． 【问题解决】该同学的思路是：如图②，将绕点逆时针旋转，可以得出和全等，然后再证明，从而得到．请你帮助该同学完成余下的解题过程． ∵是绕点逆时针旋转得到的， ∴．，，． ∵四边形是正方形，∴， ∴，∴、、在同一直线上， …… (1)补全上述解题过程； 【方法应用】 (2)如图③，在中，，，点，在边上，且．若，，则线段的长为____________； 【拓展提升】 (3)如图④，在中，，于点．若，，则的面积为____________． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】[问题解决] 将绕点逆时针旋转，证、、共线，再证求解． [方法应用] 将绕点逆时针旋转，构造用勾股定理求，再证得． [拓展提升] 将绕点逆时针旋转，证四边形为正方形，再证得，在中列勾股定理方程求． 【详解】（1）解：∵是绕点逆时针旋转得到的， ∴．，，． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴、、在同一直线上， ． ， ， ． 在和中， ，，， ， ． （2）解：将绕点逆时针旋转得到，连接． 在中，，， ． 旋转， ，，，． ． ， ， ． 在和中， ，，， ， ． 在中，，，， ， ． （3）解：将绕点逆时针旋转得到，延长交于点E，连接， ， ． 旋转， ，，，，． ，，， 四边形是矩形． 又， 四边形是正方形， ，． ， ． 旋转，． 在和中， ，，， ， ． ， ． 设，则正方形的边长为． ，． 在中，， ， ， 或（不合题意，舍去）， ． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学期中考试模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 测试范围：人教版九年级上册第25-28章。 一﹑单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列四个图形中，是中心对称图形的为（     ） A． B． C． D． 2．二次函数的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 3．对于一元二次方程，该方程根的情况为（） A．没有实数根 B．两根之和是 C．两根之积是 D．有两个不相等的实数根 4．电影《浪浪山小妖怪》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，全国第一天票房约0.5亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达2亿元，设增长率为，则方程可以列为（    ） A． B． C． D． 5．下列问题中的变量之间的关系，可以用反比例函数（为常数，）表示的是（     ） A．苹果的单价一定，购买的数量（千克）与总价（元） B．圆柱体的体积一定，它的底面积（平方分米）与高（分米） C．计划种植的树木总数一定，已种植的数量（棵）与未种植的数量（棵） D．汽车的速度一定，行驶的时间（小时）与路程（千米） 6．当三角形的面积为时，底与该底边上的高之间的函数关系的图象是（    ） A． B． C． D． 7．把一根长为的铁丝弯成一个长方形，设这个长方形的一边长为，它的面积为，则与之间的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 8．已知是关于的二次函数，那么的值为（     ） A． B．2 C． D．0 9．将方程化为一元二次方程的一般式，正确的是（     ） A． B． C． D． 10．如图所示，在平面直角坐标系中，点坐标为，为等腰直角三角形，且，点是线段的中点，将绕点以每秒的速度顺时针旋转，则第秒时点的坐标为（    ） A． B． C． D． 11．如图，二次函数与x轴交于点、，与y轴交于点，其中．则下列结论： ①；②方程没有实数根；③；④．其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点与原点重合，顶点，分别在轴、轴上，反比例函数的图象与正方形的两边，分别交于点，，轴，垂足为，连接，，，与相交于点，直线与轴、轴分别交于点，．下列结论：①；②四边形与面积相等；③若，则；④若，，则直线的函数解析式为．其中结论正确的序号为（     ） A．①③④ B．①②④ C．②④ D．①② 二﹑填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．若m、n是方程的两个根，则________． 14．在平面直角坐标系中，为原点，点在第二象限，且．若反比例函数的图象经过点，则的取值范围是______． 15．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④，正确的是________． 16．已知如图，在菱形中，，点P是上一点且．将绕点 B 顺时针旋转得到，连接交于点O、连接，则的长为__________． 三、解答题（本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）解方程： (1)； (2)． 18．（8分）已知与成反比例，且当时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当时，求y的值． 19．（10分）如图，二次函数的图象经过、两点． (1)求这个二次函数解析式； (2)点为坐标平面内一点，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 20．（10分）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长，篱笆长．设垂直于墙的边长为米，平行于墙的边为米，围成的矩形面积为． (1)求与，与的关系式，并求出的取值范围． (2)围成的矩形花圃面积能否为，若能，求出的值． (3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的值． 21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求和的值； (2)点是轴上一点，连接，且，求点的坐标． (3)观察图象，直接写出不等式的解集． 22．（12分）某商家为深圳大运会议提供制作纪念品所需的环保树脂．今年三月份该环保树脂供应千克，四、五两个月供应量的月平均增长率相同，五月份供应量达到千克． (1)求四、五两个月供应量的月平均增长率； (2)从六月起，该商家将同款环保树脂面向其他生产商供货，采用降价促销方式．经调查，每千克降价元，月供应量增加千克．已知该环保树脂每千克盈利元，且以五月份供应量千克为基准．当每千克降价多少元时，商家六月份能获利元？ 23．（12分）【问题呈现】某同学在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题；如图①，，分别是正方形的，边上的动点，连接，和，．若，，试求的长度． 【问题解决】该同学的思路是：如图②，将绕点逆时针旋转，可以得出和全等，然后再证明，从而得到．请你帮助该同学完成余下的解题过程． ∵是绕点逆时针旋转得到的， ∴．，，． ∵四边形是正方形，∴， ∴，∴、、在同一直线上， …… (1)补全上述解题过程； 【方法应用】 (2)如图③，在中，，，点，在边上，且．若，，则线段的长为____________； 【拓展提升】 (3)如图④，在中，，于点．若，，则的面积为____________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级上学期数学期中考试模拟卷 参考答案 一、单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。) 1 2 4 5 7 8 9 10 11 12 C B A D B O A B D C B 二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分.） 13.-2 14.0≤k<1 15.①②④ 16V分 三、解答题（本题共7小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(8分)(1)解：2x2-8x-1=0 ,a=2,b=-8,c=-1, :△=B-4ac=(-82-4×2xl=72>0 片-生-4ec8±历4牡35 2a 2×2 2, :专43v2 4-3V2 2， 2 (2)解.3x-2)2=x-2) 移项得，3x-29-c-2)=0 因武分解得，（《-23(x-2)-0,即c-22x-6-0」 .x-2=0或2x-6=0, 第1页共9页 解得=2七=3 18分)解：设y-3车2k:0, 因为当x=2时，y=7, 所以7-3=k 2+2” 解得：k=16, 少-3=16 x+2, 即y与之间的函数关系式为少=16 +3 x+ (2)解：当r=6时，y=6+)+ -+3=5 19,(10分》（1)解：：二次函数=m+:的图象经过1-月、B4,0)两点 (1 a= 3 a+b=-1,解得 16a+4b=0 3 :=次函数的解折式为y写-子。 (2)解：设点M坐标为 x,y) A1,-1)B(4,0) 当AB为对角线时，则1+4=x+0,-1+0=y+0, x=5,y=-l, M(5,-1) 点 当A0为对角线时，1+0=x+4,-1+0=y+0 第2页共9页 .x=-3,y=-1, 点M(3-) 当AM为对角线时，4+0=x+1,-1+y=0+0, x=3,y=1, 点M(3) 综上所述：M的坐标为B,)（3-)5-) 20.(10分)(1)解：，篱笆长80m, .AB+BC+CD=80. AB=CD=x,BC=y, .x+y+x=80 y=80-2x, 墙长42m, .0<80-2x≤42， 解得：19≤x<40. .y=80-2x(19≤x<40), 矩形面积S=BC·AB, ..S=y.x, :S=(80-2x)x .S=-2x2+80x(19≤x<40): (2)解：能，x=25,理由如下， 令S=750,则-2x2+80x=750,整理得：x2-40x+375=0, 第3页供9页 此时， △=b2-4ac=(-40)-4×1×375=1600-1500=100>0 ∴.一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴.围成的矩形花圃面积能为750cm2, :=40)±vi00 2 :=255=15 ,19≤x<40 .x=25: (3)解：存在，S的最大值为800，此时x=20,理由如下， S=-2x2+80x=-2(x-20)2+800 -2<0. S有最大值， 又19≤x<40, ∴当x=20时，S取得最大值，此时S=800, 即当x=20时，S的最大值为800 21.(10分)(1)解：.点 4，m在直线'=x+2上 .m=3, 点的坐标为 ,3) 又，点4也在反比制同数y上 .k=1×3=3 (2)解：“点P是轴上一点，连接4P, ,且 ，如图， 第4页/供9页 B O BP-y=6 .2 ·40,3) BPx3=6, .2 .BP=4, :直线y=x+2, 当y=0时，则x=-2, 点B的坐标为(-2,0)： 当P在B右侧时， -2+4=2, .P(2,0) 当P在B左侧时， -2-4=6, ∴P(-6,0) 综上所述， P的坐标为2,0)度-60) (3)解：由图象可知，关于x+2≥ 的解集为：x≥1 22.(12分)(1)解：设四、五两个月供应量的月平均增长率为x,根据题意得： 128(1+x)2=200 0+小器急。 第5页共9页 .1+x= 4或1+xs-5 4 9 故x=0,25=25%,名=一4（不符合题意，舍去）· 答：四、五两个月供应量的月平均增长率为25%： (2)解：设每千克降价y元，根据题意得： (15-y)(200+5y)=2250 即广+25y-150=0 解得片=5⅓=-30 (不符合题意，舍去)， 答：当每千克降价5元时，商家六月份能获利2250元. 23.(12分)(1)解：：△ADE是△ABE绕点A逆时针旋转90°得到的， .△ADE'≌△ABE.∠BAE=∠DAE',AE=AE',BE=DE=2. ,四边形ABCD是正方形， .∠BAD=90°=∠ADF=∠B=∠ADE', .∠ADE'+∠ADC=180°， .E、D、F在同一直线上， .EF=E'D+DF=2+3=5, .∠EAF=45°， ∴.∠EAF=∠EAE'-∠EAF=90°-45°=45°」 ..∠EAF=∠EAF 在△AEF和△AE'F中， AE=AE,∠EAF=∠EAF,AF=AF, :∴.△AEF≌△AE'F(SAS) .EF=E'F=5」 (2)解：将△ACD绕点C逆时针旋转90°得到△BCF,连接EF. 第6页/共9页 在 中， D Rt△ACB ∠ACB=90°CA=CB .∠CAB=∠CBA=45°. 旋转， ∴.CF=CD,BF=AD=2,∠DCF=90°，∠CBF=∠CAD=45° .∠EBF=∠CBA+∠CBF=45°+45°=90° ∠DCE=45°， .∠FCE=∠DCF-∠DCE=90°-45°=45」 ∴.∠DCE=∠FCE 在△DCE和△FCE中， CD=CF.∠DCE=∠FCE,CE=CE, ,∴.△DCE≌aFCE(SAS) :DE EF. 在RtABEF中，∠EBF=90°，BE=3,BF=2, ..EF=BE2+BF2=9+4=13 .DE =13 (3)解：将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△AF,延长F吧，BC交于点E,连接CD, A B DC E .·AD⊥BC ∴.∠ADB=90° 旋转， .AF=ADF9=BD=3∠AFQ=∠ADB=90°∠FAD=90°∠FAQ=∠BAD 第7页供9页 :∠FAD=90°∠AF9=90°∠ADE=90° ∴四边形ADEF是矩形. 又：AF=AD, .四边形ADEF是正方形， .FE=DE=AD,∠E=90° :∠CAQ=∠DAQ-∠DAC=(∠FAD-∠FAQ)-∠DAC =(90°-∠BAD)-∠DAC =90°-∠BAC =45°， ∴.∠BAC=∠CAQ=45° “旋转， AQ=AB 在△BAC和△QAC中， AB=AQ∠BAC=∠DAC AC=AC ∴△BAC2△QAC(SAS) ..BC=OC :BC=BD+CD=3+2=5, .0C=5 设AD=x,则正方形ADEF的边长为x, ..QE=FE-FO=x-3 CE=DE-CD=x-2 在RIACOE中，∠E=90°， ∴QC2=QE2+CE2 ∴25=(x-3)2+(x-2)2 第8页共9页 x=6或x=-1(不合题意，舍去)， ..AD=6 及m-Cx4D=x5x6=15. 第9页共9页