精品解析：广东汕头市潮阳区铜盂贵屿联考2026-2027学年九年级上学期10月期中数学试题

2026-2027学年度第一学期 九年级数学期中试卷 （时间：120分钟满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列式子是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、是整式，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、，含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、整理得：是一元二次方程，故本选项符合题意； D、未知数的最高次数为1，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程称为一元二次方程是解题的关键． 2. 抛物线与y轴的交点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将x=0代入抛物线解析式，求出相应的y的值，即可得到抛物线y=x2-1与y轴的交点坐标． 【详解】解：∵抛物线y=x2-1， ∴当x=0时，y=-1， 即抛物线y=x2-1与y轴的交点坐标是（0，-1）， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确抛物线与y轴的交点就是x=0时y的值． 3. 若点在反比例函数的图象上，则m的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，将点代入反比例函数，即可求出m的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴． 故选：A． 4. 方程的根的情况为（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】将原方程整理为一般形式，然后根据一元二次方程的根的判别式分析判断即可． 【详解】解：将方程整理为一般形式， 可得， ∵， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了判断一元二次方程的根的情况，理解并掌握一元二次方程的根的判别式是解题关键． 5. 抛物线的部分图像如图所示，它与轴的一个交点坐标为，对称轴为，则它与轴的另一个交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据二次函数与轴的交点关于对称可得结果． 【详解】解：∵抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴为， ∴， ∴， ∴它与轴的另一个交点坐标为， 故选：D． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键． 6. 如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于、两点，点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数图象的中心对称性，反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，由此可解． 【详解】解：反比例函数的图象与经过原点的直线相交于、两点， 、两点关于原点对称， 点的坐标为， 点的坐标为． 故选D． 7. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据一元二次方程根的判别式解答即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， 且， ∵， ∴， 解得， 由得， 的取值范围是且． 8. 对于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象不可能与坐标轴相交 B. 它的图象在第一、第三象限 C. y随x的增大而增大 D. 图象必经过点 【答案】A 【解析】 【分析】根据k的符号判断反比例函数的图象位置和增减性，再结合反比例函数图象上点的坐标特征逐一判断选项即可． 【详解】解：反比例函数解析式为，其中． ∵，且， ∴图象不可能与坐标轴相交，A正确． ∵，∴图象在第二、第四象限，B错误． ∵时，仅在每个象限内，随的增大而增大，∴C错误． 将代入解析式，得，∴点不在图象上，D错误． 9. 已知二次函数（为常数，且）的图象上有四点，，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征可以解答本题，本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质． 【详解】解：∵点，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴， 故选：B． 10. 对于实数a，b定义一种新运算“★”如下：，若，则实数m等于（ ） A. 6 B. 2 C. 2或 D. 2或或6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查新定义，一元二次方程解法．分两种情况讨论：当时，当时，再分别根据新定义列出方程，再解方程即可． 【详解】解：当时，则，解得：，不符合题意，舍去； 当时，则， 解得：，（舍去）， ∴， 综上，， 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的解是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，掌握因式分解法是关键． 通过移项将方程化为标准形式，然后因式分解，利用零乘积性质求解． 【详解】解：化为一般式得，， ∴因式分解得，， ∴， 故答案为：． 12. 已知二次函数y=x2+bx+3的对称轴为x=2，则b=____． 【答案】-4 【解析】 【详解】解：由对称轴公式得=2， 求得b=-4． 故答案为：-4． 13. 如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据图象中直线在抛物线上方的x的取值范围求解． 【详解】解∶ 当时，抛物线在直线上方， 的解集为，即的解集为， 故答案为∶． 【点睛】本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是将不等式转化为图象问题． 14. 如图是一个数值运算的程序， 若输出y的值为2，则输入的值____ 【答案】 【解析】 【分析】设输入的数是x，根据题意得出方程，求出x即可． 【详解】解：设输入的值为x， 则根据题意得：， ， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了对平方根的应用，关键是能根据题意得出方程． 15. 如图，点A、B是反比例函数y＝（x＞0）图象上的两点，且A、B两点的纵坐标分别为2和1，C在x轴上，AC＝BC，∠ACB＝90°，则k＝_____． 【答案】6 【解析】 【分析】过点A作AG⊥x轴于点G，过点B作BH⊥x轴于点H，易证△AGC≌CHB，根据全等三角形的性质，可得GC和CH的值，根据A、B的纵坐标，表示出横坐标，列方程求解即可． 【详解】过点A作AG⊥x轴于点G，过点B作BH⊥x轴于点H，如图所示， 则有∠AGC=∠CHB=90°， ∴∠GAC+∠GCA=90°， ∵∠ACB=90°，AC=BC， ∴∠ACG+∠HCB=90°， ∴∠GAC=∠HCB， ∴△AGC≌CHB（AAS）， ∴AG=CH=2，GC=BH=1，∴GH=3 ∵A、B在反比例函数的图象上， ∴，B（k,1）， ∴, ∴k=6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，设计等腰直角三角形的性质，构造全等三角形是解题的关键． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 16. 用配方法将二次函数化为的形式，并写出该函数图象的对称轴和顶点坐标． 【答案】，对称轴为直线，顶点坐标为 【解析】 【详解】解：∵ ， ∴该函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为． 17. 已知关于x方程，若该方程的一个根为3，求a的值及该方程的另一根． 【答案】，方程的另一根为：． 【解析】 【分析】将3代入方程即可求出a的值，再将a的值代入方程解方程即可求出另一根． 【详解】解：∵该方程的一个根为3， ∴，解得：， 将代入方程可得：， 解得：，， ∴方程的另一根为：． 【点睛】本题考查一元二次方程根的概念以及解一元二次方程，解题的关键是理解根的概念，会解一元二次方程． 18. 二次函数的图象与轴交于，两点，其中点坐标为． （1）求点的坐标和的值； （2）当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）点的坐标为， （2）的取值范围为1 【解析】 【分析】本题考查的是抛物线与轴的交点，二次函数的性质． （1）根据二次函数的对称性即可求得点坐标，再把点坐标代入解析式可求出的值； （2）根据二次函数的性质结合函数图象可得结论． 【小问1详解】 解：二次函数的对称轴为直线，点坐标为， 点的坐标为， 把点坐标代入得，， 解得； 【小问2详解】 ∵，二次函数的图象与轴交点为和， 当时，的取值范围为． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，某隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，隧道顶端D到路面的距离为，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）现需在这一隧道内壁上安装摄像头，即在该抛物线上确定一点安装摄像头（大小忽略不计）．已知摄像头到的水平距离为，求摄像头到地面的竖直距离． 【答案】（1） （2）摄像头到地面的竖直距离为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用； （1）先求出抛物线顶点坐标，再按顶点式设出抛物线解析式，代入解析式； （2）令，求出，即可求解． 【小问1详解】 解：依题意，该抛物线的顶点坐标为，点的坐标为， 设抛物线解析式为， 代入得，， 解得： ∴该抛物线的函数解析式为 【小问2详解】 解：依题意，当时， 答：摄像头到地面的竖直距离为 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k为何值，这个方程总有两个不相等的实数根； （2）已知的斜边的长为5，是否存在实数k，使的两直角边，的长是这个一元二次方程的两个实数根？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：， 无论k为何值，这个方程总有两个不相等的实数根． （2）解：不存在．理由如下： 斜边， 由勾股定理得， ，的长是方程的两个实数根， ，， ， ， ， ， ，， 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意， 不存在实数k，使的两直角边的长是这个一元二次方程的两个实数根． 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程判别式公式证明即可； （2）利用韦达定理写出两根和、两根积，结合勾股定理和完全平方公式构造关于k的方程，求出k之后，再根据边长是正数检验，舍去不符合的解，得出不存在的结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 为预防“手足口病”，某班对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分钟）成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为12mg．据以上信息解答下列问题： （1）求药物燃烧时y与x的函数关系式； （2）求药物燃烧后y与x的函数关系式； （3）当每立方米空气中含药量不低于5mg时，对病毒有作用，求对病毒有作用的时间有多长？ 【答案】（1） （2） （3）对病毒有作用的时间长为分钟 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际问题，掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法求正比例函数解析式即可； （2）利用待定系数法求反比例函数解析式即可； （3）根据题意列不等式组，求出不等式组的解集即可解题． 【小问1详解】 解：设药物燃烧时的函数解析式为， 由题意得：，解得：， 燃烧时的函数关系式为； 【小问2详解】 解：设燃烧后函数解析式为， 由题意得：，解得：， 燃烧后的函数关系式为； 【小问3详解】 解：由题意得： 解得：， （分钟）， 答：对病毒有作用的时间长为分钟． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22. 阅读材料：已知方程，且，求的值． 解：由，及可知，，又∵，∴． ∵可变形为，根据和的特征． ∴、是方程的两个不相等的实数根，则，即． 根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答． 已知：，，且，求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系及利用完全平方公式变形求解，若一元二次方程的两根为、，则，，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． （1）由题意可知：可以将方程化简为的形式，可得、是一元二次方程的两个根，根据根与系数的关系直接得的值； （2）将变形为，根据根与系数的关系得出，，可得，，代入求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∴、是方程的两个根， ∴． 【小问2详解】 解：∵、是方程的两个根， ∴，， ∴，， ∴． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，点B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，，，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为抛物线上第一象限一动点，连接，，设点P横坐标为t，面积为S，求S与t之间的函数关系式（不要求写出t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，点D为抛物线的顶点，连接，，，与相交于点Q，若，求S的值． 【答案】（1） （2） （3）6 【解析】 【分析】（1）把已知点，代入抛物线解析式，得到二元一次方程组，解方程组求出b，c，得到抛物线解析式； （2）先求出B点坐标，算出直线解析式，设动点，过P作竖直线交于H，用两点纵坐标之差求出，利用面积公式得到，化简得到S关于t的函数关系式； （3）先求出抛物线顶点D、直线解析式，利用角度相等转化，得到相等角，求出直线的斜率，得到解析式，联立直线与抛物线方程，求出第一象限内动点P的横坐标t，把t代入第（2）问的面积表达式，算出S的值． 【小问1详解】 解：将点，代入得，解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：令得， ， ，， ， 设直线的解析式为， 将代入得，解得， 直线的解析式为， 点Р在抛物线上， ， 如图，过点P作轴，交延长线于点H，则， ， ， ， S与t的函数关系式为； 【小问3详解】 解：如图，过点C作交x轴于点K，延长交x轴于点N， ， 又，， ， ， 顶点D坐标为， 设直线的解析式为， 将代入得，解得， 直线的解析式为， 直线与x轴的交点N为， ，， ， ，， ， ， 点K的坐标为， 设直线的解析式， 将代入得，解得， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将代入得，解得， 直线的解析式为， 联立抛物线与直线：得， ， ， ，， 点， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期 九年级数学期中试卷 （时间：120分钟满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列式子是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线与y轴的交点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 若点在反比例函数的图象上，则m的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 4. 方程的根的情况为（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 5. 抛物线的部分图像如图所示，它与轴的一个交点坐标为，对称轴为，则它与轴的另一个交点坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于、两点，点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 8. 对于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象不可能与坐标轴相交 B. 它的图象在第一、第三象限 C. y随x的增大而增大 D. 图象必经过点 9. 已知二次函数（为常数，且）的图象上有四点，，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 对于实数a，b定义一种新运算“★”如下：，若，则实数m等于（ ） A. 6 B. 2 C. 2或 D. 2或或6 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的解是_____． 12. 已知二次函数y=x2+bx+3的对称轴为x=2，则b=____． 13. 如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是___________． 14. 如图是一个数值运算的程序， 若输出y的值为2，则输入的值____ 15. 如图，点A、B是反比例函数y＝（x＞0）图象上的两点，且A、B两点的纵坐标分别为2和1，C在x轴上，AC＝BC，∠ACB＝90°，则k＝_____． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 16. 用配方法将二次函数化为的形式，并写出该函数图象的对称轴和顶点坐标． 17. 已知关于x方程，若该方程的一个根为3，求a的值及该方程的另一根． 18. 二次函数的图象与轴交于，两点，其中点坐标为． （1）求点的坐标和的值； （2）当时，直接写出的取值范围． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，某隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，隧道顶端D到路面的距离为，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）现需在这一隧道内壁上安装摄像头，即在该抛物线上确定一点安装摄像头（大小忽略不计）．已知摄像头到的水平距离为，求摄像头到地面的竖直距离． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k为何值，这个方程总有两个不相等的实数根； （2）已知的斜边的长为5，是否存在实数k，使的两直角边，的长是这个一元二次方程的两个实数根？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由． 21. 为预防“手足口病”，某班对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分钟）成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为12mg．据以上信息解答下列问题： （1）求药物燃烧时y与x的函数关系式； （2）求药物燃烧后y与x的函数关系式； （3）当每立方米空气中含药量不低于5mg时，对病毒有作用，求对病毒有作用的时间有多长？ 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22. 阅读材料：已知方程，且，求的值． 解：由，及可知，，又∵，∴． ∵可变形为，根据和的特征． ∴、是方程的两个不相等的实数根，则，即． 根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答． 已知：，，且，求下列各式的值： （1）； （2）． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，点B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，，，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为抛物线上第一象限一动点，连接，，设点P横坐标为t，面积为S，求S与t之间的函数关系式（不要求写出t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，点D为抛物线的顶点，连接，，，与相交于点Q，若，求S的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $