精品解析：广东珠海市第一中学教育集团2026-2027学年第一学期期中质量检测初三数学试卷

珠海市第一中学教育集团2026-2027学年第一学期期中质量 检测初三数学试卷 满分：120分 考试时间：120分钟 一、单选题（共10题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 方程的根的情况是（ ） A. B. C. ， D. 无实数根 4. 如图，反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的值可以是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 5 5. 对于抛物线的图象，下列判断正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的顶点坐标是 C. 对称轴是直线 D. 当时，随增大而增大 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 7. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 把抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线，则b，c的值分别是（ ） A. B. C. D. 9. 某电池厂2025年1～5月份的电池产量如图所示．设从2月份到4月份，该厂电池产量的月平均增长率为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象如图所示，顶点坐标为，图象与轴交点的纵坐标是2，与轴的一个交点在和之间（不含端点），则下列结论：①；②方程有一个根在和0之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④；⑤．其中正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（共5题，每小题3分，共15分） 11. 方程的解是_____． 12. 若反比例函数的图象分布在第一、三象限内，则写出一个符合条件的值______． 13. 若抛物线的最小值是2，则_________． 14. 若、是一元二次方程的两个根，则的值为_________． 15. 如图所示，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于B、A两点，点P是线段上一点，连接，且，若双曲线过点P，则________． 三、解答题（共3题，每题7分，共21分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 已知点在反比例函数的图象上． （1）求这个反比例函数的表达式． （2）判断点和点是否在这个反比例函数的图象上． 18. 若是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）求出实数的取值范围； （2）若方程的两个实数根满足，求的值． 四、解答题（共3题，每题9分，共27分） 19. 如图，一条隧道的横截面由一段抛物线和矩形的三条边围成，矩形的长为，宽为，隧道的最高点P距地面． （1）在如图所示的直角坐标系中，求抛物线的表达式． （2）一辆货车高为，宽，能否从该隧道通过？请说明理由． （3）在（2）的条件下，若该隧道内设双车道，那么这辆货车能否通过？请说明理由． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，与y轴交于点C，连接． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求的面积； （3）请根据图象直接写出不等式的解集． 21. 某公司生产一种产品供应市场，每件产品的制造成本为元．市场调研发现，每月销售量（单位：万件）与销售单价（单位：元）之间的关系满足． （1）写出公司每月获得的利润 （万元）关于销售单价的函数解析式； （2）当销售单价为多少时，公司每月获得的利润为万元？ （3）若公司每月的制造成本不超过万元，当销售单价为多少时，公司每月获得的利润最大？最大利润为多少？ 五、解答题（共2题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 已知抛物线，点为平面直角坐标系原点，点坐标为． （1）若抛物线过点，求该函数图象的对称轴与顶点坐标． （2）在（1）的条件下，当时函数的最大值为，最小值为，求的值． （3）若抛物线与线段只有一个交点，求的取值范围． 23. 已知：二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点在抛物线上． （1）求，两点的坐标； （2）抛物线的对称轴上有一点，使周长最小，求点坐标； （3）为直线下方抛物线上一点，求面积的最大值； （4）抛物线的对称轴上有一动点，当是以边为腰的等腰三角形时，直接写出点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 珠海市第一中学教育集团2026-2027学年第一学期期中质量 检测初三数学试卷 满分：120分 考试时间：120分钟 一、单选题（共10题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一元二次方程就是‌只含有一个未知数、未知数最高次数是的整式方程‌． 【详解】解：A、中含有两个未知数，故不是一元二次方程； B、不是整式方程，故不是一元二次方程； C、符合一元二次方程的定义； D、中未知数的最高次数不是，故不是一元二次方程． 2. 下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：形如（是常数且）的函数叫作反比例函数， 符合y是x的反比例函数的是选项C； 选项A是一次函数； 选项B中x的次数是2，x的次数应该是1； 选项D是二次函数． 3. 方程的根的情况是（ ） A. B. C. ， D. 无实数根 【答案】C 【解析】 【分析】先移项，把常数项移到右边，再直接开平方，求出两个根． 【详解】解：移项得， 开平方得， 即，． 4. 如图，反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的值可以是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】先根据图象位置列出不等式，求出，再对照选项选出符合范围的值． 【详解】解：反比例函数图象位于第二、四象限， ， ． 5. 对于抛物线的图象，下列判断正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的顶点坐标是 C. 对称轴是直线 D. 当时，随增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的图象性质逐一判断即可． 【详解】解：A：在中，，函数图象开口向下，故A错误； B：抛物线的顶点坐标是，故B错误； C：对称轴是直线，说法正确，故C正确； D：，函数图象开口向下，对称轴为直线，当时，随增大而减小，故D错误． 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】利用根的判别式判断一元二次方程根的情况． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根． 7. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 把，，代入，求出的值，再比较大小即可． 【详解】解：点，，都在反比例函数的图象上， ， ， ， 故选：D． 8. 把抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线，则b，c的值分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将平移后的抛物线反向平移得到原抛物线，化为一般式即可求得，的值． 【详解】解：， 将该抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到原抛物线， 原抛物线解析式为， 整理得， ∴，． 9. 某电池厂2025年1～5月份的电池产量如图所示．设从2月份到4月份，该厂电池产量的月平均增长率为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设从2月份到4月份，该厂电池产量的月平均增长率为，从折线统计图获取数据列出一元二次方程即可． 【详解】解：设从2月份到4月份，该厂电池产量的月平均增长率为，根据题意得 ． 10. 已知二次函数的图象如图所示，顶点坐标为，图象与轴交点的纵坐标是2，与轴的一个交点在和之间（不含端点），则下列结论：①；②方程有一个根在和0之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④；⑤．其中正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】由图象可得出，，由对称轴可得出，进而可判断①，由抛物线的对称性可判断②，方程等于抛物线与直线的交点， 由图象可得出，进而可判断③，由②可知，当时，， 代入，即可判断④，先得出，根据当时，，得出关于a的取值范围，进而可得出n的取值范围． 【详解】解：由图象可知抛物线开口向下， ∴， ∵图象与轴交点的纵坐标是2， ∴， ∵顶点坐标为， ∴对称轴为直线， ∴， ∴，故①正确； ∵对称轴为直线，且一个交点满足在， ∴，， ∵， ∴，故②正确； 方程的根等于抛物线与直线的交点横坐标， 由图象可知：， ∴直线在顶点下方， ∵抛物线开口向下， ∴抛物线与直线必有两个交点， 则方程一两个不相等的实数根，故③正确； ∵，即， ∴， ∵， ∴， 由②可知，当时，， ∴即， ∴， ∴，故④错误； ∵，，， ∴， 由函数图象可知：当时，， 即， ∴， 解得：， 则， ∴ 即，故⑤正确， 综上：①②③⑤正确． 二、填空题（共5题，每小题3分，共15分） 11. 方程的解是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，掌握因式分解法是关键． 通过移项将方程化为标准形式，然后因式分解，利用零乘积性质求解． 【详解】解：化为一般式得，， ∴因式分解得，， ∴， 故答案为：． 12. 若反比例函数的图象分布在第一、三象限内，则写出一个符合条件的值______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题主要考查反比例函数图象的性质,反比例函数（k是常数，）的图象在第一，三象限，则，符合上述条件的即可． 【详解】反比例函数的图象在第一，三象限，则，即 故答案为：（答案不唯一）． 13. 若抛物线的最小值是2，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】将二次函数解析式通过配方法转化为顶点式，结合开口向上的二次函数最小值为顶点纵坐标的性质列方程求解． 【详解】解：∵二次项系数为，抛物线开口向上，函数的最小值为顶点的纵坐标， ∴． ∵， ∴当时，取得最小值， 即， 解得或． 14. 若、是一元二次方程的两个根，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】将所求代数式通分变形为含两根之和、两根之积的形式，结合一元二次方程根与系数的关系求出对应值，代入计算即可． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根， ∴，， ∵， ∴将，代入， 可得． 15. 如图所示，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于B、A两点，点P是线段上一点，连接，且，若双曲线过点P，则________． 【答案】 【解析】 【分析】设 ，首先利用一次函数的性质求出的坐标，进而求出、的长，再根据列方程求的值，进而确定k的值． 【详解】解：设 ， 直线 分别与轴、轴交于、两点， 点的坐标为，点的坐标为， ，， ， ， ， 解得， ． 把代入，得 ． 三、解答题（共3题，每题7分，共21分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【分析】（1）先求出，再求出，然后根据求根公式解答即可； （2）先化为一元二次方程的一般形式，再根据求根公式解答． 【小问1详解】 解：， 由， ∵， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：整理为， 由， ∵， ∴， ∴，． 17. 已知点在反比例函数的图象上． （1）求这个反比例函数的表达式． （2）判断点和点是否在这个反比例函数的图象上． 【答案】（1） （2）点在该反比例函数的图象上，点不在该反比例函数的图象上． 【解析】 【分析】（1）将代入求解即可； （2）分别将和代入判断即可． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴这个反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：将代入，得， ∴点在该反比例函数的图象上； 将代入，得， ∴点不在该反比例函数的图象上． 18. 若是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）求出实数的取值范围； （2）若方程的两个实数根满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，再结合题意即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得， ， 解得； 【小问2详解】 解：由题意得，， ∵ ， 解得，符合题意． 四、解答题（共3题，每题9分，共27分） 19. 如图，一条隧道的横截面由一段抛物线和矩形的三条边围成，矩形的长为，宽为，隧道的最高点P距地面． （1）在如图所示的直角坐标系中，求抛物线的表达式． （2）一辆货车高为，宽，能否从该隧道通过？请说明理由． （3）在（2）的条件下，若该隧道内设双车道，那么这辆货车能否通过？请说明理由． 【答案】（1） （2）能通过，理由如下： 解：令，则有， 解得，， ， ∴货车可以通过； （3）能通过，理由如下： 由（2）可知， ∴货车可以通过． 【解析】 【分析】（1）设出抛物线的解析式，根据抛物线顶点坐标，代入解析式； （2）令，解出x的值，然后将与车宽作比较即可求解； （3）隧道内设双行道后，将（2）求出时的抛物线线上两点的距离与2个车宽作比较． 【小问1详解】 解：由题意可知抛物线的顶点坐标， 设抛物线的方程为， ∵点在抛物线上， ∴． ∴． ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，与y轴交于点C，连接． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求的面积； （3）请根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1）反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题 （1）根据待定系数法，可得反比例函数解析式，根据图象上的点满足函数解析式，可得点坐标，再根据待定系数法，可得一次函数的解析式； （2）根据三角形面积的和差，可得答案； （3）根据函数图象，即可列出不等式的关系，从而得解． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得， ∴反比例函数的表达式为； ∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得或（舍去）， ∴点， ∵点，在一次函数图象上， ∴， 解得， ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：点为直线与轴的交点， ． ． 【小问3详解】 解：∵ ∴ 由图象得：或． 21. 某公司生产一种产品供应市场，每件产品的制造成本为元．市场调研发现，每月销售量（单位：万件）与销售单价（单位：元）之间的关系满足． （1）写出公司每月获得的利润 （万元）关于销售单价的函数解析式； （2）当销售单价为多少时，公司每月获得的利润为万元？ （3）若公司每月的制造成本不超过万元，当销售单价为多少时，公司每月获得的利润最大？最大利润为多少？ 【答案】（1），其中 （2）或 （3）当销售单价为元时，获得最大利润，最大利润为万元 【解析】 【分析】（1）根据题意求出单件利润，进而求出总利润，同时结合实际意义求出销售单价范围． （2）由（1）可知，根据题意可知，解方程即可． （3）根据题意求出总的制造成本，从而求出，然后在此范围内求出最大值即可． 【小问1详解】 解：根据题意，单件利润为元，每月销售量为万件， 总利润， 整理得， 结合实际意义销售单价大于制造成本为元，即 且每月销售量，即解得， ∴函数解析式，其中． 【小问2详解】 解：根据题意，公司每月获得的利润为万元， ∴，即， 整理得， ， 或， 解得，， 由（1）可知，符合题意， ∴当销售价格为元或元时，公司每月获得的利润为万元． 【小问3详解】 解：每件产品的制造成本为元，每月销售量， ∴每月制造成本为， ∵公司每月的制造成本不超过万元， ∴， 解得， 由（1）可知， ∴， ， ， 二次函数开口向下，对称轴， 当范围内，随着增大而减小， 当时，该范围在对称轴右侧，随着增大而减小， ∴当时，取最大值， ， 答：当销售单价为元时，公司每月获得的利润最大，最大利润为万元． 五、解答题（共2题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 已知抛物线，点为平面直角坐标系原点，点坐标为． （1）若抛物线过点，求该函数图象的对称轴与顶点坐标． （2）在（1）的条件下，当时函数的最大值为，最小值为，求的值． （3）若抛物线与线段只有一个交点，求的取值范围． 【答案】（1）对称轴为直线，顶点坐标为 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数图像与性质，函数与方程的关系，二次函数最值，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）利用待定系数法求得解析式为，再根据二次函数的性质即可求解； （2）当时，由开口方向和对称轴知函数最小值取在当时， 再分别求出当时的函数值，确定最大值即可； （3）根据题意得的解析式为，，顶点为，分两种情况：当时，原点在上方，顶点在线段下方，当时，原点在上方，在下方，根据抛物线与线段只有一个交点分别讨论即可求解． 【小问1详解】 解：将代入， 得， 解得， 即：抛物线的解析式为：， ∴对称轴为直线，顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵且对称轴为直线， ∴当时，函数最小值取在当时，为， 当时，随增大而减小，当时，随增大而增大， 当时，，当时，， 则当时函数的最大值为， 即：，， ； 【小问3详解】 解：点坐标为， 的解析式为， ，则顶点为， 若，则，若，则， 当时，原点在上方，顶点在线段下方， 要使抛物线与线段只有一个交点，需使得在上方， ，解得； 当时，原点在上方，在下方， 要使抛物线与线段只有一个交点，只需要使得有两个相等的解， 即：有两个相等的解，且该解在0到4之间， ， ， 解得：， 又，则， ， ； 综上，抛物线与线段只有一个交点时，或． 23. 已知：二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点在抛物线上． （1）求，两点的坐标； （2）抛物线的对称轴上有一点，使周长最小，求点坐标； （3）为直线下方抛物线上一点，求面积的最大值； （4）抛物线的对称轴上有一动点，当是以边为腰的等腰三角形时，直接写出点坐标． 【答案】（1）， （2） （3） （4）或或或 【解析】 【分析】（1）令函数，解一元二次方程，即可得到抛物线与轴的交点、的坐标； （2）利用，两点关于对称轴对称，将转化为，连接与对称轴的交点即为点，求出直线的解析式，再令即可求出点坐标； （3）过点作轴，交于点，根据直线的解析式，设点的坐标为，则点的坐标为，表示出，然后求出最大值即可； （4）设点的坐标为，表示出、，然后分、两种情况进行讨论即可． 【小问1详解】 解：对于， 令，可得， 可得， 解得，， 故点的坐标为，点的坐标为． 【小问2详解】 解：连接交抛物线对称轴于点，连接， 对于抛物线， 其对称轴为， ，， 可得， 已知点和点关于对称， 则， 可得的周长为， 当点为直线与直线的交点时，最小，即， 设直线的解析式为， 将，代入， 可得， 解得， 则直线的解析式为， 当时，， 故周长最小时，点的坐标为． 【小问3详解】 解：如图，过点作轴，交于点， 据（2）可知直线的解析式为， 设点的坐标为，则点的坐标为， 点在下方， 则， 可得， 故当时，面积的最大值为． 【小问4详解】 解：∵动点位于对称轴上，， 设点的坐标为，则 ， ， 当时，则， 解得或， 此时点的坐标为或； 当时，则， 解得或， 此时点的坐标为或， 综上，点的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $