精品解析：广东汕头市潮阳区海田学校2025-2026学年度第一学期九年级数学科期中考试卷

2025—2026 学年度第一学期 九年级数学科期中考试卷 （内容：九年级上册第二十一章《一元二次方程》、第二十二章《二次函数》、第二十三章《旋转》 满分120分，考试时间90分钟） 注意事项： 1．满分120分，考试时间90分钟． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡上填写学校、班级、姓名、座号． 3．答题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目的指定区域内． 4．考试结束时，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】一元二次方程是指只含一个未知数、且未知数最高次数为2的整式方程，据此逐项分析判断即可． 【详解】解：A.方程中，未知数的最高次数是1，是一元一次方程，本选项不符合题意； B.方程中，含分式，不是整式方程，本选项不符合题意； C.方程中，含有x、y两个未知数，不是一元二次方程，本选项不符合题意； D.方程，是一元二次方程，本选项符合题意． 2. 一元二次方程的根是（ ） A. B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】利用因式分解法解方程即可，注意不要漏掉这个根． 【详解】解：由得，解得，． 3. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于一元二次方程，判别式，当时，方程有两个不相等的实数根，确定方程对应系数，代入判别式列不等式求解即可． 【详解】解：题干给出的方程为， 由题意得， ， ， ． ∴k的取值范围是． 4. 抛物线的顶点坐标是( ) A. （3，1） B. （3，﹣1） C. （﹣3，1） D. （﹣3，﹣1） 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据二次函数的顶点式进行解答即可． 【详解】解：抛物线的解析式为：， 其顶点坐标为：． 故选：A． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，二次函数的顶点式为，此时顶点坐标是，对称轴是直线，此题考查了学生的应用能力． 5. 把抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键． 根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：把抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位， 所得抛物线解析式为． 故选：C． 6. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 矩形 B. 等边三角形 C. 平行四边形 D. 正五边形 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、矩形既是轴对称图形又是中心对称图形； B、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形； C、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形； D、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形． 7. 已知关于的一元二次方程的一个根是，则它的另一个根是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：设另一个根为， 由根与系数关系可得， 解得． 8. 潮阳区某特产店销售潮式饼食礼盒，当每盒的利润为12元时，每天可售出30盒；经调查，每盒降价1元，每天可多售出5盒．要使每天的利润达到400元，设每盒降价x元，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】降价后每盒利润为元，每天销量为盒，即可建立方程． 【详解】解：由题意得，降价后每盒利润为元，每天销量为盒， ∴可得． 9. 设是一元二次方程的两个实数根，则与的值分别为（ ） A. 3 和 1 B. 3 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】首先判断该方程有两个不相等的实数根，然后根据一元二次方程的根与系数的关系得，，即可获得答案． 【详解】解：对于一元二次方程， ∵， ∴，即该方程有两个不相等的实数根， 由一元二次方程的根与系数的关系得，． 10. 如图1，二次函数的图象开口向下，与x轴交于、两点，与y轴交于点，对称轴为直线．下列结论正确的是（ ） A. B. 当时，y随x的增大而减小 C. 关于x的方程的两个根为， D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据开口向下得到，然后结合对称轴得到，然后根据与y轴交点得到，即可判断A；根据图象即可判断B；根据抛物线与x轴的交点即可判断C，D． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与y轴交于点， ∴， ∴，故A错误； 由图象可得，当时，y随x的增大而增大，故B错误； ∵抛物线图象与x轴交于点，， ∴关于x的方程的两个根为，，故C正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故D错误． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 方程 的解为________． 【答案】， 【解析】 【分析】直接开平方求解即可． 【详解】解：由得， 即或， 解得，． 12. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式的性质，当方程有两个相等的实数根时，根的判别式的值为，据此列出关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵对于一元二次方程，其中二次项系数，一次项系数，常数项，且方程有两个相等的实数根， ， 解得． 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：关于原点对称的两点横、纵坐标都互为相反数，故点关于原点对称的点的坐标为． 14. 二次函数的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值，确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．本题二次函数开口向上，顶点纵坐标即为最值，代入公式或者配方都可以． 【详解】， 开口向上，当时有最小值． 15. 设、是方程的两个实数根，则________． 【答案】21 【解析】 【分析】首先根据根与系数的关系得到，，然后将原式利用完全平方公式变形后代入求解即可． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴，， ∴． 16. 潮阳区金灶镇某果园种植三棱橄榄，2024年的产量为80吨，2026年的产量达到125吨．设该果园橄榄产量的年平均增长率为x，则可列方程为________，年平均增长率为________%． 【答案】 ①. ②. 25 【解析】 【分析】根据增长率问题的通用公式：末期值=初期值×（增长率）（其中n为增长次数），列出方程并求解即可． 【详解】解：从2024年到2026年，经历了2次增长，即， 将数据代入公式，可列出方程：． 解得，． ∵产量是增长的，增长率x大于0， ∴取，即25%． 三、解答题（共66分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：因式分解得， 即或， ∴． 【小问2详解】 解：方程两边同除以3，得， 因式分解得， 即或， ∴． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）在（1）的条件下，设方程的两个实数根为、，且，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即，解得． 【小问2详解】 解：由根与系数的关系得，． 又， 由得． ∵符合（1）中取值范围， ∴． 19. 已知抛物线：． （1）用配方法求抛物线的顶点坐标； （2）把抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度得到抛物线，求抛物线的解析式； （3）求抛物线与坐标轴的交点坐标． 【答案】（1）抛物线的顶点坐标为 （2） （3）与y轴交点坐标为，与x轴无交点 【解析】 【分析】（1）将二次函数的解析式化为，则抛物线的顶点坐标为； （2）根据二次函数的图像的平移进行解答即可； （3）先求出抛物线与轴的交点为，令，得到，根据任何实数的平方都不小于，可推导出抛物线与轴没有交点，即可解答． 【小问1详解】 解：， 抛物线的顶点坐标为． 【小问2详解】 解：抛物线为． 向右平移个单位长度得， 再向上平移个单位长度得， 即抛物线的解析式为． 【小问3详解】 解：令，得， 抛物线与轴的交点为． 令，得 ，即． 任何实数的平方都不小于， 该方程无实数根，即抛物线与轴没有交点． 综上，抛物线与坐标轴只有个交点，坐标为． 20. 潮阳区某特产店销售潮式酥糖礼盒，每盒的成本为24元．调查发现：当每盒售价为40元时，每天可售出32盒；售价每降低1元，每天就多售出4盒．设每盒降价x元，每天销售该礼盒的利润为y元． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）当每盒降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）； （2）当每盒降价4元（即售价为36元）时，每天的销售利润最大，最大利润为576元 【解析】 【分析】（1）根据总利润等于单盒利润乘以销量列出函数关系式进行求解即可； （2）利用二次函数的性质求最值即可. 【小问1详解】 解：降价后每盒的利润为元，每天的销售量为盒． 由题意，． 又且， ∴． 【小问2详解】 解： ． ∵， ∴抛物线开口向下，当时y有最大值576． 答：当每盒降价4元时，每天的销售利润最大，最大利润为576元． 21. 潮阳区某中学九年级某班有1名同学患了流感，由于没有及时隔离，流感在校内传播．已知经过两轮传染后，全校共有81人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染x个人． （1）用含x的代数式表示：第一轮传染后患病人数为 人，第二轮传染后患病人数为 人； （2）根据题意列出关于x的方程，并求出每轮传染中平均一个人传染的人数； （3）若不加以控制，照此传播速度，第三轮传染后全校患流感的总人数是多少？ 【答案】（1）； （2）8个人 （3）729人 【解析】 【分析】（1）根据每轮传染中平均一个人传染x个人，列出代数式即可； （2）根据经过两轮传染后，全校共有81人患了流感，列出方程进行求解即可； （3）根据（2）中结果，进行求解即可. 【小问1详解】 解：第一轮传染后患病人数为人， 第二轮传染后患病人数为人． 【小问2详解】 解：依题意得， 解得，（不合题意，舍去）． 故． 答：每轮传染中平均一个人传染8个人． 【小问3详解】 解：第三轮传染后患病总人数为（人）， 答：第三轮传染后全校患流感的总人数为729人． 22. 如图，在方格纸（每个小正方形的边长均为1）所在的平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、，点为坐标原点．把绕原点逆时针旋转，得到，点、、的对应点分别为、、． （1）在图中画出旋转后的，并直接写出点、、的坐标； （2）求的面积； （3）连接、、，判断的形状，并求出它的面积． 【答案】（1）绕原点逆时针旋转，旋转后的如图所示： 、、． （2） （3）是等腰直角三角形． 【解析】 【分析】（1）要把绕原点逆时针旋转得到，应在方格纸上找到、、旋转后的对应点坐标，再依次连接格点即可，并写出旋转后的对应点、、的坐标； （2）由、，得线段的长度，再由到直线的距离，即可利用三角形面积公式求解的面积； （3）连接、、，则可得，，，由三角形勾股定理逆定理得是等腰直角三角形，再利用即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由、，得， 点到直线（直线）的距离为， ∴； 【小问3详解】 解：如图， 可知，， 即， ∴是等腰直角三角形， ∴． 23. 抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D． （1）求点A、B、C、D的坐标； （2）求的面积； （3）若点P是对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点P的坐标及的最小值． 【答案】（1），， （2）6 （3）点P的坐标为；最小值为 【解析】 【分析】（1）令，，解得的值，得到点A，B，C的坐标，再根据顶点式求出点D，即可得到答案． （2）根据，计算即可得到答案． （3）首先连接交抛物线对称轴于点P，则此时的值最小，然后利用待定系数法求得直线的解析式，继而求得答案． 【小问1详解】 解：令，得， 即， 解得，， 点在点左侧， ，， 令，得， ， ， 顶点； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴，， ∴． 【小问3详解】 解：抛物线的对称轴为直线，点与点关于它对称， 连结，如图 则， ． 当点落在线段上时取等号，此时最小，最小值为的长， 设直线的解析式为， 把、代入得 ， 解得， 直线的解析式为． 当时，， 点的坐标为， 的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026 学年度第一学期 九年级数学科期中考试卷 （内容：九年级上册第二十一章《一元二次方程》、第二十二章《二次函数》、第二十三章《旋转》 满分120分，考试时间90分钟） 注意事项： 1．满分120分，考试时间90分钟． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡上填写学校、班级、姓名、座号． 3．答题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目的指定区域内． 4．考试结束时，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的根是（ ） A. B. ， C. ， D. ， 3. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的顶点坐标是( ) A. （3，1） B. （3，﹣1） C. （﹣3，1） D. （﹣3，﹣1） 5. 把抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 矩形 B. 等边三角形 C. 平行四边形 D. 正五边形 7. 已知关于的一元二次方程的一个根是，则它的另一个根是（ ） A. B. C. D. 8. 潮阳区某特产店销售潮式饼食礼盒，当每盒的利润为12元时，每天可售出30盒；经调查，每盒降价1元，每天可多售出5盒．要使每天的利润达到400元，设每盒降价x元，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 设是一元二次方程的两个实数根，则与的值分别为（ ） A. 3 和 1 B. 3 和 C. 和 D. 和 10. 如图1，二次函数的图象开口向下，与x轴交于、两点，与y轴交于点，对称轴为直线．下列结论正确的是（ ） A. B. 当时，y随x的增大而减小 C. 关于x的方程的两个根为， D. 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 方程 的解为________． 12. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为_____． 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为________． 14. 二次函数的最小值为________． 15. 设、是方程的两个实数根，则________． 16. 潮阳区金灶镇某果园种植三棱橄榄，2024年的产量为80吨，2026年的产量达到125吨．设该果园橄榄产量的年平均增长率为x，则可列方程为________，年平均增长率为________%． 三、解答题（共66分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）在（1）的条件下，设方程的两个实数根为、，且，求m的值． 19. 已知抛物线：． （1）用配方法求抛物线的顶点坐标； （2）把抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度得到抛物线，求抛物线的解析式； （3）求抛物线与坐标轴的交点坐标． 20. 潮阳区某特产店销售潮式酥糖礼盒，每盒的成本为24元．调查发现：当每盒售价为40元时，每天可售出32盒；售价每降低1元，每天就多售出4盒．设每盒降价x元，每天销售该礼盒的利润为y元． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）当每盒降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 21. 潮阳区某中学九年级某班有1名同学患了流感，由于没有及时隔离，流感在校内传播．已知经过两轮传染后，全校共有81人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染x个人． （1）用含x的代数式表示：第一轮传染后患病人数为 人，第二轮传染后患病人数为 人； （2）根据题意列出关于x的方程，并求出每轮传染中平均一个人传染的人数； （3）若不加以控制，照此传播速度，第三轮传染后全校患流感的总人数是多少？ 22. 如图，在方格纸（每个小正方形的边长均为1）所在的平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、，点为坐标原点．把绕原点逆时针旋转，得到，点、、的对应点分别为、、． （1）在图中画出旋转后的，并直接写出点、、的坐标； （2）求的面积； （3）连接、、，判断的形状，并求出它的面积． 23. 抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D． （1）求点A、B、C、D的坐标； （2）求的面积； （3）若点P是对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点P的坐标及的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $