精品解析：宁夏回族自治区吴忠市第五中学2026～2027学年九年级上学期期中数学试卷

吴忠市第五中学 2026—2027 学年第一学期九年级期中数学检测试卷 （考试时间 120 分钟，满分 120 分） 一、单选题（每题 3 分共 30 分） 1. 我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．不是中心对称图形，故此选项不合题意； C. 不是中心对称图形，故此选项不合题意； D. 是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是中心对称图形．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的顶点，理解二次函数的顶点式是解题关键． 题目中已给顶点式，直接读取即可． 【详解】由题可知，顶点坐标为： 故选：B． 3. 若函数 是反比例函数，且它的图象在第二、四象限，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴， ∴ 4. 将抛物线 向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，则新抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，即可得解． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位， 再向下平移3个单位，得 ． 5. 关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】需同时满足一元二次方程二次项系数不为0、根的判别式非负两个条件，联立求解的取值范围． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，解得； ∵一元二次方程有实数根， ∴，整理得，解得， 综上，的取值范围是且． 6. 如图，将Rt△ABC（其中∠B=35°，∠C=90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（ ） A. 55° B. 70° C. 125° D. 145° 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵∠B=35°，∠C=90°， ∴∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣35°=55°． ∵点C、A、B1在同一条直线上， ∴∠BA B1=180°﹣∠BAC=180°﹣55°=125°． ∴旋转角等于125°． 故选：C． 7. 某班级里有1名学生学会了一首趣味手势舞，经过两轮学生传授学习之后，一共有64名学生学会了这支手势舞．若每轮中，平均每个学会的学生教会x个不会的学生，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以两轮后总人数为64为等量关系，分别表示每轮新增会的人数后列方程． 【详解】解：初始有1人会手势舞，第一轮结束后，会的总人数为； 第二轮新增会的人数为； ∵两轮后总人数为64， ∴列方程为． 8. 已知点，，是反比例函数图像上的三点，且，那么，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在反比例函数中，，根据和反比例函数的性质和，即可得． 【详解】解：∵反比例函数，，， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是理解题意，掌握反比例函数的性质． 9. 反比例函数y=和一次函数y=kx-k在同一坐标系中的图象大致是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由于本题不确定k的符号，所以应分k＞0和k＜0两种情况分类讨论，针对每种情况分别画出相应的图象，然后与各选项比较，从而确定答案． 【详解】（1）当k＞0时，一次函数y=kx-k 经过一、三、四象限，反比例函数经过一、三象限，如图所示： （2）当k＜0时，一次函数y=kx-k经过一、二、四象限，反比例函数经过二、四象限．如图所示： 故选C． 【点睛】本题考查了反比例函数、一次函数的图象．灵活掌握反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质是解决问题的关键，在思想方法方面，本题考查了数形结合思想、分类讨论思想． 10. 如图为二次函数 （）的图象，则下列说法：① ② ③ ④ ⑤，⑥一元二次方程 的两根分别是 ，，其中正确的结论有（ ） A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个 【答案】A 【解析】 【分析】由图象确定的符号及对称轴，结合特殊点坐标判断各结论正确性． 【详解】解：由图象可知抛物线开口向下，则，与轴交于正半轴，则，对称轴为直线，则，即， ，①错误； 由得，故②正确； 在的左边， 当时，由图象可得，即，故③错误； 抛物线与轴有两个交点，则，即，故④正确； 当时，即，将代入得，得，则， ， ，即，故⑤错误； 抛物线与轴交点横坐标即为方程的根，由对称轴及一个交点，可知另一交点为，故⑥正确． 综上所述，正确的结论有②④⑥，共3个 二、填空题（每题 3 分共 30 分） 11. 点A（a，3）与点B（﹣4，b）关于原点对称，则a+b＝_____． 【答案】1 【解析】 【分析】根据平面内两点关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，则a=4，b=-3，从而得出a+b． 【详解】根据平面内两点关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数， ∴a=4且b=-3， ∴a+b=1． 故答案为1 12. 方程的解是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，掌握因式分解法是关键． 通过移项将方程化为标准形式，然后因式分解，利用零乘积性质求解． 【详解】解：化为一般式得，， ∴因式分解得，， ∴， 故答案为：． 13. 若是反比例函数，则m的值为_______． 【答案】 或 【解析】 【分析】根据反比例函数定义，需满足自变量的次数为，且比例系数不为，据此列方程求解即可. 【详解】解：∵是反比例函数， ∴ 且， 解得或， 经检验，或均符合题意， 故或. 14. 已知，是一元二次方程的两根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】依据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系． 15. 一个直角三角形的两直角边分别是方程的两个根，则这个直角三角形斜边上的高线长为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用因式分解法解方程得到三角形两直角边为3、4，再利用勾股定理计算出三角形的斜边为5，然后利用面积法求这个直角三角形斜边上的高的长度． 【详解】解：， 所以，， 即三角形两直角边为3、4， 三角形的斜边， 所以这个直角三角形斜边上的高的长度． 故答案为． 【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． 16. 为执行“两免一补”政策，某地区2017年投入教育经费2500万元，预计2019年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长率为，则根据题意列方程是__________． 【答案】 【解析】 【分析】已知2017年教育经费投入为2500万元，年平均增长百分率为，2019年计划投入3600万元，需依据连续两年的经费增长等量关系列方程． 【详解】解：∵年平均增长百分率为， ∴2018年投入的教育经费为万元， ∵2019年的经费在2018年投入的基础上按相同百分率增长， ∴2019年投入的教育经费为万元， ∵2019年预计投入为3600万元， ∴可列方程． 17. 反比例函数 （）的图象如图所示，点 是反比例函数图象上一点，过点 作 轴于点 ，连接 ，则 的面积是 ______． 【答案】 2 【解析】 【分析】根据反比例函数的几何意义，过图象上任意一点向坐标轴作垂线，连接原点所得三角形面积为； 【详解】解：∵点是反比例函数图象上一点， ∴， ∵ 轴于点， ∴， ∴， ∴． 18. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．水面上升1.5m，水面宽度为_____m． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键，学会把实际问题转化为二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y通过中点O且通过C点， 则：O为原点，，； 设函数解析式为，把A点坐标代入得， ∴抛物线解析式为， 当水面上升1.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当时，对应的抛物线上两点之间的距离， 把代入抛物线解析式得出：， 解得：， ∴此时的水面宽度为m 故答案为2． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解集是______． 【答案】或 【解析】 【分析】观察函数图象即可求解． 【详解】解：观察图像可得，当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的上方， ∴不等式的解集为或． 20. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为________． 【答案】16 【解析】 【分析】根据旋转的性质得到△ABC≌△A1BC1，A1B=AB=8，所以△A1BA是等腰三角形，依据∠A1BA=30°得到等腰三角形的面积，由图形可以知道，最终得到阴影部分的面积． 【详解】解：∵在△ABC中，AB=8，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1， ∴△ABC≌△A1BC1， ∴A1B=AB=8， ∴△A1BA是等腰三角形，∠A1BA=30°， 过点A1作于点D ∴ ∴×8×4=16， 又∵， ， ∴=16． 故答案为：16． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．运用面积的和差关系解决不规则图形的面积是解决此题的关键． 三、解答题（共 60 分） 21. 解方程： （1） （2） （3） 【答案】（1） ， （2） ， （3） ， 【解析】 【小问1详解】 解：            解得：，；  【小问2详解】       ，， 解得：，；  【小问3详解】       或， 解得： 22. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为． （1）画出关于点对称的，并写出的坐标； （2）画出绕点顺时针旋转后得到； （3）求的面积． 【答案】（1）如图为： 点的坐标为． （2）如图为： （3） 【解析】 【分析】（1）关于原点对称的点，横纵坐标都取相反数，据此得到、、，再依次连接即可； （2）一个点绕点顺时针旋转，横纵坐标互换，再把新的纵坐标取相反数，据此得到、、，再依次连接即可； （3）用外包矩形的面积减去其余三个直角三角形的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：被完全包裹在一个长为个单位，宽为个单位的矩形中， 则该矩形的面积为， 左上角的直角三角形的面积为， 右上角的直角三角形的面积为， 下方的直角三角形的面积为， 故的面积为． 23. 某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． （1）求这个函数的解析式； （2）当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到） 【答案】（1） （2）气体的体积应不小于 【解析】 【分析】（1）根据点，利用待定系数法求解即可得； （2）先求出当时，的值，再根据反比例函数的增减性求解即可得． 【小问1详解】 解：设该函数的表达式为， 将点代入，得 ， 解得， ∴这个函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， 当时，， ∵反比例函数中的， ∴在第一象限内，随的增大而减小， 又∵当气球内的气压大于时，气球将爆炸， ∴为了安全起见，气体的体积， 答：气体的体积应不小于． 24. 如图，是正三角形内的一点，且．若将绕点A逆时针旋转后，得到． （1）求点与点之间的距离； （2）求的度数． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理等知识．解题的关键是熟练掌握旋转的性质． （1）连接，根据旋转的性质，证明是等边三角形，进而可得点P与点之间的距离； （2）根据勾股定理的逆定理可判断是直角三角形，且，根据计算求解即可． 【小问1详解】 解：如图，连接， 由旋转的性质得，，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴点P与点之间的距离为6； 【小问2详解】 解：在中， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴的度数为． 25. 一家饰品店购进一种今年新上市的饰品进行销售，每件进价为20元，出于营销考虑，要求每件饰品的售价不低于22元且不高于28元，在销售过程中发现该饰品每周的销售量（件）与每件饰品的售价（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36件；当销售单价为24元时，销售量为32件． （1）请求出与的函数关系式； （2）设该饰品店每周销售这种饰品所获得的利润为元，将该饰品销售单价定为多少元时，才能使饰品店销售这种饰品所获利润最大?最大利润是多少? 【答案】（1）；（2）当时，最大利润是192元． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题． （2）构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题． 【详解】解：（1）设， 把与代入得：，解得：， 则； （3）由题意可得： 此时当时，最大，但又时，随的增大而增大， 当售价不低于22元且不高于28元时， 有，（元， 答：该饰品销售单价定为28元时，才能使饰品店销售这种饰品所获利润最大，最大利润是192元． 【点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用、待定系数法等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考常考题型． 26. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． （1）直接写出点的坐标； （2）在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标和的最小值； （3）第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点．依题意补全图形，当的值最大时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）点，的最小值为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的对称性，进行求解即可； （2）根据抛物线的对称性，得到，得到当三点共线时，的值最小，为的长，求出直线的解析式，解析式与对称轴的交点即为点的坐标，两点间的距离公式求出的长，即为的最小值； （3）根据题意，补全图形，设，得到，，将的最大值转化为二次函数求最值，即可得解． 【小问1详解】 解：∵点关于对称轴的对称点为点，对称轴为直线， ∴点为； 【小问2详解】 当时，， ∴， 连接， ∵， ∴， ∵点关于对称轴的对称点为点， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，为的长， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， ∵点在抛物线的对称轴上， ∴； ∴点，的最小值为； 【小问3详解】 过点作轴，垂足为，连接交于点，如图所示， ∵， 设抛物线的解析式为：， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则：， 由（2）知：直线：， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，此时． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用抛物线的对称性以及数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吴忠市第五中学 2026—2027 学年第一学期九年级期中数学检测试卷 （考试时间 120 分钟，满分 120 分） 一、单选题（每题 3 分共 30 分） 1. 我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（ ）． A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 若函数 是反比例函数，且它的图象在第二、四象限，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线 向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，则新抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 6. 如图，将Rt△ABC（其中∠B=35°，∠C=90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（ ） A. 55° B. 70° C. 125° D. 145° 7. 某班级里有1名学生学会了一首趣味手势舞，经过两轮学生传授学习之后，一共有64名学生学会了这支手势舞．若每轮中，平均每个学会的学生教会x个不会的学生，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，，是反比例函数图像上的三点，且，那么，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 反比例函数y=和一次函数y=kx-k在同一坐标系中的图象大致是( ) A. B. C. D. 10. 如图为二次函数 （）的图象，则下列说法：① ② ③ ④ ⑤，⑥一元二次方程 的两根分别是 ，，其中正确的结论有（ ） A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个 二、填空题（每题 3 分共 30 分） 11. 点A（a，3）与点B（﹣4，b）关于原点对称，则a+b＝_____． 12. 方程的解是_____． 13. 若是反比例函数，则m的值为_______． 14. 已知，是一元二次方程的两根，则________． 15. 一个直角三角形的两直角边分别是方程的两个根，则这个直角三角形斜边上的高线长为________． 16. 为执行“两免一补”政策，某地区2017年投入教育经费2500万元，预计2019年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长率为，则根据题意列方程是__________． 17. 反比例函数 （）的图象如图所示，点 是反比例函数图象上一点，过点 作 轴于点 ，连接 ，则 的面积是 ______． 18. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．水面上升1.5m，水面宽度为_____m． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解集是______． 20. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为________． 三、解答题（共 60 分） 21. 解方程： （1） （2） （3） 22. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为． （1）画出关于点对称的，并写出的坐标； （2）画出绕点顺时针旋转后得到； （3）求的面积． 23. 某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． （1）求这个函数的解析式； （2）当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到） 24. 如图，是正三角形内的一点，且．若将绕点A逆时针旋转后，得到． （1）求点与点之间的距离； （2）求的度数． 25. 一家饰品店购进一种今年新上市的饰品进行销售，每件进价为20元，出于营销考虑，要求每件饰品的售价不低于22元且不高于28元，在销售过程中发现该饰品每周的销售量（件）与每件饰品的售价（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36件；当销售单价为24元时，销售量为32件． （1）请求出与的函数关系式； （2）设该饰品店每周销售这种饰品所获得的利润为元，将该饰品销售单价定为多少元时，才能使饰品店销售这种饰品所获利润最大?最大利润是多少? 26. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． （1）直接写出点的坐标； （2）在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标和的最小值； （3）第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点．依题意补全图形，当的值最大时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $