精品解析：宁夏回族自治区吴忠市同心县第四中学2025-2026学年上学期期中考试试卷 九年级数学试卷

同心县第四中学2025-2026学年度第一学期期中考试试卷 九年级数学试卷 满分：120分 时间：120分钟 一、填空题（每题3分，共8题，共24分） 1. 下列图形中，是轴对称图形．但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与自身重合；由此问题可求解． 【详解】解：A、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意； B、原图不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查中心对称图形及轴对称图形，熟练掌握中心对称图形及轴对称图形的定义是解题的关键． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，根据的顶点为直接判断即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴顶点坐标是， 故选：C． 3. 如果一元二次方程的两根为和，则的值等于（ ） A. 0 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为和， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，． 4. 已知抛物线，下列结论错误的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴为直线 C. 抛物线的顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：抛物线中，a＞0，抛物线开口向上，因此A选项正确，不符合题意； 由解析式得，对称轴为直线，因此B选项正确，不符合题意； 由解析式得，当时，y取最小值，最小值为1，所以抛物线的顶点坐标为，因此C选项正确，不符合题意； 因为抛物线开口向上，对称轴为直线，因此当时，y随x的增大而减小，因此D选项错误，符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为． 5. 如图，在一块长，宽的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为．设道路的宽为，可列方程是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．设道路的宽度为，则六块菜地可合成长为，宽为的矩形，根据矩形的面积公式结合种植蔬菜的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设道路的宽度为， 则六块蔬菜地可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：． 故选：C． 6. 如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心O点竖直安装一根水管，在水管的顶端A处安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱与水池中心O点的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心O点3m，则水管OA的高是（ ） A. 2m B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设抛物线的表达式为：，将点代入上式求出a，进而求解． 【详解】解：设抛物线的表达式为：， 将点代入上式并解得：， 故抛物线的表达式为：， 令，则，即 故选B 【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键． 7. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口方向以及对称轴与y轴的位置关系，即可得出a、b的正负性，由此即可得出一次函数图象经过的象限，即可得出结论． 【详解】A. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a<0，b<0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误； B. ∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧， ∴a>0，b<0， ∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，故本选项错误； C. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a<0，b<0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项正确； D. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a<0，b<0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误． 故选C． 【点睛】本题主要考查二次函数图象与一次函数图象的综合，掌握二次函数与一次函数系数与图象的关系，是解题的关键． 8. 已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线对于下列结论：①；②；③（其中）；④若和均在该函数图象上，且，则其中正确结论的个数共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与性质是关键． 根据抛物线与x轴的一个交点以及其对称轴，求出抛物线与x轴的另一个交点，利用待定系数法得到，，再根据抛物线开口方向向下，即可判断②正确，①错误，根据．，，，可以得到，从而得到③正确；根据抛物线的增减性可以判断出④错误，问题得解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 把，代入，可得：，解得， ∴，故②正确； ∵抛物线开口方向向下， ∴， ∴，， ∴，故①错误； ∵，， ∴， 又∵，， ∴， 即（其中），故③正确； ∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口朝下， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴，故④错误， 故选：B． 二、填空题（每题3分，共8题，共24分） 9. 若是关于的一元二次方程，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义可得，，即可求解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴，， ∴， 故答案为：． 10. 函数的图象过点，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质． 将点代入函数解析式，利用函数图象上点的坐标特征建立方程求解． 【详解】解：∵函数的图象过点， ∴当时，， 即， ∴， ∴． 故答案为：1． 11. 将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线解析式为_____________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的平移，掌握平移规律是解题的关键，先确定原抛物线的顶点坐标，再根据平移规律得到新顶点坐标，最后写出新抛物线的顶点式解析式． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，顶点坐标变为，由于平移不改变二次项系数，故新抛物线解析式为． 故答案为：． 12. 已知点，在二次函数的图象上，则__________．（填“”，“”或“”） 【答案】 < 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数的函数值，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．将两个点分别代入二次函数的解析式求出，的值，比较大小即可得． 【详解】解：将点代入得：， 将点代入得：， ∵， ∴． 故答案为：． 13. 如图，在三角形中，，将三角形绕点按逆时针方向旋转得到三角形，求的度数是__________ 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，利用旋转的性质求得旋转角是解题的关键． 由旋转的性质得出，由即可． 【详解】解：将三角形绕点按逆时针方向旋转得到三角形， ， ， 故答案为：． 14. 如果函数的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数与x轴的交点问题．根据二次函数与一元二次方程的关系，利用根的判别式即可得出答案． 【详解】解：∵函数的图象与x轴有公共点， ∴， 解得：． 故答案为： 15. 二次函数，当时，自变量x的取值范围是_________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质． 通过求二次函数与x轴的交点坐标，结合抛物线开口方向，确定函数值小于零时自变量的取值范围 【详解】解：由可知，函数图象与x轴交点为和， ∵二次项系数为正，抛物线开口向上， ∴当时，自变量x的取值范围为． 故答案为：． 16. 定义新运算，对于两个不相等的实数，我们规定符号表示中较小值，如．，，按照这样的规定，若，则的值是_________ 【答案】 或 【解析】 【分析】本题考查了定义新运算．根据新运算定义，分 和 两种情况讨论，分别求解方程 【详解】当 时，， 代入得 ， 整理得 ， 解得 ， 取 （舍去 ）； 当 时，， 代入得 ， 整理得 ， 解得 ， 取 （舍去 ）； 当时，， ∵， ∴不成立． 故答案为： 或 ． 三、解答题（共10小题，共72分） 17. 用适当的方法解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）根据因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 解得． 18. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上．将绕原点逆时针旋转可得到，请画出，并写出点，，的坐标． 【答案】 解：如图，即为所求．，，． 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，画旋转图形，关于原点对称的点的坐标，掌握旋转的性质是解题的关键． 利用旋转变换的性质，分别作出的各顶点的对应点，，，再顺次连接对应点即可． 【详解】略 19. 已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表： x … 0 1 2 3 4 … y … 5 2 1 2 5 … 求该二次函数的解析式 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数解析式． 从表格中选取三个点代入二次函数解析式，解方程组求系数． 【详解】解：把、、代入得： ∵当时， ∴ ∵当时， ∴ ∵ ∴ ∵当时， ∴ ∵ ∴ 即 解方程组 得， ∴二次函数解析式为． 20. 二次函数的部分图象如图所示，求一元二次方程的解． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程．先求得抛物线的对称轴，根据抛物线与轴的一个交点为求得另一个交点为，据此即可求解． 【详解】解：抛物线的对称轴为， ∵抛物线与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴一元二次方程的解为，． 21. 如图，是一个运动员投掷铅球的抛物线图，解析式为（单位：米），其中点为出手点，点为铅球运行中的最高点，点为铅球落地点，求： （1）最高点离地面的高度； （2）该运动员的成绩是多少米？ 【答案】（1）3 （2）10 【解析】 【分析】本题考查二次函数解决运动问题，弄清楚函数各点表示的实际意义，可将实际问题转化为点坐标的求解． （1）将解析式化为顶点式，即可得到答案； （2）令，解方程即可 【小问1详解】 解：， 顶点坐标为， 可知最高点离地面高度为3米； 【小问2详解】 令 解得（舍去）， 则， 由此可知该运动员成绩为10米． 22. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出15件.设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，请列出y与x的关系式，试求当商品售价为多少元时，该商品每星期的总销售额最高，最高为多少元？ 【答案】, x=20时,y有最大值,最大值是24000元. 【解析】 【分析】由题意可得: 销售量=300+15x,根据总销售额=销售价×销售量，可列二次函数关系式,再求二次函数最值即可. 【详解】解:由题意可得: , 配方可得: 因为-15<0, 所以当x=20时,y有最大值,最大值是24000元. 答: y与x的关系式是，当x=20时,y有最大值,最大值是24000元. 【点睛】本题主要考查二次函数解决销售问题,解决本题得关键是要熟练掌握销售问题中的等量关系. 23. 如图，用总长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形场地，墙长， 矩形面积随矩形的一边的长的变化而变化． （1）求S与x之间的函数关系式，并求自变量的取值范围 （2）当x为多少时，矩形场地的面积S最大，最大面积是多少? 【答案】（1） （2）当为米时，矩形场地的面积最大，最大面积是250平方米 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质及根据墙长求出的取值范围． （1）由时，，根据矩形的面积公式可得函数解析式； （2）将函数解析式配方成顶点式，再利用二次函数的性质求解可得． 【小问1详解】 解：， ， 则， ， ； 【小问2详解】 解：， ， 当时，取得最大值为250， 答：当为米时，矩形场地的面积最大，最大面积是250平方米． 24. 一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为，宽为，隧道最高点位于的中央且距地面，建立如图所示的坐标系． （1）求抛物线的表达式； （2）一辆货车高，宽，能否从该隧道内通过，为什么？ 【答案】（1） （2） 货车可以从该隧道内通过．理由如下： 当时，得：， 解得：，， ∵， ∴货车可以从该隧道内通过． 【解析】 【分析】本题考查抛物线的性质及其应用， （1）根据抛物线顶点坐标，设出抛物线的解析式，将点代入解析式计算即可； （2）求出当时的值，然后求出横坐标之差的绝对值，再与作比较即可； 求出横坐标的差的绝对值与货车的宽作比较，从而来解决实际问题是解题关键． 【小问1详解】 解：由题意可知抛物线的顶点坐标， 设抛物线的方程为， 又∵点在抛物线上， ∴． ∴， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 略 25. 抛物线经过点A(3,0) 和点B（0,3）,且这个抛物线的对称轴为直线l，顶点为C. （1）求抛物线的解析式； （2）连接AB、AC、BC，求△ABC的面积. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式； （2）利用割补法求△ABC的面积. 【详解】（1）抛物线经过、 由上两式解得 抛物线的解析式为：； （2）由（1）抛物线对称轴为直线 把代入，得 则点坐标为， 设线段所在直线为： 解得解析式为： 线段所在直线经过点、 抛物线的对称轴于直线交于点 设点的坐标为 将点代入，解得 点坐标为， 过点作于点 【点睛】本题考查二次函数待定系数法、用割补法求三角形面积，解答时注意数形结合. 26. 如图，关于x的二次函数的图象与x轴交于点和点B与y轴交于点，抛物线的对称轴与x轴交于点D．     （1）在y轴上是否存在一点P，使为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标； （2）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在上向点B运动，另一个点N从点D出发，点N与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，面积最大，试求出最大面积． 【答案】（1）或或或 （2）点M运动到点D处，点N运动到对称轴上x轴上方2个单位处或下方2个单位处时，面积最大，最大面积为1． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的面积问题，用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与一元二次方程的联系，等腰三角形的定义，熟练掌握二次函数的面积问题是解题的关键． （1）先用待定系数法求出二次函数的解析式，然后根据二次函数与一元二次方程的联系，求出点B的坐标，进而求得，再分三种情况讨论：，，，即可分别求出相应的点P的坐标； （2）设点M运动的时间为t，则，，，即可求得，再根据二次函数的性质求面积的最大值即可． 【小问1详解】 解：把，代入， 得， 解得， 二次函数， 令，则， 解得或， ， ， 点P在y轴上，当为等腰三角形时，分三种情况讨论： 当时，或， 或， 当时， ， ， ， 当时， ， 点P在点O处， ； 点P的坐标是或或或； 【小问2详解】 解：设点M运动的时间为t， 则，， ，， ， ， ， ， 当时，最大，最大值为1， 即点M运动到点D处，点N运动到对称轴上x轴上方2个单位处或下方2个单位处时，面积最大，最大面积为1． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 同心县第四中学2025-2026学年度第一学期期中考试试卷 九年级数学试卷 满分：120分 时间：120分钟 一、填空题（每题3分，共8题，共24分） 1. 下列图形中，是轴对称图形．但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 如果一元二次方程的两根为和，则的值等于（ ） A. 0 B. 2 C. D. 4. 已知抛物线，下列结论错误的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴为直线 C. 抛物线的顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而增大 5. 如图，在一块长，宽的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为．设道路的宽为，可列方程是（   ） A. B. C. D. 6. 如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心O点竖直安装一根水管，在水管的顶端A处安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱与水池中心O点的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心O点3m，则水管OA的高是（ ） A. 2m B. C. D. 7. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线对于下列结论：①；②；③（其中）；④若和均在该函数图象上，且，则其中正确结论的个数共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每题3分，共8题，共24分） 9. 若是关于的一元二次方程，则的值为___________． 10. 函数的图象过点，则______． 11. 将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线解析式为_____________ 12. 已知点，在二次函数的图象上，则__________．（填“”，“”或“”） 13. 如图，在三角形中，，将三角形绕点按逆时针方向旋转得到三角形，求的度数是__________ 14. 如果函数的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是_______________． 15. 二次函数，当时，自变量x的取值范围是_________ 16. 定义新运算，对于两个不相等的实数，我们规定符号表示中较小值，如．，，按照这样的规定，若，则的值是_________ 三、解答题（共10小题，共72分） 17. 用适当的方法解方程： （1） （2） 18. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上．将绕原点逆时针旋转可得到，请画出，并写出点，，的坐标． 19. 已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表： x … 0 1 2 3 4 … y … 5 2 1 2 5 … 求该二次函数的解析式 20. 二次函数的部分图象如图所示，求一元二次方程的解． 21. 如图，是一个运动员投掷铅球的抛物线图，解析式为（单位：米），其中点为出手点，点为铅球运行中的最高点，点为铅球落地点，求： （1）最高点离地面的高度； （2）该运动员的成绩是多少米？ 22. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出15件.设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，请列出y与x的关系式，试求当商品售价为多少元时，该商品每星期的总销售额最高，最高为多少元？ 23. 如图，用总长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形场地，墙长， 矩形面积随矩形的一边的长的变化而变化． （1）求S与x之间的函数关系式，并求自变量的取值范围 （2）当x为多少时，矩形场地的面积S最大，最大面积是多少? 24. 一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为，宽为，隧道最高点位于的中央且距地面，建立如图所示的坐标系． （1）求抛物线的表达式； （2）一辆货车高，宽，能否从该隧道内通过，为什么？ 25. 抛物线经过点A(3,0) 和点B（0,3）,且这个抛物线的对称轴为直线l，顶点为C. （1）求抛物线的解析式； （2）连接AB、AC、BC，求△ABC的面积. 26. 如图，关于x的二次函数的图象与x轴交于点和点B与y轴交于点，抛物线的对称轴与x轴交于点D．     （1）在y轴上是否存在一点P，使为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标； （2）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在上向点B运动，另一个点N从点D出发，点N与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，面积最大，试求出最大面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $