精品解析：吉林 四平市第十七中学校2026-2027学年八年级上学期数学期中试题

八年级数学学科期中能力检测 （2026—2027学年度第一学期） 一．选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义，寻找是否存在一条直线使图形沿该直线折叠后两部分完全重合． 【详解】解：A．该图形不是轴对称图形，不符合题意； B．该图形不是轴对称图形，不符合题意； C．该图形不是轴对称图形，不符合题意； D．该图形沿过顶点和对边中点的直线对折，两部分能完全重合，是轴对称图形，符合题意． 2. 作的边上的高，其中直角三角板摆放正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形高的定义，根据三角形高的定义，从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，作边上的高需过点且垂直于． 【详解】：三角板直角边垂直于，作出的是边上的高，故本选项错误； ：三角板直角边未经过点，无法作出边上的高，故本选项错误； ：三角板一条直角边与重合，另一条直角边经过点，符合定义，故本选项正确； ：三角板直角边经过点，作出的是过点垂直于的直线，故本选项错误． 故选：． 3. 如图，在中，，平分交于点，，若是上的动点，则线段的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂线段最短，角平分线的性质，当时，线段的值最小，再根据角平分线的性质解答即可求解，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，当时，线段的值最小， ∵， ∴， 又∵平分，， ∴， ∴线段的最小值为， 故选：． 4. 景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形（如图2），若，于点，，则的长为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵，，， ∴在中，． 5. 如图，，，于点，于点．若，，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据“”，证明得出相等的边，最后利用线段的和差即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 6. 在下图的三角形中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等腰三角形性质得出底角相等，结合平角定义求出  的度数，再利用三角形外角性质求解． 【详解】解：，   ，  ，  ，  是的外角，是的外角，  ， ． 二．填空题（每小题3分，共15分） 7. 已知等腰三角形的一个底角等于，则它的顶角的度数是_____________． 【答案】##20度 【解析】 【分析】根据等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和定理，即可计算出顶角的度数． 【详解】解：等腰三角形的两个底角相等，该等腰三角形一个底角为， 该等腰三角形的另一个底角也为， 顶角的度数为：． 8. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，根据该规律即可得结果． 【详解】解：∵ 关于轴对称的点满足横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴ 点的横坐标保持不变，纵坐标变为的相反数， ∴所求对称点的坐标为． 9. 如图，在中，分别以点和点为圆心、以大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点，，作直线分别交，于点，，连接．若，，则的周长为________ 【答案】13 【解析】 【分析】先求出，进而求出结论． 【详解】解：由作图可知：垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的周长为． 10. 如图，点B， C， D三点在同一直线上，且，，．若，则的度数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先证明，得出，，再结合三角形外角的定义及性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 11. 如图，在中，，点为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接，交于点，若，则的度数为________． 【答案】##88度 【解析】 【分析】先证明，进而可依据“”判定和全等，则，再根据得，则，进而得，由此可判定是等边三角形，则，从而得是等边三角形，则，再求出即可得出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 三．解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 如图，在和中，，，． 求证：． 【答案】证明：在和中 ， 【解析】 【分析】根据题干的条件，由“边角边”证明两三角形全等即可． 【详解】略． 13. 图①，图②均是的正方形网格．每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点叫做格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．所画图形的顶点均在格点上．不要求写出画法，并保留作图痕迹． （1）在图①中画一个等腰三角形，使其面积为2； （2）在图②中画一个等腰直角三角形，且． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，即为所求； 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，勾股定理与网格问题，勾股定理逆定理： （1）根据等腰三角形的定义，取格点，连接即可； （2）根据等腰三角形的定义，根据勾股定理及其逆定理，取格点，连接即可． 【小问1详解】 解：由图可知：，； 【小问2详解】 解：由图可知：， ∴， ∴为等腰直角三角形． 14. 如图，中，D为边上一点，的延长线交的延长线于F，，且．求证：是等边三角形． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，三角形外角的性质等等．先根据等边对等角和三角形外角的性质证明，，再由垂线的定义和三角形内角和定理推出，由此即可证明是等边三角形． 【详解】略 15. 如图，在中，边的垂直平分线分别交边于点F，E，，是的一条角平分线． （1）与垂直吗？请说明理由． （2）若的周长为26，，求的长． 【答案】（1）垂直，理由如下： ∵垂直平分 ∴ ∵ ∴ ∵是的一条角平分线 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）8 【解析】 【分析】（1）先由线段垂直平分线的性质结合得到，再证明即可； （2）由全等三角形可得，而，，再由三角形周长公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ∴ 由题意得，， 由（1）可得， ∵的周长为26 ∴ ∴ ∴． 16. 如图，在边长为个单位长度的正方形方格图中，的顶点都在格点上． （1）画出关于直线对称的图形（和为对称点）； （2）如果以图中的为原点建立直角坐标系，写出点和的坐标． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用轴对称的性质，分别作出、、三点关于直线的对称点、、，依次连接即可； （2）根据直角坐标系直接写出点和的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由直角坐标系可得，点的坐标为，点的坐标为． 17. 如图，在中，是边上的高，，． （1）求的度数； （2）若是的角平分线，交于点，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由三角形内角和定理可求得的度数，再由直角三角形的两锐角互余可求得的度数； （2）先由角平分线的性质可求得的度数，再由外角的性质可求得的度数． 【小问1详解】 解：，，， ， 是边上的高， ， ； 【小问2详解】 解：是的角平分线， ， 是的一个外角， ． 18. 为测量某一水池两端，之间的距离，小涵，小宇两位同学分别设计出如下两种方案： 课题 测量水池两端之间的距离 测量示意图 步骤说明 在平地上取一点，分别连接，并延长到，两点，使得，测量的距离即可． 在平地上取一点，连接，，在的延长线上取一点，使得，测量的距离即可． 数学老师看过后指出其中一种测量方案不可行，请你回答下面的问题： （1）以上两位同学方案可行的是______的方案； （2）请你选择可行的方案，并说明它可行的理由； （3）请你将不可行的方案稍加修改，使其可行，并说明理由． 【答案】（1）小涵 （2）证明：在和中， ， ∴， ∴， 故小涵同学方案可行． （3）解：对小宇方案增加“使”； 理由：， ， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据已知条件分析即可得可行方案； （2）根据全等三角形的判定与性质可得小涵同学的方案可行； （3）对于小宇的方案，原始条件仅和，无法证明三角形全等；通过增加的条件，构造出直角相等，结合已有条件，利用全等三角形的判定证明，从而得到，使方案可行． 【小问1详解】 解：∵小涵的方案可以证明，即， 而小宇的方案无法证明，也就不能证明， ∴小涵同学方案可行． 【小问2详解】 解：略． 【小问3详解】 解：略． 19. 如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F使得，连接． （1）求证：； （2）连接，若，平分，平分，求的度数． 【答案】（1）证明：为中点， ， 又∵，， ∴， ， ∴； （2）的度数为 【解析】 【分析】（1）证明，得到，即可得到； （2）由角平分线的定义得到，然后结合平行线的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，平分， ， ， ， 平分， ， ． 20. （1）如图1，是等边三角形，点D、E分别在和的延长线上，且，当的度数确定时，的度数也随之确定． ①若，则 度； ②求证：； （2）如图2，是等边三角形，P是内一点，且，延长交于点D，延长交于点E，求证：． 【答案】（1）； 证明：是等边三角形， ， ， ， ， ； （2）证明：是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）①根据三角形的内角和定理即可得出答案； ②根据等边三角形的性质得到，由三角形外角的性质可得，由三角形的内角和定理可得，于是结论得证； （2）根据等边三角形的性质得到，，由三角形的内角和定理可得，由三角形外角的性质可得，于是可得，利用可证得，然后根据全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】（1）①解：，， ， 故答案为：； ②略 （2）略 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，等边三角形的性质，三角形外角的性质，等式的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握三角形的内角和外角及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 21. 在数学综合实践课上，同学们开展对三角形折叠问题的探究活动． 如图1，在中，，，点是边上一点，点是边上一点，将沿着折叠，点的对应点是点． （1）奋进小组按图1的方式折叠，点与重合，将折叠后，点落在的延长线上，求的度数． （2）如图2，善思小组沿折叠后点落在的延长线上，此时， ①试说明； ②试探究线段，和的数量关系，并说明理由． （3）创新小组提出新的问题，折痕经过的中点时，即点是中点，当是等腰三角形时，请直接写出的度数． 【答案】（1） （2）①∵在中，，， ∴， 由折叠的性质可得，， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； ②，理由如下： 由①可得， ∴， ∵，，且， ∴， 由折叠的性质可得， ∵， ∴； （3）的度数为或或 【解析】 【分析】（1）由等边对等角并结合三角形内角和定理可得，由折叠的性质可得，再结合三角形内角和定理计算即可得出结果； （2）①由等边对等角并结合三角形内角和定理可得，由折叠的性质可得，，从而可得，，最后结合全等三角形的判定定理证明即可； ②由①可得，则，证明出，由折叠的性质可得，再结合，即可得证； （3）由等边对等角并结合三角形内角和定理可得，由折叠的性质可得，，，从而可得，分三种情况：当时；当时；当时，分别计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵在中，，， ∴， 由折叠的性质可得， ∵， ∴； 【小问2详解】 ①略； ②略； 【小问3详解】 解：∵在中，，， ∴， ∵是中点， ∴， 由折叠的性质可得，，， ∴， ∵是等腰三角形， ∴当时，， ∴， ∴， ∵， ∴； 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述，的度数为或或． 22. 直角三角形中，，直线过点． （1）当时，如图①，分别过点，作于点，于点．求证：； （2）当，，时，如图②，点与点关于直线对称，连接．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿边向终点运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，点，到达相应的终点时停止运动，过点作于点，过点作于点，设运动时间为秒． ①________，当在路径上时，________；（用含的代数式表示） ②当点在线段段运动、与全等时，求的值． ③当点在的平分线上时，直接写出的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）①，； ②； ③3 【解析】 【分析】（1）根据垂直的定义得到，利用定理证明； （2）①由折叠的性质可得出答案； ②根据折叠的性质和直角三角形两锐角互余得到，当时，与全等，当点在线段段运动时，此时分情况讨论：点沿路径运动时，点沿路径运动时，即可得出t的值； ③作的平分线，交于点，过点作交于点，先证明，得到，，利用勾股定理列方程计算a的值，求出的值，再计算出其用的时间，同时计算此时点运动的路程，求出此时点所在位置，即可求得最终结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①由题意得，，， ∴， 由折叠的性质可知，， ∴； ②由折叠的性质可知，， ∵，， ∴， ∴当时，与全等， 当点在线段段运动时，此时分情况讨论： （i）当点沿路径运动时，， 解得：（不合题意）； （ii）当点沿路径运动时，由题意得：， 解得：， 综上所述，当秒时，与全等； ③∵点在的平分线上， 如图，作的平分线，交于点，过点作交于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴，， ∵动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿边向终点运动， ∴（秒）， 又∵动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，与动点同时出发， ∴点运动的路程为，此时动点在路径上， ∵， ∴，即点此时在的中点处， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学学科期中能力检测 （2026—2027学年度第一学期） 一．选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 作的边上的高，其中直角三角板摆放正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，平分交于点，，若是上的动点，则线段的最小值是（ ） A. B. C. D. 4. 景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形（如图2），若，于点，，则的长为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 5. 如图，，，于点，于点．若，，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 在下图的三角形中，，，，则（ ） A. B. C. D. 二．填空题（每小题3分，共15分） 7. 已知等腰三角形的一个底角等于，则它的顶角的度数是_____________． 8. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是__________． 9. 如图，在中，分别以点和点为圆心、以大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点，，作直线分别交，于点，，连接．若，，则的周长为________ 10. 如图，点B， C， D三点在同一直线上，且，，．若，则的度数为_____． 11. 如图，在中，，点为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接，交于点，若，则的度数为________． 三．解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 如图，在和中，，，． 求证：． 13. 图①，图②均是的正方形网格．每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点叫做格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．所画图形的顶点均在格点上．不要求写出画法，并保留作图痕迹． （1）在图①中画一个等腰三角形，使其面积为2； （2）在图②中画一个等腰直角三角形，且． 14. 如图，中，D为边上一点，的延长线交的延长线于F，，且．求证：是等边三角形． 15. 如图，在中，边的垂直平分线分别交边于点F，E，，是的一条角平分线． （1）与垂直吗？请说明理由． （2）若的周长为26，，求的长． 16. 如图，在边长为个单位长度的正方形方格图中，的顶点都在格点上． （1）画出关于直线对称的图形（和为对称点）； （2）如果以图中的为原点建立直角坐标系，写出点和的坐标． 17. 如图，在中，是边上的高，，． （1）求的度数； （2）若是的角平分线，交于点，求的度数． 18. 为测量某一水池两端，之间的距离，小涵，小宇两位同学分别设计出如下两种方案： 课题 测量水池两端之间的距离 测量示意图 步骤说明 在平地上取一点，分别连接，并延长到，两点，使得，测量的距离即可． 在平地上取一点，连接，，在的延长线上取一点，使得，测量的距离即可． 数学老师看过后指出其中一种测量方案不可行，请你回答下面的问题： （1）以上两位同学方案可行的是______的方案； （2）请你选择可行的方案，并说明它可行的理由； （3）请你将不可行的方案稍加修改，使其可行，并说明理由． 19. 如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F使得，连接． （1）求证：； （2）连接，若，平分，平分，求的度数． 20. （1）如图1，是等边三角形，点D、E分别在和的延长线上，且，当的度数确定时，的度数也随之确定． ①若，则 度； ②求证：； （2）如图2，是等边三角形，P是内一点，且，延长交于点D，延长交于点E，求证：． 21. 在数学综合实践课上，同学们开展对三角形折叠问题的探究活动． 如图1，在中，，，点是边上一点，点是边上一点，将沿着折叠，点的对应点是点． （1）奋进小组按图1的方式折叠，点与重合，将折叠后，点落在的延长线上，求的度数． （2）如图2，善思小组沿折叠后点落在的延长线上，此时， ①试说明； ②试探究线段，和的数量关系，并说明理由． （3）创新小组提出新的问题，折痕经过的中点时，即点是中点，当是等腰三角形时，请直接写出的度数． 22. 直角三角形中，，直线过点． （1）当时，如图①，分别过点，作于点，于点．求证：； （2）当，，时，如图②，点与点关于直线对称，连接．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿边向终点运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，点，到达相应的终点时停止运动，过点作于点，过点作于点，设运动时间为秒． ①________，当在路径上时，________；（用含的代数式表示） ②当点在线段段运动、与全等时，求的值． ③当点在的平分线上时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $