精品解析：吉林省四平市铁西区郭家店镇第一中学2025—2026学年 八年级上学期数学 期中测试卷

郭家店镇第一中学·八年级（上）阶段性质量检测 数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 点与点关于x轴对称，则（ ） A. B. C. −4 D. 4 3. 如图是折叠凳及其侧面上半部分三角形的示意图．若，则折叠凳的宽可能为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是等腰底边上的中线，点在上，且，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在和中，点B、D、C在同一直线上，已知，，添加以下条件后，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图在中，，，分别以点A和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线，交于点，连接，则的度数为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 在中，若，则的长为 ________． 8. 如图，D是的边上一点，，，．则的度数为______． 9. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，S△ABC＝15，DE＝3，AB＝6，则AC长是___． 10. 小明从镜子里看到对面电子钟的像如图所示，则实际时间是_____________． 11. 如图，在中，，，点C的坐标为，点B的坐标为，则A点的坐标是 __ ． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 如图，点M，N在上，，．求证：． 13. 如图，，于点，交于点，交于点，，，求的度数． 14. 如图，在中，，，通过尺规作图，得到直线和射线，仔细观察作图痕迹，完成下列问题： （1）直线是线段的________线，射线是的________线； （2）求的度数． 15. 如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点D作交于点E，交的延长线于点F． （1）证明：是等腰三角形； （2）若，求的长． 16. 如图，四边形中，，平分，于点F，的延长线于点E． （1）求证：． （2）若，求的长． 17. 如图，三个顶点的坐标分别是，，， （1）请画出向左平移6个单位长度后得到的，并写出点的坐标； （2）请画出关于x轴对称的，并写出点的坐标； （3）在y轴上求一点P使周长最小，请标出点P的位置 18. 如图，，都是等边三角形，相交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 19. 如图，在中，于点，平分交于点． （1）若，求的度数； （2）若是的中线，，，的周长比周长小，求的长． 20. 在学完“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”后，小明将含有角的两个三角板按如图①所示摆放在一起进行探究． [提出问题]如图②，在中，，，请你参考图①的提示，求证：； [解决问题]如图③，在中，于点，于点，交于点，已知，，，求的长 21. 材料阅读：如图1，在中，，分别平分，，连接． 求证：平分． 小星同学看到，分别平分，，想到了角平分线的性质，他过点分别作，，的垂线段，，，得到，，之间的数量关系，从而证明平分． （1）请用小星的方法或自己的方法证明平分； （2）方法应用：如图2，在中，是的延长线上一点，分别平分，，连接． ① 探究与之间的数量关系，并说明理由； ② 当时，如图3，过点作交于点，连接并延长交于点，与交于点，探究，与之间的数量关系． 22. 如图，长方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝6cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿矩形的边A—B—C—D—A返回到点A停止，点P的运动时间为t秒． （1）当t＝3秒时，BP＝ cm； （2）当t为何值时，连结CP，DP，△CDP为等腰三角形； （3）Q为AD边上的点，且DQ＝5，当t为何值时，以长方形的两个顶点及点P为顶点的三角形与△DCQ全等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 郭家店镇第一中学·八年级（上）阶段性质量检测 数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义． 2. 点与点关于x轴对称，则（ ） A. B. C. −4 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查关于x轴对称的性质和已知字母的值求代数式的值，根据关于x轴对称的点的坐标特征，则它们的横坐标相等，纵坐标互为相反数，建立方程组求解，再代入代数式求解即可． 【详解】解：∵点与点关于x轴对称， ∴，解得， 因此，． 故选：D． 3. 如图是折叠凳及其侧面上半部分三角形的示意图．若，则折叠凳的宽可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系的应用，根据三角形的任意两边之和大于第三边，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴折叠凳的宽可能为； 故选D． 4. 如图，是等腰底边上的中线，点在上，且，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，三角形内角和定理，垂直平分线的性质的运用，掌握等腰三角形的判定及性质，是解题的关键． 根据等腰三角形的定义可得，，由是中线可得，，，则是的垂直平分线，由此可得，，由，可得，根据即可求解． 【详解】解：∵是等腰三角形，， ∴，， ∵是上的中线，且， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 故选：D ． 5. 如图，在和中，点B、D、C在同一直线上，已知，，添加以下条件后，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角．根据全等三角形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：∵，， A、添加，利用能判定，故该选项不符合题意； B、添加，则，利用能判定，故该选项不符合题意； C、添加，利用能判定，故该选项不符合题意； D、添加，利用不能判定，故该选项符合题意； 故选：D． 6. 如图在中，，，分别以点A和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线，交于点，连接，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、垂直平分线的作法与性质、等边对等角等知识点，掌握中垂线的作法是解题的关键． 根据内角和定理求得，由中垂线性质知，即，然后根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由作图可知：为的中垂线， ∴， ∴， ∴． 故选C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 在中，若，则的长为 ________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，根据题意得到是等边三角形，即可得出答案，掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：． 8. 如图，D是的边上一点，，，．则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查三角形外角的性质及三角形内角和定理，根据三角形外角的性质可得，结合，推出，利用三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：，， ， ， ， ． 故答案为： 9. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，S△ABC＝15，DE＝3，AB＝6，则AC长是___． 【答案】4 【解析】 【分析】作于，先利用角平分线的性质得到，再根据即可得． 【详解】解：如图，作于， 平分，， ， ， ， 解得， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键． 10. 小明从镜子里看到对面电子钟的像如图所示，则实际时间是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称及性质，平面镜成像，关键在于利用“像与物体关于镜面对称（左右相反）”这一特性，通过将镜子中的像进行左右翻转来确定实际时间．平面镜成像时，像与物体关于镜面对称，即像和物体左右相反，要得到实际时间，需将镜子中看到的电子钟像进行左右翻转，从而确定实际显示的时间。 【详解】解：平面镜成像遵循“像与物体关于镜面对称”的规律，这意味着镜子中呈现的像和实际物体在左右方向上是相反的， 对镜子中的像进行左右翻转观察镜子中电子钟的像，将其左右翻转后，得到的数字组合即为实际时间，由此可知实际时间为：． 故答案为：． 11. 如图，在中，，，点C的坐标为，点B的坐标为，则A点的坐标是 __ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定以及坐标与图形，过点作轴于点，过点作轴于点，构造，利用全等三角形的性质得到线段之间的关系，进而求出点的坐标． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， 点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， 轴，轴， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的坐标为， ，轴， ． 故答案为． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 如图，点M，N在上，，．求证：． 【答案】 证明：，， 和是等腰三角形， ，， ， 在与中， ， ， 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 根据等腰三角形的性质得出，进而利用证明与全等，利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】略 13. 如图，，于点，交于点，交于点，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，对顶角，垂直的定义，三角形外角性质的应用，根据全等三角形的性质得出，结合垂直求出，根据三角形外角性质得出即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 14. 如图，在中，，，通过尺规作图，得到直线和射线，仔细观察作图痕迹，完成下列问题： （1）直线是线段的________线，射线是的________线； （2）求的度数． 【答案】（1）线段垂直平分；角平分 （2）23° 【解析】 【分析】（1）根据作图痕迹判断即可； （2）根据角平分线的性质、线段垂直平分线的性质进行求解即可； 【小问1详解】 解：根据作图痕迹可知， 直线是线段的线段垂直平分线； 射线是的角平分线； 【小问2详解】 ∵垂直平分 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵平分 ∴ 【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键． 15. 如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点D作交于点E，交的延长线于点F． （1）证明：是等腰三角形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）6 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识点， （1）由，可知，再由，可知，然后余角的性质可推出，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出，于是得到结论； （2）根据含30度的直角三角形的性质和等边三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 16. 如图，四边形中，，平分，于点F，的延长线于点E． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵平分，，, ∴； ∴， ∴， ∴； ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质定理，掌握这两个知识点是解题的关键． （1）由角平分线的性质定理得，再由可证明，从而有；由即可求证结论成立； （2）证明，则；由得，则，由此即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 17. 如图，三个顶点的坐标分别是，，， （1）请画出向左平移6个单位长度后得到的，并写出点的坐标； （2）请画出关于x轴对称的，并写出点的坐标； （3）在y轴上求一点P使周长最小，请标出点P的位置 【答案】（1） 解：如图，即为所求，； ； （2） 解：如图，即为所求，； （3） 解：如图，点P即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了最短路线问题，轴对称变换，平移变换． （1）依据平移的方向和距离，即可得到及点的坐标； （2）依据轴对称的性质，即可得到及点的坐标； （3）依据轴对称的性质，作出点A关于y轴的对称点，连接交y轴于点P即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 如图，，都是等边三角形，相交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1） 证明：∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（）证明即可求证； （）由全等三角形的性质得，进而得到，即可求解； 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 19. 如图，在中，于点，平分交于点． （1）若，求的度数； （2）若是的中线，，，的周长比周长小，求的长． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线、高，熟记三角形的角平分线、中线、高的定义是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质求出，根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义求出，进而求出； （2）根据三角形的中线的性质得到，再根据三角形周长公式计算，得到答案． 【小问1详解】 解：， ， ， ，， ， 平分， ， ； 【小问2详解】 解：是的中线， ， ， ， 的周长比周长小， ， ， ， ． 20. 在学完“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”后，小明将含有角的两个三角板按如图①所示摆放在一起进行探究． [提出问题]如图②，在中，，，请你参考图①的提示，求证：； [解决问题]如图③，在中，于点，于点，交于点，已知，，，求的长 【答案】 [提出问题]证明：如图②，延长至点D，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴； [解决问题]25 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，正确理解题意构造等边三角形是解题的关键． 【提出问题】延长至点D，使，连接，证明，推出，进而证明是等边三角形，由此即可证明结论； 【解决问题】结合上一题结论可由，得，然后利用30度角所对的直角边等于斜边的一半即可解决问题． 【详解】[提出问题]略 [解决问题]解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 21. 材料阅读：如图1，在中，，分别平分，，连接． 求证：平分． 小星同学看到，分别平分，，想到了角平分线的性质，他过点分别作，，的垂线段，，，得到，，之间的数量关系，从而证明平分． （1）请用小星的方法或自己的方法证明平分； （2）方法应用：如图2，在中，是的延长线上一点，分别平分，，连接． ① 探究与之间的数量关系，并说明理由； ② 当时，如图3，过点作交于点，连接并延长交于点，与交于点，探究，与之间的数量关系． 【答案】（1） 证明：如图1，过点分别作，，，垂足分别为M，N，P． 平分， ∴． ∵平分， ∴． ∴． 又，， 平分． （2） ①． 理由如下： 如图2，过点分别作，交的延长线于点，过点分别作，，垂足分别为N，P． ∵平分，，， ∴，． ∵平分，，， ∴，． ∴． 又，， ∴平分． ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， 即． ② 【解析】 【分析】（1）过点分别作，，，垂足分别为M，N，P，通过角平分线的性质，可以得到，，从而得到，从而可以推出平分； （2）①． 理由如下：过点分别作，交的延长线于点，过点分别作，，垂足分别为N，P，通过角平分线的性质，先证明出平分，然后利用三角形的外角推出，；②在上截取，连接，由①，知，，接着证明，，从而得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ② 如图3，在上截取，连接． 由①，知，． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴平分． ∵平分， ∴． 由(1)，知平分． ∴． ∵， ∴． ∴， ∴，． 在和中，，，， ∴． ∴． ∴． ∴． 在和中，， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形外角的定义，三角形内角和定理，三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 22. 如图，长方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝6cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿矩形的边A—B—C—D—A返回到点A停止，点P的运动时间为t秒． （1）当t＝3秒时，BP＝ cm； （2）当t为何值时，连结CP，DP，△CDP为等腰三角形； （3）Q为AD边上的点，且DQ＝5，当t为何值时，以长方形的两个顶点及点P为顶点的三角形与△DCQ全等． 【答案】（1）2；（2）或或；（3）2.5或4.5或7.5或9.5 【解析】 【分析】（1）当t＝3秒时，点P运动到线段BC上，即可得到BP的长度； （2）根据题意，点P分别在AB、BC、 CD和AD 上运动，当P在CD上时，不存在三角形，所以要使△CDP为等腰三角形，则点P的位置可以有三个，以此为前提可确定点P位置，根据点P运动的位置，即可计算出时间． （3）根据题意，要使一个三角形与△DCQ全等，则点P的位置可以有四个，根据点P运动的位置，即可计算出时间． 【详解】解：（1）当t＝3秒时，点P走过的路程为：2×3＝6， ∵AB＝4， ∴点P运动到线段BC上， ∴BP＝6−4＝2cm， 故答案是：2； （2）①当P在AB上时，△PCD为等腰三角形， ∴ ， 在矩形ABCD中， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ . ②当P在BC上时，△DCP为等腰三角形， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ③当P在AD上时，△DCP为等腰三角形， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 综上所述或或时，△CDP为等腰三角形． （3）根据题意，如图，连接CQ，则AB＝CD＝4，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝，DQ＝5， ∴要使一个三角形与△DCQ全等，则另一条直角边必须等于DQ， ①当点P运动到时，C＝DQ＝5，此时△DCQ≌△CD， ∴点P的路程为：AB＋B＝4＋1＝5， ∴t＝5÷2＝2.5s， ②当点P运动到时，B＝DQ＝5，此时△CDQ≌△AB， ∴点P的路程为：AB＋B＝4＋5＝9， ∴t＝9÷2＝4.5s， ③当点P运动到时，A＝DQ＝5，此时△CDQ≌△AB， ∴点P的路程为：AB＋BC＋CD＋D＝4＋6＋4＋1＝15， ∴t＝15÷2＝7.5s， ④当点P运动到时，即P与Q重合时，D＝DQ＝5，此时△CDQ≌△CD， ∴点P的路程为：AB＋BC＋CD＋D＝4＋6＋4＋5＝19， ∴t＝19÷2＝9.5s， 综上所述，时间的值可以是：t＝2.5s，4.5s，7.5s或9.5s． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段的动点问题，等腰三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质及动点的运动状态，从而进行分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $