精品解析：天津市河东区部分校2026-2027学年上学期九年级期中考试数学试卷

2026-2027学年第一学期初三数学11月期中考试试卷 一、单选题（本大题共12小题，共36分） 1. 下列四个人工智能相关的图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此逐一判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．是中心对称图形，故此选项符合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 2. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A.  对称轴是直线 B.  顶点坐标为 C.  当时，随的增大而增大 D.  图象与轴交点的坐标是 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点式，确定对称轴、顶点坐标、开口方向及增减性，并计算与y轴的交点即可解答． 【详解】解：∵二次函数为， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， 选项A：对称轴应为直线，不是，故A说法错误，不符合题意； 选项B：顶点坐标应为，不是，故B说法错误，不符合题意； 选项C：∵， ∴抛物线开口向下，当时，y随x的增大而增大，故C说法正确，符合题意； 选项D：当时，， ∴与y轴交点坐标为 ，不是，故D说法错误，不符合题意． 3. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：， 移项得， 两边同时加，得， 即． 4. 若，两点都在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出反比例函数的解析式，再将代入反比例函数的解析式计算即可得出结果． 【详解】解：∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 将代入反比例函数得． 5. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据比例系数判断函数图象所在象限和增减性，再结合各点纵坐标的大小比较横坐标即可. 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象经过第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ∵点A纵坐标为，点B纵坐标为，点C纵坐标为， ∴A、B在第三象限，C在第一象限，可得，，， 又∵，第三象限内随的增大而减小， ∴， ∴. 6. 已知一元二次方程的一个根是，则的值是（ ） A. B. 3 C. 0 D. 0或3 【答案】A 【解析】 【分析】将已知根代入原方程，求解关于的一元一次方程即可． 【详解】解：把代入，得，即， 解得． 7. 抛物线的函数表达式为，若将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据左加右减，上加下减的规律求解即可． 【详解】解：平移后抛物线的函数表达式为． 8. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接．当点，，在同一条直线上时，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由旋转的性质可得，，求出，再结合计算即可得出结果． 【详解】解：由旋转的性质可得，， ∵点，，在同一条直线上， ∴， ∵， ∴， ∴． 9. 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”大意：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形田地的宽为步，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设这个矩形田地的宽为步，则长为步，根据矩形面积公式，列出方程即可． 【详解】解：设矩形田地的宽为步，则长为步， 由题意得：． 10. 已知反比例函数，下列结论不正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象在第一、三象限 C. 随着的增大而减小 D. 当时， 【答案】C 【解析】 【详解】解：由得，将代入解析式，得，故A正确； 函数图象在第一、三象限，故B正确； 该函数仅在每个象限内随的增大而减小，并非对任意都成立，故C错误； 当时，随的增大而减小，且时，故，D正确． 11. 如图，将（其中）绕着直角顶点逆时针方向旋转至，使点恰好落在线段上．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由旋转得，，，勾股定理算出，再用直角三角形等面积法，求出垂线，接着在中，根据勾股定理，得，最后由等腰三角形三线合一得． 【详解】如图，过点作于点， 由旋转的性质，得，，， 在中，根据勾股定理，得， ， ∵， ， ∴， ∵，， 在中，根据勾股定理，得， ， ，， ． 12. 如图，在矩形中，，．点P从点A出发，沿运动，速度为每秒2个单位长度；点Q从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，P，Q两点同时出发，当点Q运动到点B时，两点同时停止运动，设点Q的运动时间为t（秒）．连接，，． （1）当时，t的值为8 （2）当时，面积最大且最大面积为16 （3）t有三个不同的值，满足面积为9 其中，正确结论的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数的性质，一元二次方程的几何动点问题，三角形的面积等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）分当点P在上时和当点P在上时两种情况求解即可；（2）分三种情况讨论：点P在上时，时，时，再逐个情况作图，结合动点的速度和方向求得面积，利用二次函数和一次函数的性质即可作答；（3）当的面积为9时，由（2）三种情况列方程求解可得出结果，进而可得答案． 【详解】解：（1）当时，有两种情况： 当点P在上时，点P所走路程为，则（秒）； 当点P在上时，点P所走路程为，则（秒）， 则当时，t的值为4或8，故原结论错误； （2）①当点P在上时，，如图所示： 则，，， ， ∵， ∴当时，面积最大且最大面积为16； ②点P在时，，如图所示： 同理得， 则， ∴； ③点P在时，，如图所示： 同理得， ， ∴， 综上所述，当时，面积最大且最大面积为16，故原结论正确； （3）当时，由得：，（舍去）； 当时，由得：； 当时，由得（舍去） 综上所述，当的面积为9时，则或，故原结论错误． 综上，正确的结论有1个， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 13. 点的坐标是，则点关于原点的对称点的坐标_____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用关于原点对称的点的坐标规律，即对称点的横纵坐标分别是原坐标横纵坐标的相反数，直接求解即可． 【详解】解：∵点是点关于原点的对称点， ∴对称点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为． 14. 抛物线的对称轴是直线________． 【答案】 【解析】 【分析】已知抛物线为交点式，先求出抛物线与轴的两个交点横坐标，再利用抛物线的轴对称性计算中点横坐标，即可得到对称轴. 【详解】解：令，得， 解得，， 抛物线与轴两个交点的横坐标为和． 抛物线是轴对称图形，对称轴垂直于轴且经过两个交点的中点， 对称轴的横坐标为， 抛物线的对称轴是直线． 15. 已知反比例函数，当时，随增大而减小，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，当时，随增大而减小，可得比例系数，据此列不等式求解的范围． 【详解】解：∵反比例函数，当时，随增大而减小， ∴图象分布在一三象限， ∴ 解得． 16. 设，分别为一元二次方程的两个实数根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用一元二次方程根的定义得到，再根据根与系数的关系得到，整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴． 17. 如图，在菱形中，，将绕点逆时针旋转至，连接交线段于点． （1）若为的中点，则旋转角________． （2）若，，则________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质和旋转的性质得到，，再由三线合一定理可得答案； （2）过点F作于点G，根据菱形的性质和旋转的性质得到，；设，则，，可证明；利用直角三角形的性质结合勾股定理，可得答案． 【详解】解：（1）∵四边形是菱形， ∴，， 由旋转的性质可得， ∴， ∵F为的中点， ∴； （2）如图所示，过点F作于点G， ∵四边形是菱形， ∴，， 由旋转的性质可得， ∴， ∴； 设，则， ∴， ∴， ∴； ∵，， 在中，， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴． 18. 一块三角形材料如图所示：，，．用这块材料剪出一个矩形，其中，点D，E，F分别在上． ①当时，矩形的面积是______． ②当矩形面积为时，AE的长为______． ③矩形面积的最大值是______． 【答案】 ①. ②. 4或8 ③. 【解析】 【分析】①先求出，，，，进而得，由此可得出矩形的面积； ②设，则，由勾股定理得：，由（1）可知，则，再根据矩形面积为，得，，据此解得，，进而可得的长； ③设，矩形面积为S，由②可知，则当时，S为最大，最大值为，由此即可得出答案． 【详解】解：①在中，，，， ∴， 由勾股定理得：， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴矩形的面积是：， 故答案为：； ②设，则， 由勾股定理得：， 由（1）可知：， ∴， ∵矩形面积为， ∴， ∴， 解得：，， 当时，， 当时，， 综上所述：的长为4或8， 故答案为：4或8； ③设，矩形面积为S， 由②可知：， ∴当时，S为最大，最大值为， 即矩形面积的最大值是， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，二次函数的性质，勾股定理，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质，二次函数的最值，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共66分） 19. 解方程． （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）把化为一般式，计算，再根据求根公式求解即可. （2）把根据完全平方差公式展开，移项后化为一般式，再根据因式分解法求解即可. 【小问1详解】 解： ∵， ∴， ∴，. 【小问2详解】 解： ， ， ， ，. 20. 已知关于的方程． （1）若此方程的一个根为，则方程的另一个根为______； （2）求证：无论取何值，方程恒有两个不相等的实数根； （3）设该方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】（1）； （2） 证明：方程中， ，，， ， ， 无论取何值，， 无论取何值，方程恒有两个不相等的实数根； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系，解决本题的关键是根据一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关系得到关于的方程． 根据方程的一个根为，得到关于的一元一次方程，解一元一次方程得到的值，从而可得原方程为，解方程求出另一个根； 根据一元二次方程根的判别式可得：，根据平方的非负性可知，可证方程恒有两个不相等的实数根； 根据一元二次方程根与系数的关系可得：，，根据，可得关于的方程，解方程求出的值． 【小问1详解】 解：是方程的一个根， ， 解得：， 方程为， 解得：，， 方程的另一个根是， 故答案为：； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：，分别是方程的两个实数根， ，， ， ， 解得：． 21. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，且关于直线对称，点的坐标为． （1）的两根分别是_______； （2）此二次函数的解析式是_______； （3）当时，的取值范围是_______； （4）当时，的取值范围_______； （5）若直线与该二次函数的图象有公共点，则的取值范围是_______． 【答案】（1）或3 （2） （3）或 （4） （5） 【解析】 【分析】（1）首先根据对称性求出，根据二次函数和一元二次方程的关系求解； （2）利用待定系数法求解； （3）找到x轴上方的图象对应的x的取值范围即可； （4）首先将表达式配方成顶点式，然后求出y的最小值，然后分别将和代入表达式求解比较得到最大值即可； （5）根据顶点式得到顶点坐标为，即最低点的纵坐标为，然后结合图象求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象与轴交于，两点，且关于直线对称 ∴ ∴的两根分别是或3； 【小问2详解】 解：将，代入得， 解得 ∴此二次函数的解析式是； 【小问3详解】 解：由图象得，当时，的取值范围是或； 【小问4详解】 解：∵， ∴y的最小值为， 当时，， 当时，， ∴由图象得，当时，y的最大值为5， ∴当时，的取值范围； 【小问5详解】 解：∵的顶点坐标为，即最低点的纵坐标为， ∴由图象得，若直线与该二次函数的图象有公共点，则的取值范围是． 22. 如图，将绕点逆时针旋转后得到，点恰好在的延长线上． （1）若，求的度数； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由旋转得为等腰直角三角形，因此，根据三角形的内角和定理求出，再由旋转的性质求解即可； （2）由旋转得，，因此，由三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：由旋转得，， 为等腰直角三角形， ， ， ， 由旋转的性质，得； 【小问2详解】 解：由旋转得，， ， 为直角三角形， ． 23. 某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，国庆节期间，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，减少库存，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件． （1）每件童装降价x元时，每天可销售件________；（用x的代数式表示） （2）每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元？ （3）当x取何值时，平均每天盈利最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）；（2）20；（3）当时，平均每天盈利最大，最大利润是1250元 【解析】 【分析】（1）因为每件童装降价1元，那么平均可多售出2件，则降价x元，则多售出2x件，根据销售量=原销售量+多售出的件数，列式即可； （2）根据总利润=每件利润乘以销售数量，列方程求解可得； （3）根据总利润=每件利润乘以销售数量，求最大值即可求解． 【详解】解：（1）每件童装降价x元时，每天可销售件件； （2）根据题意得： ， 解得： ， ∵以扩大销售量，减少库存， ∴不合题意，舍去， 答：每件童装降价20元时，平均每天盈利1200元； （3）设平均每天盈利为w元，根据题意得： ， ∴当时，平均每天盈利最大，最大利润是1250元． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，二次函数的最值问题，理解题意找到题目蕴含的等量关系是列方程求解的关键． 24. 在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为． （1）如图1，当时，求点D的坐标； （2）如图2，当点E落在的延长线上时，求点D的坐标； （3）当点D落在线段上时，直接写出点E的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点作轴于，由旋转的性质得出，，，由直角三角形的性质得出，，得出，即可得出点的坐标为； （2）过点作轴于，，于，则则，，由勾股定理得出AE=10，由面积法求出DH=，得出，由勾股定理得出，即可得出点的坐标为； （3）连接，作轴于，由旋转的性质得：，， 由等腰三角形的性质得出，得出，证出，由平行线的性质的，证出，证明，得出，，得出，即可得出答案． 【小问1详解】 解：过点作轴于，如图所示： ∵点，点， ∴，， ∵以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形， ∴，，， 在Rt中，，， ∴， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 过点作轴于，，于，如图所示： 则，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点的坐标为； 【小问3详解】 连接，作轴于，如图所示： 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴， ∴点的坐标为． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、旋转变换的性质、含角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出辅助线，属于中考压轴题． 25. 已知抛物线（，为常数，）经过点，其顶点为． （1）当时，求该抛物线顶点的坐标； （2）点是抛物线与轴的另一个交点，点是抛物线与轴的交点． ①若，求的值； ②过点作，与抛物线相交于点，以为边的的顶点在直线上，当取得最小值时，求的值． 【答案】（1）顶点的坐标为 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）先推导出，得到，进而推导出该抛物线的解析式为，则该抛物线顶点的坐标为，即可解答； （2）①先推导出，得点的坐标为，则该抛物线的解析式为，进而推导出点的坐标为，再根据勾股定理，得到，求出b的值为，即可解答； ②先求出直线的解析式为，点的坐标为，由，求出直线的解析式为，由，求出点的坐标为，可得，推导出，得到当，，三点共线时，取得最小值，得到，则，解得（舍），，即可解答． 【小问1详解】 解：抛物线经过点， ． ， ， 该抛物线的解析式为． ． 该抛物线顶点的坐标为． 【小问2详解】 解：①， ． 得点的坐标为． 该抛物线的解析式为． 由，得 ． 解得，． 点的坐标为． ， ． ． ． 解得（舍去），． 的值为． ②设直线的解析式为， 将点，点，分别代入，得 ， 解得， ∴直线的解析式为， ． 点的坐标为． 由，设直线的解析式为， 将代入，得 ， 解得， ∴直线的解析式为． 由，得 （舍去），． 点的坐标为．可得． 的顶点在直线上， 点在直线上，且，． ． 当，，三点共线时，取得最小值． 的最小值为， ． 得． 即． ． ． 解得（舍），． 的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期初三数学11月期中考试试卷 一、单选题（本大题共12小题，共36分） 1. 下列四个人工智能相关的图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A.  对称轴是直线 B.  顶点坐标为 C.  当时，随的增大而增大 D.  图象与轴交点的坐标是 3. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 若，两点都在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 5. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 已知一元二次方程的一个根是，则的值是（ ） A. B. 3 C. 0 D. 0或3 7. 抛物线的函数表达式为，若将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接．当点，，在同一条直线上时，的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”大意：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形田地的宽为步，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知反比例函数，下列结论不正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象在第一、三象限 C. 随着的增大而减小 D. 当时， 11. 如图，将（其中）绕着直角顶点逆时针方向旋转至，使点恰好落在线段上．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在矩形中，，．点P从点A出发，沿运动，速度为每秒2个单位长度；点Q从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，P，Q两点同时出发，当点Q运动到点B时，两点同时停止运动，设点Q的运动时间为t（秒）．连接，，． （1）当时，t的值为8 （2）当时，面积最大且最大面积为16 （3）t有三个不同的值，满足面积为9 其中，正确结论的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 13. 点的坐标是，则点关于原点的对称点的坐标_____________． 14. 抛物线的对称轴是直线________． 15. 已知反比例函数，当时，随增大而减小，则的取值范围是________． 16. 设，分别为一元二次方程的两个实数根，则______． 17. 如图，在菱形中，，将绕点逆时针旋转至，连接交线段于点． （1）若为的中点，则旋转角________． （2）若，，则________． 18. 一块三角形材料如图所示：，，．用这块材料剪出一个矩形，其中，点D，E，F分别在上． ①当时，矩形的面积是______． ②当矩形面积为时，AE的长为______． ③矩形面积的最大值是______． 三、解答题（本大题共7小题，共66分） 19. 解方程． （1） （2） 20. 已知关于的方程． （1）若此方程的一个根为，则方程的另一个根为______； （2）求证：无论取何值，方程恒有两个不相等的实数根； （3）设该方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 21. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，且关于直线对称，点的坐标为． （1）的两根分别是_______； （2）此二次函数的解析式是_______； （3）当时，的取值范围是_______； （4）当时，的取值范围_______； （5）若直线与该二次函数的图象有公共点，则的取值范围是_______． 22. 如图，将绕点逆时针旋转后得到，点恰好在的延长线上． （1）若，求的度数； （2）若，，求的面积． 23. 某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，国庆节期间，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，减少库存，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件． （1）每件童装降价x元时，每天可销售件________；（用x的代数式表示） （2）每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元？ （3）当x取何值时，平均每天盈利最大？最大利润是多少？ 24. 在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为． （1）如图1，当时，求点D的坐标； （2）如图2，当点E落在的延长线上时，求点D的坐标； （3）当点D落在线段上时，直接写出点E的坐标． 25. 已知抛物线（，为常数，）经过点，其顶点为． （1）当时，求该抛物线顶点的坐标； （2）点是抛物线与轴的另一个交点，点是抛物线与轴的交点． ①若，求的值； ②过点作，与抛物线相交于点，以为边的的顶点在直线上，当取得最小值时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $