精品解析：广东阳江市第二中学2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试题

2026-2027学年度第一学期九年级数学大练习卷 一、选择题：（每小题3分，共30分） 1. 已知关于x的方程的一个根为，则实数m的值为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由一元二次方程的解求参数，熟练掌握方程的解的定义是解题的关键．将已知根代入方程，解关于的一元一次方程即可． 【详解】解：根据题意，将代入方程得： 化简得： 解得， 故选：B． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点式可得顶点坐标为即可得到结果． 【详解】∵二次函数解析式为 ， ∴顶点坐标为； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数顶点式的顶点坐标的求解，准确理解是解题的关键． 3. 若反比例函数（）的图象经过点，则k的值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把点代入反比例函数解析式即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数（）的图象经过点， ∴， 解得， 故选：B 【点睛】此题考查了反比例函数，把点的坐标代入函数解析式准确计算是解题的关键． 4. 在对一元二次方程计算时，下列判断错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式．熟练掌握一元二次方程的一般形式： ，其中，，分别为二次项系数，一次项系数和常数项，是解题的关键．将方程转化为一般形式，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选C． 5. 一元二次方程配方后可化为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为 1 ；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上 4 ，然后把方程左边写成完全平方形式即可． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：， 即． 故选：A． 6. 已知抛物线，若点都在该抛物线上，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据三点与对称轴的距离大小关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴是直线， ∴离对称轴越远，函数值越小． ∵，，， ∴． 故选D． 7. 已知反比例函数，下列说法中正确的是（ ） A. 点在函数图象上 B. 随的增大而减小 C. 该函数的图象分布在第一、三象限 D. 若点和在该函数图象上，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质逐一进行判断即可得． 【详解】A、当时，，∴点不在函数图象上，故该选项不正确； B、∵，在每个象限内，随的增大而减小，故该选项不正确； C、∵，∴该函数的图象分布在第一、三象限，故该选项正确； D、∵，∴随的增大而减小，∵，∴，故该选项不正确； 故选：C． 8. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．由关于的一元二次方程两个不相等的实数根，可得且，解此不等式组即可求得答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ， ， 的取值范围是：且． 故选：A． 9. 已知点，在反比例函数的图象上，则，满足（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用反比例函数图象上点的坐标满足函数解析式，分别用表示出和，再整理得到二者的关系式即可． 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上， ∴将点坐标代入解析式得：，， 由变形得， 又∵， ∴， 移项得． 10. 第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”将自然奇观与人文精神进行巧妙融合，其中浪潮设计借助了黄金分割比以给人协调的美感．如图，若点可看作是线段的黄金分割点（），，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】若点是线段的黄金分割点（），则有．列方程即可求解． 【详解】解：设的长为，， 根据黄金分割的定义，得， 化简，整理得， 解得或（不符合题意，舍去） 即的长是． 二、填空题：（每小题3分，共15分） 11. 把抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为________（化为一般式）． 【答案】 【解析】 【分析】依据抛物线平移的“左加右减，上加下减”规律，先推导平移后的顶点式，再整理为题目要求的一般式即可． 【详解】解：原抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，对应的解析式为， 将上式展开整理为一般式， ． 12. 请你写出一个反比例函数的解析式，使它的图象在第二、四象限___． 【答案】y=-（答案不唯一）． 【解析】 【详解】试题解析：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴所求的反比例函数解析式为y=-．（答案不唯一）． 考点：反比例函数的性质． 13. 如图四边形ABCD是平行四边形，CD在x轴上，点B在y轴上，反比例函数的图象经过第一象限点A，且平行四边形ABCD的面积为6，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】过点A作AE⊥CD于点E，然后平行四边形的性质可知△AED≌△BOC，进而可得矩形ABOE的面积与平行四边形ABCD的面积相等，最后根据反比例函数k的几何意义可求解． 【详解】解：过点A作AE⊥CD于点E，如图所示： ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∴， ∴△AED≌△BOC（AAS）， ∵平行四边形ABCD的面积为6， ∴， ∴； 故答案为6． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质及反比例函数k的几何意义，熟练掌握平行四边形的性质及反比例函数k的几何意义是解题的关键． 14. 二次函数的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】二次函数二次项系数大于0，开口向上，最小值为顶点的纵坐标，可通过配方计算得到． 【详解】解：， ∵， ∴当时，取得最小值，代入计算得最小值为． 15. 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降________米，水面宽8米． 【答案】## 【解析】 【分析】根据已知得出直角坐标系，通过代入A点坐标（3，0），求出二次函数解析式，再根据把x=4代入抛物线解析式得出下降高度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，由题意可得：AO=OB=3米，C坐标为（0，2）， 通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，把点A点坐标（3，0）代入得， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为：； 当水面下降，水面宽为8米时，有 把代入解析式，得； ∴水面下降米； 故答案为：； 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键． 三、解答题：（每小题8分，共24分） 16. 解方程： （1）； （2）； 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用直接开平方法计算即可． （2）利用配方法计算即可． 本题考查了配方法，直接开平方法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵, ∴， ∴或， 解得，． 【小问2详解】 解：∵, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得，． 17. 新能源汽车因为节能、环保，越来越受到消费者的喜爱，各种品牌的新能源汽车相继投放市场，我国新能源汽车近几年的销售量稳居全球第一．已知2023年7月~9月某国产品牌新能源汽车的销售量数据如下表所示： 月份 7月 8月 9月 新能源汽车销售量/万辆 求2023年7月~9月该国产品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． 【答案】 2023年7月~9月该国产品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为 【解析】 【分析】设月平均增长率为，根据7月销售量结合月平均增长率表示出9月销售量，列一元二次方程求解． 【详解】解：设2023年7月~9月该国产品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为， 根据题意，得， 解得，， ∵月平均增长率为正数， ∴不符合题意，舍去． 答：2023年7月~9月该国产品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为． 18. 将抛物线平移后经过，两点，求平移后的抛物线的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，待定系数法求二次函数的解析式等，利用函数图象平移不改变图象的形状得出二次项的系数不变是解题的关键；根据函数图象平移不改变图象的形状，可得二次项的系数不变，设出平移后的解析式，然后把点，代入所设的解析式，根据待定系数法，可得函数解析式． 【详解】解：设将抛物线平移后的抛物线的解析式为， 代入，两点，可得 ， 解得， 平移后的抛物线的解析式为． 四、解答题：（每小题9分，共27分） 19. 已知二次函数（m为常数）． （1）若点在该函数图象上，则______； （2）证明：该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点． 【答案】（1）2 （2） 证明：∵， ∴， ∴， ∴该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系： （1）把代入函数解析式，进行求解即可； （2）求出的符号，即可得证． 【小问1详解】 解：把代入，得， 解得； 【小问2详解】 略 20. 某水果批发商销售每箱进价为元的苹果，在确保每箱苹果的售价不低于元的情况下，物价部门规定，每箱苹果售价不高于元，经市场调查发现，平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系如图所示． （1）求平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式；并写出的取值范围； （2）求平均每天的销售利润（元）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式；并求出当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润；最大利润是多少元？ 【答案】（1）函数关系式为，的取值范围是． （2）函数关系式为，当每箱苹果售价为元时，可获得最大利润，最大利润为元． 【解析】 【分析】（1）根据图像，平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间是一次函数关系，设函数解析式代入已知点求解即可，售价需满足不低于进价元，且不高于物价部门规定的元； （2）根据平均每天的销售利润（元）每箱苹果的利润平均每天的销售量（箱），将有关代数式代入公式中，可以得到平均每天的销售利润（元）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式为开口向下的二次函数，结合的取值范围和二次函数的对称轴即可确定的最大值． 【小问1详解】 解：由图像可知，与是一次函数关系， 设函数解析式为， 已知图像上两点和， 代入解析式中可得 ， 解得， 函数关系式为． 根据题目条件，售价需不低于每箱进价元，且不高于物价部门规定的元， 的取值范围是． 【小问2详解】 根据利润的计算公式：平均每天的销售利润（元）每箱苹果的利润平均每天的销售量（箱），即． 将（1）中得到的代入利润公式，整理得， ， 这是一个开口向下的二次函数，其对称轴为． 的取值范围是， 该区间在对称轴左侧，随的增大而增大， 当时，取得最大值，（元）， 当每箱苹果售价为元时，可获得最大利润元． 21. 跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最低处时（绳子最低点刚好与地面接触），其形状可视为一条抛物线．根据以下素材，探索完成任务． 如何跳绳？ 素材1 如图①是小新与小宇将绳子甩到最低处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为，并且相距，现以两人的站立点所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，其中小新拿绳子的手的坐标是，绳子甩到最低点时坐标是 素材2 跳绳比赛形式为： 多人逐个跳（如图②） 问题解决 任务1 求图①中抛物线的函数表达式 任务2 小龙跑到绳子下方距小新处，为确保小龙能跳过绳子，请求出他至少跳得高于地面的高度 任务3 多人逐个跳时，最高能跳的小皓跑到绳子下方，设他在绳子下方跳起的位置的横坐标为，为确保他能跳过绳子，请求出的取值范围 【答案】任务1：；任务2：；任务3： 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的应用，正确求出函数解析式是关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出当时的函数值即可； （3）求出时的自变量的值即可得到答案． 【详解】解：任务1：由题意可知，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把代入得到，， 解得， ∴图①中抛物线的函数表达式为； 任务2：当时，， 即为确保小龙能跳过绳子，他至少跳得高于地面的高度为； 任务3：令，， 解得， 抛物线上两点的坐标分别为， ∵最高能跳的小皓跑到绳子下方，设他在绳子下方跳起的位置的横坐标为， ∴为确保他能跳过绳子，的取值范围为． 五、解答题：（第22题12分，第23题12分） 22. 【回归课本】一元二次方程有两个根，，则可得到一元二次方程根与系数的关系：，． （1）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，， ①当时，则的值为________． ②已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，求实数k的取值范围． 【探究引申】设一元三次方程有三个根，，，则原方程可化为：，试着展开上式，然后比较系数，可以得到根与系数的关系：，，． （2）利用上式结论解题：已知关于x的一元三次方程有三个根，，，求的最小值． 【答案】（1）① ② （2） 【解析】 【分析】（1）①根据一元二次方程根与系数的关系，代入k值，化简等式，然后再求出代数式的值； ②一元二次方程有两个实数根，因此判别式，代入系数计算判别式，解不等式求出k的取值范围． （2）根据一元三次方程根与系数的关系，求出、以及的值，然后对所求式子变形，用上述计算出的式子来表示，然后利用配方法求最值就可． 【小问1详解】 解：① 对于一元二次方程， 根据根与系数的关系得：，​， 当时，代入得：，， ∴． ②∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 即， 解得． 【小问2详解】 解：一元三次方程中，，，，，且有三个根，，， ∴， ， ， ∴ ． ∵，​ ∴当时，原式取得最小值．​ 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点．与轴交于点．直线经过点、与轴交于点． （1）求的值及抛物线的函数表达式； （2）若线段在抛物线的对称轴上运动，且，求四边形周长最小时点的坐标； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位长度，点为平移后的抛物线对称轴上一动点，请问是否存在以，，为顶点的直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在．说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在，、、、 【解析】 【分析】（1）将点代入直线方程求，得到点坐标，再代入抛物线交点式求系数，展开得抛物线表达式； （2）、为定长，将周长最小转化为求的最小值；通过平移构造平行四边形、作轴对称，利用两点之间线段最短确定点位置，联立直线与对称轴求解； （3）先根据平移方向与距离，得出平移后抛物线的对称轴，设点坐标；分三个顶点分别为直角，利用勾股定理列方程求解． 【小问1详解】 解：∵直线与轴交于点， ∴把，代入得， 解得， ∴直线解析式为， ∵直线经过点，且点在轴上， ∴令，得， ∴， ∵抛物线与轴交于点， ∴把代入，得， 解得， ∴， 综上所述，，抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形的周长为：， ∴求四边形周长的最小值，只需求的最小值， ∵抛物线的函数表达式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵、在直线上，且，在上方， ∴设，， 如图：把点向上平移2个单位得，作与关于直线对称，则，连接、、、、， 在四边形中， ∵轴，轴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵与关于直线对称，在直线上， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当点在与直线的交点处时，最小， 设直线的函数解析式为， 把，代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， ∵当时，， ∴； 【小问3详解】 解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴令，得， 解得：或， ∵在左侧， ∴，， ∵由（1）知，， ∴，， ∴， ∵抛物线沿射线方向平移个单位长度，且在抛物线上，， ∴点沿射线方向平移个单位长度后与点重合， ∵，， ∴抛物线沿射线方向平移个单位长度可看作整体向左平移3个单位长度，向上平移3个单位长度，如图： ∵抛物线的对称轴为直线， ∴平移后对称轴为直线， ∵点为平移后的抛物线对称轴上一动点， ∴设， ∵，， ∴，， ， 若，如图： 则， ∴， 解得， ∴， 若，如图： 则， ∴， 解得或， ∴或， 若，如图： 则， ∴， 解得， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期九年级数学大练习卷 一、选择题：（每小题3分，共30分） 1. 已知关于x的方程的一个根为，则实数m的值为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 若反比例函数（）的图象经过点，则k的值是（ ） A. 2 B. C. D. 4. 在对一元二次方程计算时，下列判断错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程配方后可化为（ ）． A. B. C. D. 6. 已知抛物线，若点都在该抛物线上，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 7. 已知反比例函数，下列说法中正确的是（ ） A. 点在函数图象上 B. 随的增大而减小 C. 该函数的图象分布在第一、三象限 D. 若点和在该函数图象上，则 8. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 9. 已知点，在反比例函数的图象上，则，满足（ ） A. B. C. D. 10. 第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”将自然奇观与人文精神进行巧妙融合，其中浪潮设计借助了黄金分割比以给人协调的美感．如图，若点可看作是线段的黄金分割点（），，则的长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（每小题3分，共15分） 11. 把抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为________（化为一般式）． 12. 请你写出一个反比例函数的解析式，使它的图象在第二、四象限___． 13. 如图四边形ABCD是平行四边形，CD在x轴上，点B在y轴上，反比例函数的图象经过第一象限点A，且平行四边形ABCD的面积为6，则______． 14. 二次函数的最小值为___________． 15. 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降________米，水面宽8米． 三、解答题：（每小题8分，共24分） 16. 解方程： （1）； （2）； 17. 新能源汽车因为节能、环保，越来越受到消费者的喜爱，各种品牌的新能源汽车相继投放市场，我国新能源汽车近几年的销售量稳居全球第一．已知2023年7月~9月某国产品牌新能源汽车的销售量数据如下表所示： 月份 7月 8月 9月 新能源汽车销售量/万辆 求2023年7月~9月该国产品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． 18. 将抛物线平移后经过，两点，求平移后的抛物线的解析式． 四、解答题：（每小题9分，共27分） 19. 已知二次函数（m为常数）． （1）若点在该函数图象上，则______； （2）证明：该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点． 20. 某水果批发商销售每箱进价为元的苹果，在确保每箱苹果的售价不低于元的情况下，物价部门规定，每箱苹果售价不高于元，经市场调查发现，平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系如图所示． （1）求平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式；并写出的取值范围； （2）求平均每天的销售利润（元）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式；并求出当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润；最大利润是多少元？ 21. 跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最低处时（绳子最低点刚好与地面接触），其形状可视为一条抛物线．根据以下素材，探索完成任务． 如何跳绳？ 素材1 如图①是小新与小宇将绳子甩到最低处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为，并且相距，现以两人的站立点所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，其中小新拿绳子的手的坐标是，绳子甩到最低点时坐标是 素材2 跳绳比赛形式为： 多人逐个跳（如图②） 问题解决 任务1 求图①中抛物线的函数表达式 任务2 小龙跑到绳子下方距小新处，为确保小龙能跳过绳子，请求出他至少跳得高于地面的高度 任务3 多人逐个跳时，最高能跳的小皓跑到绳子下方，设他在绳子下方跳起的位置的横坐标为，为确保他能跳过绳子，请求出的取值范围 五、解答题：（第22题12分，第23题12分） 22. 【回归课本】一元二次方程有两个根，，则可得到一元二次方程根与系数的关系：，． （1）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，， ①当时，则的值为________． ②已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，求实数k的取值范围． 【探究引申】设一元三次方程有三个根，，，则原方程可化为：，试着展开上式，然后比较系数，可以得到根与系数的关系：，，． （2）利用上式结论解题：已知关于x的一元三次方程有三个根，，，求的最小值． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点．与轴交于点．直线经过点、与轴交于点． （1）求的值及抛物线的函数表达式； （2）若线段在抛物线的对称轴上运动，且，求四边形周长最小时点的坐标； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位长度，点为平移后的抛物线对称轴上一动点，请问是否存在以，，为顶点的直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在．说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $