精品解析：广东省阳江市第二中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

2024-2025九年级数学第一学期10月素养测评 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A. x2+3x+y＝0 B. x+y+1＝0 C. x2+x﹣1＝0 D. x2++5＝0 2. 下列图形，是中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 3. 已知关于x的方程有实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 4. 点是二次函数的图象上两点，则与的大小系为（　　） A. B. C. D. 无法确定 5. 把抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（ ） A. y＝2（x+3）2+4 B. y＝2（x+3）2﹣4 C. y＝2（x﹣3）2﹣4 D. y＝2（x﹣3）2+4 6. 如图，将绕点C顺时针旋转得到，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象的顶点坐标是 C. 当时，随的增大而增大 D. 图象与轴有唯一交点 8. 函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为（　　） A. 1000（1+x）2＝1000+440 B. 1000（1+x）2＝440 C. 440（1+x）2＝1000 D. 1000（1+2x）＝1000+440 10. 如图，抛物线与x轴交于点和B，与y轴交于点C．下列结论：①，②，③，④，⑤． 其中正确的结论个数为（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知点M（a，b）与点N（-2，3）关于原点中心对称，则M点的坐标为___________． 12. 菱形的一条对角线长为，边的长是方程的一个根，则菱形的周长为____________． 13. m是方程2x2+3x﹣1＝0的根，则式子4m2+6m+2021的值为 _____． 14. 如图所示的美丽图案，可以看作是由一个三角形绕旋转中心旋转每次旋转____度形成的． 15. 如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的．正常水位时，大孔水面宽度为，顶点距水面，小孔顶点距水面．当水位上涨刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度为________． 三、解答题（每小题7分，共21分） 16. 解方程 （1）； （2）． 17. 已知一个二次函数的图像经过、、三点. （1）求这个二次函数的解析式； （2）将这个二次函数图像平移，使顶点移到点的位置，求所得新抛物线的解析式. 18. 已知：在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标； （2）画出将绕点按顺时针旋转所得的． 四、解答题（每小题9分，共27分） 19. 某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长，宽，中间镶有宽度相同的三条彩色图案． （1）若除去彩色图案剩余的面积共为，设彩色图案的宽度为acm，则可列方程为______；（要求用原数列方程，不要求化简） （2）已知该工艺品的成本是30元/件，物价局规定销售单价在35元至60元的范围内，如果以单价40元/件销售，那么每天可售出600件，另外每天除工艺品的成本外所需支付的各种费用是1000元，根据销售经验，如果将销售单价每上涨1元，每天就少售出10件，请问该公司每天把销售单价定为多少元时所获利润为9000元． 20. 已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2． （1）求实数k的取值范围； （2）若x1，x2满足x12+x22=16+x1x2，求实数k的值． 21. 如图，在中，点E在边上，，将线段绕A点旋转到的位置，使得，连接，与交于点G． （1）求证：； （2）若，求的度数． 五、解答题（第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 已知，如图抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点左侧．点的坐标为，． （1）求抛物线的解析式． （2）点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标． （3）若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值． 23. 如图，在等边三角形中，为边上一点，满足，连接，以点为中心，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在射线上． （1）求证：． （2）如图，若点关于直线的对称点为，直线交于点，连接． 求证：． 若，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025九年级数学第一学期10月素养测评 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A. x2+3x+y＝0 B. x+y+1＝0 C. x2+x﹣1＝0 D. x2++5＝0 【答案】C 【解析】 【分析】由题意直接根据一元二次方程的定义依次对各个选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．该方程含有两个未知数，此选项不符合题意； B．该方程含有两个未知数，此选项不符合题意； C．此方程符合一元二次方程，符合题意； D．此方程不是整式方程，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查一元二次方程定义，解题的关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 2. 下列图形，是中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义：将一个图形沿某点旋转得到的新图形与原图形重合的图形叫中心对称图形逐个判断即可得到答案． 【详解】解：A选项图形不是中心对称图形，不符合题意； B选项图形是中心对称图形，符合题意； C选项图形不是中心对称图形，不符合题意； D选项图形不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 3. 已知关于x的方程有实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式等知识，要注意根据一元一次方程、一元二次方程的定义分类讨论．当方程为一元一次方程时，可以得到；当方程为一元二次方程时，，根据一元二次方程根的判别式即可得到且，进而即可求出a的取值范围． 【详解】解：当方程为一元一次方程时，，此时方程有实数根； 当方程为一元二次方程时，，并且， 即， 解得， ∴且， 综上所述：关于x的方程有实数根，则a的取值范围是． 故选：A 4. 点是二次函数的图象上两点，则与的大小系为（　　） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】先得到该抛物线开口向上，且对称轴为直线，再由开口向上的二次函数离对称轴越远函数值越大进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴该抛物线开口向上，且对称轴为直线． ∵点是二次函数的图象上两点，且， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟知开口向上的二次函数离对称轴越远函数值越大是解题的关键． 5. 把抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（ ） A. y＝2（x+3）2+4 B. y＝2（x+3）2﹣4 C. y＝2（x﹣3）2﹣4 D. y＝2（x﹣3）2+4 【答案】A 【解析】 【详解】解：把抛物线y=2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数解析式为y=2（x+3）2+4． 故选A． 6. 如图，将绕点C顺时针旋转得到，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，根据旋转的性质，得，，得证；结合，得到，根据，选择即可． 【详解】解：根据旋转的性质，得，， ∴； ∵， ∴， ∵， 故选A． 7. 已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象的顶点坐标是 C. 当时，随的增大而增大 D. 图象与轴有唯一交点 【答案】C 【解析】 【分析】先利用配方法得到，可根据二次函数的性质可对、、进行判断；通过解方程可对进行判断． 【详解】解：， 抛物线的开口向下，顶点坐标为，抛物线的对称轴为直线，当 时，随的增大而增大， 令，则，解方程解得 ，， △， 抛物线与轴有两个交点． 故选：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质和二次函数的顶点式的知识点，熟悉相关性质是解题的关键． 8. 函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数图象的综合判断，熟练掌握一次函数图象、二次函数图象与各项系数符号之间的关系是解题的关键． 分两种情况讨论，当时和当时，结合一次函数与二次函数的图象和性质即可得出答案． 【详解】解：当时，一次函数的图象经过一、二、三象限，二次函数图象开口向上，对称轴为直线，且一次函数与二次函数交于点，符合条件的为选项C； 当时，一次函数的图象经过一、二、四象限，二次函数图象开口向下，对称轴为直线，且一次函数与二次函数交于点，没有符合条件的选项； 故选：C． 9. 共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为（　　） A. 1000（1+x）2＝1000+440 B. 1000（1+x）2＝440 C. 440（1+x）2＝1000 D. 1000（1+2x）＝1000+440 【答案】A 【解析】 【分析】根据第一个月的单车数量×(1+x)2=第三个月的单车数量可以列出相应的一元二次方程，进而可得答案． 【详解】解：由题意可得，1000（1+x）2＝1000+440． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用之增长率问题，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键． 10. 如图，抛物线与x轴交于点和B，与y轴交于点C．下列结论：①，②，③，④，⑤． 其中正确的结论个数为（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质，根据开口方向，与y轴交点的位置以及对称轴的位置得到，，即可判定①②；根据抛物线与x轴有两个不相等的交点即可判断③；根据当时，，即可判断④；根据函数图象经过点得到，再由，即可判定⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向上，于y轴交于负半轴， ∴， ∵抛物线对称轴在y轴和直线之间， ∴， ∴，即，故②错误； ∴，故①错误； 由函数图象可知，抛物线与x轴有两个不相等的交点， ∴， ∴，故③正确； ∵当时，， ∴，故④正确； ∵抛物线与x轴交于点， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴，故⑤正确； 故选B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知点M（a，b）与点N（-2，3）关于原点中心对称，则M点的坐标为___________． 【答案】（2，-3）． 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，即可求得． 【详解】∵点M（a，b）与点N（-2，3）关于原点中心对称 ∴a=2，b=-3 则M点的坐标为（2，-3） 故答案为：（2，-3） 【点睛】解题关键是理解并掌握关于原点对称的两个点的坐标符号相反． 12. 菱形的一条对角线长为，边的长是方程的一个根，则菱形的周长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】边AB的长是方程的一个根，解方程求得x的值，根据菱形的一条对角线长为8，根据三角形的三边关系可得出菱形的边长，即可求得菱形的周长． 【详解】∵解方程， 即， 得：， ∵对角线长为，不能构成三角形； ∴菱形的边长为． ∴菱形的周长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，由于菱形的对角线和两边组成了一个三角形，根据三角形三边的关系来判断出菱形的边长是多少，然后根据题目中的要求进行解答即可． 13. m是方程2x2+3x﹣1＝0的根，则式子4m2+6m+2021的值为 _____． 【答案】2023 【解析】 【分析】先根据一元二次方程根的定义得到2m2+3m＝1，再把4m2+6m+2021变形为2（2m2+3m）+2021，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵m是方程2x2+3x﹣1＝0的根， ∴2m2+3m﹣1＝0， ∴2m2+3m＝1， ∴4m2+6m+2021＝2（2m2+3m）+2021＝2×1+2021＝2023． 故答案为：2023． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 14. 如图所示的美丽图案，可以看作是由一个三角形绕旋转中心旋转每次旋转____度形成的． 【答案】45 【解析】 【分析】利用旋转中的三个要素（①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度）设计图案，进而判断出基本图形的旋转角度． 【详解】本题图案，可以看作是由一个三角形绕旋转中心旋转8次形成． 所以旋转角为= ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了图形的旋转，找到旋转中心和旋转次数，算出旋转角是解决本题的关键． 15. 如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的．正常水位时，大孔水面宽度为，顶点距水面，小孔顶点距水面．当水位上涨刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度为________． 【答案】10 【解析】 【分析】根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，可以得到A、B、M的坐标，设出函数关系式，待定系数求解函数式．根据NC的长度，得出函数的y坐标，代入解析式，即可得出E、F的坐标，进而得出答案． 【详解】 如图，建立如图所示的平面直角坐标系， 由题意得，M点坐标为(0，6)，A点坐标为(−10，0)，B点坐标为(10，0)， 设中间大抛物线的函数式为y=−ax2+bx+c， 代入三点的坐标得到， 解得． ∴函数式为y=−x2+6， ∵NC=4.5米， ∴令y=4.5米， 代入解析式得x1=5，x2=−5， ∴可得EF=5−(−5)=10米． 故答案为10． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练的掌握二次函数的应用． 三、解答题（每小题7分，共21分） 16. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，正确的计算是解题的关键： （1）利用配方法解方程组即可； （2）因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解： ∴； 【小问2详解】 ， ∴． 17. 已知一个二次函数的图像经过、、三点. （1）求这个二次函数的解析式； （2）将这个二次函数图像平移，使顶点移到点的位置，求所得新抛物线的解析式. 【答案】(1) ;(2) 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式； （2）利用顶点式写出所得新抛物线的表达式． 【详解】（1）设所求二次函数的解析式为：. 由题意，得 解得 该二次函数的解析式为. （2）新抛物线是由二次函数的图像平移所得， . 又顶点坐标是， . 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 18. 已知：在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标； （2）画出将绕点按顺时针旋转所得的． 【答案】 （1）如图所示，即为所求， 点的坐标为； （2）如图所示，即为所求． 【解析】 【分析】分别作出三顶点关于原点的对称点，再顺次连接即可得； 分别作出点、绕点按顺时针旋转所得的对应点，再顺次连接即可得． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】此题主要考查了图形的旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键． 四、解答题（每小题9分，共27分） 19. 某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长，宽，中间镶有宽度相同的三条彩色图案． （1）若除去彩色图案剩余的面积共为，设彩色图案的宽度为acm，则可列方程为______；（要求用原数列方程，不要求化简） （2）已知该工艺品的成本是30元/件，物价局规定销售单价在35元至60元的范围内，如果以单价40元/件销售，那么每天可售出600件，另外每天除工艺品的成本外所需支付的各种费用是1000元，根据销售经验，如果将销售单价每上涨1元，每天就少售出10件，请问该公司每天把销售单价定为多少元时所获利润为9000元． 【答案】（1） （2）当售价定为50元时能达到利润9000元 【解析】 【分析】（1）设花边的宽度为，根据题意列式即可； （2）设每件工艺品售价为x元，即，根据题意直接列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设花边的宽度为，根据题意得：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设每件工艺品售价为x元，即， 由题意得：， 化简：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴售价为50元． 答：当售价定为50元时能达到利润9000元． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，关键是根据题意得到一元二次方程，然后进行求解即可． 20. 已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2． （1）求实数k的取值范围； （2）若x1，x2满足x12+x22=16+x1x2，求实数k的值． 【答案】(1) k≤;(2)-2. 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=﹣4k+5≥0，解之即可得出实数k的取值范围； （2）由根与系数的关系可得x1+x2=1﹣2k、x1x2=k2﹣1，将其代入x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=16+x1x2中，解之即可得出k的值． 【详解】（1）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2， ∴△=（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）=﹣4k+5≥0，解得：k≤， ∴实数k的取值范围为k≤． （2）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2， ∴x1+x2=1﹣2k，x1x2=k2﹣1． ∵x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=16+x1x2， ∴（1﹣2k）2﹣2×（k2﹣1）=16+（k2﹣1）， 即k2﹣4k﹣12=0， 解得：k=﹣2或k=6（不符合题意，舍去）． ∴实数k的值为﹣2． 21. 如图，在中，点E在边上，，将线段绕A点旋转到的位置，使得，连接，与交于点G． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴． ∵将线段绕A点旋转到的位置， ∴． 在与中， ， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）利用等边对等角，结合三角形的内角和定理求出的度数，进而得到的度数，利用全等三角形的对应角相等，得到的度数，利用三角形的外角的性质求出的度数即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，三角形的内角和定理以及三角形的外角，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等，是解题的关键． 五、解答题（第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 已知，如图抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点左侧．点的坐标为，． （1）求抛物线的解析式． （2）点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标． （3）若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得点C的坐标，将点B、C的坐标代入抛物线即可求得答案； （2）因为抛物线的对称轴为，点B和点A关于对称轴对称，的值最小转化为求，结合（1）求得点A的坐标，利用点A、C的坐标求得直线解析式，即可求得答案； （3）过点D作直线轴，交于点E，交x轴于点F，过点C作于点G，利用抛物线和直线解析式表示点D和点E，求得的距离，将四边形面积分割求和，表示为一元二次函数，求该函数的最值即可解得答案； 【小问1详解】 解：∵点B的坐标为，， ∴，， 即点，代入得， 解得， 则抛物线的解析式； 【小问2详解】 解：由抛物线的解析式得对称轴为，， ∵点是抛物线对称轴上的一个动点， ∴， ∵点B关于对称轴的对称点为点A， ∴的值最小为，如图， 设直线的解析式为将点，代入得， 解得，则，当时，， 故当的值最小时，点； 【小问3详解】 解：过点D作直线轴，交于点E，交x轴于点F，过点C作于点G，如图， 设点，则点，得， ， ∵， ∴当时，， 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、二次函数的最值以及三角形的面积公式，解题的关键是函数图象上点的特征、用点的坐标表示距离和面积分割求解． 23. 如图，在等边三角形中，为边上一点，满足，连接，以点为中心，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在射线上． （1）求证：． （2）如图，若点关于直线的对称点为，直线交于点，连接． 求证：． 若，求的度数． 【答案】（1） 证明：根据旋转的性质可得：，， 是等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2） 证明：点与点关于直线对称， ，， ， ， 设， 则， ， ， ， ， ； ． 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得：，，根据是等边三角形，可得，，所以可证，根据可证，根据全等三角形对应边相等可证结论成立； ①首先设，把和分别用含的代数式表示出来，可得，根据同旁内角互补两直线平行可证中结论成立； ②由可知，根据可得，可以得到角之间的关系，根据角之间的关系列方程，解方程求出的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 如下图所示，连接 点与点关于直线对称， ， ， 由知， ，， 由可知， ， ， ， 由知， ， ， 解得：， 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，解决本题的关键运用代数方法表示各角的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $