精品解析：湖南岳阳市平江县南江中学2026-2027学年上学期 九年级数学阶段性测试卷

2026年上期南江九年级数学阶段性测试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 1. 下列四组线段中，是成比例线段的是（ ） A. 5cm、15cm、2cm、6cm B. 4cm、8cm、3cm、5cm C. 3cm、4cm、5cm、6cm D. 8cm、4cm、1cm、3cm 2. 若，则的值为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 3. 生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0．618，可以增加视觉美感，若图中为2米，则约为（ ） A. 1．24米 B. 1．38米 C. 1．42米 D. 1．62米 4. 下列各组图形一定相似的是（ ） A. 所有的等腰三角形都相似 B. 所有的等边三角形都相似 C. 所有的菱形都相似 D. 所有的矩形都相似 5. 如图，已知l1∥l2∥l3 , AB=3，BC=2，CD=1，那么下列式子中不成立的是（　　） A. EC∶CG=5∶1； B. EF∶FG=1∶1； C. EF∶FC=3∶2； D. EF∶EG=3∶5． 6. 已知在中，，下列阴影部分的三角形与原不相似的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在中，点分别在边上，且，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，有一块三角形余料ABC，它的面积为36，边cm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则加工成的正方形零件的边长为( )cm A. 8 B. 6 C. 4 D. 3 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 若，则_________． 10. 秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”如图是两片形状相同的枫叶图案，则x的值为____________． 11. 如图，△ABC中，D为BC上一点，∠BAD＝∠C，AB＝6，BD＝4，则CD的长为____． 12. 如图，在平面直角坐标系中，是的位似图形，位似中心为点O，位似比为，若点的对应点为，则点的坐标为________． 13. 如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，若，，则的长为________． 14. 如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是______（请填上编号）． 15. 我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问：邑方几何？”．其大意是：如图，一座正方形城池，A为北门中点，从点A往正北方向走30步到B处有一树木，C为西门中点，从点C往正西方向走750步到D处正好看到B处的树木，则正方形城池的边长为_____步． 16. 如图，在中，，，则________． 三、解答题：本题共6小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 如图，AD平分∠BAC，且∠C＝∠D，点E为AD上一点． （1）求证：△ABD∽△AEC． （2）若AC// BD，AB＝5，AC＝6，CE＝4，求AD的长． 18. 如图，利用标杆测量楼高，点A，D，B在同一直线上，，，垂足分别为E，C．若测得，，，楼高是多少？ 19. 如图，在中，的平分线交于点，点为线段的中点，，． （1）求证：； （2）若，求的面积． 20. 已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）． （1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是_______； （2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是_______； （3）△A2B2C2的面积是_______平方单位． 21. 如图，已知：在四边形中，，点E，F分别在，上，，． （1）求证： （2）若，求证：． 22. 如图，矩形中，E，F分别在上，将四边形沿翻折，使A的对称点P落在上，B的对称点为交于H． （1）求证：； （2）若P为中点，且，求长． 23. 已知，如图1，中，，点是边上的动点（不与点重合），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接与交于点． （1）如图1，在点的运动过程中，试探究与的数量关系，并说明理由． （2）如图2，当点运动到时，求的长． 24. 小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决．在中，点为边上一点，连接． （1）初步探究如图2，若，求证：； （2）尝试应用如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长； （3）创新提升如图4，点为中点，连接，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上期南江九年级数学阶段性测试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 1. 下列四组线段中，是成比例线段的是（ ） A. 5cm、15cm、2cm、6cm B. 4cm、8cm、3cm、5cm C. 3cm、4cm、5cm、6cm D. 8cm、4cm、1cm、3cm 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一． 【详解】解：A、，成比例线段，该选项符合题意； B、，不成比例线段，该选项不符合题意； C、，不成比例线段，该选项不符合题意； D、，不成比例线段，该选项不符合题意． 故选：A． 2. 若，则的值为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，再代入所求式子计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 3. 生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0．618，可以增加视觉美感，若图中为2米，则约为（ ） A. 1．24米 B. 1．38米 C. 1．42米 D. 1．62米 【答案】A 【解析】 【分析】根据a:b≈0.618，且b=2即可求解． 【详解】解：由题意可知，a:b≈0.618，代入b=2， ∴a≈2×0.618=1.236≈1.24． 故答案为：A 【点睛】本题考查了黄金分割比的定义，根据题中所给信息即可求解，本题属于基础题． 4. 下列各组图形一定相似的是（ ） A. 所有的等腰三角形都相似 B. 所有的等边三角形都相似 C. 所有的菱形都相似 D. 所有的矩形都相似 【答案】B 【解析】 【分析】根据对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形进行判断即可． 【详解】解：A.任意两个等腰三角形的对应边不一定成比例，不一定相似，A错误； B.任意两个等边三角形对应角相等、对应边成比例，一定相似，B正确； C.任意两个菱形的对应角不一定相等，不一定相似，C错误； D.任意两个矩形的对应边不一定成比例，不一定相似，D错误； 故选B． 【点睛】本题考查的是相似图形的判定，掌握对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形是解题的关键． 5. 如图，已知l1∥l2∥l3 , AB=3，BC=2，CD=1，那么下列式子中不成立的是（　　） A. EC∶CG=5∶1； B. EF∶FG=1∶1； C. EF∶FC=3∶2； D. EF∶EG=3∶5． 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理，可得AB:BC=EF:FC，AC:CD=EC:CG，AB:BD=EF:FG，AB:AD=EF:EG；根据AB=3，BC=2，CD=1，分别求出以上的比例，即可得出答案. 【详解】∵l1∥l2∥l3 ∴AB:BC=EF:FC，AC:CD=EC:CG，AB:BD=EF:FG，AB:AD=EF:EG. ∵AB=3，BC=2，CD=1， ∴AC=5，BD=3，AD=6， ∴AB:BC=3:2，AC:CD=5:1，AB:BD=1:1，AB:AD=1:2， ∴EF:FC=3:2，EC:CG=5:1，EF:FG=1:1，EF:EG=1:2. 故选D. 【点睛】此题考查平行线分线段成比例，解题关键在于结合实际运用平行线分线段成比例定理. 6. 已知在中，，下列阴影部分的三角形与原不相似的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键：有两组角对应相等的两个三角形相似，两组对应边的成比例且夹角对应相等的两个三角形相似． 【详解】解：A、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项A不符合题意； B、由两组对应边的成比例但是它们的夹角不一定相等，不可证阴影部分的三角形与原相似，故选项B符合题意； C、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项C不符合题意； D、两边对应成比例且它们的夹角相等，能证明阴影部分的三角形与原相似，故选项D不符合题意； 故选：B． 7. 如图，在中，点分别在边上，且，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似三角形平行线分线段成比例的性质，分别判定即可. 【详解】∵ ∴∠A=∠CEF，∠ADE=∠ABC，∠CFE=∠ABC，， ∴∠ADE=∠CFE，，C选项正确； ∴△ADE∽△EFC ∴，A选项正确； 又∵ ∴，D选项正确； ∵ ∴不成立 故答案为B. 【点睛】此题主要考查相似三角形平行线分线段成比例的运用，熟练掌握，即可解题. 8. 如图，有一块三角形余料ABC，它的面积为36，边cm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则加工成的正方形零件的边长为( )cm A. 8 B. 6 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先求出△ABC的高，再根据正方形边的平行关系，得出对应的相似三角形，即△AEF∽△ABC，从而根据相似三角形的性质求出正方形的边长. 【详解】作AH⊥BC，交BC于H，交EF于D. 设正方形的边长为xcm，则EF=DH= xcm， ∵△AB的面积为36，边cm， ∴AH=36×2÷12=6. ∵EF∥BC, ∴△AEF∽△ABC, ∴, ∴, ∴x=4. 故选C. 【点睛】本题考查综合考查相似三角形性质的应用以及正方形的有关性质，解题的关键是根据正方形的性质得到相似三角形． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】题干给出等式，要求的比值，解题核心是利用比例的基本性质对等式进行变形． 【详解】解：∵ ， 根据比例的基本性质，比例式中两外项的乘积等于两内项的乘积． ∴ 令与为比例的外项，与为比例的内项，可得到比例式． 10. 秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”如图是两片形状相同的枫叶图案，则x的值为____________． 【答案】11 【解析】 【分析】根据两个图案相似，列出比例式即可求解． 【详解】解：因为是两片形状相同的枫叶图案， 所以两个枫叶相似； 故； 解得，； 故答案为：11． 【点睛】本题考查了相似图形的性质，解题关键是根据相似图形对应线段成比例，列出比例式求解． 11. 如图，△ABC中，D为BC上一点，∠BAD＝∠C，AB＝6，BD＝4，则CD的长为____． 【答案】5 【解析】 【分析】利用角角定理证明△BAD∽△BCA，然后利用相似三角形的性质得到，求得BC的长，从而使问题得解． 【详解】解：∵∠BAD=∠C，∠B=∠B ∴△BAD∽△BCA ∴ ∵AB=6，BD=4 ∴ ∴BC=9 ∴CD=BC-BD=9-4=5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟记判定方法准确找到相似三角形对应边是本题的解题关键． 12. 如图，在平面直角坐标系中，是的位似图形，位似中心为点O，位似比为，若点的对应点为，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】结合位似的性质可得答案． 【详解】解：∵是的位似图形，位似中心为点，位似比为，点的对应点为 ∴的坐标为，即． 13. 如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，若，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理求出，根据//，得到，即可求出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，//，， 在中，， ∴， ∵是中点， ∴， ∵//， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质及判定，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键． 14. 如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是______（请填上编号）． 【答案】①③ 【解析】 【分析】分别求得四个三角形三边的长，再根据三角形三边分别成比例的两三角形相似来判定． 【详解】∵①中的三角形的三边分别是：2，，； ②中的三角形的三边分别是：3，，； ③中的三角形的三边分别是：2，2，2； ④中的三角形的三边分别是：3，，4； ∵①与③中的三角形的三边的比为：1： ∴①与③相似． 故答案为①③． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 15. 我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问：邑方几何？”．其大意是：如图，一座正方形城池，A为北门中点，从点A往正北方向走30步到B处有一树木，C为西门中点，从点C往正西方向走750步到D处正好看到B处的树木，则正方形城池的边长为_____步． 【答案】300． 【解析】 【分析】设正方形城池的边长为步, 根据比例性质求. 【详解】解：设正方形城池的边长为步, 即正方形城池的边长为300步． 故答案为300． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用：构建三角形相似，利用相似比计算对应的线段长． 16. 如图，在中，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查平行线分线段成比例定理，作出合适的辅助线是解题的关键． 过点D作交于点G，利用平行线分线段成比例定理求出，，进而可得答案． 【详解】解：如图，过点D作交于点G． ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 三、解答题：本题共6小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 如图，AD平分∠BAC，且∠C＝∠D，点E为AD上一点． （1）求证：△ABD∽△AEC． （2）若AC// BD，AB＝5，AC＝6，CE＝4，求AD的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据AA即可证明△ABD∽△AEC； （2）先证明△ACE是等腰三角形，再根据相似三角形列出比例式即可求解． 【小问1详解】 ∵AD平分∠BAC， ∴∠EAC＝∠BAD， 又∠C＝∠D， ∴△ABD∽△AEC； 【小问2详解】 ∵AC// BD， ∴∠CAE＝∠D， ∵∠C＝∠D， ∴∠CAE＝∠C ∴△ACE是等腰三角形， ∴AE=CE=4 ∵△ABD∽△AEC ∴ 故 ∴AD=． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知等腰三角形及相似三角形的判定定理． 18. 如图，利用标杆测量楼高，点A，D，B在同一直线上，，，垂足分别为E，C．若测得，，，楼高是多少？ 【答案】楼高是9米． 【解析】 【分析】先求出AC的长度，由∥，得到，即可求出BC的长度． 【详解】解：∵，， ∴m， ∵，， ∴∥， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴楼高是9米． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 19. 如图，在中，的平分线交于点，点为线段的中点，，． （1）求证：； （2）若，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∵点为线段的中点，，， ∴， ∴． （2）8 【解析】 【分析】（1）由题意可知，，，则，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可判定． （2）由是角平分线可得，由（1）可知，则，所以，过点作，则，可得， 得，即可求出的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作，，过点作， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知， ∴， ∴， 过点作，则， ∵，点为线段的中点， ∴， ∴， 在中，， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形判定与性质，角平分线的定义与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上的判定与性质是解题的关键． 20. 已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）． （1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是_______； （2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是_______； （3）△A2B2C2的面积是_______平方单位． 【答案】（1）（2，﹣2）； （2）（1，0）； （3）10． 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质得出平移后的图从而得到点的坐标； （2）根据位似图形的性质得出对应点位置，从而得到点的坐标； （3）利用等腰直角三角形的性质得出△A2B2C2的面积． 【详解】（1）如图所示：C1（2，﹣2）； 故答案为（2，﹣2）； （2）如图所示：C2（1，0）； 故答案为（1，0）； （3）∵，，， ∴△A2B2C2是等腰直角三角形， ∴△A2B2C2的面积是：（平方单位）． 故答案为10． 【点睛】本题主要考查作图一平移变换和位似变换，解题的关键是掌握平移变换和位似变换的定义和性质． 21. 如图，已知：在四边形中，，点E，F分别在，上，，． （1）求证： （2）若，求证：． 【答案】（1）证明：， ， ∵在和中， ， ， ． （2）证明：， ， ，即， ∵， ， ， 由（1）有， ， ． 【解析】 【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据三角形全等的判定可得，根据全等三角形的性质即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定可得，然后根据相似三角形的性质即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，矩形中，E，F分别在上，将四边形沿翻折，使A的对称点P落在上，B的对称点为交于H． （1）求证：； （2）若P为中点，且，求长． 【答案】（1） 证明：四边形是矩形， ， 将四边形沿翻折，点的对称点落在上， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质得，由折叠得，则，所以； （2）由，，得，，则，求得，则，由相似三角形的性质得，则，而，所以． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，，为中点， ，， ， ， 解得， ， ， ， ， ， ， 长为． 【点睛】此题重点考查矩形的性质、翻折变换的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，推导出，进而证明是解题的关键． 23. 已知，如图1，中，，点是边上的动点（不与点重合），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接与交于点． （1）如图1，在点的运动过程中，试探究与的数量关系，并说明理由． （2）如图2，当点运动到时，求的长． 【答案】（1）解： ，理由如下： 由旋转得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）证明即可得证； （2）先由勾股定理求解，然后根据等腰直角三角形求解，再证明得到即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ，， ∴， ∴， 在 中，， ∴，， ∴， 同理可求， ∵ ，， ∴， ∴， ∴， 解得：． 24. 小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决．在中，点为边上一点，连接． （1）初步探究如图2，若，求证：； （2）尝试应用如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长； （3）创新提升如图4，点为中点，连接，若，求的长． 【答案】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过证明，即可证明； （2）由（1）的结论结合可得，再利用相似三角形的性质求出即可； （3）取的中点，连接，，得到是的中位线，根据平行线的性质和等腰三角形的性质得到，从而得到，再根据含直角三角形的性质以及勾股定理得到，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可得， ∵点为中点， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，取的中点，连接，， ∵点为中点， ∴是的中位线， ∴， 又∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 由勾股定理可得，， ∴，即， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $