精品解析：湖南省岳阳市平江县三校2024-—2025学年上学期九年级第一次月考数学题

2024年下期九年级数学科学情调研 一、单选题（共10小题每小题3分共30分） 1. 一元二次方程的二次项系数，一次项系数与常数项分别是（ ） A. 1，5，1 B. 0，5， C. 1，5， D. 0，5，1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为（其中，，，是常数），其中，，分别叫做二次项系数，一次项系数，常数项，由此即可得出答案，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解此题的关键． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数，一次项系数与常数项分别是1，5，， 故选：C． 2. 方程中的根是（ ） A. B. ， C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程-因式分解法．方程利用因式分解法转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】解：方程， 所以或， 解得：． 故选：D． 3. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查配方法，使用配方法将方程转化为完全平方形式，通过添加一次项系数一半的平方完成配方即可． 【详解】解：， ， ； 故选B． 4. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 无实数根 B. 有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，涉及一元二次方程根的判别式，由题中一元二次方程得到判别式，即可判断答案，熟记一元二次方程根的情况与判别式符号关系是解决问题的关键． 【详解】解：一元二次方程， ， ， 一元二次方程的根的情况为有两个不相等的实数根， 故选：D． 5. 若关于x 的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根；由题意可得且，求解即可，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得且， 故选：D． 6. 已知一元二次方程的两根为、，则的值是（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握关于的一元二次方程的根与系数关系：，是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系得到，，代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：一元二次方程的两根为，， ，， ， 故选：B． 7. 某商品经过连续两次降价，销售单价由原来元降到元，设平均每次降价的百分率为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设平均每次降价的百分率为，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为， 由题意可得，， 故选：． 8. 如图，在长为62m、宽为42m的长方形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为，设道路的宽为，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平移，根据实际问题列一元二次方程，利用平移，黑色道路的面积为，剩下道路的面积为，利用草坪的面积为，即可列出方程． 【详解】解：设道路的宽为，如图， 黑色道路的面积为，剩下道路的面积为， 则， 变形得 ，， 故选：A． 9. 已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（　　） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程解的定义，正确将原式变形为是解题的关键． 根据一元二次方程的根与系数的关系和一元二次方程解的定义得到，，再把原式变形为，由此代值计算即可． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根， ，， ， ， 故选：A． 10. 《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小唐按此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为64，则该方程的正数解为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意得出，设，则，再根据题意先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，即可得解，理解题意，准确进行计算是解此题的关键． 【详解】解：∵阴影部分的面积为64， ∴， 设，则， 先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为， 故选：A． 二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 11. 方程化为一般式是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】去括号，移项后即可得出答案．本题考查了一元二次方程的一般形式，注意：一元二次方程的一般形式是、、为常数，． 【详解】解：， ， ， 即方程化为一般式是， 故答案为：． 12. 方程的解是_____． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用因式分解法解方程是解题的关键． 直接运用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 所以该方程的解为：，． 13. 已知一元二次方程有一个根为，则________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解、解一元二次方程及一元二次方程的定义，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．根据一元二次方程的根就是一元二次方程的解，把代入方程代入进行求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有一个根为0， ∴把代入方程得：， 解得：或， ∵，即， ∴， 故答案为：5． 14. 已知m是方程的一个根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根的定义、代数式求值，根据一元二次方程的根的定义，将m代入，求出，即可求出的值． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴ 故答案为：3． 15. 设，是一元二次方程的两个实数根，若，则的值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根据一元二次方程的根与系数的关系可得答案． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根，， ∴． 故答案为：4． 16. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键． 根据一元二次方程的定义和根的判别式计算即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：， ∴实数的取值范围是且． 故答案为：且． 17. 已知，则的值是 _____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解法、换元法求一元二次方程的解，设，则原方程转化为，根据解一元二次方程的方法即可求解，掌握因式分解法求一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】解：设，则原方程转化为， 所以或， 所以（舍去）或， 所以， 故答案为：2． 18. 将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用得到，代入得到化为，然后解方程得，从而得到的值． 【详解】解：， , 解得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了高次方程：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解，所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程，也有的通过因式分解来解，通过把一元二次方程变形为用一次式表示二次式，从而达到“降次”的目的，这是解决本题的关键． 三、解答题 19. 解方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程. （1）根据算术平方根的意义得到，解一元一次方程即可； （2）配方化为，再利用开平方解方程即可. 【小问1详解】 解： ∴ 开平方得， 解得， 【小问2详解】 ∴ ∴ 开平方得， 解得 20. 已知关于x的方程． （1）若原方程有实数根，求k的取值范围？ （2）选取一个你喜欢的整数值作为k的值，使原方程有实数根，并解此方程． 【答案】（1）； （2）取，，．（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法，熟练掌握根的判别式的内容是解题的关键． （1）由方程有实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论； （2）根据（1）的结论，选一个符合条件的k值，将其代入原方程，求解即可． 【小问1详解】 解：∵方程有实数根， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：答案不唯一，只要的整数即可． 取，方程为， 因式分解为，， 则或， 解得，． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根，，且，求的值． 【答案】 （1）证明：依题意可得 故无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根． （2）． 【解析】 【分析】（1）求出△的值即可证明； （2），根据根与系数的关系得到，代入，得到关于m的方程，然后解方程即可． 【详解】（1）略 （2）由根与系数的关系可得： 由，得，解得． 【点睛】本题考查了利用一元二次方程根的判别式证明根的情况以及一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=−，x1x2=． 22. 某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，每箱每降价1元，平均每天可多售出20箱． （1）若每箱降价3元，每天销售该饮料可获利多少元？ （2）若要使每天销售该饮料获利1400元，则每箱应降价多少元？ 【答案】（1）1440元 （2）5元 【解析】 【分析】（1）设每箱饮料降价x元，进而可知，超市该饮料日销量箱，每箱饮料盈利元，代入即可求解； （2）利用数量关系：销售每箱饮料的利润×销售箱数=销售总利润，由此列方程即可求解． 【小问1详解】 设每箱饮料降价x元，超市该饮料日销量箱，每箱饮料盈利元， 则每天销售该种饮料可获利（12-x）(100+20x), 当x=3时,（元） 答：每箱降价3元，每天销售该饮料可获利1440元； 【小问2详解】 要使每天销售饮料获利1400元，依据题意列方程得， ， 整理得， 解得，； ∵为了扩大销售，增加利润， ∴x＝5． 答：要使每天销售该饮料获利1400元，每箱应降价5元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，准确表示出销量与每箱利润． 23. 已知关于的方程． 若是方程的一个根，求的值和方程的另一根； 当为何实数时，方程有实数根； 若，是方程的两个根，且，试求实数的值． 【答案】(1) 另一根为x=2 ;(2) ;(3)m=5. 【解析】 【分析】（1）将代入原方程得，解方程求得m=2；设方程的另一根是，根据根与系数的关系可得解得x=2；（3）当时，方程是一元一次方程，，此时方程有实数根；当≠时，原方程为一元二次方程，要使方程有实数根，则有，代入数值求得m的取值范围即可；（3）根据根与系数的关系可得，，由可得，解方程求得m的值，结合（2）的结果对m的值进行取舍即可. 【详解】将代入原方程得， 解得：， 设方程的另一根是，则， ∴另一根为． 当时，方程是一元一次方程，，此时的实数解为； 当不等于时，原方程为一元二次方程，要使方程有实数根，则有， ∴． 解得：． 即当时，方程有实数根． ∵，． ． 解得：，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了根的判别式的应用及根与系数的关系，若 x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，则x1+x2=-，x1x2= ． 24. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证∶不论m取何实数，此方程总有两个实数根． （2）若平行四边形的两边的长是关于该方程的两个实数根． ①当m为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长； ②若的长为3，那么平行四边形的周长是多少？ 【答案】（1） 证明：∵ ， ∴无论m取何值，方程总有两个实数根； （2）①2②10 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，则．也考查了根的判别式和菱形的性质． （1）计算判别式的值，然后利用非负数的性质得到，从而得到结论； （2）①根据菱形的性质得到，则，从而得到，然后解方程可确定菱形的边长．②先设，根据一元二次方程根与系数的关系得，，消去，求得，从而可求出平行四边形的周长 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵平行四边形是菱形， ∴， ∴，即，解得， 方程化为，解得， ∴菱形的边长为2． ②设， ∵且AB，AD的长是方程的两个实数根． ∴，， ∴消去，得，即， ∴平行四边形的周长为 25. 对于代数式，若存在实数，当时，代数式的值也等于，则称为这个代数式的不变值．在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作．特别，当代数式只有一个不变值时，则． （1）代数式的不变值是________，________； （2）说明代数式没有不变值； （3）已知代数式，若，求的值． 【答案】（1）和2；3； （2） 依题意，得：， ∴， ∵， ∴该方程无解，即代数式没有不变值； （3）b的值为或1． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，根据不变值的定义，求出一元二次方程的解是解题的关键． （1）根据不变值的定义可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，再做差后可求出A的值； （2）由方程的系数结合根的判别式可得出方程没有实数根，进而可得出代数式没有不变值； （3）由可得出方程有两个相等的实数根，进而可得出，解之即可得出结论． 【小问1详解】 解：依题意，得：， 即， 解得：，， ∴． 故答案为：和2；3； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：依题意，得：方程即有两个相等的实数根， ∴， ∴，． 答：b的值为或1． 26. 如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接、、．设点P、Q运动的时间为． （1）当______时，四边形是矩形； （2）当______时，四边形是菱形； （3）是否存在某一时刻t使得，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由； （4）在运动过程中，沿着把翻折，当t为何值时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 【答案】（1） （2） （3） 不存在某一时刻t使得；理由如下： 过Q作，交于M，如图所示： 则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵矩形中， ∴为直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴此方程无实数根， ∴不存在某一时刻t使得； （4）当等于或时，翻折后点的对应点恰好落在边上 【解析】 【分析】（1）当四边形是矩形时，，据此求得t的值； （2）当四边形是菱形时，，列方程求得运动的时间t； （3）过Q作，交于M，，得出四边形是矩形，列方程得，根据根的判别式得出方程无实数根，即可得出结论； （4）根据折叠的性质得出，，，，进而在中，，勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：由已知可得，，， 在矩形中，，，， 当时，四边形为矩形， ∴， 解得：， 故当时，四边形为矩形； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 即， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形， 根据勾股定理得：，， ∴此时， 解得， 故当时，四边形为菱形； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：如图2， 根据折叠可知：，，，， 在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 在中，由勾股定理得：， ∴，即：， 解得：，， 即当t等于1或3时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质、矩形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程．折叠的性质，解决此题注意结合方程的思想解题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年下期九年级数学科学情调研 一、单选题（共10小题每小题3分共30分） 1. 一元二次方程的二次项系数，一次项系数与常数项分别是（ ） A. 1，5，1 B. 0，5， C. 1，5， D. 0，5，1 2. 方程中的根是（ ） A. B. ， C. D. 3. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 无实数根 B. 有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 5. 若关于x 的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　） A. B. C. 且 D. 且 6. 已知一元二次方程的两根为、，则的值是（ ） A. B. C. 2 D. 4 7. 某商品经过连续两次降价，销售单价由原来元降到元，设平均每次降价的百分率为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在长为62m、宽为42m的长方形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为，设道路的宽为，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 9. 已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（　　） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 10. 《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小唐按此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为64，则该方程的正数解为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 11. 方程化为一般式是_____________． 12. 方程的解是_____． 13. 已知一元二次方程有一个根为，则________． 14. 已知m是方程的一个根，则______． 15. 设，是一元二次方程的两个实数根，若，则的值为________． 16. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是__________． 17. 已知，则的值是 _____． 18. 将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为________． 三、解答题 19. 解方程 （1） （2） 20. 已知关于x的方程． （1）若原方程有实数根，求k的取值范围？ （2）选取一个你喜欢的整数值作为k的值，使原方程有实数根，并解此方程． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根，，且，求的值． 22. 某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，每箱每降价1元，平均每天可多售出20箱． （1）若每箱降价3元，每天销售该饮料可获利多少元？ （2）若要使每天销售该饮料获利1400元，则每箱应降价多少元？ 23. 已知关于的方程． 若是方程的一个根，求的值和方程的另一根； 当为何实数时，方程有实数根； 若，是方程的两个根，且，试求实数的值． 24. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证∶不论m取何实数，此方程总有两个实数根． （2）若平行四边形的两边的长是关于该方程的两个实数根． ①当m为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长； ②若的长为3，那么平行四边形的周长是多少？ 25. 对于代数式，若存在实数，当时，代数式的值也等于，则称为这个代数式的不变值．在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作．特别，当代数式只有一个不变值时，则． （1）代数式的不变值是________，________； （2）说明代数式没有不变值； （3）已知代数式，若，求的值． 26. 如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接、、．设点P、Q运动的时间为． （1）当______时，四边形是矩形； （2）当______时，四边形是菱形； （3）是否存在某一时刻t使得，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由； （4）在运动过程中，沿着把翻折，当t为何值时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $