14.3 角的平分线 课时练习（含答案详解）2026-2027学年人教版数学八年级上册

14.3 角的平分线 课时练习（含答案详解） 2026-2027学年人教版数学八年级上册 满分：100分　　限时：45分钟 班级：____________　　姓名：____________　　考号：____________ 参考答案与解析 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分；每小题只有一个正确答案） 1. (2024苏州月考改编) 下列关于角的平分线的说法正确的是（　　） 　　A．角的平分线是一条线段　　B．角的平分线是一条直线 　　C．角的平分线是一条射线　　D．角的平分线一定是三角形的中线 【答案】C 【解析】按定义，角的平分线是从一个角的顶点出发、把这个角分成两个相等的角的射线。故选 C。 【点睛】角平分线是射线，不是线段或直线；中线是三角形专有概念。 2. (2025杭州模拟) 若射线 OC 平分 ∠，且 ∠°，则 ∠ 等于（　　） 　　A．18°　　B．36° 　　C．54°　　D．72° 【答案】B 【解析】平分线把角分成两个相等的角，∠∠∠°/2=36°。故选 B。 【点睛】平分 ⇒ 两半角相等，各为原角的一半。 3. (2024宁波中考改编) 如图，射线 OC 平分 ∠。下列结论正确的是（　　） 　　A．∠∠　　B．∠∠ 　　C．∠∠　　D．∠∠° 【答案】C 【解析】由角平分线定义，∠∠。A 把半角当成原角；B 无依据；D 只有当原角为直角时才成立。故选 C。 【点睛】定义直接对应：两半角相等。 4. (2025青岛一模) 如图，点 P 在 ∠ 的平分线上，PD⊥OA 于 D，PE⊥OB 于 E。若 ，则 PE 等于（　　） 　　A．1.8　　B．3.6 　　C．7.2　　D．无法确定 【答案】B 【解析】角平分线上的点到角两边的距离相等，故 。故选 B。 【点睛】“距离”指垂线段长；性质：到两边距离相等。 5. (2024武汉月考改编) 如图，QM⊥OA 于 M，QN⊥OB 于 N，且 。则点 Q（　　） 　　A．一定在 ∠ 的平分线上 　　B．一定在 ∠ 的内部但不在平分线上 　　C．可能在 ∠ 外部 　　D．条件不足，无法判断位置 【答案】A 【解析】到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上（逆定理）。已知 QM、QN 为到两边的距离且相等，故 Q 在平分线上。故选 A。 【点睛】性质与逆定理成对记：在平分线上 ⇔ 到两边距离相等。 6. (2025成都模拟) 如图，用尺规作 ∠ 的平分线，正确步骤的关键是（　　） 　　A．先在两边上任意取不等距的两点，再连线 　　B．以 O 为圆心作弧交两边于 D、E，再分别以 D、E 为圆心作等半径弧交于 F，作射线 OF 　　C．只须连接角两边上任意两点的中点 　　D．过 O 作直线垂直于角的一边即可 【答案】B 【解析】教材尺规作法：以顶点为心作弧得 D、E，再以 D、E 为心作等半径弧交于 F（在角内部），作射线 OF。A、C、D 均非规范作法。故选 B。 【点睛】两处“等半径”是关键：保证交点到两边距离（或对应弦）对称。 7. (2024长沙月考改编) 如图，AD 平分 ∠。若 ∠°，则 ∠ 等于（　　） 　　A．28°　　B．42° 　　C．56°　　D．84° 【答案】C 【解析】AD 平分 ∠ ⇒ ∠∠°，故 ∠°。故选 C。 【点睛】已知一半求整个：乘 2。 8. (2025南京模拟) 如图，点 P 在 ∠ 的平分线上，PD⊥OA，PE⊥OB。下列说法错误的是（　　） 　　A． 　　B．∠∠° 　　C．点 P 到 OA、OB 的距离相等 　　D．一定有 OP 平分 ∠ 【答案】D 【解析】A、B、C 均由垂直与角平分线性质直接得到。D 中 ∠ 是以 P 为顶点的角，题设并未给出 OP 平分 ∠ 的条件，一般不成立。故选 D。 【点睛】性质说的是“到两边的距离”，不要随意推广成“平分别的角”。 9. (2024合肥月考改编) 如图，沿射线 OC 折叠 ∠，使边 OA 与边 OB 重合。若 ∠°，则折叠前 ∠ 等于（　　） 　　A．54°　　B．72° 　　C．108°　　D．216° 【答案】C 【解析】能沿 OC 折叠使两边重合，说明 OC 是 ∠ 的平分线，故 ∠∠°。故选 C。 【点睛】折叠重合 ⇔ 折痕为角平分线（对称轴）。 10. (2025厦门模拟) 关于角平分线的性质与判定，下列说法错误的是（　　） 　　A．角平分线上的点到角两边的距离相等 　　B．到角两边距离相等的点在角的平分线上 　　C．三角形三个内角的平分线交于一点 　　D．只要两边上各取一点，连线就是角平分线 【答案】D 【解析】A、B 为性质与逆定理；C 为三角形内心相关事实（三线交于一点）。D 无依据，两边上任意点的连线一般不是平分线。故选 D。 【点睛】判定要用“到两边距离相等”或尺规作法，不能随意连点。 二、填空题（每小题 4 分，共 32 分） 1. (2024天津模拟) 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个________的角的________，叫做这个角的平分线。 【答案】相等；射线 【解析】定义：分成两个相等的角；角平分线是射线。 2. (2025无锡一模) 若 OC 平分 ∠，∠°，则 ∠________°，∠________°。 【答案】33；66 【解析】平分 ⇒ ∠∠°；∠°+33°=66°。 3. (2024郑州月考改编) 角平分线上的点到角两边的________相等。 【答案】距离 【解析】性质定理：到两边的距离（垂线段长度）相等。 4. (2025嘉兴模拟) 如图，点 P 在 ∠ 的平分线上，PD⊥OA 于 D，PE⊥OB 于 E。若 ，则 ________。 【答案】4.8 【解析】到两边距离相等 ⇒ 。 5. (2024金华中考改编) 如图，QM⊥OA，QN⊥OB，且 ，则点 Q 在 ∠ 的________上。 【答案】平分线 【解析】到两边距离相等 ⇒ 该点在角的平分线上（逆定理）。 6. (2025福州模拟) 如图，AD 平分 ∠，∠°，则 ∠________°。 【答案】32 【解析】∠∠∠°。 7. (2024沈阳月考) 如图，OC 平分 ∠，P 在 OC 上，PD⊥OA 且 ，则点 P 到 OB 的距离是________。 【答案】3.6 【解析】平分线上的点到两边距离相等，故到 OB 的距离也为 3.6。 8. (2025青岛模拟) 如图，沿 OC 折叠使 OA 与 OB 重合，H 在 OA 上， 为 H 的对应点。若 ，则 ________。 【答案】5.2 【解析】折叠对应点到折痕（对称轴）等距，且对应线段相等：。 三、解答题（共 38 分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 1. （本小题满分 8 分）(2024济南月考改编) 根据角平分线的有关概念与性质，回答下列问题： （1）写出角的平分线的定义； （2）写出角平分线的性质定理（关于距离）； （3）写出上述性质定理的逆定理。 【答案】 （1）从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 （2）角平分线上的点到角两边的距离相等。 （3）到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 【解析】 （1）抓住“顶点出发”“两个相等的角”“射线”。 （2）性质：在平分线上 ⇒ 到两边距离相等。 （3）逆定理：到两边距离相等 ⇒ 在平分线上。 【点睛】定义、性质、逆定理三者成套记忆，表述用教材规范用语。 2. （本小题满分 10 分）(2025成都模拟) 如图，射线 OC 平分 ∠，点 P 在 OC 上，PD⊥OA 于 D，PE⊥OB 于 E。 （1）求证：； （2）若 ，∠°，求 PE 的长以及 ∠、∠ 的度数。 【答案】 （1）证明：因为 OC 平分 ∠，点 P 在 OC 上， 所以点 P 到 OA、OB 的距离相等（角平分线上的点到角两边距离相等）。 又 PD⊥OA，PE⊥OB，故 PD、PE 分别为点 P 到两边的距离， 因此 。 （2）由（1）得 。 ∠∠∠°/2=36°。 【解析】 （1）直接用性质定理，点明“距离即垂线段长”。 （2）等距赋值；半角计算。 【点睛】证明距离相等时，先写“垂直⇒距离”，再套性质；不必展开全等（本课重点在性质）。 3. （本小题满分 10 分）(2024重庆月考改编) 如图，QM⊥OA 于 M，QN⊥OB 于 N，且 。 （1）求证：点 Q 在 ∠ 的平分线上； （2）若 ∠°，求 ∠ 的度数； （3）若再量得 ，求 Q 到 OB 的距离。 【答案】 （1）证明：因为 QM⊥OA，QN⊥OB，所以 QM、QN 分别是点 Q 到 OA、OB 的距离。 又 ，所以点 Q 到角两边的距离相等。 因此点 Q 在 ∠ 的平分线上（到角两边距离相等的点在角的平分线上）。 （2）由（1），OQ 平分 ∠，故 ∠∠°/2=33°。 （3）Q 到 OB 的距离即 QN，又 ，故距离为 2.4。 【解析】 （1）用逆定理：先确认两垂线段为距离，再由相等得在平分线上。 （2）半角。 （3）等距。 【点睛】逆定理证明三步：垂直⇒距离；距离相等；结论在平分线上。 4. （本小题满分 10 分）(2025杭州模拟) 如图，AD 平分 ∠，交 BC 于 D。已知 ∠°，∠°。 （1）求 ∠、∠ 的度数； （2）求 ∠ 的度数； （3）若点 P 在 AD 上，且作 PH⊥AB 于 H，PK⊥AC 于 K，，求 PK 的长，并说明理由。 【答案】 （1）因为 AD 平分 ∠，所以 ∠∠°， ∠∠∠°。 （2）在 △ 中，∠°−∠∠°−56°−64°=60°。 （3）。理由：AD 是 ∠ 的平分线，点 P 在 AD 上， PH、PK 分别是点 P 到边 AB、AC 的距离（已垂直）， 由角平分线性质得 ，故 。 【解析】 （1）平分得相等半角，再求和。 （2）三角形内角和。 （3）回到“平分线上点到两边距离相等”。 【点睛】三角形中角平分线题：先算角，再用距离性质；数字与纯全等压轴错开。 学科网（北京）股份有限公司 $ 14.3 角的平分线 课时练习（含答案详解） 2026-2027学年人教版数学八年级上册 满分：100分　　限时：45分钟 班级：____________　　姓名：____________　　考号：____________ 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分；每小题只有一个正确答案） 1. 下列关于角的平分线的说法正确的是（　　） 　　A．角的平分线是一条线段　　B．角的平分线是一条直线 　　C．角的平分线是一条射线　　D．角的平分线一定是三角形的中线 2. 若射线 OC 平分 ∠，且 ∠°，则 ∠ 等于（　　） 　　A．18°　　B．36° 　　C．54°　　D．72° 3. 如图，射线 OC 平分 ∠。下列结论正确的是（　　） 　　A．∠∠　　B．∠∠ 　　C．∠∠　　D．∠∠° 4. 如图，点 P 在 ∠ 的平分线上，PD⊥OA 于 D，PE⊥OB 于 E。若 ，则 PE 等于（　　） 　　A．1.8　　B．3.6 　　C．7.2　　D．无法确定 5. 如图，QM⊥OA 于 M，QN⊥OB 于 N，且 。则点 Q（　　） 　　A．一定在 ∠ 的平分线上 　　B．一定在 ∠ 的内部但不在平分线上 　　C．可能在 ∠ 外部 　　D．条件不足，无法判断位置 6. 如图，用尺规作 ∠ 的平分线，正确步骤的关键是（　　） 　　A．先在两边上任意取不等距的两点，再连线 　　B．以 O 为圆心作弧交两边于 D、E，再分别以 D、E 为圆心作等半径弧交于 F，作射线 OF 　　C．只须连接角两边上任意两点的中点 　　D．过 O 作直线垂直于角的一边即可 7. 如图，AD 平分 ∠。若 ∠°，则 ∠ 等于（　　） 　　A．28°　　B．42° 　　C．56°　　D．84° 8. 如图，点 P 在 ∠ 的平分线上，PD⊥OA，PE⊥OB。下列说法错误的是（　　） 　　A． 　　B．∠∠° 　　C．点 P 到 OA、OB 的距离相等 　　D．一定有 OP 平分 ∠ 9. 如图，沿射线 OC 折叠 ∠，使边 OA 与边 OB 重合。若 ∠°，则折叠前 ∠ 等于（　　） 　　A．54°　　B．72° 　　C．108°　　D．216° 10. 关于角平分线的性质与判定，下列说法错误的是（　　） 　　A．角平分线上的点到角两边的距离相等 　　B．到角两边距离相等的点在角的平分线上 　　C．三角形三个内角的平分线交于一点 　　D．只要两边上各取一点，连线就是角平分线 二、填空题（每小题 4 分，共 32 分） 1. 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个________的角的________，叫做这个角的平分线。 2. 若 OC 平分 ∠，∠°，则 ∠________°，∠________°。 3. 角平分线上的点到角两边的________相等。 4. 如图，点 P 在 ∠ 的平分线上，PD⊥OA 于 D，PE⊥OB 于 E。若 ，则 ________。 5. 如图，QM⊥OA，QN⊥OB，且 ，则点 Q 在 ∠ 的________上。 6. 如图，AD 平分 ∠，∠°，则 ∠________°。 7. 如图，OC 平分 ∠，P 在 OC 上，PD⊥OA 且 ，则点 P 到 OB 的距离是________。 8. 如图，沿 OC 折叠使 OA 与 OB 重合，H 在 OA 上， 为 H 的对应点。若 ，则 ________。 三、解答题（共 38 分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 1. （本小题满分 8 分） 根据角平分线的有关概念与性质，回答下列问题： （1）写出角的平分线的定义； （2）写出角平分线的性质定理（关于距离）； （3）写出上述性质定理的逆定理。 2. （本小题满分 10 分） 如图，射线 OC 平分 ∠，点 P 在 OC 上，PD⊥OA 于 D，PE⊥OB 于 E。 （1）求证：； （2）若 ，∠°，求 PE 的长以及 ∠、∠ 的度数。 3. （本小题满分 10 分） 如图，QM⊥OA 于 M，QN⊥OB 于 N，且 。 （1）求证：点 Q 在 ∠ 的平分线上； （2）若 ∠°，求 ∠ 的度数； （3）若再量得 ，求 Q 到 OB 的距离。 4. （本小题满分 10 分） 如图，AD 平分 ∠，交 BC 于 D。已知 ∠°，∠°。 （1）求 ∠、∠ 的度数； （2）求 ∠ 的度数； （3）若点 P 在 AD 上，且作 PH⊥AB 于 H，PK⊥AC 于 K，，求 PK 的长，并说明理由。 学科网（北京）股份有限公司 $