专题3.1列代数式表示数量关系(9大题型小模块.微专题.大压轴）2026-2027学年人教版数学七年级上册

挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 纳无所穷·如海百川 - ---【小模块·微专题·大压轴】《专题3.1列代数式表示数量关系》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 用含字母的式子表示数 微专题1 正比例关系 模块2 识别代数式 微专题2 反比例关系 模块3 代数式的书写方法 压轴1规律型:数字的变化类 模块4 代数式表示的实际意义 压轴2规律型:图形的变化类 模块5 列代数式 通关检测·实战演练 知识梳理 · 基础溯源 知识点1 用含字母的式子表示数 用字母或含有字母的式子表示数和数量关系，为我们今后的学习和研究带来了极大的方便， 用含字母的式子表示数的书写规则: (1)字母与字母相乘时，“x”号通常省略不写或写成“.”; (2)字母与数相乘时，数通常写在字母的前面; (3)带分数与字母相乘时，通常化带分数为假分数; (4)字母与字母相除时，要写成分数的形式. (5)当式子为几个数的和或差的形式，且结果带单位时，式子整体加括号: 知识点2 代数式的概念 用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子叫作代数式.单独的一个数或字母也是代数式.例如:0， a都是代数式. 知识点3 代数式的意义 根据生活实际将给定的代数式的意义用语言叙述出来，就是将代数式的字母及运算符号赋予县体的含义 知识点4 列代数式 把简单的与数量有关的词语用代数式表示出来叫作列代数式.例如:用代数式表示:a与a减去8的差的商，其中运算词“差”表示的数量关系是@减去b，列成式子为a-b;运算词“商”表示的数量关系是@除以“差”，即-(填完整的代数式) 知识点5 正比例关系和反比例关系 1. 正比例关系：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的比值一定,，这两个量就叫作成正比例的量，它们之间的关系叫作正比例关系．如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的比值（k是一个确定的值，且k≠0），正比例关系可以用来表示，其中k叫作比例系数． 2. 反比例关系：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系．如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的积（k是一个确定的值，且k≠0)，反比例关系可以用或来表示，其中k叫作比例系数． 模块通关·举一反 三 【模块一】用含字母的式子表示数 .具体解题时，先从题目给出的已知条件里梳理出各个数量之间的关联，比如行程问题里的速度、时间与路程关系，工程问题里的工作效率、工作时间与工作总量关系，再选定合适的字母表示未知量，依照既定的数量关系列出对应的含字母式子。需要特别留意式子书写的规范细节，比如数字要写在字母前面，除法关系尽量转化为分数形式，和差形式带单位时要给式子加上括号。 【典例1】（25-26七年级上·贵州铜仁·期中）万山悬崖泳池是网红打卡点．若泳池原有水20立方米，现打开进水管匀速进水，每小时进水立方米，小时后泳池中有水（　　）立方米． A． B．at C． D． 【变式1-1】一个两位数，它的十位数字是，个位数字是，那么这个两位数是（    ）． A． B． C． D． 【变式1-2】某商品先在批发价m元的基础上提高10%零售，后又降价10%出售，则按后面的售价每销售一件商品的盈亏情况为（    ）． A．亏损了 B．盈利了 C．不亏不盈 D．盈亏不确定 【变式1-3】苹果原价是每千克a元，现在按八折出售，假如现在要买，那么需要付费（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【模块二】识别代数式 .首先要明确代数式的核心特征，它是由数、表示数的字母通过有限次的加、减、乘、除、乘方等代数运算连接而成的式子，单独的一个数或一个字母也属于代数式，识别时先判断式子是否符合这一构成规则，区分开含有等号、不等号的等式或不等式，这类带有关系符号的式子不属于代数式。识别过程中要留意书写规范的细节，比如代数式中不出现除号，通常将除法写成分数形式，数字与字母相乘时数字在前且省略乘号，这些规范形式也是判断式子是否为标准代数式的参考依据。 【典例2】（25-26六年级上·上海静安·期末）下列各式中不是代数式的为（   ） A． B．314 C． D． 【变式2-1】下列各式：；；；；，其中代数式有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式2-2】在式子，，，，，中，代数式的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-3】．在，0，，，，，中，是代数式的有（    ）个． A．4 B．5 C．6 D．7 【模块三】代数式的书写方法 (1)字母与字母相乘时，“x”号通常省略不写或写成“.”; (2)字母与数相乘时，数通常写在字母的前面; (3)带分数与字母相乘时，通常化带分数为假分数; (4)字母与字母相除时，要写成分数的形式. (5)当式子为几个数的和或差的形式，且结果带单位时，式子整体加括号: 【典例3】（25-26七年级上·江苏无锡·期中）下列各式中，符合代数式书写规则的有（   ）个． ，，，，，，，米 A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3-1】下列各式符合代数式书写规范的是（    ） A． B． C．个 D． 【变式3-2】．下列各式中，符合代数式书写规则的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】下列各式：①；②；③；④；其中，不符合代数式书写要求的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【模块四】代数式表示的实际意义 解读这类代数式时，要结合题目设定的具体情境，明确式子中每个字母所对应的实际含义，再依据运算顺序逐层拆解式子表达的数量关系，避免脱离实际背景孤立解读运算符号的意义。比如在购物场景中，若字母代表商品单价、购买数量，就要对应还原出总价、找零这类实际的数量逻辑，解读过程中还要注意表述的完整性，把字母对应的具体量、运算对应的实际行为清晰说明，避免产生歧义。 【典例4】（25-26七年级上·江苏南通·期末）下列各项中，能用表示的是（   ） A．整条线段的长度： B．整条线段的长度： C．长方形的周长： D．整个图形的面积 ： 【变式4-1】某商品原价元，以元出售，则下列说法中，能正确表达该商品出售价格的是（　　） A．先打2折，再降10元 B．先降10元，再打2折 C．先打8折，再降10元 D．先降10元，再打8折 【变式4-2】某商店举办促销活动，促销的方法是将原价x元的衣服以元出售，则下列说法中，能正确表达该商店促销方法的是（　　） A．降价15元后再打9折 B．原价打9折后再降价15元 C．降价15元后再打1折 D．原价打1折后再降价15元 【变式4-3】下列代数式用自然语言的表示中错误的是（    ） A．表示a，b两数的平方和减去它们乘积的2倍 B．表示m与n的2倍的和 C．表示a与b的平方的和 D．表示a，b两数的和与差的乘积 【模块五】列代数式 解题时要先通读题目理清各个数量之间的关系，明确题目中给出的运算顺序，再按照先乘除后加减的规则逐层构建代数式的结构，若题目中有“大、小、多、少、倍、几分之几”这类表述，要抓住关键词判断数量间的和差倍分关系，避免弄反数量的先后顺序。比如题目中描述“某数比另一个数的2倍少3”，就要先写出另一个数的2倍，再减去3，不能颠倒运算顺序。列完代数式后要反向核对一遍，看式子的运算逻辑是否和题目描述一致，同时注意书写规范，确保最终列出的代数式既符合题意，也满足代数式的书写要求。 【典例5】（25-26七年级上·湖北荆州·期末）智慧农业大棚采用自动温控系统．某日棚内温度变化规律为：每小时上升或下降．若初始温度为，经过小时后的温度可能表示为（     ） A． B． C．或 D． 【变式5-1】某超市迎端午举办促销活动，促销的方法是全场打8折，折后价每满100元可直接减5元．某顾客购买标价总和为x元（）的商品，则该顾客实际付账是（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过15立方米，每立方米a元；超过部分每立方米元．该地区某用户上月用水量为25立方米，则应缴水费为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式5-3】将面积分别是9和7的两个三角形按如图所示放置，若图中对应阴影部分的面积分别是m和n，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．不能确定 专题攻坚·多题归一 【微专题一】正比例关系 首先要准确判断两个相关联的量是否符合正比例关系的核心特征，也就是一种量变化时，另一种量会随之发生同向变化，且二者对应的比值始终保持固定不变。解题时要先梳理题目中的已知条件，先找到题目里给出的固定不变的比值，再结合变化过程中给出的某一组对应数值，推导剩下的未知量。解读题目描述时要注意区分“同向变化”和“比值固定”这两个核心要素，避免把单纯的数量增减关系直接等同于正比例关系，解题完成后可以用固定比值反向核对计算得到的对应数值，确认结果是否符合正比例的要求。 【典例6】（2025七年级上·山西大同·专题练习）科技小组的同学制作弹簧秤，不挂重物时弹簧长8厘米．实验发现这个弹簧秤伸长的长度与它所挂物体的质量存在如下关系（弹簧自身的质量忽略不计）： 弹簧伸长的长度/厘米 1 2 3 … 5 物体的质量/千克 2 4 6 … 10 在一定范围内，弹簧伸长的长度与物体的质量成( )比例．当弹簧的总长度是12.8厘米时，所称物体的质量是( )千克． 【变式6-1】（25-26七年级上·广东汕头·期中）一场电影的票价一定时，该场电影的票房收入与出售票数之间的关系是（   ） A．反比例 B．正比例 C．不成比例 D．不确定 【变式6-2】下列关系式中，一定属于正比例关系的是(    ) A．圆的面积S与它的半径R B．正方形的周长C与边长a C．等腰三角形顶点度数y与底角度数x D．路程是常数s时，行驶的速度v与时间t 【变式6-3】下列四个实际问题中的两个变量之间关系中，属于正比例关系的是(　　) A．有一个边长为x的正方体，则它的表面积S与边长x之间的关系 B．某梯形的下底5 cm，高3 cm，上底xcm(0＜x＜5)，则梯形的面积S与上底x之间的关系 C．一个质量为100 kg的物体，静止放在桌面上，则该物体对桌面的压强P与受力面面积S之间的关系 D．一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加2 m/s，则小球速度v与时间t之间的关系 【微专题二】 反比例关系 解题时首先要明确反比例关系的核心判定标准，即两个相关联的量，其中一个量发生变化时，另一个量会随之反向变化，且二者的乘积始终保持固定不变。梳理题目条件时，要先找准题目中给定的恒定乘积，再结合变化过程中某一组已知的对应数值，推算出未知量。审题过程中要注意区分“反向变化”与“乘积固定”两个关键特征，不能仅凭数量的反向增减就判定为反比例关系，解题完成后可用恒定乘积反向核验计算得到的对应数值，确认结果是否符合反比例关系的要求。同时要注意，当题目中出现多个变量时，需先确认是否存在固定不变的量，排除无关变量的干扰，避免将非反比例的数量关系误判为反比例关系，推导过程中也要注意运算顺序，避免因乘积与比值的概念混淆导致列式错误。 【典例7】（25-26七年级上·湖北黄石·期末）某运输公司计划运输一批货物，每天运输的吨数与运输的天数之间的关系如表： 每天运输的吨数 300 150 100 75 60 50 ··· 运输的天数 1 2 3 4 5 6 ··· 若每天运输a吨，则运输天数是____（用含a的代数式表示）． 【变式7-1】（24-25七年级上·贵州黔东南·阶段检测）下列成反比例关系的两种量（   ） A．圆柱底面积一定，体积和高 B．时间一定，路程和速度 C．长方形面积一定，长和宽 D．圆周长一定，直径和圆周率 【变式7-2】（2025·浙江·三模）某数学项目化学习小组在研究沪杭高铁不同车次的平均运行速度（）和运行时间t（）之间的关系时，上网查阅了相关资料．下表是他们收集的数据： 车次 G7506 G7382 G1866 G7492 （单位：） t（单位：） 1 则最符合下与t之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】小瑞利用杠杆原理称药品质量（杠杆平衡时，动力×动力臂=阻力×阻力臂）：如图，当左盘药品为m克时，右盘砝码重20克；当左盘砝码重5克时，右盘药品为n克．则m与n满足的关系式为______．它们之间的关系是 关系。      压轴拓展·素养提升 【压轴一】 规律型:数字的变化类 解题时要先将题目给出的数字序列按顺序拆解，观察相邻数字之间的差值、比值是否存在固定规律，或是间隔位置的数字是否呈现独立的变化特征，再结合序列的起始项推导通用的表达式。审题时要注意区分规律是针对整体序列还是仅针对奇数项、偶数项这类分段区间，避免在未完整验证多组对应数值的情况下就直接套用初步总结的规律。完成规律推导后，要将序列中已给出的多个已知项代入总结的表达式进行交叉核验，确认规律能够覆盖所有已知数字后，再用于计算指定位置的未知项。若数字序列是结合图形、实际场景给出的，还要排除背景描述的干扰，聚焦数字本身的变化特征，避免被无关信息误导，推导过程中也要注意序号与对应数字的匹配关系，防止因序号偏移导致表达式写错。 【典例8】观察下列等式：，，，，……，这些等式反映正整数间的某种规律，设表示自然数，用关于n的等式表示这个规律为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】学习整式后，小红写下了这样一串单项式：，，，，，，，请你写出第个单项式（用含的式子表示）为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】观察下列算式： ； ； ； ； 按照这样的规律，请你用含有的式子表示第道算式： ． 【变式8-3】．将自然数按照下列规律排列成一个数阵 0 1    2    3 4    5    6    7    8 9    10    11    12    13    14    15 … 根据规律，自然数2021应该排在从上往下数的第行，是该行中从左往右数的第个数，那么（    ） A．129 B．130 C．131 D．132 【压轴二】规律型:图形的变化类 解题时要先拆分图形的构成要素，分别统计不同位置的图形数量、边长、排列方式等特征随序号的变化趋势，优先对比相邻图形之间的增减量是否恒定，再结合首个图形的基础数量推导通用表达式。审题时要注意区分图形整体变化和局部元素变化的差异，避免将局部固定不变的元素误纳入变化规律的推导过程，完成表达式推导后，需将前几组已知图形的对应参数代入核验，确认规律覆盖所有已知案例后，再用于计算指定序号的图形参数。若图形搭配数字、表格等辅助呈现形式，要聚焦图形本身的结构变化，排除冗余标注信息的干扰，同时注意序号与图形排列顺序的对应关系，避免因计数起点偏移导致规律推导错误。字母与字母相乘时，“x”号通常省略不写或写成“.”; 【典例9】如图，用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下规律拼成若干个图案，那么第6个图案中的白色地面砖有（    ） A．24 B．26 C．34 D．36 【变式9-1】如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律，第n个图案中涂有阴影的小正方形为（用含有n的代数式表示） A． B． C． D． 【变式9-2】如图，若该模型第n层有4041个小三角形，则n的值为（　　） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 【变式9-3】下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成，其中第①个图形中一共有4个小圆圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆圈，…按此规律排列，则第⑧个图形中小圆圈的个数为（　　） A．96 B．100 C．109 D．114 通关检测·实战演练 一 选择题 1.a表示有理数，则下列说法正确的是(　　) A．a表示正数 B．-a表示负数 C．|a|表示正数 D．-a表示a的相反数 2．下列各式符合代数式书写要求的有（   ） ①；②；③元；④；⑤；⑥ A．1个 B．2 个 C．3 个 D．4个 3.某电子产品原价为m，9月迎来开学季，商家开展“教育优惠”活动，现售价为则下列说法中，符合题意的是（    ） A．原价减100元后再打8折 B．原价打8折后再减100元 C．原价打2折后再减100元 D．原价减100元后再打2折 4.如图，用长度相同的木棍拼图案，其中第1个图案用了9根木棍，第2个图案用了14根木棍，第3个图案用了19根木棍，第4个图案用了24根木棍…按此规律排列下去，则第8个图案需要木棍的根数是（     ） A．44 B．49 C．54 D．59 5.某商店出售一种商品，其原价为m元，现有两种调价方案：第一种是先提价，在此基础上又降价；第二种是先降价，在此基础上又提价．问这两种方案调价的结果是否一样？调价后是否都恢复了原价？（    ） A．结果一样，都恢复了原价 B．结果不一样，第一种方案恢复了原价 C．结果一样，都没有恢复原价 D．结果不一样，第二种方案恢复了原价 二 填空题 6.小王用100元人民币买3枚面值为a元的邮票，应找回 元． 7.在，0，，，中，代数式有 个. 8.为鼓励节约用电，某地对居民用户用电收费标准作如下规定：每户每月用电如果不超过100千瓦时，那么每千瓦时电价按元收费；如果超过100千瓦时，那么超过部分每千瓦时按元收费．某户居民在一个月内用电160千瓦时，他这个月应缴纳电费是 元．（用含a，b的代数式表示） 9.根据给出的数轴及已知条件，解答下面的问题： 已知点，，表示的数分别为1，，观察数轴， （1）若将数轴折叠，使得点与点重合，则与点重合的点表示的数是 ; （2）若数轴上两点间的距离为（在左侧），表示数的点到两点的距离相等，则将数轴折叠，使得点与点重合时，点代表的数是 （用含，的式子表示这个数） 10.小王玩游戏：一张纸片，第一次将其撕成四小片，以后每次都将其中一片撕成更小的四片，如此进行下去．当小王撕到第n次时，手中共有 张纸片（用n的代数式表示）． 三解答题 11.Peter从批发市场以每个m元的价格购进100个手机充电宝，然后每个加价n元后出售. (1)求售出100个手机充电宝的总售价为多少元? (2)若他售出60个充电宝后，将剩余充电宝按售价8折出售，相比不采取降价销售，他将比实际销售多盈利多少元? 12某班计划买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、乙两家商店出售两种同样品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副定价100元，乒乓球每盒定价25元．经洽谈后，甲店每买一副球拍赠一盒乒乓球，乙店全部按定价的9折优惠，该班需球拍5副，乒乓球若干盒（不少于5盒）． （1）若该班需购买乒乓球盒，用含的式子分别表示在甲、乙两家商店购买的费用． （2）当分别购买20盒、40盒乒乓球时，去哪家商店购买更合算？ 13.．长沙市某学校在七年级部分班级推行智慧课堂试点，一年来，深受学生及家长好评，学校决定明年在更多班级进行推广，考虑到平板笔容易丢失和损坏，因此学校决定采购台平板电脑和一批平板笔(平板笔支数大于支).现从、两家公司了解到：平板电脑价格是每台元，平板笔每支元.公司的优惠政策为每台平板电脑赠送支平板笔，公司的优惠政策为所有项目都打九折. (1)若设学校需要购买平板笔支，用含的代数式分别表示两家公司的总费用和； (2)若学校确定购买台平板电脑和支平板笔且两家公司可以自由选择，你认为至少需要花费多少，请你计算说明. 14.如图是某校操场最内侧的跑道，由两段直道和两段半圆形的弯道组成，其中直道的长为，半圆形弯道的直径为，体育组设计了“铁饼投掷”项目的圆形比赛场地和“掷标枪”项目的四边形比赛场地（阴影部分），具体长度如图． (1)用含，的代数式表示跑道的周长为_____；（用含的代数式表示，结果保留） (2)用含，，的代数式表示“铁饼投掷”项目和“掷标枪”项目比赛场地的总面积（阴影部分面积的和） 15某超市在“元旦”期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物金额 优惠办法 不超过100元的部分 不予优惠 超过100元(含100元)但不超过500元的部分 九折优惠 超过500元(含500元)的部分 八折优惠 (1)李明的爷爷一次性购200元的保健食品，他的妈妈一次性购300元的衣服问：他俩应该分别付款多少元?如果他们两人合作付款可以少付款多少元? (2)小杨在该超市一次性购元的生活用品，当x大于或等于500时她应付款多少元?(用含x的代数式表示，写最简的结果) (3)如果小杨两次购物货款合计900元，第一次购物的货款为a元(250＜a＜400)，两次购物小杨实际付款多少元?(用含a的式子表示) 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 纳无所穷·如海百川 - ---【小模块·微专题·大压轴】《专题3.1列代数式表示数量关系》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 用含字母的式子表示数 微专题1 正比例关系 模块2 识别代数式 微专题2 反比例关系 模块3 代数式的书写方法 压轴1规律型:数字的变化类 模块4 代数式表示的实际意义 压轴2规律型:图形的变化类 模块5 列代数式 通关检测·实战演练 知识梳理 · 基础溯源 知识点1 用含字母的式子表示数 用字母或含有字母的式子表示数和数量关系，为我们今后的学习和研究带来了极大的方便， 用含字母的式子表示数的书写规则: (1)字母与字母相乘时，“x”号通常省略不写或写成“.”; (2)字母与数相乘时，数通常写在字母的前面; (3)带分数与字母相乘时，通常化带分数为假分数; (4)字母与字母相除时，要写成分数的形式. (5)当式子为几个数的和或差的形式，且结果带单位时，式子整体加括号: 知识点2 代数式的概念 用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子叫作代数式.单独的一个数或字母也是代数式.例如:0， a都是代数式. 知识点3 代数式的意义 根据生活实际将给定的代数式的意义用语言叙述出来，就是将代数式的字母及运算符号赋予县体的含义 知识点4 列代数式 把简单的与数量有关的词语用代数式表示出来叫作列代数式.例如:用代数式表示:a与a减去8的差的商，其中运算词“差”表示的数量关系是@减去b，列成式子为a-b;运算词“商”表示的数量关系是@除以“差”，即-(填完整的代数式) 知识点5 正比例关系和反比例关系 1. 正比例关系：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的比值一定,，这两个量就叫作成正比例的量，它们之间的关系叫作正比例关系．如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的比值（k是一个确定的值，且k≠0），正比例关系可以用来表示，其中k叫作比例系数． 2. 反比例关系：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系．如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的积（k是一个确定的值，且k≠0)，反比例关系可以用或来表示，其中k叫作比例系数． 模块通关·举一反 三 【模块一】用含字母的式子表示数 .具体解题时，先从题目给出的已知条件里梳理出各个数量之间的关联，比如行程问题里的速度、时间与路程关系，工程问题里的工作效率、工作时间与工作总量关系，再选定合适的字母表示未知量，依照既定的数量关系列出对应的含字母式子。需要特别留意式子书写的规范细节，比如数字要写在字母前面，除法关系尽量转化为分数形式，和差形式带单位时要给式子加上括号。 【典例1】（25-26七年级上·贵州铜仁·期中）万山悬崖泳池是网红打卡点．若泳池原有水20立方米，现打开进水管匀速进水，每小时进水立方米，小时后泳池中有水（　　）立方米． A． B．at C． D． 【答案】A 【分析】本题考查匀速进水问题．熟练掌握：总水量 = 原有水量 + 进水总量，进水总量 = 进水速度 × 时间，是解题的关键． 泳池总水量由原有水量和进水量组成，进水量为进水速率乘以时间． 【详解】∵原有水量为20立方米，进水速率为a立方米/小时，时间为t小时， ∴进水量为立方米， ∴总水量为立方米． 故选：A． 【变式1-1】一个两位数，它的十位数字是，个位数字是，那么这个两位数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两位数的表示方法：十位数字个位数字，即可解答． 【详解】解：∵一个两位数，它的十位数是，个位数字是， ∴根据两位数的表示方法，这个两位数表示为：． 故选： 【点睛】本题考查了用字母表示数的方法，会用含有字母的式子表示数量是解题的关键． 【变式1-2】某商品先在批发价m元的基础上提高10%零售，后又降价10%出售，则按后面的售价每销售一件商品的盈亏情况为（    ）． A．亏损了 B．盈利了 C．不亏不盈 D．盈亏不确定 【答案】A 【分析】原价提高10%后商品新单价为m×（1+10%）元，再按新价降低10%后单价为m×（1+10%）×（1-10%），通过计算即可得到答案． 【详解】由题意得，后面的售价为：m×（1+10%）×（1-10%）＝0.99m元 ∵m＞0， ∴m＞0.99m， ∴按后面的售价每销售一件商品，为亏损情况 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数和代数式的知识；解题的关键是熟练掌握有理数混合运算、代数式的性质，从而完成求解． 【变式1-3】苹果原价是每千克a元，现在按八折出售，假如现在要买，那么需要付费（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【分析】苹果原价是每千克a元，现在按八折出售，那么现价为，再根据质量×单价=支付费用即可求解． 【详解】解：苹果原价是每千克a元，现在按八折出售，那么现价为， ∴根据“质量×单价=支付费用”可知需要付费为（元）． 故选A． 【点睛】本题主要考查了列代数，解题的关键在于能够准确求出现价． 【模块二】识别代数式 .首先要明确代数式的核心特征，它是由数、表示数的字母通过有限次的加、减、乘、除、乘方等代数运算连接而成的式子，单独的一个数或一个字母也属于代数式，识别时先判断式子是否符合这一构成规则，区分开含有等号、不等号的等式或不等式，这类带有关系符号的式子不属于代数式。识别过程中要留意书写规范的细节，比如代数式中不出现除号，通常将除法写成分数形式，数字与字母相乘时数字在前且省略乘号，这些规范形式也是判断式子是否为标准代数式的参考依据。 【典例2】（25-26六年级上·上海静安·期末）下列各式中不是代数式的为（   ） A． B．314 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式的识别，代数式是由运算符号连接数或字母的式子，不能包含等号或不等号，据此逐项分析判断即可． 【详解】解：∵代数式定义为由运算符号连接数或字母的式子，不含等号或不等号， 选项A、B、C均符合代数式定义，故均不符合题意， 选项D含有等号“”，为方程，不是代数式，符合题意． 故选：D． 【变式2-1】下列各式：；；；；，其中代数式有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据代数式的概念进行判断求解即可． 【详解】解：是代数式的有；；，共3个， 故选：B． 【点睛】本题考查代数式，解答的关键是理解代数式的概念：代数式是用运算符号把数和字母连接而成的式子（单独一个数或一个字母也是代数式）． 【变式2-2】在式子，，，，，中，代数式的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据代数式的定义逐个判断，即可得出答案． 【详解】解：所给式子中，含有不等号，不是代数式； 中含有等号，不是代数式； ，，，是代数式， 因此代数式的个数有4个， 故选D． 【点睛】本题考查代数式的识别，解题的关键是掌握代数式的定义，用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式． 【变式2-3】．在，0，，，，，中，是代数式的有（    ）个． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】代数式的概念：用运算符号和括号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式，单独一个数或者一个字母也是代数式；据此判断即可获得答案． 【详解】解：，0，，，是代数式；，不是代数式； 代数式有5个； 故选：B． 【点睛】此题考查了代数式的概念，熟练掌握代数式的概念是解答此题的关键． 【模块三】代数式的书写方法 (1)字母与字母相乘时，“x”号通常省略不写或写成“.”; (2)字母与数相乘时，数通常写在字母的前面; (3)带分数与字母相乘时，通常化带分数为假分数; (4)字母与字母相除时，要写成分数的形式. (5)当式子为几个数的和或差的形式，且结果带单位时，式子整体加括号: 【典例3】（25-26七年级上·江苏无锡·期中）下列各式中，符合代数式书写规则的有（   ）个． ，，，，，，，米 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】依据代数式书写规则，逐一判断每个式子是否符合规范．本题主要考查了代数式的书写规则，熟练掌握“数字与字母相乘省略乘号、除法写成分数形式、带分数化为假分数”是解题的关键． 【详解】解：：符合（数字在前，乘号省略）； ：不符合（含乘号）； ：符合（乘号省略）； ：符合（单独的数是代数式）； ：不符合（带分数未化为假分数）； ：不符合（含除号）； ：符合（除法写成分数形式）； 米：不符合（含单位）． 故符合规则的有4个． 故选：C． 【变式3-1】下列各式符合代数式书写规范的是（    ） A． B． C．个 D． 【答案】A 【分析】根据书写规则，数字应在字母前面，分数不能为假分数，不能出现除号，对各项的代数式进行判定，即可求出答案． 【详解】解：A、书写形式正确，故本选项正确； B、正确书写形式为，故本选项错误； C、正确书写形式为个，故本选项错误； D、正确书写形式为，故本选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了代数式，解题的关键是掌握代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式． 【变式3-2】．下列各式中，符合代数式书写规则的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据代数式的书写规则逐一进行判断． 【详解】解：A、符合代数式书写规则． B、数与字母相乘，乘号一般也省略不写，但数一定要写在字母的前面，不符合代数式书写规则，应该为，故原式不符合书写规则； C、数与字母相乘，乘号一般也省略不写，但数一定要写在字母的前面，而且当数是带分数时一定要化为假分数，应该为，故原式不符合书写规则； D、当代数式中含有除法运算时，一般不用“÷”号，而改用分数线，不符合代数式书写规则，应该为，故原式不符合书写规则； 故选：A． 【点睛】本题考查代数式的书写规则，解决本题的关键是熟练掌握书写规则． 【变式3-3】下列各式：①；②；③；④；其中，不符合代数式书写要求的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据代数式书写规范要求逐项分析判断即可求解． 【详解】解：根据代数式书写规范要求可知：①中代数式应写为；②数与数相乘不能用“”连接；符合书写规范要求的有：③20%x；④ ；共计2个. 故选：B． 【点睛】本题考查了代数式书写规范：①数和字母相乘，可省略乘号，并把数字写在字母的前面；②字母和字母相乘，乘号可以省略不写或用 示． 一般情况下，按个字母的顺序从左到右来写；③后面带单位的相加或相减的式子要用括号括起来；④除法运算写成分数形式，即除号改为分数线；⑤带分数与字母相乘时，带分数要写成假分数的形式；⑥当与任何字母相乘时，省略不写；当乘以字母时，只要在那个字母前加上号． 【模块四】代数式表示的实际意义 解读这类代数式时，要结合题目设定的具体情境，明确式子中每个字母所对应的实际含义，再依据运算顺序逐层拆解式子表达的数量关系，避免脱离实际背景孤立解读运算符号的意义。比如在购物场景中，若字母代表商品单价、购买数量，就要对应还原出总价、找零这类实际的数量逻辑，解读过程中还要注意表述的完整性，把字母对应的具体量、运算对应的实际行为清晰说明，避免产生歧义。 【典例4】（25-26七年级上·江苏南通·期末）下列各项中，能用表示的是（   ） A．整条线段的长度： B．整条线段的长度： C．长方形的周长： D．整个图形的面积 ： 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的意义，熟练掌握线段长度的和，长方形周长，面积计算是解题的关键．根据线段的和，长方形的周长，长方形的面积的计算公式解答即可． 【详解】解：A、整条线段的长度：，表示为，不符合题意； B、整条线段的长度：，表示为，不符合题意； C、这个长方形的周长： ，表示为，不符合题意； D、这个图形的面积： ，表示为，符合题意． 故选：D． 【变式4-1】某商品原价元，以元出售，则下列说法中，能正确表达该商品出售价格的是（　　） A．先打2折，再降10元 B．先降10元，再打2折 C．先打8折，再降10元 D．先降10元，再打8折 【答案】C 【分析】可以根据出售价的代数式的计算顺序来说出商品价格的意义． 【详解】解：∵商品原价m元， ∴商品出售价格元，是商品原价m打八折再减去10元， ∴只有C选项符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了代数式的实际意义，解题的关键是准确理解题意和代数式． 【变式4-2】某商店举办促销活动，促销的方法是将原价x元的衣服以元出售，则下列说法中，能正确表达该商店促销方法的是（　　） A．降价15元后再打9折 B．原价打9折后再降价15元 C．降价15元后再打1折 D．原价打1折后再降价15元 【答案】A 【分析】先根据得到原价减去15元，再根据“折”的含义判断即可． 【详解】将原价x元的衣服以元出售表示： 在原价的基础上先降价15元后再打9折． 故选：A． 【点睛】本题考查了代数式的实际意义，解决本题的关键是明确“折”的含义． 【变式4-3】下列代数式用自然语言的表示中错误的是（    ） A．表示a，b两数的平方和减去它们乘积的2倍 B．表示m与n的2倍的和 C．表示a与b的平方的和 D．表示a，b两数的和与差的乘积 【答案】C 【分析】逐项分析代数式的表达意义即可判断． 【详解】解：A、表示a，b两数的平方和减去它们乘积的2倍，故正确，符合题意； B、表示m与n的2倍的和，故正确，符合题意； C、表示a的平方与b的平方的和，故错误，不符合题意； D、表示a，b两数的和与差的乘积，故正确，符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了列代数式的知识，列代数式的关键是正确理解文字语言中的关键词，比如该题中的“倍”、“差”等，从而明确其中的运算关系，正确地列出代数式． 【模块五】列代数式 解题时要先通读题目理清各个数量之间的关系，明确题目中给出的运算顺序，再按照先乘除后加减的规则逐层构建代数式的结构，若题目中有“大、小、多、少、倍、几分之几”这类表述，要抓住关键词判断数量间的和差倍分关系，避免弄反数量的先后顺序。比如题目中描述“某数比另一个数的2倍少3”，就要先写出另一个数的2倍，再减去3，不能颠倒运算顺序。列完代数式后要反向核对一遍，看式子的运算逻辑是否和题目描述一致，同时注意书写规范，确保最终列出的代数式既符合题意，也满足代数式的书写要求。 【典例5】（25-26七年级上·湖北荆州·期末）智慧农业大棚采用自动温控系统．某日棚内温度变化规律为：每小时上升或下降．若初始温度为，经过小时后的温度可能表示为（     ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】分两种情况：①若某日棚内温度变化规律为：每小时上升，②若某日棚内温度变化规律为：每小时下降，分别列出代数式即可得． 【详解】解：①若某日棚内温度变化规律为：每小时上升， 则经过小时后的温度可能表示为； ②若某日棚内温度变化规律为：每小时下降， 则经过小时后的温度可能表示为； 综上，经过小时后的温度可能表示为或． 【变式5-1】某超市迎端午举办促销活动，促销的方法是全场打8折，折后价每满100元可直接减5元．某顾客购买标价总和为x元（）的商品，则该顾客实际付账是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据实际付账标价总和满减优惠，即可求解． 【详解】解： ，故满减优惠为5元． 实际付账为： 故选：B． 【点睛】本题考查列代数式．根据满减优惠是列出正确代数式的关键． 【变式5-2】某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过15立方米，每立方米a元；超过部分每立方米元．该地区某用户上月用水量为25立方米，则应缴水费为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【分析】分两部分求水费，一部分是前面15立方米的水费，另一部分是剩下的10立方米的水费，最后相加即可． 【详解】∵25立方米中，前15立方米单价为a元，后面10立方米单价为元， ∴应缴水费为（元）， 故选：A． 【点睛】本题考查的是阶梯水费的问题，解决本题的关键是理解其收费方式，能求出不同段的水费，本题较基础，重点考查了学生对该种计费方式的理解与计算方法等． 【变式5-3】将面积分别是9和7的两个三角形按如图所示放置，若图中对应阴影部分的面积分别是m和n，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．不能确定 【答案】B 【分析】设中间的空白面积为，分别表示出、，然后计算． 【详解】解：设中间的空白面积为，则， 故选B． 【点睛】本题考查了代数式，利用代数式表示出面积关系是解题关键． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】正比例关系 首先要准确判断两个相关联的量是否符合正比例关系的核心特征，也就是一种量变化时，另一种量会随之发生同向变化，且二者对应的比值始终保持固定不变。解题时要先梳理题目中的已知条件，先找到题目里给出的固定不变的比值，再结合变化过程中给出的某一组对应数值，推导剩下的未知量。解读题目描述时要注意区分“同向变化”和“比值固定”这两个核心要素，避免把单纯的数量增减关系直接等同于正比例关系，解题完成后可以用固定比值反向核对计算得到的对应数值，确认结果是否符合正比例的要求。 【典例6】（2025七年级上·山西大同·专题练习）科技小组的同学制作弹簧秤，不挂重物时弹簧长8厘米．实验发现这个弹簧秤伸长的长度与它所挂物体的质量存在如下关系（弹簧自身的质量忽略不计）： 弹簧伸长的长度/厘米 1 2 3 … 5 物体的质量/千克 2 4 6 … 10 在一定范围内，弹簧伸长的长度与物体的质量成( )比例．当弹簧的总长度是12.8厘米时，所称物体的质量是( )千克． 【答案】 正 9.6 【分析】此题考查了正比例关系的认识及应用，要求学生掌握． （1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系就叫做正比例关系；两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫反比例关系． （2）因为不挂重物时弹簧长8厘米，所以弹簧伸长的长度是弹簧伸长后的总长度减去弹簧原来的长度；用弹簧伸长的长度乘弹簧伸长每厘米所称物体的质量，就是所称物体的质量． 【详解】解：（1）（千克/厘米） （千克/厘米） （千克/厘米） …… （千克/厘米） 2是一定值，所以在一定范围内，弹簧伸长的长度与物体的质量成正比例． （2）因为不挂重物时弹簧长8厘米，所以弹簧伸长的长度是： （厘米） 所挂物体的质量是： （千克） 答：当弹簧的长度是12.8厘米时，所称物体的质量是9.6千克． 故答案为：（1）正．（2）9.6． 【变式6-1】（25-26七年级上·广东汕头·期中）一场电影的票价一定时，该场电影的票房收入与出售票数之间的关系是（   ） A．反比例 B．正比例 C．不成比例 D．不确定 【答案】B 【分析】本题考查了正比例关系． 票价固定时，票房收入和出售票数比值一定，两者满足正比例关系． 【详解】解：票房收入票价出售票数， 票价固定时，票房收入和出售票数比值一定，两者满足正比例关系． 故选：B． 【变式6-2】下列关系式中，一定属于正比例关系的是(    ) A．圆的面积S与它的半径R B．正方形的周长C与边长a C．等腰三角形顶点度数y与底角度数x D．路程是常数s时，行驶的速度v与时间t 【答案】B 【分析】将每个选项的关系式列出来，然后再判断即可． 【详解】A．s=πr2，s不是r的正比例关系， B．C=4a，C是a的正比例关系， C. y=180-2x,y不是x的正比例关系， D. v=，v不是t的正比例关系. 故选B. 【点睛】此题考查了正比例函数的定义，解题的关键熟记各类函数的关系式． 【变式6-3】下列四个实际问题中的两个变量之间关系中，属于正比例关系的是(　　) A．有一个边长为x的正方体，则它的表面积S与边长x之间的关系 B．某梯形的下底5 cm，高3 cm，上底xcm(0＜x＜5)，则梯形的面积S与上底x之间的关系 C．一个质量为100 kg的物体，静止放在桌面上，则该物体对桌面的压强P与受力面面积S之间的关系 D．一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加2 m/s，则小球速度v与时间t之间的关系 【答案】D 【分析】根据正比例函数y=kx的定义条件：k为常数且k≠0，自变量次数为1，判断各选项，即可得出答案． 【详解】解：A、正方形的表面积S=6x2，不是正比例，故本选项错误； B、梯形的面积S与上底x之间的关系：s=，不是正比例，故本选项错误； C、物体对桌面的压强P与受力面面积S之间的关系：P=，不是正比例，故本选项错误； D、小球速度v与时间t之间的关系：v=2t，是正比例，故本选项正确． 故选D． 【点睛】本题考查正比例的定义：一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kx（k为常数，且k≠0）的关系，那么y就叫做x的正比例． 【微专题二】 反比例关系 解题时首先要明确反比例关系的核心判定标准，即两个相关联的量，其中一个量发生变化时，另一个量会随之反向变化，且二者的乘积始终保持固定不变。梳理题目条件时，要先找准题目中给定的恒定乘积，再结合变化过程中某一组已知的对应数值，推算出未知量。审题过程中要注意区分“反向变化”与“乘积固定”两个关键特征，不能仅凭数量的反向增减就判定为反比例关系，解题完成后可用恒定乘积反向核验计算得到的对应数值，确认结果是否符合反比例关系的要求。同时要注意，当题目中出现多个变量时，需先确认是否存在固定不变的量，排除无关变量的干扰，避免将非反比例的数量关系误判为反比例关系，推导过程中也要注意运算顺序，避免因乘积与比值的概念混淆导致列式错误。 【典例7】（25-26七年级上·湖北黄石·期末）某运输公司计划运输一批货物，每天运输的吨数与运输的天数之间的关系如表： 每天运输的吨数 300 150 100 75 60 50 ··· 运输的天数 1 2 3 4 5 6 ··· 若每天运输a吨，则运输天数是____（用含a的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了反比例关系的应用． 从表格数据可知，每天运输的吨数与运输天数的乘积恒为300吨，因此货物总吨数为300吨；每天运输a吨时，运输天数为总吨数除以a． 【详解】解：由表可知，， 故货物总吨数为300吨， 若每天运输吨，则运输天数为天． 故答案为：． 【变式7-1】（24-25七年级上·贵州黔东南·阶段检测）下列成反比例关系的两种量（   ） A．圆柱底面积一定，体积和高 B．时间一定，路程和速度 C．长方形面积一定，长和宽 D．圆周长一定，直径和圆周率 【答案】C 【分析】本题考查了反比例关系，解题的关键是掌握反比例关系的概念． 反比例关系的概念：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，这两种量相对应的两个数的积一定，这两种量叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系，进行判断即可． 【详解】 解：A．圆柱体的底面积一定，体积高底面积，体积和高是正比例关系，选项说法错误，不符合题意； B． 路程公式（是时间，是速度 ），时间一定时，（比值一定），路程和速度成正比例，不是反比例，故本选项不符合题意； C． 长方形面积公式（是长，是宽 ），面积一定时，（乘积一定 ），长和宽成反比例，故本选项符合题意； D．圆周长公式（是周长，是直径 ），圆周率是定值，不是变量，所以直径和圆周率不成比例，选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 【变式7-2】（2025·浙江·三模）某数学项目化学习小组在研究沪杭高铁不同车次的平均运行速度（）和运行时间t（）之间的关系时，上网查阅了相关资料．下表是他们收集的数据： 车次 G7506 G7382 G1866 G7492 （单位：） t（单位：） 1 则最符合下与t之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据沪杭高铁之间的距离是定值，结合，判定与t是成反比例函数的，计算出定值即可． 本题考查了反比例函数的生活应用，熟练掌握反比例函数的应用是解题的关键． 【详解】解：沪杭高铁的总里程是固定的． 由得， 由得，， 根据表格中的数据可以计算出最符合与t之间的关系是， 故选：A． 【变式7-3】小瑞利用杠杆原理称药品质量（杠杆平衡时，动力×动力臂=阻力×阻力臂）：如图，当左盘药品为m克时，右盘砝码重20克；当左盘砝码重5克时，右盘药品为n克．则m与n满足的关系式为______．它们之间的关系是 关系。      【答案】 反比例 【分析】根据动力×动力臂=阻力×阻力臂，分别利用两幅图分别列式为，则，，则，即可得到答案． 【详解】解：如图，      由图1可得，则， 由图2可得，则， ∴， 故答案为： m与n成反比例关系 【点睛】此题考查了反比例函数的应用，准确列出等式是解题的关键． 压轴拓展·素养提升 【压轴一】 规律型:数字的变化类 解题时要先将题目给出的数字序列按顺序拆解，观察相邻数字之间的差值、比值是否存在固定规律，或是间隔位置的数字是否呈现独立的变化特征，再结合序列的起始项推导通用的表达式。审题时要注意区分规律是针对整体序列还是仅针对奇数项、偶数项这类分段区间，避免在未完整验证多组对应数值的情况下就直接套用初步总结的规律。完成规律推导后，要将序列中已给出的多个已知项代入总结的表达式进行交叉核验，确认规律能够覆盖所有已知数字后，再用于计算指定位置的未知项。若数字序列是结合图形、实际场景给出的，还要排除背景描述的干扰，聚焦数字本身的变化特征，避免被无关信息误导，推导过程中也要注意序号与对应数字的匹配关系，防止因序号偏移导致表达式写错。 【典例8】观察下列等式：，，，，……，这些等式反映正整数间的某种规律，设表示自然数，用关于n的等式表示这个规律为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察发现，左边是两个平方数的差，右边是数的4倍的形式，然后根据序号写出即可． 【详解】解：； ； ； ， … 依此类推，，即，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题是对数字变化规律的考查，理清序号与底数之间的关系是解题的关键． 【变式8-1】学习整式后，小红写下了这样一串单项式：，，，，，，，请你写出第个单项式（用含的式子表示）为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单项式的规律即可得到结论． 【详解】， ， ， 第n个单项式为：， 故选：C． 【点睛】本题考查列代数式，解题的关键是理清题意，找到数字间的规律． 【变式8-2】观察下列算式： ； ； ； ； 按照这样的规律，请你用含有的式子表示第道算式： ． 【答案】 【分析】根据题目给出的算式，可以用含的代数式表示出发现的式子的特点． 【详解】解：； ； ； ； ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数字的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现题目算式的特点，写出相应的式子． 【变式8-3】．将自然数按照下列规律排列成一个数阵 0 1    2    3 4    5    6    7    8 9    10    11    12    13    14    15 … 根据规律，自然数2021应该排在从上往下数的第行，是该行中从左往右数的第个数，那么（    ） A．129 B．130 C．131 D．132 【答案】C 【分析】每行的最后一个数是这个行的行数的平方减，第行的数字的个数是，所以在第行，行最后一个数字是，从往前数个数据得到，进而得出是第个数据，从而得出答案． 【详解】解：每行的最后一个数是这个行的行数的平方减， 第行的数字的个数是， ， 所以在第行， ， 行最后一个数字是， 第行有个数字，从往前数个数据得到，从而得出是第个数据， ，， ． 故选：C． 【点睛】此题考查了规律型：数字的变化．解题关键是确定第行的最后一个数字和第行的第一个数字． 【压轴二】规律型:图形的变化类 解题时要先拆分图形的构成要素，分别统计不同位置的图形数量、边长、排列方式等特征随序号的变化趋势，优先对比相邻图形之间的增减量是否恒定，再结合首个图形的基础数量推导通用表达式。审题时要注意区分图形整体变化和局部元素变化的差异，避免将局部固定不变的元素误纳入变化规律的推导过程，完成表达式推导后，需将前几组已知图形的对应参数代入核验，确认规律覆盖所有已知案例后，再用于计算指定序号的图形参数。若图形搭配数字、表格等辅助呈现形式，要聚焦图形本身的结构变化，排除冗余标注信息的干扰，同时注意序号与图形排列顺序的对应关系，避免因计数起点偏移导致规律推导错误。字母与字母相乘时，“x”号通常省略不写或写成“.”; 【典例9】如图，用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下规律拼成若干个图案，那么第6个图案中的白色地面砖有（    ） A．24 B．26 C．34 D．36 【答案】B 【分析】根据三个图案找出第n个图案中白色地砖的规律，然后推出第6个图案中的白色地面砖的个数． 【详解】第一个图案中白色地砖有块， 第二个图案中白色地砖有块， 第三个图案中白色地砖有块， 所以第n个图案中白色地砖有块， 故第6个图案中的白色地面砖有块， 故选：B． 【点睛】本题考查图形的变化规律，用代数式表示出一般规律是解题的关键． 【变式9-1】如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律，第n个图案中涂有阴影的小正方形为（用含有n的代数式表示） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察不难发现，后一个图案比前一个图案多4个涂有阴影的小正方形，然后写出第个图案的涂有阴影的小正方形的个数即可． 【详解】解：由图可得，第1个图案涂有阴影的小正方形的个数为5， 第2个图案涂有阴影的小正方形的个数为， 第3个图案涂有阴影的小正方形的个数为， ， 第个图案涂有阴影的小正方形的个数为． 故选：C． 【点睛】本题是对图形变化规律的考查，观察出“后一个图案比前一个图案多4个基础图形”是解题的关键． 【变式9-2】如图，若该模型第n层有4041个小三角形，则n的值为（　　） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 【答案】C 【分析】第1层有1个小三角形，第2层有3个小三角形，第3层有5个小三角形，第4层有7个小三角形，第5层有9个小三角形，…，从而可求得第n层小三角形的个数，从而可求解． 【详解】解：∵第1层有1个小三角形， 第2层有3个小三角形， 第3层有5个小三角形， 第4层有7个小三角形， 第5层有9个小三角形， …， ∴第n层中小三角形的个数为：， ∵第n层有4041个小三角形， ∴， 解得：，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律． 【变式9-3】下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成，其中第①个图形中一共有4个小圆圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆圈，…按此规律排列，则第⑧个图形中小圆圈的个数为（　　） A．96 B．100 C．109 D．114 【答案】C 【分析】先根据前三个图形中小圆圈的计算方法找出规律，再代入计算求解． 【详解】解：第①个图形中一共有：个小圆圈， 第②个图形中一共有：个小圆圈， 第③个图形中一共有：个小圆圈， ， 第⑧个图形中小圆圈的个数为：个小圆圈， 故选：C． 【点睛】本题考查了图形的变化类，解题的关键是找到变化规律，利用规律求解． 通关检测·实战演练 一 选择题 1.a表示有理数，则下列说法正确的是(　　) A．a表示正数 B．-a表示负数 C．|a|表示正数 D．-a表示a的相反数 【答案】D 【分析】根据用字母表示数的意义对各选项逐一判断即可． 【详解】A．a可以表示正数，0，负数．故A错误； B． -a表示正数，0，负数．故B错误； C．当a=0时，|a|=0，0既不是正数也不是负数，当a≠0时，|a|>0，故|a|≥0，即|a|表示非负数，故C错误； D． -a表示a的相反数，故D正确． 故选D． 【点睛】本题考查了用字母表示数的意义，正确理解字的含义是解题的关键． 2．下列各式符合代数式书写要求的有（   ） ①；②；③元；④；⑤；⑥ A．1个 B．2 个 C．3 个 D．4个 【答案】B 【分析】根据代数式书写的要求一一判断即可得出答案． 【详解】解：①分数与字母相乘，分数要化成假分数，故要写成，故①不符合要求；②中的乘号要省略，故②不符合要求；③代数式后面有单位，代数式要加括号，应写成元，故③不符合要求；④、⑤都符合代数式书写要求；⑥除号要写成分数线的形式，应写成，故⑥不符合要求； 故符合代数式书写要求的是④和⑤，共有2个； 故选：B． 【点睛】此题考查了代数式的书写要求，熟练掌握代数式的概念和书写要求是解答此题的关键． 3.某电子产品原价为m，9月迎来开学季，商家开展“教育优惠”活动，现售价为则下列说法中，符合题意的是（    ） A．原价减100元后再打8折 B．原价打8折后再减100元 C．原价打2折后再减100元 D．原价减100元后再打2折 【答案】B 【分析】即在原价的基础上打8折，即降价100元，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，表示的是在原价的基础上先打8折，然后再降价100元， 故选B． 【点睛】本题主要考查了代数式的意义，正确理解题意是解题的关键． 4.如图，用长度相同的木棍拼图案，其中第1个图案用了9根木棍，第2个图案用了14根木棍，第3个图案用了19根木棍，第4个图案用了24根木棍…按此规律排列下去，则第8个图案需要木棍的根数是（     ） A．44 B．49 C．54 D．59 【答案】A 【分析】通过观察图形中木棍数量的变化，归纳出第n个图案的木棍数的规律． 【详解】解：由题意可知，第1个图案用了根木棍， 第2个图案用了根木棍， 第3个图案用了根木棍， 第4个图案用了根木棍， 第个图案用的木棍根数是， 当时，木棍根数为． 5.某商店出售一种商品，其原价为m元，现有两种调价方案：第一种是先提价，在此基础上又降价；第二种是先降价，在此基础上又提价．问这两种方案调价的结果是否一样？调价后是否都恢复了原价？（    ） A．结果一样，都恢复了原价 B．结果不一样，第一种方案恢复了原价 C．结果一样，都没有恢复原价 D．结果不一样，第二种方案恢复了原价 【答案】C 【分析】根据题意列出两种情况的价格比较即可得到答案； 【详解】解：由题意得， 第一种方案费用为：， 第二种方案费用为：， 故选C． 【点睛】本题考查列代数式，解题的关键是根据题意找到等量关系． 二 填空题 6.小王用100元人民币买3枚面值为a元的邮票，应找回 元． 【答案】 【分析】根据题意可以列出相应的代数式，本题得以解决． 【详解】解：根据题意可得：用于买邮票的钱是：元， 则应找回元， 故答案为：． 【点睛】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 7.在，0，，，中，代数式有 个. 【答案】3 【分析】代数式是指把数或表示数的字母用+、-、×、÷连接起来的式子，而对于带有=、＞、＜等数量关系的式子则不是代数式． 【详解】解：是不等式，不是代数式；是方程，不是代数式； ，0，，，是代数式，共3个. 故答案是：3. 【点睛】本题考查了代数式的定义，理解定义是关键． 8.为鼓励节约用电，某地对居民用户用电收费标准作如下规定：每户每月用电如果不超过100千瓦时，那么每千瓦时电价按元收费；如果超过100千瓦时，那么超过部分每千瓦时按元收费．某户居民在一个月内用电160千瓦时，他这个月应缴纳电费是 元．（用含a，b的代数式表示） 【答案】 【分析】根据电费=不超100千瓦时的费用+超出100千瓦时的费用，列出代数式即可． 【详解】∵， ∴这个月应缴纳电费是元， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列代数式，正确理解题意是列代数式的关键． 9.根据给出的数轴及已知条件，解答下面的问题： 已知点，，表示的数分别为1，，观察数轴， （1）若将数轴折叠，使得点与点重合，则与点重合的点表示的数是 ; （2）若数轴上两点间的距离为（在左侧），表示数的点到两点的距离相等，则将数轴折叠，使得点与点重合时，点代表的数是 （用含，的式子表示这个数） 【答案】 【分析】（1）先找到对称中心，再根据数轴求解即可； （2）根据两点之间距离即可求解. 【详解】解：（1）若将数轴折叠，使得点与点重合，则对称中心为， 则与点重合的点表示的数是； （2）由题意可得，点代表的数是 故答案为：，； 【点睛】此题考查了列代数式，解题的关键是根据两点之间的距离解答. 10.小王玩游戏：一张纸片，第一次将其撕成四小片，以后每次都将其中一片撕成更小的四片，如此进行下去．当小王撕到第n次时，手中共有 张纸片（用n的代数式表示）． 【答案】/ 【分析】分别数出三个图形中正方形的个数，第二个和第三个图形中正方形的个数就是分别撕了一次和两次后手中纸的张数．撕了几次后，手中纸的张数等于与几的乘积加，据此即可求解． 【详解】解：从图中可以看出，当撕了次时，手中有张纸； 当撕了次时，手中有张纸； 当撕了次时，手中有张纸； 可以发现：撕了几次后，手中纸的张数等于与几的乘积加． 所以，撕到第次时，手中共有张． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查学生对图形变化类这个知识点的理解和掌握，解答此类题目的关键是根据题目中给出的图形，数值等条件，认真分析，找到规律． 三解答题 11.Peter从批发市场以每个m元的价格购进100个手机充电宝，然后每个加价n元后出售. (1)求售出100个手机充电宝的总售价为多少元? (2)若他售出60个充电宝后，将剩余充电宝按售价8折出售，相比不采取降价销售，他将比实际销售多盈利多少元? 【答案】（1）售出100个手机充电宝的总售价为：100（m＋n）元；（2）相比不采取降价销售，她将比实际销售多盈利8（m＋n）元． 【分析】（1）找出每个充电宝的售价，用总价＝单价×数量即可得出结论； （2）根据实际总售价减去成本即可得出实际盈利，再利用不降价的利润减去实际利润即可得出结论． 【详解】（1）∵每个充电宝的售价为：m＋n元， ∴售出100个手机充电宝的总售价为：100（m＋n）元； （2）实际总销售额为：60（m＋n）＋40×0.8（m＋n）＝92（m＋n）元， 实际盈利为92（m＋n）−100m＝92n−8m元， ∵100n−（92n−8m）＝8（m＋n）， ∴相比不采取降价销售，她将比实际销售多盈利8（m＋n）元． 【点睛】本题考查了列代数式以及代数式求值，解题的关键是根据售价＝进价＋利润找出每个充电宝的售价． 12某班计划买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、乙两家商店出售两种同样品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副定价100元，乒乓球每盒定价25元．经洽谈后，甲店每买一副球拍赠一盒乒乓球，乙店全部按定价的9折优惠，该班需球拍5副，乒乓球若干盒（不少于5盒）． （1）若该班需购买乒乓球盒，用含的式子分别表示在甲、乙两家商店购买的费用． （2）当分别购买20盒、40盒乒乓球时，去哪家商店购买更合算？ 【答案】（1）甲商店的付款钱数为(25x+375)元，乙商店的付款钱数为(450+22.5x)元；（2）当购买20盒乒乓球时，到甲商店购买更合算；当购买40盒乒乓球时,到乙商店购买更合算． 【分析】（1）根据甲、乙两家商店的优惠政策分别得出甲、乙两店的代数式； （2）分别求出20盒和40盒时两家商店分别所需要付的钱，比较大小，从而得出答案． 【详解】解：（1）当购买x盒乒乓球时，甲商店的付款钱数为100×5+25(x-5)=(25x+375)元， 乙商店的付款钱数为0.9(100×5+25x)=(450+22.5x)元； （2）当购买20盒乒乓球时，甲商店付款：25×20+375=875(元)， 乙商店付款：450+22.5×20=900(元)，而875＜900 所以当购买20盒乒乓球时，到甲商店购买更合算； 当购买40盒乒乓球时，甲商店付款：25×40+375=1375(元)， 乙商店付款：450+22.5×40=1350(元)，而1375＞1350 所以当购买40盒乒乓球时,到乙商店购买更合算． 答：当购买20盒乒乓球时，到甲商店购买更合算；当购买40盒乒乓球时,到乙商店购买更合算． 【点睛】本题主要考查的是代数式的表示方法以及应用，属于基础题型．理解优惠政策得出代数式是解决这个问题的关键． 13.．长沙市某学校在七年级部分班级推行智慧课堂试点，一年来，深受学生及家长好评，学校决定明年在更多班级进行推广，考虑到平板笔容易丢失和损坏，因此学校决定采购台平板电脑和一批平板笔(平板笔支数大于支).现从、两家公司了解到：平板电脑价格是每台元，平板笔每支元.公司的优惠政策为每台平板电脑赠送支平板笔，公司的优惠政策为所有项目都打九折. (1)若设学校需要购买平板笔支，用含的代数式分别表示两家公司的总费用和； (2)若学校确定购买台平板电脑和支平板笔且两家公司可以自由选择，你认为至少需要花费多少，请你计算说明. 【答案】（1）， ； （2）. 【分析】（1）根据题意分别表示两家公司的总费用和； （2）在A公司买一个平板的屏幕赠送5支平板笔，相当于打8.6折，B公司的优惠政策为所有项目都打九折，所以应该到A公司买100个平板的屏幕赠送500支平板笔，再到B公司购买300支平板笔，计算总费用可得结论． 【详解】解：（1）由题意得：， ， （2）， ， 则在A公司买一个平板的屏幕赠送5支平板笔，相当于打8.6折，B公司的优惠政策为所有项目都打九折， 所以A公司比B公司的优惠大， 所以应该到A公司买100个平板的屏幕赠送500支平板笔，再到B公司购买300支平板笔， ∴总费用为：， 【点睛】此题考查代数式问题，解决本题的关键是得到A，B两种公司需付费的等量关系，要注意理清关系． 14.如图是某校操场最内侧的跑道，由两段直道和两段半圆形的弯道组成，其中直道的长为，半圆形弯道的直径为，体育组设计了“铁饼投掷”项目的圆形比赛场地和“掷标枪”项目的四边形比赛场地（阴影部分），具体长度如图． (1)用含，的代数式表示跑道的周长为_____；（用含的代数式表示，结果保留） (2)用含，，的代数式表示“铁饼投掷”项目和“掷标枪”项目比赛场地的总面积（阴影部分面积的和） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）跑道的周长等于两个半圆的弧长加上直道的长度； （2）阴影面积等于“铁饼投掷”项目的面积和“掷标枪”项目面积之和． 【详解】（1）解：跑道的周长为； （2）解：“铁饼投掷”项目的面积为，“掷标枪”项目的面积为， ． 15某超市在“元旦”期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物金额 优惠办法 不超过100元的部分 不予优惠 超过100元(含100元)但不超过500元的部分 九折优惠 超过500元(含500元)的部分 八折优惠 (1)李明的爷爷一次性购200元的保健食品，他的妈妈一次性购300元的衣服问：他俩应该分别付款多少元?如果他们两人合作付款可以少付款多少元? (2)小杨在该超市一次性购元的生活用品，当x大于或等于500时她应付款多少元?(用含x的代数式表示，写最简的结果) (3)如果小杨两次购物货款合计900元，第一次购物的货款为a元(250＜a＜400)，两次购物小杨实际付款多少元?(用含a的式子表示) 【答案】(1)李明的爷爷付款190元；他的妈妈付款280元；如果他们两人合作付款可以少付款10元； (2)她应付款（0.8x+60）元； (3)两次购物小杨实际付款（0.1a+790）元． 【分析】（1）根据少于100元不予优惠，超过100元但低于500元，超过100元部分给予九折优惠，可得出实际付款． （2）根据少于100元不予优惠，超过100元但低于500元，超过100元部分给予九折优惠，超过500元的，超过500元部分给予八折优惠，可列出代数式． （3）分别求出两次购物小杨实际付款的钱数，相加即可求解． 【详解】（1）解：李明的爷爷一次性购200元的保健食品， 他实际付款100+0.9×（200-100）=190（元）： 李明妈妈一次性购300元的衣服， 她实际付款100+0.9×（300-100）=280（元）： 如果他们两人合作付款，则能少付190+280-[100+0.9×（200+300-100）]=10（元）． 答：李明的爷爷付款190元；他的妈妈付款280元；如果他们两人合作付款可以少付款10元； （2）小杨在该超市一次性购物x元生活用品， 当x大于或等于500时， 她应付款：100+0.9×（500-100）+0.8（x-500）=100+360+0.8（x-500）=（0.8x+60）元． 答：她应付款（0.8x+60）元； （3）100+0.9（a-100）+100+0.9×（500-100）+0.8（900-a-500）=（0.1a+790）元． 答：两次购物小杨实际付款（0.1a+790）元． 【点睛】本题考查了列代数式，代数式求值，关键明白优惠的方案，从而可求出解． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $