专题2.3 有理数的乘方（14大题型+过关检测）（小模块.微专题.大压轴）2026-2027学年数学人教版七年级上册

**基本信息** 以“小模块-微专题-大压轴”为框架，系统整合有理数乘方概念、运算及应用，通过方法点拨与分层训练，培养抽象能力、运算能力和应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|1典例+3变式|辨析底数指数，区分(-a)ⁿ与-aⁿ|从乘方定义切入，建立符号意识| |基本运算|1典例+3变式|奇负偶正规律，先定符号再算绝对值|承接概念，强化运算准确性| |混合运算|1典例+3变式|先乘方再乘除后加减，括号优先|综合运算能力，培养推理意识| |科学记数法|2模块各1典例+3变式|a×10ⁿ中a与n的确定方法|联系实际，发展数据意识| |压轴突破|3专题各1典例+3变式|规律探究、新定义转化、模型构建|从应用到创新，提升数学思维|

挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题2.3 有理数的乘方》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 有理数乘方的概念理解 模块9由近似数推断准确数的取值范围 模块2 有理数乘方的基本运算与符号规律 模块10 乘方中的应用问题 模块3 含乘方的有理数四则混合运算 微专题1乘方中的进制问题 模块4 程序流程图与有理数的混合计算 压轴1 乘方中的末尾数字与规律探究 模块5 用科学记数法表示绝对值大于1的数 压轴2 乘方中的新定义问题 模块6将科学记数法表示的数还原为原数 压轴3 算“24”点游戏 模块7求一个数的近似数 通关检测·实战演练 模块8判断近似数的精确度 知识梳理 · 基础溯源 知识点1有理数的乘方 1.一般地，n个相同的乘数a相乘，即记作.求n个相同乘数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作幂. 2 .中，a叫作底数，n叫作指数，读作a的n次方(或a的n次幂） 【方法点拨】 有理数乘方易错警示:an表示n个a相乘。注意区分(-2)4=16与-24=-16负数的奇次幂为负，偶次幂为正。 指数为1时结果为其本身。勿混淆底数与指数位置。 知识点2：乘方运算法则 （1）正数的任何次幂都是正数 （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 （3）0的任何正整数次幂都是0 【方法点拨】 有理数乘方运算易错警示:先确定幂的符号(负数奇次幂为负，偶次为正)，再算绝对值。注意底数为分 数或负数要加括号，如，而，注意两者的不同。 知识点3：混合运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减． （2）同级运算，从左到右的顺序进行． （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行．在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值． 【方法点拨】 有理数混合运算易错警示:先乘方，再乘除，最后加减;有括号先算括号内。注意运算律使用可简化， 但需带符号移动。勿跳步导致符号错误或漏算。 知识点4：科学计数法 1.科学记数法概念：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a 是整数数位只有一位的数，n为正整数）．这种记数的方法叫做科学记数法．﹙1≤|a|＜10﹚ 注：一个n为数用科学记数法表示为a×10n－1 【方法点拨】 科学记数法易错警示：形式为，其中1≤a|<10，n为整数。注意a是整数部分仅一位的数，n等于原数整数位数减1或小数点移动位数。单位需在括号外。 2.近似数的精确度：两种形式 （1）精确到某位或精确到小数点后某位． （2）保留几个有效数字 注：对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示 例如：256000（精确到万位）的结果是2.6×105 模块通关·举一反 三 【模块一】有理数乘方的概念理解 【典例1】．若一个算式中，是底数，4是指数，则这个算式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中，a叫做幂的底数，n叫做幂的指数，去列式即可． 【详解】解：是底数，4是指数，这个算式是． 故选：B． 【点睛】本题考查了幂的构造，底数，指数，正确理解幂的意义是解题的关键． 【变式1-1】式子的意义是（　　） A．2的平方 B．的平方 C．2的平方的相反数 D．的平方的相反数 【答案】C 【分析】根据乘方的意义和相反数的定义进行判断． 【详解】解：的意义为2的平方的相反数． 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数乘方：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．乘方的结果叫做幂，在中，a叫做底数，n叫做指数．读作a的n次方．也考查了相反数． 【变式1-2】下列运算中，结果可以为的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数的乘方、有理数的乘法、有理数的除法运算法则计算后判断． 【详解】解：， ，A选项不符合题意； ，B选项不符合题意； ，C选项不符合题意； ，D选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的乘方、有理数的乘法、有理数的除法运算，解题的关键是掌握有理数的乘方、有理数的乘法、有理数的除法运算法则． 【变式1-3】下列各组数中，运算结果相等的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】利用乘方运算法则计算后判断即可． 【详解】解：A、，，故相等，符合题意； B、，，故不相等，不符合题意； C、，，故不相等，不符合题意； D、，，故不相等，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，关键是掌握有理数的乘方的意义 【模块二】有理数乘方的基本运算与符号规律 【典例2】下列各式中，结果为正数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据去括号的法则，乘方的性质，绝对值的性质，有理数乘法法则去判断下列选项符号的正负． 【详解】A选项，去括号之后是； B选项，根据乘方运算，； C选项，根据绝对值的运算，； D选项，根据乘法和乘方运算，． 故选：D． 【点睛】本题考查去括号的法则，乘方的性质，绝对值的性质，有理数乘法法则，解题的关键是利用这些方法算出结果，再判断结果的正负． 【变式2-1】下列各组数中，运算结果相等的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】利用乘方运算法则计算后判断即可． 【详解】解：A、，，故相等，符合题意； B、，，故不相等，不符合题意； C、，，故不相等，不符合题意； D、，，故不相等，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，关键是掌握有理数的乘方的意义． 【变式2-2】下列各对数中，数值相等的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】求出各项中两式的值，即可做出判断． 【详解】解：A、，，数值不相等，故选项错误； B、，，数值不相等，故选项错误； C、，，数值相等，故选项正确； D、，，数值不相等，故选项错误， 故选：C． 【点睛】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键． 【变式2-3】已知为正整数，计算的结果是（　　） A．1 B．-1 C．0 D．2 【答案】D 【分析】根据有理数乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方运算法则以及乘方的符号规律是解本题的关键． 【模块三】含乘方的有理数四则混合运算 【典例3】．计算： （1）．     （2）．     （3）． （4）．     （5）．     （6）． （7）．     （8）．     （9）． 【答案】（1）64（2）（3）（4）（5）32（6）（7）（8）（9） 【分析】（1）根据乘方的意义计算即可； （2）根据乘方的意义计算即可； （3）根据乘方的意义计算即可； （4）根据乘方的意义计算即可； （5）根据乘方的意义计算即可； （6）根据乘方的意义计算即可； （7）根据乘方的意义计算即可； （8）根据乘方的意义计算即可； （9）根据乘方的意义计算即可； 【详解】解：（1） ==64 （2）= = （3）== （4）== （5）==32 （6）== （7）= = （8）= = （9）= == 【点睛】此题考查的是有理数的乘方运算，掌握有理数乘方的意义是解决此题的关键 【变式3-1】．下列各组数中，结果相等的是　(　　) A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】根据有理数的乘方，绝对值和多重符号化简的运算法则逐一计算可得． 【详解】解：A．，，不相等，不符合题意； B．，，不相等，不符合题意； C．， ，不相等，不符合题意； D．， ， 相等，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查有理数的乘方，绝对值和多重符号化简，解题的关键是掌握绝对值的定义和相反数的定义及有理数的乘方的定义与运算法则． 【变式3-2】计算： （1）；          （2）；         （3）； （4）；        （5）；          （6） 【答案】（1）；（2）27；（3）；（4）；（5）；（6） 【分析】根据有理数乘方运算法则计算即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6） 【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练运用运算法则是解本题的关键． 【变式3-3】计算下列各题． (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． (6)． (7)． (8)． (9)； (10)． (11)． (12) 【答案】(1)9 (2)3 (3)-15 (4)5 (5)17.2 (6)4.5 (7)-1 (8) (9) (10) (11)2 (12) 【详解】（1） =-3+8-6+10=9 （2） =-1+2+2=3 （3） = =-32+21-4=-15 （4） = =-8+4+9=5 （5） =1-（-8）-0.8+9 =1+8-0.8+9=17.2 （6） = =4+4-4+0.5=4.5 （7） = =-1-1+1=-1 （8） （9） （10） ．(11)解：原式 (12)解： 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，正确的计算能力是解决问题的关键. 【模块四】程序流程图与有理数的混合计算 【典例4】根据流程图中的程序，若输入的值为0，则输出的值为（    ） A．5 B．7 C．70 D．187 【答案】C 【分析】把代入程序中计算，判断结果与0的大小，依次类推即可确定出的值． 【详解】解：由图可得， 当时，， ， 输出的值为70， 故选：C． 【点睛】本题考查了流程图计算，熟练理解运算过程是解本题的关键． 【变式4-1】按如图所示的程序分别输入进行计算，请写出输出结果（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】把代入程序中计算得到结果，判断大于2输出即可． 【详解】解：把代入程序中得：， 把0代入程序中得：， 把2代入程序中得：， 则输出结果为4，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式4-2】如图，是一个“数值转换机”的示意图．若，则输出结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数值转换机的示意图：先给平方，再给平方后的数乘以，最后加上，即可得到输出的结果 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， ∴输出的结果为：， 故选：C 【点睛】本题考查程序流程图与有理数计算，熟练掌握流程图的中的运算顺序是解决问题的关键 【变式4-3】根据如图所示的程序计算，若输入x的值为1，则输出y的值为 ． 【答案】7 【分析】根据程序的计算顺序将x的值代入就可以计算出y的值．如果计算的结果＜0则需要把结果再次代入关系式求值，直到算出的值＞0为止，即可得出y的值． 【详解】解：依据题中的计算程序列出算式：， ∴应该按照计算程序继续计算，， ∴． 故答案为：7． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序． 【模块五】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【典例5】贵州日报月日报道，年第一季度，我省生产总值约为亿元，亿用科学记数法可表示为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 ，其中 ，为整数，先将亿转化成数字，然后按要求表示即可． 【详解】解：亿＝， ∴， 故选：． 【点睛】此题考查了科学记数法，确定与的值是解决问题的关键． 【变式5-1】受G20影响，2016年杭州接待中外游客14059万人次，实现旅游总收入257200000000元，同比增长，其中数据257200000000用科学记数法表示为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意及科学记数法直接进行解答即可． 【详解】解：数据257200000000用科学记数法表示为， 故选B． 【点睛】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键． 【变式5-2】据中国新闻网消息，2023年我国将新建开通基站60万个，总数将突破290万个，位居世界第一．将数据“290万”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：290万． 故选：B． 【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 【变式5-3】2021年9月某超市零售额为500000元，2022年9月份比2021年9月份增长了，则2022年9月份的零售额用科学记数法表示为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】先求出：2022年9月份的零售额，再根据科学记数法的表示方法解答即可． 【详解】解：2022年9月份的零售额为元， 用科学记数法表示为元； 故选：C． 【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【模块六】将科学记数法表示的数还原为原数 【典例6】“绿水青山就是金山银山”．某地积极响应党中央号召，大力推进农村厕所革命，已经累计投资元资金，数据可表示为（    ） A．1102亿 B．1.102亿 C．110.2亿 D．11.02亿 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】解：亿． 故选：B． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．解决本题的关键是掌握科学记数法的表示形式为，其中，n为整数． 【变式6-1】用科学记数法表示的数为，这个数原来是（　　） A．4315 B．431.5 C．43.15 D．4.315 【答案】A 【分析】将小数点向右移动3位即可得出原数． 【详解】解：用科学记数法表示的数为，这个数原来是4315， 故选A． 【点睛】本题主要考查科学记数法—原数，科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．若科学记数法表示较小的数a×10﹣n，还原为原来的数，需要把a的小数点向左移动n位得到原数． 【变式6-2】一个整数x用科学记数法表示为，则x的位数为（    ） A．27 B．28 C．29 D．30 【答案】C 【分析】将科学记数法表示的数的指数加上1得到原来的数的整数位，由此解答即可． 【详解】x的整数数位少1位为28，则x的位数为29． 故选C． 【点睛】本题考查了把科学记数法表示的数整数位与指数的关系． 【变式6-3】下列是用科学记数法表示的数，请写出原数． (1) 2.31×105； (2) 3.001×104； (3) －1.28×106； (4) －7.568×107. 【答案】(1)231 000;(2)30 010;(3)－1 280 000;(4)－75 680 000 【分析】通过科学记数法换算成原数，正负符号不变，乘以几次幂就将小数点后移几位，不足的补0． 【详解】解：(1) 2.31×105=231 000； (2) 3.001×104=30 010； (3) －1.28×106=－1 280 000； (4) －7.568×107=－75 680 000. 【点睛】本题考查的是将用科学记数法表示的数改为原数的原理，即科学记数法的逆推． 【模块七】求一个数的近似数 【典例7】通过望远镜，人类在宇宙中已经发现近18600000亿个星系，每一个星系中又有约2000亿颗星球，但所有这些加起来仅占整个宇宙的4%．把18600000精确到十万位的近似数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断出18600000的十万位上的数是多少，根据四舍五入法，求出18600000精确到十万位是多少即可． 【详解】解：18600000≈， 故答案为：． 【点睛】本题考查了近似数与有效数字，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．解题的关键是：一般有精确到哪一位就保留几个有效数字的说法．还要注意正确理解科学记数法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【变式7-1】1.9985 精确到百分位，应等于（    ） A．1.99 B．2.10 C．2.00 D．2 【答案】C 【分析】精确到百分位，即保留小数点后面第二位，看小数点后面第三位，利用“四舍五入”法解答即可． 【详解】解：1.9985按四舍五入法精确到百分位应写作2.00； 故选：C． 【点睛】按照四舍五入法求小数的近似数时，小数位数不够时应用0补齐，末尾是0的精确到相应位数． 【变式7-2】把78200精确到千位的近似数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用科学记数法表示，把百位上的数字2进行四舍五入即可． 【详解】解：精确到千位的近似数是． 故选：D． 【点睛】本题考查了近似数，科学记数法，掌握四舍五入和科学记数法的定义时关键． 【变式7-3】按括号内的要求用四舍五入法求近似数，其中正确的是（    ） A．（精确到十分位） B．（精确到0.1） C．39.37亿≈39亿（精确到个位） D．12345670≈12450000（精确到万位） 【答案】B 【分析】根据近似数的精确度对各选项进行判断． 【详解】解：A. （精确到十分位），故该选项不符合题意； B. （精确到0.1），故该选项符合题意； C. 亿（精确到个位），故该选项不符合题意； D. 12345670（精确到万位），故该选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查了近似数，“精确度”是近似数的常用表现形式． 【模块八】判断近似数的精确度 【典例8】近似数3.20的精确度说法正确的是(　　) A．精确到百分位 B．精确到十分位 C．精确到千位 D．精确到万位 【答案】A 【分析】根据近似数的精确度求解． 【详解】近似数3.20精确到百分位． 故选A． 【点睛】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字． 【变式8-1】12.30万精确到（      ） A．千位 B．百分位 C．万位 D．百位 【答案】D 【分析】先把12.30万还原，然后根据近似数的概念进行解答即可． 【详解】解：由12.30万=123000，所以12.30万精确到百位； 故选D． 【点睛】本题主要考查近似数，熟练掌握近似数是解题的关键． 【变式8-2】某种鲸鱼的体重约为1.36×105kg，关于这个近似数，下列说法正确的是（　　） A．它精确到百位 B．它精确到0.01 C．它精确到千分位 D．它精确到千位 【答案】D 【分析】根据近似数的精确度求解． 【详解】解：1.36×105精确到千位． 故选：D． 【点睛】本题考查了近似数：经过四舍五入得到的数为近似数．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位的说法． 【变式8-3】下列说法错误的是（    ） A．近似数16.8与16.80表示的意义不同 B．近似数0.2900是精确到0.0001 C．近似数精确到十位 D．49564精确到万位是 【答案】D 【分析】根据近似数的精确度的知识对选项逐一判断即可． 【详解】解：A、近似数16.8精确到0.1，16.80精确到0.01，所以A选项的说法正确； B、近似数0.2900是精确到0.0001的近似数，所以B选项的说法正确； C、近似数6.850×104精确到十位，所以C选项的说法正确； D、49564精确到万位是5×104，所以D选项的说法错误． 故选D． 【点睛】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数为近似数；从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法． 【模块九】 由近似数推断准确数的取值范围 【典例9】四舍五入得到的近似数3.75表示的精确数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】近似值是通过四舍五入得到的，3.75可以由大于或等于3.745的数，4后面的一位数字，满5进1得到．或由小于3.755的数，舍去5后的数字得到，因而． 【详解】解：近似数3.75表示的精确数的范围是． 故选：B． 【点睛】本题主要考查对近似数概念的理解． 【变式9-1】小明的身高约为m，表示他实际身高a的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意和近似数的精确度得小明实际身高a的范围为，即可得． 【详解】解：小明的身高为m，表示他实际身高a的范围为， 故选：A． 【点睛】本题考查了近似数，解题的关键是掌握近似数． 【变式9-2】近似数3.70所表示的准确值x的取值范围是（    ） A．3.695≤x＜3.705 B．3.60＜x＜3.80 C．3.695＜x≤3.705 D．3.700＜x≤3.705 【答案】A 【分析】利用近似数是用四舍五入法得到的，精确到哪一位，只需对下一位数进行四舍五入即可． 【详解】近似数3.70所表示的准确值x的取值范围3.695≤x<3.705． 故答案为：A． 【点睛】本题主要考查了近似数，用四舍五入取近似数的方法是解题的关键． 【变式9-3】下列说法错误的是（    ） A．0.350是精确到0.001的近似数 B．3.80万是精确到百位的近似数 C．近似数26.9与26.90表示的意义相同 D．近似数2.20是由数四会五入得到的，那么数的取值范围是 【答案】C 【分析】根据近似数的精确度对各项进行判断选择即可. 【详解】A. 0.350是精确到0.001的近似数，正确； B. 3.80万是精确到百位的近似数，正确； C. 近似数26.9精确到十分位，26.90精确到百分位，表示的意义不相同，所以错误； D. 近似数2.20是由数四会五入得到的，那么数的取值范围是，正确； 综上，选C. 【点睛】本题考查了近似数，精确到第几位是精确度常用的表示形式，熟知此知识点是解题的关键. 【模块十】乘方中的应用问题 【典例10】庄子》中记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完，若按此方式截一根长为1的木棍，第4天截取后木棍剩余的长度是______． 【答案】 【分析】根据题意依次每一天剩余木棍的长度，即可求得第4天截取后木棍剩余的长度． 【详解】解：第一天截取后剩：（米）； 第二天截取后剩：（米）； 第三天截取后剩：（米）； 第四天截取后剩：（米）； 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数乘方，掌握有理数乘方的意义及性质，理解题意写出算式是解题关键． 【变式10-1】我国古代典籍《庄子•天下篇》中曾有：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．现有一根长为1尺的木杆，第1次截取其长度的一半，第2次截取其第1次剩下长度的一半，第3次截取其第2次剩下长度的一半，如此反复，则第100次截取后，此木杆剩下的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用乘方的意义确定出剩下的长度即可． 【详解】解：第1次截取其长度的一半，剩下长度为尺， 第2次截取其第1次剩下长度的一半，剩下的长度为尺， 第3次截取其第2次剩下长度的一半，剩下的长度为尺， 如此反复， 第100次截取后，木杆剩下的长度为 (尺)， 则此木杆剩下的长度为尺． 故选：B． 【点睛】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键． 【变式10-2】把一张厚度为且足够大的长方形纸连续对折，要使对折后整叠纸总厚度超过，至少要对折(   ) A．6次 B．7次 C．8次 D．9次 【答案】B 【分析】设折叠n次，则总厚度为0.1×2n，由题意可得0.1×2n>12，即可求n的值． 【详解】解：由题意可知，每次对折后厚度都是前一次的2倍， 设折叠n次，则总厚度为0.1×2n， ∵折叠后总厚度超过12mm， ∴0.1×2n>12， ∴2n>120， ∵27=128， ∴至少对折7次， 故选：B． 【点睛】本题考查有理数的乘方，理解题意，找到折叠规律是解题的关键． 【变式10-3】如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推． （1）阴影部分的面积是_______； （2）受此启发，则的值为_______． 【答案】 【分析】（1）根据题意可以写出前几部分的面积，从而可以发现各部分面积的变化规律，再根据图形可知阴影部分的面积和部分⑥的面积相等，从而可以解答本题； （2）根据（1）中发现的规律和题目中的式子，可以计算出相应的结果． 【详解】解：由题意可知，部分①面积是，部分②面积是， 部分③面积是，… 则阴影部分的面积是（ 故答案为：． ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查有理数的乘方，关键是根据题意得到规律，然后利用乘方运算求解即可． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】乘方中的进制问题 【典例11】计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1，将一个十进制数转化为二进制，只需把该数写出若干数的和，依次写出1或0即可．如为二进制下的五位数，则十进制是二进制下的（    ） A．10位数 B．11位数 C．12位数 D．13位数 【答案】B 【分析】根据题意，，，根据规律可知最高位应是，故可求共有位数． 【详解】解：∵，， ∴最高位应是， 故共有位数． 故选B 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，此题只需分析是几位数，所以只需估计最高位是乘以2的几次方即可分析出共有几位数，此题也可以用除以2取余的方法写出对应的二进制的数． 【变式11-1】我们常用的十进制数，如2639＝2×103+6×102+3×101+9，我国古代《易经》一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，并采用七进制（如2513＝2×73+5×72+1×71+3），用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是_____． 【答案】516 【分析】类比于十进制“满十进一”，可以表示满七进一的数为：三四三位上的数×73+四十九位上的数×72+七位上的数×7+个位上的数． 【详解】解：根据题意，得 因为满七进一， 所以从右到左依次排列的绳子， 分别代表绳结数乘以70，71，72，73的天数， 所以孩子自出生后的天数是： 5×70+3×71+3×72+1×73 ＝5+21+147+343 ＝516． 故答案为：516． 【点睛】考查了有理数乘方的混合运算，本题是以古代“结绳计数”为背景，按满七进一计算自孩子出生后的天数，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算；本题题型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另一方面也考查了学生的思维能力． 【变式11-2】我们常用的数是十进制，如，十进制数要用个数码（又叫数字），．而在电子计算机中用的是二进制，只要2个数码：0和1，如二进制，相当于十进制数中的6，，相当于十进制数中的．那么二进制中的等于十进制中的数是_______．（提示：非零有理数的零次幂都为 【答案】 【分析】依据题中的二进制的换算方式将二进制转化为十进制计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查有理数的乘方运算．根据已知转化方法，找出其中规律是解决此题的关键． 【变式11-3】我们常用的数是十进制，如，十进制数要用10个数码（又叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．而在电子计算机中用的是二进制，只要2个数码：0和1，如二进制，相当于十进制数中的6，，相当于十进制数中的53．那么二进制中的101011等于十进制中的数是________．（提示：非零有理数的零幂都为1） 【答案】43 【分析】依据题中二进制的换算方式将二进制转化为十进制计算即可． 【详解】解：101011＝1×25+0×24+1×23+0×22+1×21+1×20＝32+0+8+0+2+1＝43． 故答案为43． 【点睛】本题考查有理数的乘方运算．根据已知转化方法，找出其中规律是解决此题的关键． 【微专题二】 偶次乘方的非负性应用 【典例12】已知，都是实数，若，则_____． 【答案】 【分析】根据绝对值，偶次幂的非负性求出，，再代入计算即可． 【详解】∵， ∴，， 即，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了绝对值，偶次幂的非负性，求出，的值是解本题的关键． 【变式12-1】若，则=__________________． 【答案】8 【分析】根据绝对值的性质和平方的性质，求得，再代入求解即可． 【详解】解： ∴， 解得：， ∴ 故答案为8 【点睛】此题考查了绝对值和平方的性质，掌握绝对值和平方的性质求得是解题 【变式12-2】（x﹣1）2与|y+2|互为相反数，则（x+y）4的值是 _____． 【答案】1 【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，再根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：∵（x﹣1）2与|y+2|互为相反数， ∴（x﹣1）2+|y+2|＝0， ∴x﹣1＝0，y+2＝0， 解得x＝1，y＝﹣2， 所以，（x+y）4＝（1﹣2）4＝（﹣1）4＝1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 【变式12-3】若，则的值是__________． 【答案】 【分析】根据绝对值与偶数次方的非负性可求得与的值，从而可求得结果． 【详解】，，且， ，， 即，， 得：，， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了绝对值与偶数次方的非负性质：即两个非负数的和为零，则它们都为零，乘方的计算，关键是由非负性质求得与的值． 压轴拓展·素养提升 【压轴一】 乘方中的末尾数字与规律探究 【典例13】观察下面三行数: 1，-2，  4，  -8，  16，  -32,    64，  …；① 3， 0，  6，  -6，  18，  -30，   66，  …；② 0， 3，  -3，  9，  -15，  33，   -63， …. ③ (1)第①行数的第n（n≥2）个数是 ；    (2)请将第②行数中的每一个数分别减去第①行数中对应位置的数，并找出规律，根据你得到的结论，直接写出第②行数的第n（n≥2）个数是 ；同理直接写出第③行数的第n（n≥2）个数是 ； (3)取每行的第k个数,这三个数的和能否等于 -509？如果能，请求出k的值；如果不能，请说明理由. 【答案】（1）（-1）n×2n；（2）（-1）n×2n+2，1-（-1）n×2n；（3）取每行的第k个数，这三个数的和能等于-509． 【分析】（1）观察不难发现，后一个数是前一个数字的（-2）倍解答即可； （2）观察不难发现，第②行为第①行的2倍，第③行为第②行相应的数字加2； （3）根据各行的第n个数的表达式列出方程，然后解方程即可． 【详解】解：（1）第①行数的第n（n≥2）个数是：（-1）n+1×2n-1， 故答案为（-1）n+1×2n-1； （2）由图中的数据可得， 第②行数中的每一个数分别减去第①行数中对应位置的数的差都是2，则第②行数的第n（n≥2）个数是（-1）n+1×2n-1+2， 第③行数中的每一个数分别加上第①行数中对应位置的数的和都是1，则第③行数的第n（n≥2）个数是1-（-1）n+1×2n-1， 故答案为（-1）n+1×2n-1+2，1-（-1）n+1×2n-1； （3）取每行的第k个数，这三个数的和能等于-509， 令（-1）k+1×2k-1+2+（-1）k+1×2k-1+1-（-1）k+1×2k-1=-509， 解得，k=10， 即取每行的第10个数，这三个数的和能等于-509． 【点睛】本题是对数字变化规律的考查，比较简单，观察出第①行后一个数字是前一个数字的（-2）倍是解题的关键，也是本题的突破口． 【变式13-1】定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取时，运算过程如图．若，则第2023次“F运算”的结果是（　　） A．16 B．1 C．4 D．5 【答案】B 【分析】按新定义的运算法则，分别计算出当时，第一、二、三、四、五、六、七、八、九次运算的结果，发现循环规律即可解答． 【详解】解：由题意可知，当时，历次运算的结果是： ， ， ， …， 故17→52→13→40→5→16→1→4→1…，即从第七次开始1和4出现循环，偶数次为4，奇数次为1， ∴当，第2023次“F运算”的结果是1． 故选：B． 【点睛】本题考查的是整数的奇偶性新定义，通过若干次运算得出循环规律是解题的关键． 【变式13-2】观察算式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，38＝6561，…．通过观察，用你所发现的规律确定32021的个位数字是（　　） A．3 B．9 C．7 D．1 【答案】A 【分析】从运算的结果可以看出尾数以3、9、7、1四个数字一循环，用2019除以4，余数是几就和第几个数字相同，由此解决问题即可． 【详解】解：已知31=3，末位数字为3，             32=9，末位数字为9，             33=27，末位数字为7，             34=81，末位数字为1，             35=243，末位数字为3，             36=729，末位数字为9，             37=2187，末位数字为7，             38=6561，末位数字为1，             …             由此得到：3的1，2，3，4，5，6，7，8，…次幂的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环，             又2021÷4=505…1， 所以32019的末位数字与33的末位数字相同是3．             故选:A． 【点睛】此题考查尾数特征及规律型：数字的变化类，通过观察得出3的乘方的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环是解决问题的关键． 【变式13-3】探究规律： （1）计算： ① 2－1＝ ； ② 22－2－1＝ ； ③23－22－2－1＝ ； ④24－23－22－2－1＝ ； （2）根据上面结果猜想： ① 22020－22019－22018－…－23－22－2－1＝ ； ②2n－2n－1－2n－2－…－23－22－2－1＝ ； ③212－211－210－29－28－27－26＝ ； 【答案】（1）①1； ②1；③1；④1 （2）①1；②1；③64 【分析】（1）①简单计算即可得到结果； ②，代入计算即可； ③，代入计算即可； ④，代入计算即可． （2）①根据（1）中，四个式子的计算结果，进行猜想即可； ②根据（1）中，四个式子的计算结果，进行猜想即可； ③对比规律可发现，需要将式子变形为： 计算即可． 【详解】解：（1）计算：① ②； ③ ； ④； （2）①； ②； ③ = = = 【点睛】本题考查幂的运算，根据规律进行猜想，并对比分析将式子变形计算是解题关键． 【压轴二】 乘方中的新定义问题 【典例14】已知x、y为有理数，如果规定一种新运算，则（    ） A．41 B．29 C．20 D．36 【答案】B 【分析】首先根据题意，可得，原式变为，再根据题意列式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是正确理解题意． 【变式14-1】用“*”定义一种新运算：对于任何有理数a和b，规定，如，则的值为（    ） A． B．8 C． D．4 【答案】C 【分析】按照新定义进行代值，可得，进行计算即可求解． 【详解】解： ； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了在新定义下含有乘方的有理数的混合运算，理解新定义是解题的关键． 【变式14-2】对于正整数，定义，其中表示的首位数字、末位数字的平方和．例如：，．规定，（为正整数），例如，，．按此定义，则由__________，___________． 【答案】 16 58 【分析】根据题意分别求出F1（4）到F8（4），通过计算发现，F1（4）＝F8（4），只需确定即可求解． 【详解】F1（4）＝16，F2（4）＝F（16）＝12+62=37， F3（4）＝F（37）＝32+72=58，F4（4）＝F（58）＝52+82=89， F5（4）＝F（89）＝82+92=145，F6（4）＝F（145）＝12+52=26， F7（4）＝F（26）＝22+62=40，F8（4）＝F（40）＝42+0=16，… 通过计算发现，F1（4）＝F8（4）， ∵2019÷7＝288…3， ∴F2019（4）＝F3（4）＝58； 故答案为16，58． 【点睛】本题考查有理数的乘方；能准确理解定义，多计算一些数字，进而确定循环规律是解题关键． 【变式14-3】（概念学习）现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2+2÷2写作，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作，读作“（﹣3）的圈4次方”，一般地，把写作，读作a的圈n次方． （初步探究） （1）计算：＝______，＝______． （2）下列关于除方说法中，错误的是______． A：任何非零数的圈2次方都等于1 B：对于任何正整数n，＝1 C：＝ D：负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 （深入思考） 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算写成幂的形式：（﹣3）④＝______，（）⑥＝______． 【答案】（1）；（2）C；（3）； 【分析】（1）分别按公式进行计算即可； （2）根据定义依次判定即可； （3）把除法化为乘法，根据幂的乘方进行计算； 【详解】解：（1）有题意可知：， 故答案为：； （2）A、任何非零数的圈2次方都等于1；  所以选项A正确； B、因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数n，1ⓝ都等于1； 所以选项B正确； C、3④=3÷3÷3÷3=，4③=4÷4÷4=，则 3④≠4③； 所以选项C错误； D、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D正确； 本题选择说法错误的， 故选C； （3） 故答案为：； 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，也是一个新定义的理解与运用；一方面考查了有理数的乘除法及乘方运算，另一方面也考查了学生的阅读理解能力；注意：负数的奇数次方为负数，负数的偶数次方为正数，同时也要注意分数的乘方要加括号，对新定义，其实就是多个数的除法运算，要注意运算顺序． 【压轴三】 算“24”点游戏 【典例15】用一组数3，4，﹣4，﹣6算24点（每个数只能用一次）： ． 【答案】3×4×[﹣4﹣（﹣6）]＝24（答案不唯一） 【分析】此题只要符合题的要求，得数等于24即可，答案不唯一． 【详解】解：3×4×[﹣4﹣（﹣6）] ＝12×（﹣4＋6） ＝12×2 ＝24， 故答案为：3×4×[﹣4﹣（﹣6）]＝24（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，此题要注意要求的得数为24，而且每个数字只能用一次． 【变式15-1】将四个数6、﹣3、﹣10、﹣4进行加、减、乘、除、乘方运算（每个数只能用一次）结果为24，请写出算式 . 【答案】﹣4﹣（﹣10）﹣6×（﹣3）＝24 【分析】根据有理数的混合运算规则，分别用、、、将四个数6、、、试验．最后找出结果． 【详解】解：根据题干中的要求可得：-4-（-10）-6×（-3）＝24， 故答案为：-4-（-10）-6×（-3）＝24. 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，主要是“24点”游戏，趣味性较强，难度不大，此类题目答案不唯一，只要符合要求即可． 【变式15-2】对1，3，5，5四个数进行“加、减、乘、除、乘方”混合运算（每个数只能使用一次），其计算结果为24，请列出算式： （填一个算式即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】结合所给数字及结果的特点，利用“加、减、乘、除、乘方”进行尝试，即可得出答案． 【详解】解：， 或， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【变式15-3】做数学“24点”游戏时，抽到的数是：，3，4，；你列出算式是： （四个数都必须用上，而且每个数只能用一次．可以用加、减、乘、除、乘方运算，也可以加括号，列一个综合算式，使它的结果为24或） ． 【答案】 【分析】利用加、减、乘、除、乘方运算得出即可． 【详解】解：抽到的数是：，3，4，，列出的算式是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则． 通关检测·实战演练 一 选择题 1.算式可以表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用乘方的运算解题即可． 【详解】解： 故选C． 【点睛】本题考查乘方的运算，掌握乘方的运算法则是解题的关键． 2.下列计算结果为负数的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据有理数的乘方运算依次判断即可． 【详解】解：A、，符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：A． 【点睛】题目主要考查有理数的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 3.下列各式：①﹣a；②﹣|x|；③﹣；④；⑤，其中值一定是负数的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】先分析每个代数式的特点，确定它们的符号，即可得出答案． 【详解】解：①a＜0时，﹣a是正数，故①不符合题意； ②x＝0时，﹣|x|＝0，故②不符合题意； ③a＝0时，﹣＝0，故③不符合题意； ④一定是负数； ⑤a＝﹣2时，是正数，故⑤不符合题意， 所以其中值一定是负数的有1个． 故选：A． 【点睛】考查正数和负数，绝对值，由a的取值范围知道代数式的正负性是解题的关键． 4.计算：（    ） A． B．1 C．0 D．2023 【答案】B 【分析】根据有理数乘方的逆运算法则计算即可得． 【详解】解：原式 ． 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数乘方的逆运算，熟练掌握有理数乘方的逆运算法则是解题关键． 5．我们平常用的是十进制，如:1967=1×103+9×102+6×101+7，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在计算机中用的是二进制，只有两个数码：0，1．如:二进制中111=1×22+1×21+1相当于十进制中的7，又如：11011=1×24+1×23+0×22+1×21+1相当于十进制中的27．那么二进制中的1011相当于十进制中的(    ) A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】根据题意得出1011=1×23+0×22+1×21+1，求出即可 【详解】1011=1×23+0×22+1×21+1=11， 即二进制中的1011相当于十进制中的11. 故答案选C. 【点睛】考查了有理数的乘方，结合计算机教学，主要考查学生的理解能力、阅读能力和计算能力． 二 填空题 6.计算：(1)__________；___________；________________． (2)______________；______________；_____________ 【答案】 (1) (2) 1 (1)解：； ； ． (2)解：1； -1； -1000 7. 一个数的平方是它本身的数是__________． 【答案】0或1/1或0 【分析】根据有理数的乘方的意义解答即可． 【详解】解：∵，， ∴一个数的平方是它本身的数是0或1． 故答案为：0或1． 【点睛】本题考查有理数的乘方．掌握有理数的乘方的意义是解题关键． 8.我国古代《易经》一书中记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一书生用此方法来记录自己读书的天数，如图1，他在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，表示的天数为51天（），按同样的方法，图2表示的天数是 _____． 【答案】92 【分析】由于从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，所以从右到左的数分别为，然后把它们相加即可． 【详解】解：根据题意得： ． 故图2表示的天数是92． 故答案为：92． 【点睛】本题考查了用数字表示事件，是以古代“结绳计数”为背景，按满六进一计数，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算；本题题型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另一方面也考查了学生的思维能力． 9.观察下列算式发现规律：，，，，，，……，则的个位数字是______． 【答案】1 【分析】根据7的指数从1到5，末位数字从7，9，3，1，7进行循环，再用2020除以4得出余数，再写出72020个位数字． 【详解】解：∵71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，上述的几个式子，易知1次方为末位数字是7，2次方末位数字是为9，3次方末位数字是为3，4次方末位数字是为1，5次方末位数字是为7， ∴个位数字的变化是以7，9，3，1为周期，即周期为4， ∵2020÷4=505， ∴72020的个位数字为1， 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了尾数特征，观察出结果个位数字的特点是解本题的关键． 10．为了求1+2+22+23+…+22010的值，可令S＝1+2+22+23+…+22010，则2S＝2+22+23+24+…+22011，因此2S﹣S＝22011﹣1，所以1+2+22+23+…+22010＝22011﹣1，计算1+5+52+53+…+52010的值可得_____． 【答案】（52011﹣1） 【分析】根据题目信息，设S=1+5+52+53+…+52010，求出5S，然后相减计算即可得解． 【详解】解：设S=1+5+52+53+…+52010， 则5S=5+52+53+54…+52011， 两式相减得：5S-S=4S=52011-1， 则S=（52011﹣1）． ∴1+5+52+53+54+…+52010的值为（52011﹣1）． 故答案为：（52011﹣1）． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，读懂题目信息，理解求和的运算方法是解题的关键． 三 解答题 11.计算： （1）；          （2）；         （3）； （4）；        （5）；          （6） 【答案】（1）；（2）27；（3）；（4）；（5）；（6） 【分析】根据有理数乘方运算法则计算即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6） 【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练运用运算法则是解本题的关键． 12.如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个．根据此规律可得：    (1)这样的一个细胞经过2小时后可分裂成多少个细胞？ (2)这样的一个细胞经过多少小时后可分裂成64个细胞？ 【答案】(1)16 (2)3 【分析】（1）根据题意，2小时是4个30分钟，从而得到答案； （2）根据题意，得到规律，设经过个30分钟得到64个细胞，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：经过2小时，即第4个30分钟后，可分裂成个细胞， 经过2小时后，可分裂成16个细胞； （2）解：根据题意，一个细胞第1个30分钟分裂成2个，即个细胞； 第2个30分钟分裂成4个，即个； … 依此类推，第个30分钟分裂为个细胞； ，解得， 经过6个30分钟，即3小时后可分裂成64个细胞． 【点睛】本题考查幂的应用，熟记幂的相关定义及计算是解决问题的关键． 13.小聪是一个聪明而又富有想象力的孩子，学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识，脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．规定：若干个相同有理数（均不为0）的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方，小聪把记作，记作． (1)直接写出计算结果______，______． (2)计算：． 【答案】(1)4，； (2)． 【分析】（1）按小聪的“除方”规定计算即可； （2）按有理数的运算顺序，先计算“除方”，再算乘法，最后算加减． 【详解】（1）， ， 故答案为：4，； （2）∵， ， ， ， ∴ ． 【点睛】本题考查了新定义，以及有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则，理解新定义运算的规定是解决本题的关键． 14.已知，求的值． 【答案】0 【分析】根据，可得 的值，然后代入求解即可． 【详解】解：，且 ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查整式的求值，理解绝对值和完全平方的非负性是解题的关键，其中幂的符号是易错点． 15．阅读材料：求的值． 解：设 将等式两边同时乘以2，得： ； 将下式减去上式得： ，即，即； 请你仿照此法计算： （1）． （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）设，从而可得的值，再计算，由此即可得； （2）设，从而可得的值，再计算，由此即可得． 【详解】解：（1）设， 将等式两边同乘以得：， 将上式减去下式得：，即， 则， 即； （2）设， 将等式两边同乘以3得：， 将下式减去上式得：，即， 则， 即． 【点睛】本题考查了有理数乘方的应用，掌握理解阅读材料中的求解方法是解题关键． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题2.3 有理数的乘方》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 有理数乘方的概念理解 模块9由近似数推断准确数的取值范围 模块2 有理数乘方的基本运算与符号规律 模块10 乘方中的应用问题 模块3 含乘方的有理数四则混合运算 微专题1乘方中的进制问题 模块4 程序流程图与有理数的混合计算 压轴1 乘方中的末尾数字与规律探究 模块5 用科学记数法表示绝对值大于1的数 压轴2 乘方中的新定义问题 模块6将科学记数法表示的数还原为原数 压轴3 算“24”点游戏 模块7求一个数的近似数 通关检测·实战演练 模块8判断近似数的精确度 知识梳理 · 基础溯源 知识点1有理数的乘方 1.一般地，n个相同的乘数a相乘，即记作.求n个相同乘数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作幂. 2 .中，a叫作底数，n叫作指数，读作a的n次方(或a的n次幂） 【方法点拨】 有理数乘方易错警示:an表示n个a相乘。注意区分(-2)4=16与-24=-16负数的奇次幂为负，偶次幂为正。 指数为1时结果为其本身。勿混淆底数与指数位置。 知识点2：乘方运算法则 （1）正数的任何次幂都是正数 （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 （3）0的任何正整数次幂都是0 【方法点拨】 有理数乘方运算易错警示:先确定幂的符号(负数奇次幂为负，偶次为正)，再算绝对值。注意底数为分 数或负数要加括号，如，而，注意两者的不同。 知识点3：混合运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减． （2）同级运算，从左到右的顺序进行． （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行．在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值． 【方法点拨】 有理数混合运算易错警示:先乘方，再乘除，最后加减;有括号先算括号内。注意运算律使用可简化， 但需带符号移动。勿跳步导致符号错误或漏算。 知识点4：科学计数法 1.科学记数法概念：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a 是整数数位只有一位的数，n为正整数）．这种记数的方法叫做科学记数法．﹙1≤|a|＜10﹚ 注：一个n为数用科学记数法表示为a×10n－1 【方法点拨】 科学记数法易错警示：形式为，其中1≤a|<10，n为整数。注意a是整数部分仅一位的数，n等于原数整数位数减1或小数点移动位数。单位需在括号外。 2.近似数的精确度：两种形式 （1）精确到某位或精确到小数点后某位． （2）保留几个有效数字 注：对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示 例如：256000（精确到万位）的结果是2.6×105 模块通关·举一反 三 【模块一】有理数乘方的概念理解 【典例1】．若一个算式中，是底数，4是指数，则这个算式是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】式子的意义是（　　） A．2的平方 B．的平方 C．2的平方的相反数 D．的平方的相反数 【变式1-2】下列运算中，结果可以为的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】下列各组数中，运算结果相等的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【模块二】有理数乘方的基本运算与符号规律 【典例2】下列各式中，结果为正数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】下列各组数中，运算结果相等的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式2-2】下列各对数中，数值相等的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式2-3】已知为正整数，计算的结果是（　　） A．1 B．-1 C．0 D．2 【模块三】含乘方的有理数四则混合运算 【典例3】．计算： （1）．     （2）．     （3）． （4）．     （5）．     （6）． （7）．     （8）．     （9）． 【变式3-1】．下列各组数中，结果相等的是　(　　) A．与 B．与 C．与 D．与 【变式3-2】计算： （1）；          （2）；         （3）； （4）；        （5）；          （6） 【变式3-3】计算下列各题． (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． (6)． (7)． (8)． (9)； (10)． (11)． (12) 【模块四】程序流程图与有理数的混合计算 【典例4】根据流程图中的程序，若输入的值为0，则输出的值为（    ） A．5 B．7 C．70 D．187 【变式4-1】按如图所示的程序分别输入进行计算，请写出输出结果（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式4-2】如图，是一个“数值转换机”的示意图．若，则输出结果为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】根据如图所示的程序计算，若输入x的值为1，则输出y的值为 ． 【模块五】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【典例5】贵州日报月日报道，年第一季度，我省生产总值约为亿元，亿用科学记数法可表示为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】受G20影响，2016年杭州接待中外游客14059万人次，实现旅游总收入257200000000元，同比增长，其中数据257200000000用科学记数法表示为（） A． B． C． D． 【变式5-2】据中国新闻网消息，2023年我国将新建开通基站60万个，总数将突破290万个，位居世界第一．将数据“290万”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】2021年9月某超市零售额为500000元，2022年9月份比2021年9月份增长了，则2022年9月份的零售额用科学记数法表示为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【模块六】将科学记数法表示的数还原为原数 【典例6】“绿水青山就是金山银山”．某地积极响应党中央号召，大力推进农村厕所革命，已经累计投资元资金，数据可表示为（    ） A．1102亿 B．1.102亿 C．110.2亿 D．11.02亿 【变式6-1】用科学记数法表示的数为，这个数原来是（　　） A．4315 B．431.5 C．43.15 D．4.315 【变式6-2】一个整数x用科学记数法表示为，则x的位数为（    ） A．27 B．28 C．29 D．30 【变式6-3】下列是用科学记数法表示的数，请写出原数． (1) 2.31×105； (2) 3.001×104； (3) －1.28×106； (4) －7.568×107. 【模块七】求一个数的近似数 【典例7】通过望远镜，人类在宇宙中已经发现近18600000亿个星系，每一个星系中又有约2000亿颗星球，但所有这些加起来仅占整个宇宙的4%．把18600000精确到十万位的近似数是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】1.9985 精确到百分位，应等于（    ） A．1.99 B．2.10 C．2.00 D．2 【变式7-2】把78200精确到千位的近似数是（     ） A． B． C． D． 【变式7-3】按括号内的要求用四舍五入法求近似数，其中正确的是（    ） A．（精确到十分位） B．（精确到0.1） C．39.37亿≈39亿（精确到个位） D．12345670≈12450000（精确到万位） 【模块八】判断近似数的精确度 【典例8】近似数3.20的精确度说法正确的是(　　) A．精确到百分位 B．精确到十分位 C．精确到千位 D．精确到万位 【变式8-1】12.30万精确到（      ） A．千位 B．百分位 C．万位 D．百位 【变式8-2】某种鲸鱼的体重约为1.36×105kg，关于这个近似数，下列说法正确的是（　　） A．它精确到百位 B．它精确到0.01 C．它精确到千分位 D．它精确到千位 【变式8-3】下列说法错误的是（    ） A．近似数16.8与16.80表示的意义不同 B．近似数0.2900是精确到0.0001 C．近似数精确到十位 D．49564精确到万位是 【模块九】 由近似数推断准确数的取值范围 【典例9】四舍五入得到的近似数3.75表示的精确数的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】小明的身高约为m，表示他实际身高a的范围为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】近似数3.70所表示的准确值x的取值范围是（    ） A．3.695≤x＜3.705 B．3.60＜x＜3.80 C．3.695＜x≤3.705 D．3.700＜x≤3.705 【变式9-3】下列说法错误的是（    ） A．0.350是精确到0.001的近似数 B．3.80万是精确到百位的近似数 C．近似数26.9与26.90表示的意义相同 D．近似数2.20是由数四会五入得到的，那么数的取值范围是 【模块十】乘方中的应用问题 【典例10】庄子》中记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完，若按此方式截一根长为1的木棍，第4天截取后木棍剩余的长度是______． 【变式10-1】我国古代典籍《庄子•天下篇》中曾有：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．现有一根长为1尺的木杆，第1次截取其长度的一半，第2次截取其第1次剩下长度的一半，第3次截取其第2次剩下长度的一半，如此反复，则第100次截取后，此木杆剩下的长度为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】把一张厚度为且足够大的长方形纸连续对折，要使对折后整叠纸总厚度超过，至少要对折(   ) A．6次 B．7次 C．8次 D．9次 【变式10-3】如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推． （1）阴影部分的面积是_______； （2）受此启发，则的值为_______． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】乘方中的进制问题 【典例11】计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1，将一个十进制数转化为二进制，只需把该数写出若干数的和，依次写出1或0即可．如为二进制下的五位数，则十进制是二进制下的（    ） A．10位数 B．11位数 C．12位数 D．13位数 【变式11-1】我们常用的十进制数，如2639＝2×103+6×102+3×101+9，我国古代《易经》一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，并采用七进制（如2513＝2×73+5×72+1×71+3），用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是_____． 【变式11-2】我们常用的数是十进制，如，十进制数要用个数码（又叫数字），．而在电子计算机中用的是二进制，只要2个数码：0和1，如二进制，相当于十进制数中的6，，相当于十进制数中的．那么二进制中的等于十进制中的数是_______．（提示：非零有理数的零次幂都为 【变式11-3】我们常用的数是十进制，如，十进制数要用10个数码（又叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．而在电子计算机中用的是二进制，只要2个数码：0和1，如二进制，相当于十进制数中的6，，相当于十进制数中的53．那么二进制中的101011等于十进制中的数是________．（提示：非零有理数的零幂都为1） 【微专题二】 偶次乘方的非负性应用 【典例12】已知，都是实数，若，则_____． 【变式12-1】若，则=__________________． 【变式12-2】（x﹣1）2与|y+2|互为相反数，则（x+y）4的值是 _____． 【变式12-3】若，则的值是__________． 压轴拓展·素养提升 【压轴一】 乘方中的末尾数字与规律探究 【典例13】观察下面三行数: 1，-2，  4，  -8，  16，  -32,    64，  …；① 3， 0，  6，  -6，  18，  -30，   66，  …；② 0， 3，  -3，  9，  -15，  33，   -63， …. ③ (1)第①行数的第n（n≥2）个数是 ；    (2)请将第②行数中的每一个数分别减去第①行数中对应位置的数，并找出规律，根据你得到的结论，直接写出第②行数的第n（n≥2）个数是 ；同理直接写出第③行数的第n（n≥2）个数是 ； (3)取每行的第k个数,这三个数的和能否等于 -509？如果能，请求出k的值；如果不能，请说明理由. 【变式13-1】定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取时，运算过程如图．若，则第2023次“F运算”的结果是（　　） A．16 B．1 C．4 D．5 【变式13-2】观察算式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，38＝6561，…．通过观察，用你所发现的规律确定32021的个位数字是（　　） A．3 B．9 C．7 D．1 【变式13-3】探究规律： （1）计算： ① 2－1＝ ； ② 22－2－1＝ ； ③23－22－2－1＝ ； ④24－23－22－2－1＝ ； （2）根据上面结果猜想： ① 22020－22019－22018－…－23－22－2－1＝ ； ②2n－2n－1－2n－2－…－23－22－2－1＝ ； ③212－211－210－29－28－27－26＝ ； 【压轴二】 乘方中的新定义问题 【典例14】已知x、y为有理数，如果规定一种新运算，则（    ） A．41 B．29 C．20 D．36 【变式14-1】用“*”定义一种新运算：对于任何有理数a和b，规定，如，则的值为（    ） A． B．8 C． D．4 【变式14-2】对于正整数，定义，其中表示的首位数字、末位数字的平方和．例如：，．规定，（为正整数），例如，，．按此定义，则由__________，___________． 【变式14-3】（概念学习）现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2+2÷2写作，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作，读作“（﹣3）的圈4次方”，一般地，把写作，读作a的圈n次方． （初步探究） （1）计算：＝______，＝______． （2）下列关于除方说法中，错误的是______． A：任何非零数的圈2次方都等于1 B：对于任何正整数n，＝1 C：＝ D：负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 （深入思考） 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算写成幂的形式：（﹣3）④＝______，（）⑥＝______． 【压轴三】 算“24”点游戏 【典例15】用一组数3，4，﹣4，﹣6算24点（每个数只能用一次）： ． 【变式15-1】将四个数6、﹣3、﹣10、﹣4进行加、减、乘、除、乘方运算（每个数只能用一次）结果为24，请写出算式 . 【变式15-2】对1，3，5，5四个数进行“加、减、乘、除、乘方”混合运算（每个数只能使用一次），其计算结果为24，请列出算式： （填一个算式即可） 【变式15-3】做数学“24点”游戏时，抽到的数是：，3，4，；你列出算式是： （四个数都必须用上，而且每个数只能用一次．可以用加、减、乘、除、乘方运算，也可以加括号，列一个综合算式，使它的结果为24或） ． 通关检测·实战演练 一 选择题 1.算式可以表示为（　　） A． B． C． D． 2.下列计算结果为负数的是 （    ） A． B． C． D． 3.下列各式：①﹣a；②﹣|x|；③﹣；④；⑤，其中值一定是负数的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 4.计算：（    ） A． B．1 C．0 D．2023 5．我们平常用的是十进制，如:1967=1×103+9×102+6×101+7，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在计算机中用的是二进制，只有两个数码：0，1．如:二进制中111=1×22+1×21+1相当于十进制中的7，又如：11011=1×24+1×23+0×22+1×21+1相当于十进制中的27．那么二进制中的1011相当于十进制中的(    ) A．9 B．10 C．11 D．12 二 填空题 6.计算：(1)__________；___________；________________． (2)______________；______________；_____________ 7. 一个数的平方是它本身的数是__________． 8.我国古代《易经》一书中记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一书生用此方法来记录自己读书的天数，如图1，他在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，表示的天数为51天（），按同样的方法，图2表示的天数是 _____． 9.观察下列算式发现规律：，，，，，，……，则的个位数字是______． 10．为了求1+2+22+23+…+22010的值，可令S＝1+2+22+23+…+22010，则2S＝2+22+23+24+…+22011，因此2S﹣S＝22011﹣1，所以1+2+22+23+…+22010＝22011﹣1，计算1+5+52+53+…+52010的值可得_____． 三 解答题 11.计算： （1）；          （2）；         （3）； （4）；        （5）；          （6） 12.如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个．根据此规律可得：    (1)这样的一个细胞经过2小时后可分裂成多少个细胞？ (2)这样的一个细胞经过多少小时后可分裂成64个细胞？ 13.小聪是一个聪明而又富有想象力的孩子，学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识，脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．规定：若干个相同有理数（均不为0）的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方，小聪把记作，记作． (1)直接写出计算结果______，______． (2)计算：． 14.已知，求的值． 15．阅读材料：求的值． 解：设 将等式两边同时乘以2，得： ； 将下式减去上式得： ，即，即； 请你仿照此法计算： （1）． （2）． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $