精品解析：北京市东直门中学2026-2027学年度第一学期期中考试初二数学

北京市东直门中学2026-2027学年度第一学期期中考试 初二数学 2026.11 考试时间：100分钟总分100分 第一部分（选择题） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，5，8 D. 4，5，10 2. 视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 已知图中的两个三角形全等，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（    ）. A. 45° B. 60° C. 75° D. 85° 6. 下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知与，分别以O，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交，于点，，交，于点，．以为圆心，以长为半径画弧，交弧于点H，下列结论不正确的是（   ） A. B. C. D. 8. 如图所示，将矩形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折，接着对折后的纸片沿虚线CD向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是（　　） A. B. C. D. 第二部分（非选择题） 二、填空题（每小题2分，共16分） 9. 工人师傅盖房子时，常将房梁设计如图所示的图形，使其牢固不变形，这是利用________性． 10. 若，则需要满足的条件是______ 11. 如图，C是的中点，，添加一个条件使得，这个条件可以是_____________ （添加一个条件即可）． 12. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD＝2，BC＝7，则△BDC的面积是________． 13. 在中，，且，那么的度数为__________． 14. 若多项式是一个完全平方式，则实数的值为__________． 15. 若，，则的值是__________． 16. 如图，点A、B在坐标轴上，的平分线过点与x轴交于点C．下列结论：①平分的外角；②；③；④．其中正确的结论有______．（填序号） 三、解答题（17、18每小题：4分，题共16分；19-22题每题：5分；23-26每题：6分） 17. 计算： （1）； （2） 18. 因式分解： （1）； （2） 19. 已知，求代数式的值． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知和的顶点均在格点上，其中，，，． （1）画出与关于轴对称的图形； （2）判断和是否成轴对称，若成轴对称，请在图中画出对称轴；若不成轴对称，请说明理由． 21. 如图，在中，垂直平分，交于，垂足为，连接，为的角平分线，若，，求的长． 22. 已知：． 求作：点，使得点在上，且． 作法： ①分别以，为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧分别交于，； ②作直线，与交于点． 点为所求作的点． 根据上述作图过程 （1）请利用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接，，，． 　　，， ，在线段的垂直平分线上．即是线段的垂直平分线． 点在直线上， 　　（填写推理的依据）． 23. 如图，在中，是边上的一点，，平分，交边于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 24. 如图1，有一张长方形纸板，在它的四角各切去一个大小相同的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为a厘米的长方体形状的无盖纸盒（如图2）．如果纸盒的体积为（2a2b+ab2）立方厘米，底面长方形的宽为b厘米． （1）求这张长方形纸板的长； （2）将长方体形状的无盖纸盒的外表面都贴一层红色的包装纸，请求出一个这样的纸盒需要用多少平方厘米的红色包装纸．（结果都用含a，b的代数式表示） 25. 如图，在中，（），且． （1）判断与的数量关系，并证明； （2）在边左侧作线段，使得，，连接与边交于点（不与点，重合）． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段，之间的数量关系，并证明． 26. 在平面直角坐标系中，横纵坐标均为整数的点称为整点，我们经常用整式乘法和因式分解来解决整数和整点问题． 如下图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点坐标分别是，，，．点为正方形内部（边界或者顶点除外）的动点，设点的坐标为． （1）若整数，满足，，则点的坐标为__________； （2）设的三边长分别为，，（其中为的长度），整数，满足：，则周长为__________； （3）若整点满足（其中表示的面积），则称点为“好点”，则正方形内部的好点的个数为__________个． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市东直门中学2026-2027学年度第一学期期中考试 初二数学 2026.11 考试时间：100分钟总分100分 第一部分（选择题） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，5，8 D. 4，5，10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边．只需验证每组数中较小的两数之和是否大于最大数即可． 【详解】A． 1、2、3：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意； B． 2、3、4：，满足条件，能构成三角形，符合题意； C． 3、5、8：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意； D． 4、5、10：，不满足条件，不符合题意； 故选：B． 2. 视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的定义，把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称，这条直线叫做对称轴，根据定义逐项判断即可． 【详解】A．可以找到一条直线，使两个图形沿这条直线折叠，能够完全重合，这两个图形能关于这条直线成轴对称，故选项不符合题意； B．可以找到一条直线，使两个图形沿这条直线折叠，能够完全重合，这两个图形能关于这条直线成轴对称，故选项不符合题意； C．找不到一条直线，使两个图形沿这条直线折叠，不能够完全重合，这两个图形不能关于直线成轴对称，故选项符合题意； D．可以找到一条直线，使两个图形沿这条直线折叠，能够完全重合，这两个图形能关于这条直线成轴对称，故选项不符合题意； 故选：C． 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法和除法．解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 利用合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，积的乘方的法则，同底数幂的乘法的法则对各项进行运算即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意． 故选：B． 4. 已知图中的两个三角形全等，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的对应边相等，对应角相等去判定对应关系后计算． 【详解】因为两个三角形全等， 所以边b的对角为70°， 所以， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握对应角的判定方法是解题的关键． 5. 将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（    ）. A. 45° B. 60° C. 75° D. 85° 【答案】C 【解析】 【分析】先根据三角形的内角和得出∠CGF=∠DGB=45°，再利用∠α=∠D+∠DGB可得答案． 【详解】解：如图， ∵∠ACD=90°、∠F=45°， ∴∠CGF=∠DGB=45°， 则∠α=∠D+∠DGB=30°+45°=75°， 故选C． 【点睛】本题主要考查三角形的外角的性质，解题的关键是掌握三角形的内角和定理和三角形外角的性质． 6. 下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形就是因式分解，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、左边是整式乘积，右边是多项式，属于整式乘法，不是因式分解． B、左边是多项式，右边，与左边相等，且为几个整式的积的形式，是因式分解． C、右边含有加法运算，不是整式乘积的形式，不是因式分解． D、左右两边均为整式乘积，属于符号恒等变形，不是因式分解． 7. 如图，已知与，分别以O，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交，于点，，交，于点，．以为圆心，以长为半径画弧，交弧于点H，下列结论不正确的是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，角度的和差计算．根据作图可知，结合图形，根据角度的和差关系逐项分析判断即可求解． 【详解】解：根据作图可知， A、不能判断，故该选项不正确，符合题意； B、，即，故该选项正确，不符合题意； C、，故该选项正确，不符合题意； D、，故该选项正确，不符合题意； 故选：A． 8. 如图所示，将矩形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折，接着对折后的纸片沿虚线CD向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据第三个图形是三角形的特点及折叠的性质即可判断. 【详解】∵第三个图形是三角形， ∴将第三个图形展开，可得，即可排除答案A， ∵再展开可知两个短边正对着， ∴选择答案D，排除B与C． 故选D． 【点晴】此题主要考查矩形的折叠，解题的关键是熟知折叠的特点. 第二部分（非选择题） 二、填空题（每小题2分，共16分） 9. 工人师傅盖房子时，常将房梁设计如图所示的图形，使其牢固不变形，这是利用________性． 【答案】三角形的稳定 【解析】 【详解】由生活经验，易得根据三角形的稳定性. 10. 若，则需要满足的条件是______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，根据底数不等于解答即可，熟记非数的零指数幂为1是解题的关键． 【详解】解：若，则， ∴， 故答案为： 11. 如图，C是的中点，，添加一个条件使得，这个条件可以是_____________ （添加一个条件即可）． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：．添加时注意：不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键． 要使，已知，则可以添加角的另一个边从而利用来判定其全等，或添加另一个角从而利用或来判定其全等． 【详解】解：添加或， 当添加时， ∵C是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 当添加时，∴， 当添加时，∴ 故答案为：或或． 12. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD＝2，BC＝7，则△BDC的面积是________． 【答案】7 【解析】 【分析】过点D作DE⊥BC于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=AD，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】如图，过点D作DE⊥BC于E， ∵∠A=90°，BD是∠ABC的平分线， ∴DE=AD=2， ∴△BDC的面积=BC•DE=×7×2=7． 故答案为：7 【点睛】本题考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等的性质是解题关键． 13. 在中，，且，那么的度数为__________． 【答案】 58 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理，直角三角形两锐角之和为，结合已知的与的差，联立等式求解的数值． 【详解】解：∵中，， ∴，即， ∵， ∴将代入该式，得， 整理得， ∴． 14. 若多项式是一个完全平方式，则实数的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】已知二次三项式为完全平方式，结合完全平方式的结构特征，通过对应项系数相等求解参数． 【详解】解：∵完全平方式的结构为 ∴对于多项式，二次项对应，常数项对应，可得， ∴一次项需满足 代入、的值得 ∴． 15. 若，，则的值是__________． 【答案】 25 【解析】 【分析】利用同底数幂的乘法法则求出的值，再结合幂的乘方法则计算目标式的值． 【详解】解：根据同底数幂的乘法法则，. ∵ ，. ∴ 代入等式得 . 计算得 . 根据幂的乘方法则，. 将代入上式， 得． 16. 如图，点A、B在坐标轴上，的平分线过点与x轴交于点C．下列结论：①平分的外角；②；③；④．其中正确的结论有______．（填序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，直角三角形的判定与性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”以及正确作出辅助线． 【详解】解：过点D作轴于点E，作轴于点H，作的延长线于点F，如图所示： 平分， ①在和中， 平分 平分的外角， 故①正确； ②由①可知 轴于点H， 平分， 为直角三角形， 又 ， 故②正确， ③无法得出③的结论，故错误； ④设 在和中， ，， 即 ， 故④正确， 故答案为：①②④． 三、解答题（17、18每小题：4分，题共16分；19-22题每题：5分；23-26每题：6分） 17. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 18. 因式分解： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】12 【解析】 【分析】将代数式应用完全平方公式和平方差公式展开后合并同类项，将整体代入求值． 【详解】解：∵，∴． ∴ ． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知和的顶点均在格点上，其中，，，． （1）画出与关于轴对称的图形； （2）判断和是否成轴对称，若成轴对称，请在图中画出对称轴；若不成轴对称，请说明理由． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）成轴对称，如图，直线为对称轴． 【解析】 【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）对应点连线的垂直平分线即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：成轴对称，画对称轴略． 21. 如图，在中，垂直平分，交于，垂足为，连接，为的角平分线，若，，求的长． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，由角平分线的性质得出，由线段垂直平分线的性质得出，最后由，即可求出的长，熟练掌握相关性质是解此题的关键． 【详解】解：为的角平分线，，，， ， 垂直平分，， ， ． 22. 已知：． 求作：点，使得点在上，且． 作法： ①分别以，为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧分别交于，； ②作直线，与交于点． 点为所求作的点． 根据上述作图过程 （1）请利用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接，，，． 　　，， ，在线段的垂直平分线上．即是线段的垂直平分线． 点在直线上， 　　（填写推理的依据）． 【答案】（1）见解析 （2），线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等． 【解析】 【分析】（1）根据题意进行作图即可； （2）先根据作图方法可知，，则点在直线上，再根据线段垂直平分线的性质即可证明结论． 【小问1详解】 解：如图，点即为所求； 【小问2详解】 证明：连接，，，． ，， ，在线段的垂直平分线上．即是线段的垂直平分线． 点在直线上， （线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等）． 故答案为：，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，熟知线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等是解题的关键． 23. 如图，在中，是边上的一点，，平分，交边于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】 (1)证明：平分， ， 在和中，， ； （2） 【解析】 【分析】（1）由角平分线定义得出，由证明即可； （2）由三角形内角和定理得出，由角平分线定义得出，在中，由三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】（1）略 （2），， ， 平分， ， 在中，． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形内角和定理；熟练掌握三角形内角和定理和角平分线定义，证明三角形全等是解题的关键． 24. 如图1，有一张长方形纸板，在它的四角各切去一个大小相同的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为a厘米的长方体形状的无盖纸盒（如图2）．如果纸盒的体积为（2a2b+ab2）立方厘米，底面长方形的宽为b厘米． （1）求这张长方形纸板的长； （2）将长方体形状的无盖纸盒的外表面都贴一层红色的包装纸，请求出一个这样的纸盒需要用多少平方厘米的红色包装纸．（结果都用含a，b的代数式表示） 【答案】（1）长方形纸板的长为厘米， （2）一个这样的纸盒需要用平方厘米的红色包装纸 【解析】 【分析】（1）设长方形纸板的长为x厘米，然后根据长方体的体积公式列出方程求解即可； （2）只需要求出纸盒的表面积即可得到答案． 【小问1详解】 解：设长方形纸板的长为x厘米， 由题意得：， 解得， ∴长方形纸板的长为厘米， 【小问2详解】 解：由题意得 平方厘米， ∴一个这样的纸盒需要用平方厘米的红色包装纸． 【点睛】本题主要考查了整式混合运算的应用，熟知长方体体积和表面积公式是解题的关键． 25. 如图，在中，（），且． （1）判断与的数量关系，并证明； （2）在边左侧作线段，使得，，连接与边交于点（不与点，重合）． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） 证明：在中，（）， ∴， 又， ∴； （2）①如图， ② 证明：延长到点N，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）①在的左侧，以点C为顶点作，截取，连接，交于点，据此补全图形即可； ②延长到点N，使，连接，证明和即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略； ②略 26. 在平面直角坐标系中，横纵坐标均为整数的点称为整点，我们经常用整式乘法和因式分解来解决整数和整点问题． 如下图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点坐标分别是，，，．点为正方形内部（边界或者顶点除外）的动点，设点的坐标为． （1）若整数，满足，，则点的坐标为__________； （2）设的三边长分别为，，（其中为的长度），整数，满足：，则周长为__________； （3）若整点满足（其中表示的面积），则称点为“好点”，则正方形内部的好点的个数为__________个． 【答案】（1）或 （2）45 （3）37 【解析】 【分析】（1）把10进行正整数因数分解，，其中满足的有所以有两个点． （2）把进行因式分解，得，由为正整数且，确定或2500，即或50，再排除的情况，所以． （3）设的坐标为，则四个三角形的面积都能用或表示，计算得，因式分解得，所以或，再确定在条件限制下可以取的值． 【小问1详解】 解：∵为整数，且， 或或或， ， ∴或符合题意， ∴点的坐标为或． 【小问2详解】 解：， ∵为整数，，，分别为的三边长，为的长度，， ∴， 且为整数， 或625或1250或2500， ∵为整数， 或，即或， 当，即时，，能构成三角形， 当，即时，，不能构成三角形， ； 【小问3详解】 解：过点作于于于于， 在正方形中，，， 设， 则， ， ， ， 整理得：， ， ， ∴或， ∴或，且为整数， 当时，满足的值至19，共19个， 当时，满足的值至19，共19个，其中重复一次，算18个， ∴在正方形内部的“好点”的个数为37个． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $