培优专题 与绝对值有关的专项训练 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

与绝对值有关的专项训练 1．大家知道，它在数轴上的意义是表示2的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离． (1)式子在数轴上的意义是 ． (2)数轴上数x和的两点A和B之间的距离可以表示为 ；如果，那么 ． (3)若点C表示的数为x，当取得的最小值时，则x的取值范围是 ；当取最大值时，则x的取值范围是 ． (4)点D表示的数为8，点E表示的数为，若点P到点D和到点E的距离之差大于1而小于5，请写出满足要求的所有的点P表示的整数． 2．在学习了数轴后，小亮决定对数轴进行变化应用： (1)应用一：已知点在数轴上表示数为，数轴上的任意一点表示的数为，则两点的距离可以表示为______；应用这个知识，请直接写出当______时，的最小值为______． AI   (2)应用二：从数轴上取下一个单位长度的线段，第一次剪掉原长的，第二次剪掉剩下的，依次类推，每次都剪掉剩下的，则剪掉5次后剩下线段的长度为______；应用这个原理，请计算：．    (3)应用三：如图，将一根拉直的细线看作数轴，一个三边长分别为，，的三角形的顶点与原点重合，边在数轴正半轴上，将数轴正半轴的线沿的顺序依次缠绕在三角形的边上，负半轴的线沿的顺序依次缠绕在三角形的边上． ①如果正半轴的线缠绕了5圈，负半轴的线缠绕了3圈，求绕在点C上的所有数字和； ②如果正半轴的线不变，将负半轴的线拉长一倍，即原线上的点的位置对应着拉长后的数，并将三角形向正半轴方向平移一个单位后再开始绕，求绕在点B且绝对值不超过100的所有数之和． AI   3．[阅读材料] 数轴是非常重要的数学工具，它可以使问题更加直观．数轴上两点间的距离，可以看作数轴上这两点所对应的数差的绝对值．如图1，数轴上有A、B、C三个点，表示的数分别为：、2、4，A、B两点之间的距离为． [初步感知] （1）如图1，A、C两点之间的距离为_____； （2）数轴上表示x和3两点之间的距离为_____； [拓展研究] （1）数轴上有个动点表示的数是x，则的最小值是_____； （2）已知，则的最大值是_____； [实际应用] 某县城可近似看作为一个正方形，如图2，正方形的四个顶点处有四家快递公司A、B、C、 D，它们分别有快递车24辆、12辆、6辆、18辆．为迎接“双十一”活动，使得各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调动车辆：那么一共调动的车辆数最小值为_____辆．（不考虑其他因素） 4．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是 ，数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是 ． (2)数轴上点A用数a表示，若，那么a的值为 ． (3)数轴上点A用数a表示， ①若，那么a的值是 ． ②当时，数a的取值范围是 ，这样的整数a有 个 ③有最小值，最小值是 ． 5．【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离．若点表示的数为，请根据数轴解决以下问题： (1)【初步应用】 当取最小值时，可以取的整数有几个_________； (2)当的值最小时，最小值为__________； (3)【解决问题】 如图，一条笔直的公路边有三个代工厂、、和城区，代工厂、、分别位于城区左侧5，右侧1，右侧3．代工厂需要芯片1000个，代工厂需要芯片2000个，代工厂需要芯片3000个．现需要在该公路上建一个芯片研发实验室，为这3个代工厂输送芯片．若芯片的运输成本为每千米1元/千个，那么实验室建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？请说明理由． 6．我们知道的几何意义是数轴上表示的点与原点之间的距离；的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离．    (1)的几何意义是数轴上表示的点与表示______的点之间的距离，的几何意义是数轴上表示的点与表示______的点之间的距离； (2)利用绝对值的几何意义求满足等式的的值． (3)请你借助数轴，利用绝对值的几何意义找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是__________________． (4)由以上探索猜想是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由． 7．观察、理解与应用． 题目：如图数轴上有三点A、B和C，其中A点在处，B点在2处，C点在原点处． (1) ，表示的意义是 ； (2)，，即用字母表示线段长，，猜想： ，设P、Q在数轴上分别表示的数为和220，则线段 ； (3)归纳：如果M、N在数轴上表示的数分别为，，则线 ； (4)应用：若动点P，Q分别从点和2处同时出发，沿数轴负方向运动；已知点P的速度是每秒1个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，问： ①t为2秒时P，Q两点的距离是多少？（列算式解答） ②t为 秒时P，Q两点之间的距离为2？ 8．【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： (1)式子在数轴上的几何意义是____________________________________，若，则x的值为_________； (2)当|取最小值时，x可以取整数_________； (3)当x=_________时，的值最小，最小值为_________； 【解决问题】 (4)如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧5km，右侧1km，右侧3km．A小区有居民人，B居民区有居民人，C居民区有居民人．现因防疫需要，需要在该公路上建一个核酸检测实验室P，用于接收这3个小区的全员核酸样本．若核酸样本的运输和包装成本为每千米1元/千份，那么实验室P建在何处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是多少？ 9．（1）阅读下面材料： 点A、B在数轴上分别表示实数a，b，A、B两点之间的距离表示为|AB|，当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图甲，|AB|﹣|OB|＝|b|＝|a﹣b|；当A、B两点都不在原点时， ①如图乙，点A、B都在原点的右边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|； ②如图丙，点A、B都在原点的左边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝|a﹣b|； ③如图丁，点A、B在原点的两边，|AB|＝|OA|+|OB|＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝|a﹣b|． 综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a﹣b|． （2）回答下列问题： ①数轴上表示2和﹣5的两点之间的距离是 　 　，数轴上表示x和﹣1的两点分别是点A和B，则A，B之间的距离是 　 　，如果|AB|＝2，那么x＝　 　． ②当|x+1|+|x﹣2|取最小值时，令T＝|x2﹣3|﹣2，则T的最大值＝　 　； 当|x+1|﹣|x﹣2|取最大值时，x的取值范围为 　 　； 当|x+1|+|x﹣2|＝5时，x的值为 　 　． ③求代数式|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣19|的最小值． 10．数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作．数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，表示数轴上表示数3的点与表示数－5的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数3的点的距离． 根据以上材料回答下列问题：（将结果直接填写在答题卡相应位置，不写过程） （1）若，则_______，若，则_______； （2）若，则x能取到的最小值是_______；最大值是_______； （3）若，则x能取到的最大值是_______； （4）关于x的式子的取值范围是_______． 11．问题一：有理数对应的数轴上的点是．如果两点距离小于8，两点距离大于4，且C在之间，，都是整数，试利用数轴求出的可能值 问题二：已知点在数轴上表示的数分别为 （1）若两点的距离为d，则_________(用含的式子表示) （2）由（1）的结论可知的意义是：数轴上表示数x的点到表示_______的点的距离 （3）若动点C表示的数为x，当x为何值时，下列各式有最小值？请求出它们的最小值． ①；②；③ 12．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离． (1)利用此结论，回答以下问题： ①数轴上表示1和的两点之间的距离是______， 的几何意义是：______． ②数轴上表示数x的点和表示数的点之间的距离可用式子表示为______， 若，那么______． (2)探索发现：求的最小值； (3)知识迁移：求的最大值． 13．综合与实践： 【问题情境】数学活动课上，王老师出示了一个问题：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．．例如：数轴上表示．与的两点间的距离，利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示3和8两点之间的距离是_________；数轴上表示2和的两点之间的距离是_________； 【独立思考】 (2)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为_________； (3)试用数轴探究：当时m的值为_________． 【实践探究】：利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究： (4)利用数轴求出的最小值，并写出此时x可取哪些整数值？ 【规律应用】 (5)工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件箱应该放在哪个工作台处，能使各工作台的工作人员取配件（只取一次）所走的路程最短？此时最短路程是多少米？ 14．综合探究 探索材料1（填空）： (1)数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为______；数轴上表示数3和-1的两点距离为______；则的意义可理解为数轴上表示数6和______这两点的距离；的意义可理解为数轴上表示数x和______这两点的距离； 探索材料2（填空）： (2)①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在______才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？ ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在______才能使P到A，B，C三点的距离之和最小？ 结论应用（填空）： (3)①的最小值是______； ②的最小值是______． 15．综合与探究 数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【定义】 一个点（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到的位置（点与点表示的数互为相反数），点称为点的一次跳跃点，紧接着从跳到的位置（点与点位于点的两侧，且，则点称为点关于点的二次跳跃点． 【初步理解】 (1)如图1，若点表示的数是，点表示的数是6，则点的一次跳跃点表示的数是________，点关于点的二次跳跃点表示的数是________，线段的长度为________． 【深入探究】 (2)如图2，若点是数轴正半轴上的一个点，点是数轴负半轴上的一个点，点为点关于点的二次跳跃点．若点，点表示的数分别是，，当变化时，探究线段的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【归纳总结】 (3)若在数轴上点，分别表示有理数，（其中，，点为点关于点的二次跳跃点，直接写出线段的长度． 16．【背景知识】数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记作，如数轴上表示数的点与表示数的点的距离为，表示数轴上表示数的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数的点的距离．根据以上材料回答下列问题： (1)【初步应用】 ①数轴上表示数的点与表示数的点的距离为________； ②若，则________； (2)找出满足的的所有值是________． (3)【深入探究】求的最小值，以下是小明的解答过程： 解：记点，，分别表示数，，，点、点的距离，点、点的距离．当点在点的左边，即时，如图①，此时，． ∴，即．当点在线段上，即时，如图②，此时．即，当点在点的右边时，即时，如图③，此时，．∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为． 请根据小明的解答过程，完成下列问题：求式子的最小值． 17．数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，“数形结合”是解决数学问题的重要思想方法．数轴作为一个非常重要的数学工具，它揭示了数与点之间的内在联系，是“数形结合”的基础． 例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离． 【探究问题】 (1)如图，数轴上，点A，B，P分别表示数，2，x． 填空：因为的几何意义是线段与的长度之和，当点P在线段上时，，而当点P在点A的左侧或点B的右侧时，．所以当点P在线段上时，有最小值，最小值是_________； 【解决问题】 (2)①直接写出式子的最小值为_________； ②若代数式的最小值是4，则m的值为_________； ③若代数式，则x的值为_________； 【实际应用】 (3)如图，在一条笔直的街道上有E，F，G，H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为300米．已知E，F，G，H四个小区各有2个，2个，2个，3个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这9个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的他们通过分析，发现在街道上的M处汇合会使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请问：汇合地点M设置在什么位置的时候，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，并求出此最小值． 18．阅读与思考：认识绝对值 【阅读理解】如下图：两辆巡护车从长治市太行街中点同时出发，一辆向东行驶千米，另一辆向西行驶千米．规定向东为正方向，向西为负方向，则向东记作千米，向西记作千米．我们发现：它们的行驶方向不同，行驶的路程不同，离出发点的距离也不同，分别是千米和千米． 数轴上表示一个数的点到原点的距离，叫做这个数的绝对值，记作“”． 例如：，， 【思考提升】 (1)填空： ①________②________③________④________ 我们发现：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是去掉负号后的数；的绝对值是． 绝对值永远不会是_____________．（填“正数”“”“负数”） (2)长治市太行街道路巡护车从市政府（原点）出发巡查，向东为正方向，向西为负方向，当天行驶记录如下：，，，（单位：千米） ①请你先填写每次行驶路程的绝对值，再求出巡护车当天总共行驶了多少千米？ 次序 第一次 第二次 第三次 第四次 路程（千米） 绝对值 ②如果巡护车每行驶千米耗油升，当天巡护车耗油多少升？ ③道路巡护车巡查结束后，会停在什么位置？ 19．【背景知识】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： 【初步应用】 （1）①数轴上表示数的点与表示数3的点的距离为______； ②若，则______； 【深入探究】 （2）求的最小值．以下是小明的解答过程： 解：记点P，A，B分别表示数x，，3，点P、点A的距离，点P、点B的距离． 当点P在点A的左边，即时，如图①，此时，． ∴，即． 当点P在线段上，即时，如图②，此时． 即， 当点P在点B的右边时，即时，如图③，此时，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 请根据小明的解答过程，完成下列问题： 求式子的最小值． 【解决问题】 （3）某公司办公楼有6层，公司要召开会议，从1层到6层每层参会人数分别为1，2，1，2，3，3．由于电梯出了故障，要使所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和最短，请你直接写出会议地点应设在第几层？ 20．【问题背景】 华罗庚说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休，“数形结合”一词指的是通过代数与图形相互结合、相互转化、相辅相成来解决数学问题，它既具有数学学科的鲜明特点，又是数学探索研究常用的好方法．数轴是我们学习数学的一个重要工具．利用数轴可以很好地将数与形结合起来． 【问题分析】 如图1，若数轴上A，B两点表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离，例如，，则． 【综合运用】 如图2，A，B两点在数轴上对应的数分别用a，b表示，且，甲、乙分别从A，B处同时出发，甲的速度为1个单位长度/秒，乙的速度为3个单位长度/秒，设运动的时间为秒． (1)数轴上点表示的数是__________，点表示的数是__________，__________； (2)如果甲、乙相向运动（甲向右运动，乙向左运动），记相遇点为，点表示的数为__________； (3)如果甲、乙都向左运动，当为__________时，甲、乙之间恰好相距5个单位长度． 21．如图，数轴上，，三点分别表示的数为、4、7，点表示的数为． 【阅读材料】：在数轴上表示数的点到原点的距离叫做的绝对值，记为，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记（或），数轴上数表示的点到表示数的点与表示数的点的距离之和记为． 【初步运用】 （1）填空：若，则______；若，则______． 【延伸探究】 （2）若动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，动点到点、点的距离之和为10； 【拓展探究】 （3）若点表示的数为，当取最小值时，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，、同时开始运动，当经过多少秒时，点、点之间的距离正好等于点N到点、点的距离和？（直接写出答案） 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 与绝对值有关的专项训练 1．大家知道，它在数轴上的意义是表示2的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离． (1)式子在数轴上的意义是 ． (2)数轴上数x和的两点A和B之间的距离可以表示为 ；如果，那么 ． (3)若点C表示的数为x，当取得的最小值时，则x的取值范围是 ；当取最大值时，则x的取值范围是 ． (4)点D表示的数为8，点E表示的数为，若点P到点D和到点E的距离之差大于1而小于5，请写出满足要求的所有的点P表示的整数． 2．在学习了数轴后，小亮决定对数轴进行变化应用： (1)应用一：已知点在数轴上表示数为，数轴上的任意一点表示的数为，则两点的距离可以表示为______；应用这个知识，请直接写出当______时，的最小值为______． AI   (2)应用二：从数轴上取下一个单位长度的线段，第一次剪掉原长的，第二次剪掉剩下的，依次类推，每次都剪掉剩下的，则剪掉5次后剩下线段的长度为______；应用这个原理，请计算：．    (3)应用三：如图，将一根拉直的细线看作数轴，一个三边长分别为，，的三角形的顶点与原点重合，边在数轴正半轴上，将数轴正半轴的线沿的顺序依次缠绕在三角形的边上，负半轴的线沿的顺序依次缠绕在三角形的边上． ①如果正半轴的线缠绕了5圈，负半轴的线缠绕了3圈，求绕在点C上的所有数字和； ②如果正半轴的线不变，将负半轴的线拉长一倍，即原线上的点的位置对应着拉长后的数，并将三角形向正半轴方向平移一个单位后再开始绕，求绕在点B且绝对值不超过100的所有数之和． AI   3．[阅读材料] 数轴是非常重要的数学工具，它可以使问题更加直观．数轴上两点间的距离，可以看作数轴上这两点所对应的数差的绝对值．如图1，数轴上有A、B、C三个点，表示的数分别为：、2、4，A、B两点之间的距离为． [初步感知] （1）如图1，A、C两点之间的距离为_____； （2）数轴上表示x和3两点之间的距离为_____； [拓展研究] （1）数轴上有个动点表示的数是x，则的最小值是_____； （2）已知，则的最大值是_____； [实际应用] 某县城可近似看作为一个正方形，如图2，正方形的四个顶点处有四家快递公司A、B、C、 D，它们分别有快递车24辆、12辆、6辆、18辆．为迎接“双十一”活动，使得各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调动车辆：那么一共调动的车辆数最小值为_____辆．（不考虑其他因素） 4．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是 ，数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是 ． (2)数轴上点A用数a表示，若，那么a的值为 ． (3)数轴上点A用数a表示， ①若，那么a的值是 ． ②当时，数a的取值范围是 ，这样的整数a有 个 ③有最小值，最小值是 ． 5．【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离．若点表示的数为，请根据数轴解决以下问题： (1)【初步应用】 当取最小值时，可以取的整数有几个_________； (2)当的值最小时，最小值为__________； (3)【解决问题】 如图，一条笔直的公路边有三个代工厂、、和城区，代工厂、、分别位于城区左侧5，右侧1，右侧3．代工厂需要芯片1000个，代工厂需要芯片2000个，代工厂需要芯片3000个．现需要在该公路上建一个芯片研发实验室，为这3个代工厂输送芯片．若芯片的运输成本为每千米1元/千个，那么实验室建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？请说明理由． 6．我们知道的几何意义是数轴上表示的点与原点之间的距离；的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离．    (1)的几何意义是数轴上表示的点与表示______的点之间的距离，的几何意义是数轴上表示的点与表示______的点之间的距离； (2)利用绝对值的几何意义求满足等式的的值． (3)请你借助数轴，利用绝对值的几何意义找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是__________________． (4)由以上探索猜想是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由． 7．观察、理解与应用． 题目：如图数轴上有三点A、B和C，其中A点在处，B点在2处，C点在原点处． (1) ，表示的意义是 ； (2)，，即用字母表示线段长，，猜想： ，设P、Q在数轴上分别表示的数为和220，则线段 ； (3)归纳：如果M、N在数轴上表示的数分别为，，则线 ； (4)应用：若动点P，Q分别从点和2处同时出发，沿数轴负方向运动；已知点P的速度是每秒1个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，问： ①t为2秒时P，Q两点的距离是多少？（列算式解答） ②t为 秒时P，Q两点之间的距离为2？ 8．【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： (1)式子在数轴上的几何意义是____________________________________，若，则x的值为_________； (2)当|取最小值时，x可以取整数_________； (3)当x=_________时，的值最小，最小值为_________； 【解决问题】 (4)如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧5km，右侧1km，右侧3km．A小区有居民人，B居民区有居民人，C居民区有居民人．现因防疫需要，需要在该公路上建一个核酸检测实验室P，用于接收这3个小区的全员核酸样本．若核酸样本的运输和包装成本为每千米1元/千份，那么实验室P建在何处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是多少？ 9．（1）阅读下面材料： 点A、B在数轴上分别表示实数a，b，A、B两点之间的距离表示为|AB|，当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图甲，|AB|﹣|OB|＝|b|＝|a﹣b|；当A、B两点都不在原点时， ①如图乙，点A、B都在原点的右边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|； ②如图丙，点A、B都在原点的左边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝|a﹣b|； ③如图丁，点A、B在原点的两边，|AB|＝|OA|+|OB|＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝|a﹣b|． 综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a﹣b|． （2）回答下列问题： ①数轴上表示2和﹣5的两点之间的距离是 　 　，数轴上表示x和﹣1的两点分别是点A和B，则A，B之间的距离是 　 　，如果|AB|＝2，那么x＝　 　． ②当|x+1|+|x﹣2|取最小值时，令T＝|x2﹣3|﹣2，则T的最大值＝　 　； 当|x+1|﹣|x﹣2|取最大值时，x的取值范围为 　 　； 当|x+1|+|x﹣2|＝5时，x的值为 　 　． ③求代数式|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣19|的最小值． 10．数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作．数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，表示数轴上表示数3的点与表示数－5的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数3的点的距离． 根据以上材料回答下列问题：（将结果直接填写在答题卡相应位置，不写过程） （1）若，则_______，若，则_______； （2）若，则x能取到的最小值是_______；最大值是_______； （3）若，则x能取到的最大值是_______； （4）关于x的式子的取值范围是_______． 11．问题一：有理数对应的数轴上的点是．如果两点距离小于8，两点距离大于4，且C在之间，，都是整数，试利用数轴求出的可能值 问题二：已知点在数轴上表示的数分别为 （1）若两点的距离为d，则_________(用含的式子表示) （2）由（1）的结论可知的意义是：数轴上表示数x的点到表示_______的点的距离 （3）若动点C表示的数为x，当x为何值时，下列各式有最小值？请求出它们的最小值． ①；②；③ 12．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离． (1)利用此结论，回答以下问题： ①数轴上表示1和的两点之间的距离是______， 的几何意义是：______． ②数轴上表示数x的点和表示数的点之间的距离可用式子表示为______， 若，那么______． (2)探索发现：求的最小值； (3)知识迁移：求的最大值． 13．综合与实践： 【问题情境】数学活动课上，王老师出示了一个问题：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．．例如：数轴上表示．与的两点间的距离，利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示3和8两点之间的距离是_________；数轴上表示2和的两点之间的距离是_________； 【独立思考】 (2)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为_________； (3)试用数轴探究：当时m的值为_________． 【实践探究】：利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究： (4)利用数轴求出的最小值，并写出此时x可取哪些整数值？ 【规律应用】 (5)工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件箱应该放在哪个工作台处，能使各工作台的工作人员取配件（只取一次）所走的路程最短？此时最短路程是多少米？ 14．综合探究 探索材料1（填空）： (1)数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为______；数轴上表示数3和-1的两点距离为______；则的意义可理解为数轴上表示数6和______这两点的距离；的意义可理解为数轴上表示数x和______这两点的距离； 探索材料2（填空）： (2)①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在______才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？ ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在______才能使P到A，B，C三点的距离之和最小？ 结论应用（填空）： (3)①的最小值是______； ②的最小值是______． 15．综合与探究 数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【定义】 一个点（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到的位置（点与点表示的数互为相反数），点称为点的一次跳跃点，紧接着从跳到的位置（点与点位于点的两侧，且，则点称为点关于点的二次跳跃点． 【初步理解】 (1)如图1，若点表示的数是，点表示的数是6，则点的一次跳跃点表示的数是________，点关于点的二次跳跃点表示的数是________，线段的长度为________． 【深入探究】 (2)如图2，若点是数轴正半轴上的一个点，点是数轴负半轴上的一个点，点为点关于点的二次跳跃点．若点，点表示的数分别是，，当变化时，探究线段的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【归纳总结】 (3)若在数轴上点，分别表示有理数，（其中，，点为点关于点的二次跳跃点，直接写出线段的长度． 16．【背景知识】数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记作，如数轴上表示数的点与表示数的点的距离为，表示数轴上表示数的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数的点的距离．根据以上材料回答下列问题： (1)【初步应用】 ①数轴上表示数的点与表示数的点的距离为________； ②若，则________； (2)找出满足的的所有值是________． (3)【深入探究】求的最小值，以下是小明的解答过程： 解：记点，，分别表示数，，，点、点的距离，点、点的距离．当点在点的左边，即时，如图①，此时，． ∴，即．当点在线段上，即时，如图②，此时．即，当点在点的右边时，即时，如图③，此时，．∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为． 请根据小明的解答过程，完成下列问题：求式子的最小值． 17．数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，“数形结合”是解决数学问题的重要思想方法．数轴作为一个非常重要的数学工具，它揭示了数与点之间的内在联系，是“数形结合”的基础． 例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离． 【探究问题】 (1)如图，数轴上，点A，B，P分别表示数，2，x． 填空：因为的几何意义是线段与的长度之和，当点P在线段上时，，而当点P在点A的左侧或点B的右侧时，．所以当点P在线段上时，有最小值，最小值是_________； 【解决问题】 (2)①直接写出式子的最小值为_________； ②若代数式的最小值是4，则m的值为_________； ③若代数式，则x的值为_________； 【实际应用】 (3)如图，在一条笔直的街道上有E，F，G，H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为300米．已知E，F，G，H四个小区各有2个，2个，2个，3个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这9个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的他们通过分析，发现在街道上的M处汇合会使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请问：汇合地点M设置在什么位置的时候，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，并求出此最小值． 18．阅读与思考：认识绝对值 【阅读理解】如下图：两辆巡护车从长治市太行街中点同时出发，一辆向东行驶千米，另一辆向西行驶千米．规定向东为正方向，向西为负方向，则向东记作千米，向西记作千米．我们发现：它们的行驶方向不同，行驶的路程不同，离出发点的距离也不同，分别是千米和千米． 数轴上表示一个数的点到原点的距离，叫做这个数的绝对值，记作“”． 例如：，， 【思考提升】 (1)填空： ①________②________③________④________ 我们发现：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是去掉负号后的数；的绝对值是． 绝对值永远不会是_____________．（填“正数”“”“负数”） (2)长治市太行街道路巡护车从市政府（原点）出发巡查，向东为正方向，向西为负方向，当天行驶记录如下：，，，（单位：千米） ①请你先填写每次行驶路程的绝对值，再求出巡护车当天总共行驶了多少千米？ 次序 第一次 第二次 第三次 第四次 路程（千米） 绝对值 ②如果巡护车每行驶千米耗油升，当天巡护车耗油多少升？ ③道路巡护车巡查结束后，会停在什么位置？ 19．【背景知识】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： 【初步应用】 （1）①数轴上表示数的点与表示数3的点的距离为______； ②若，则______； 【深入探究】 （2）求的最小值．以下是小明的解答过程： 解：记点P，A，B分别表示数x，，3，点P、点A的距离，点P、点B的距离． 当点P在点A的左边，即时，如图①，此时，． ∴，即． 当点P在线段上，即时，如图②，此时． 即， 当点P在点B的右边时，即时，如图③，此时，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 请根据小明的解答过程，完成下列问题： 求式子的最小值． 【解决问题】 （3）某公司办公楼有6层，公司要召开会议，从1层到6层每层参会人数分别为1，2，1，2，3，3．由于电梯出了故障，要使所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和最短，请你直接写出会议地点应设在第几层？ 20．【问题背景】 华罗庚说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休，“数形结合”一词指的是通过代数与图形相互结合、相互转化、相辅相成来解决数学问题，它既具有数学学科的鲜明特点，又是数学探索研究常用的好方法．数轴是我们学习数学的一个重要工具．利用数轴可以很好地将数与形结合起来． 【问题分析】 如图1，若数轴上A，B两点表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离，例如，，则． 【综合运用】 如图2，A，B两点在数轴上对应的数分别用a，b表示，且，甲、乙分别从A，B处同时出发，甲的速度为1个单位长度/秒，乙的速度为3个单位长度/秒，设运动的时间为秒． (1)数轴上点表示的数是__________，点表示的数是__________，__________； (2)如果甲、乙相向运动（甲向右运动，乙向左运动），记相遇点为，点表示的数为__________； (3)如果甲、乙都向左运动，当为__________时，甲、乙之间恰好相距5个单位长度． 21．如图，数轴上，，三点分别表示的数为、4、7，点表示的数为． 【阅读材料】：在数轴上表示数的点到原点的距离叫做的绝对值，记为，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记（或），数轴上数表示的点到表示数的点与表示数的点的距离之和记为． 【初步运用】 （1）填空：若，则______；若，则______． 【延伸探究】 （2）若动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，动点到点、点的距离之和为10； 【拓展探究】 （3）若点表示的数为，当取最小值时，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，、同时开始运动，当经过多少秒时，点、点之间的距离正好等于点N到点、点的距离和？（直接写出答案） 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)表示4的点与表示的点之间的距离 (2)；1， (3)； (4)、 【分析】本题考查了数轴、相反数、绝对值的综合应用， （1）原式变形，根据题意即可得出结果； （2）根据数轴上两点间的距离公式，可得到与一点距离相等的点有两个； （3）根据线段上点到这两点的距离最小，可得范围； （4）若点P到点D和到点E的距离之差大于1而小于5，分情况讨论，可得点P在之间，故而可知x的取值范围，从而求得点P表示的整数． 【详解】（1）解：，表示4的点与表示的点之间的距离， 故答案为：表示4的点与表示的点之间的距离； （2）数轴上数x和的两点A和B之间的距离为， 如果，即， 或 故x为1、； （3）表示点C与表示的点A之间的距离，表示点C与表示的点B之间的距离， 表示点C到A、B这两点的距离之和， 若点C位于点A的左边或点B的右边，那么一定大于， 点C位于和2之间的任何一点时，能使取得的最小值， 此时x的取值范围是； 若，那么 ， 若，那么 ， 若，那么， 取最大值时，且最大值为表示的点与表示2的点之间的距离3， 此时x的取值范围是； （4）若点P到点D和到点E的距离之差大于1而小于5， ， 假设点P表示的数为x，则，， 当时，， 不符合题意，舍去， 当时，， ， ， 当时，， 不符合题意，舍去， 当时，， ， ， 不符合题意，舍去， 满足要求的所有的点P表示的整数、． 2．(1)；0；3 (2)； (3)①120；② 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离的表示方法列出式子即可； （2）第1次剪掉的长度是；第1次剪掉后剩下的长度是； 第2次剪掉的长度是； 第2次剪掉后剩下的长度是； 第3次剪掉的长度是；第3次剪掉后剩下的长度是…由此规律得出第5次剪掉剩下的长度是，…第7次剪掉后剩下的长度是；；即可求出. （3）①分别找出正半轴以及负半轴在点C上的数字之间的规律，即可求出所有数字之和. ②绕在点B且绝对值不超过100的所有数，求和即可. 【详解】（1）已知点A在数轴上表示为，数轴上任意一点B表示的数为x，则两点的距离可以表示为；应用这个知识，当时，有最小值为3. 故答案为：；0；3； （2）第1次剪掉的长度是；第1次剪掉后剩下的长度是； 第2次剪掉的长度是； 第2次剪掉后剩下的长度是； 第3次剪掉的长度是；第3次剪掉后剩下的长度是…由此规律得出第5次剪掉剩下的长度是，…第7次剪掉后剩下的长度是； 所以第5次剪掉剩下的长度是，； （3）①正半轴绕在点上的数有：9，21，33，45，57； 负半轴绕在点上的数有：，，， 它们的和为： ②正半轴绕在点上的数有：5，17，29，41，53，65，77，89共八个数； 负半轴绕在点上的数有：，，…，共十七个数， 所有绕在点上的正数和为： 所有绕在点上的负数和为： 所有绕在点上的数之和为： 【点睛】本题考查了绝对值的应用，数轴上两点之间的距离公式，综合性比较强，难度较大. 3．[初步感知]：（1）5（2）[拓展研究]：（1）4（2）5[实际应用]：18 【分析】本题考查两点间的距离，绝对值的意义． [初步感知]：（1）利用两点间的距离公式进行计算即可； （2）利用两点间的距离公式进行计算即可； [拓展研究]（1）根据绝对值的意义，得到当当在到之间时，的值最小，为到的距离，即可； （2）根据绝对值的意义，得到的最小值为4，的最小值为，根据，得到，，进而得到的最大值，再进行计算即可； [实际应用]根据题意，得到在调动车辆时，经过的站点数量最小，且每个站点调入的车辆比调出的数量多，这样调动的车的数量最小，进而得到先从站调动9辆车到站，从站调动3辆到站，再从站调动6辆到站，此时调动的数量最小，求解即可． 解题的关键是掌握两点间的距离公式，以及绝对值的意义． 【详解】解：[初步感知]：（1）A、C两点之间的距离为； 故答案为：5； （2）数轴上表示x和3两点之间的距离为； 故答案为：； [拓展研究]（1）表示数轴上到1的距离与到4的距离之和， ∴当在到之间时，有最小值为：； 故答案为：3； （2）∵表示数轴上到1的距离与到的距离之和， ∴当在到1之间时，有最小值为； 同理：当在到2之间时，有最小值为； ∵； ∴，， ∴， ∴当，时，有最大值为； 故答案为：5； [实际应用]∵， ∴每个站点最终都应该有15辆车， ∵只能从相邻的公司调动，且一共调动的车辆数最小， ∴需要在调动车辆时，经过的站点数量最小，且每个站点调入的车辆比调出的数量多， ∴先从站调动9辆车到站，从站调动3辆到站， 此时，站，站都是15辆车，站21辆，站9辆， 再从站调动6辆到站，此时站，站也都是15辆车， 共调动：辆； 故答案为：． 4．(1)5，2 (2) (3)①或8；②，6；③ 【分析】（1）根据两点间的距离公式求解可得； （2）根据绝对值的意义可得； （3）①利用绝对值定义知或，分别求解可得；②根据绝对值的几何意义可知时，，再由是整数，求出符合条件的的值即可；③根据绝对值的几何意义可知当时，的最小值是2026． 【详解】（1）解：数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是， 数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是； 故答案为：5，2； （2）若，那么的值为5或， 故答案为：； （3）①数轴上点用数表示，若，则或， 或， 故答案为：或8； ②表示数轴上表示的点与、3的点的距离之和， 时，， 是整数， 的值有，，0，1，2，3， 故答案为：，6； ③表示数轴上表示的点与、3的点的距离之和， 当时，的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查绝对值的意义，数轴上两点之间的距离；熟练掌握绝对值的意义和性质，逐步探索变化规律是解题的关键． 5．(1)5 (2)7 (3)实验室建在点和点（包括B、C）之间才能使总运输成本最低，最低成本是12元 【分析】（1）表示有理数的点到有理数的点，有理数的点到有理数的点的距离之和，按照题意即可得其值； （2），表示的点与表示有理数的点和与表示有理数1的点之间的距离，根据题意即可得其值； （3）根据题意列出式子，求其最小值，即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数1的点之间的距离之和， 当时， 即当可以取整数，，，0，1，共5个； 故答案为：5； （2）根据题意可得，表示数轴上x与，和1的距离之和， 则当时，的值最小，最小值为； 故答案为：7； （3）设城区O为原点，建立数轴，实验室所对应的数为， 根据题意可得，芯片的运输成本为：， 表示x到的距离与x到3的距离之和，与x到1的距离与x到3的距离之和的2倍的总和， 则当时，取得最小值， 此时， 实验室建在点和点（包括B、C）之间，才能使总运输成本最低，最低成本是12元． 【点睛】本题考查绝对值，数轴上两点之间的距离，综合性较强，难度较大，理清题意是解题的关键． 6．(1)4， (2)4或 (3)，0，1，2，3 (4)有，14 【分析】（1）直接根据数轴上两点之间的距离的表示方法求解； （2）分析得出的意义，据此求解； （3）分析得出的意义，结合数轴可得； （4）根据表示数轴上的点与、3和6的距离之和，再结合数轴求解． 【详解】（1）解：表示数轴上表示的点与表示4的点之间的距离， ， 表示数轴上表示的点与表示的点之间的距离； （2）表示数轴上与表示1的点之间的距离为3的点， ∴x的值为或； （3）表示数轴上与和3的距离之和为4的点， 由图可知：这样的整数是，0，1，2，3；    （4）表示数轴上的点与、3和6的距离之和， 当时，的值最小，且为．    【点睛】本题考查数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的几何意义是解题的关键． 7．(1)3，数轴上表示的点到原点的距离 (2)5，320 (3) (4)①3；②3或7 【分析】（1）根据绝对值的几何意义进行解答即可得出答案； （2）根据题目所给的例题，根据数轴上两点间的距离计算方法进行计算即可得出答案； （3）根据（2）中的结论进行解答即可得出答案； （4）①根据题意先计算出为2秒时，点表示的数为，点表示的数为，根据（3）结论进行计算即可得出答案；②设经过秒，点表示的数为，点表示的数为，根据（3）中的结论可得，化简得，根据绝对值的性质可得或，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：，表示的意义是数轴上表示的点到原点的距离； 故答案为：3，数轴上表示的点到原点的距离； （2），； 故答案为：5，320； （3）根据题意可得：； 故答案为：； （4）①根据题意可得， 为2秒时，点表示的数为，点表示的数为， ； ②设经过秒，点表示的数为，点表示的数为， 则， 化简得， 可得或， 解得：或． 故答案为：3或7． 【点睛】本题主要考查了绝对值，熟练掌握数轴上两点间距离的计算方法意义绝对值的性质进行求解是解决本题的关键． 8．(1)数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离；或； (2)，，，0,1； (3)，7； (4)实验室P建在点B处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是元． 【分析】（1）结合题意直接可以得出在数轴上的几何意义，表示数轴上与有理数的点之间的距离等于6的点，结合数轴找到点即可； （2）表示数轴上x到与x到1的距离之和最小，x应该在与1之间的线段上，找到满足条件的点即可； （3）表示数轴上x到、x到与x到1的距离之和最小，x应该在与1之间的线段上，当是，x到、x到与x到1的距离之和最小， （4）A、B、C在数轴上分别表示，1,3，P表示x，使总运输和包装成本最低即最小，分析在点B处才能使总运输和包装成本最低． 【详解】（1）解：由题意可知， 式子在数轴上的几何意义是：数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离； 表示数轴上与有理数的点之间的距离等于6的点，由数轴可知为： 或， 故答案为：数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离；或， （2）表示数轴上x到与x到1的距离之和最小， 所以x应该在与1之间的线段上， 所以x可以取整数，，，0,1 故答案为：，，，0,1 （3）表示数轴上x到、x到与x到1的距离之和最小， 所以x应该在与1之间的线段上， 且当是，x到、x到与x到1的距离之和最小， 最小值为到1的距离为7； 故答案为：，7； （4）A、B、C在数轴上分别表示，1,3，P表示x， 使总运输和包装成本最低 即最小， x在1时，最小； x在1与3之间的线段上最小 所以x在1时最小，最小值为 所以实验室P建在点B处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是元． 【点睛】本题考查了绝对值的几何意义、距离之和的最小值以及实际应用；熟练掌握绝对值的几何意义、数形结合是解题的关键． 9．①7，|x+1|，﹣3或1；②1，x2，﹣2或3；③90 【分析】①根据两点间的距离公式可求数轴上表示2和-5的两点之间的距离，同理也求数轴上表示x和-1的两点之间的距离，再根据两点间的距离公式列出方程可求x； ②求|x+1|+|x﹣2|的取最小值时，意思是x到-1的距离与到2的距离之和最小，那么x应在-1和2之间的线段上，x取0，因此T最大为1，当|x+1|+|x﹣2|取最大值以及|x+1|+|x﹣2|＝5时，可分x<-1，-1≤x≤ 2，x> 2三类情况列式进行讨论； ③根据材料当x到1的距离等于x到19的距离时，代数式|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣19|取最小值，代入计算即可得出结果． 【详解】解：①数轴上表示2和﹣5的两点之间的距离是|2﹣（﹣5）|＝7， 数轴上表示x和﹣1的两点分别是点A和B，则A，B之间的距离是|x+1|， 如果|AB|＝2，那么x+1＝±2，x＝﹣3或1． ②当|x+1|+|x﹣2|取最小值时，x的取值范围是﹣1≤x≤2， T＝|x2﹣3|﹣2， 当T要取最大值时，|x2﹣3|取最大值， ， ， |x2﹣3|最大值为3，因此T的最大值是1． 当|x+1|﹣|x﹣2|取最大值时，可分x＜﹣1，﹣1≤x≤2，x＞2三类情况进行讨论， 当x＜﹣1时，原式＝﹣x﹣1+x﹣2＝﹣3． 当﹣1≤x≤2时，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1． 当x＞2时，原式＝x+1﹣x+2＝3． ∴当|x+1|﹣|x﹣2|取最大值时，x的取值范围为x2． 当|x+1|+|x﹣2|＝5时，可分x＜﹣1，﹣1≤x≤2，x＞2三类情况进行讨论， 当x＜﹣1时，方程可化为﹣x﹣1﹣x+2＝5，解得x＝﹣2． 当﹣1≤x≤2时，方程可化为x+1+2﹣x＝3． 当x＞2时，方程可化为x+1+x﹣2＝5，解得x＝3． 综上x的值为﹣2或3． ③根据材料当x到1的距离等于x到19的距离时，可知x＝10时，代数式|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣19|取最小值， 最小值为9+8+7+．．．+1+0+1+2+3+．．．+9， ＝（1+2+3+．．．+9）×2， ＝×2， ＝90． 故答案为：①7，|x+1|，﹣3或1；②1，x2，﹣2或3；③90． 【点睛】本题考查了数轴、绝对值等，比较综合，涉及的核心知识点为：数轴上两点间的距离＝两个数之差的绝对值． 10．（1）0，1；（2）-1，3；（3）-1；（4）大于或等于3 【分析】（1）根据绝对值表示的意义和中点计算方法得出答案； （2）|x-3|+|x+1|=4表示的意义，得到x的取值范围，进而得到最大值和最小值； （3）若|x-3|-|x+1|=4，所表示的意义，确定x的取值范围，进而求出最大值； （4）根据|x-2|+|x+1|的意义，求出|x-2|+|x+1|的最小值为3，从而确定取值范围． 【详解】解：（1）|x-2|=|x+2|表示数轴上表示x的点到表示2和-2的距离相等，因此到2和-2距离相等的点表示的数为， |x-3|=|x+1|表示数轴上表示x的点到表示3和-1的距离相等， 因此到3和-1距离相等的点表示的数为=1， 故答案为：0，1； （2）|x-3|+|x+1|=4表示的意义是数轴上表示x的点到表示3和-1两点的距离之和为4，可得-1≤x≤3， 因此x的最大值为3，最小值为-1； 故答案为：-1，3； （3）|x-3|-|x+1|=4表示的意义是数轴上表示数x的点与表示数3的点距离比它到表示-1的点的距离大4，根据数轴直观可得， x≤-1，即x的最大值为-1， 故答案为：-1； （4）式子|x-2|+|x+1|表示的意义是数轴上表示x的点到表示2和-1两点的距离之和，由数轴直观可得，|x-2|+|x+1|最小值为3， 因此|x-2|+|x+1|≥3， 故答案为：大于或等于3． 【点睛】本题考查数轴表示数的意义，理解绝对值的意义和两点距离的计算方法是正确解答的关键． 11．问题一： ∵A，B两点距离小于8，大于4，且，C在之间，、都是整数， ∴当时， ，，，； 当时， ，，； 当时， ，； 当时，，2； 当时，，2，3； 当时，，2，3，4； 问题二：（1）；（2）；（3）①的最小值是5；②的最小值为7；③的最小值为 【分析】本题查了数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，解题关键是正确理解题意，根据题意列出计算式求解． 问题一：根据A，B两点距离小于8，大于4，且，据此可求出b，再根据C在之间，求出c值； 问题二：（1）结合数轴可以比较直观的A、B两点的距离，从而可以得到d； （2）根据（1）的结论即可求解； （3）根据绝对值的几何意义即可求解． 【详解】解：问题一：略 问题二： （1）A、B两点的距离为d，则d=， 故答案为：； （2）由（1）的结论可知的意义是：数轴上表示数x的点到表示的点的距离， 故答案为：； （3）①∵动点C表示的数为x， ∵的意义是：数轴上表示数x的点到表示2 的点的距离， 的意义是：数轴上表示数x的点到表示-3 的点的距离， ∴当动点C在2和之间时，有最小值， ∴的最小值是； ②∵的意义是：数轴上表示数x的点到表示的点的距离， ∴当动点C表示时，有最小值是， ③，，，…，分别表示数轴上表示数x的点到表示2，4，6，…，的点的距离， ∴当动点C在和之间时， 有最小值． 12．(1)①；数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离；②；0或4 (2)最小值为3 (3)最大值为 【分析】（1）①直接运用题干给出的两点距离公式计算距离，理解绝对值对应的几何含义；②根据距离公式列式，结合几何意义找出满足条件的数x． （2）先利用数轴几何意义判断最值，再代数验证即可解答． （3）借助数轴分析差值变化规律，确定取最大值的区间，再计算验证即可． 【详解】（1）① 根据题干两点距离公式，与两点距离： 对照的几何意义，表示数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离． ② 数与的距离：； 的几何含义：数轴上到表示的点距离等于的点，该点在左侧个单位为，右侧个单位为， 所以或． （2）从几何意义看，，代表数轴上表示的点到、两点的距离之和．根据两点之间线段最短，当在与之间（包含端点）时，距离和最小，最小值就是到的线段长． 代数验证： 当时， ， 当时， ， 当时， ， 故的最小值是． （3）从几何意义看，，代表数轴上表示的点到的距离减去到的距离．当在右侧（包含）时，差值最大，最大值为到的线段长． 代数验证： 当时， ， 当时， ， 当时， ， 故的最大值是． 13．(1)5，3 (2) (3)或4 (4)的最小值为3，x可取的整数值为2，3，4，5 (5)配件箱放在中间的工作台E上所走的路程最短，最短路程是40米 【分析】（1）用大数减小数便可求得两点的距离； （2）根据绝对值的几何意义用代数式表示即可； （3）根据绝对值的几何意义分两种情况讨论求解即可； （4）根据绝对值的几何意义得到表示x到2的距离和x到5的距离之和，然后分情况讨论求解即可； （5）同上利用绝对值的几何意义求解即可． 【详解】（1）解：数轴上表示3和8的两点之间的距离是；数轴上表示2和的两点之间的距离是； （2）解：数轴上表示x和的两点之间的距离表示为； （3）解：表示m到1的距离等于3， 由数轴得，当m在1左边时，；当m在1右边时，； （4）解：表示x到2的距离和x到5的距离之和， 由数轴可得，当时，x到2的距离和x到5的距离之和大于2和5之间的距离3， 当时，x到2的距离和x到5的距离之和等于2和5之间的距离3， 当时，x到2的距离和x到5的距离之和大于2和5之间的距离3， ∴的最小值为3， 此时x可取的整数值为2，3，4，5； （5）解：设9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I分别为数轴上的点， 根据题意得，当配件箱放在中间的工作台E上时，能使工作台上的工作人员取配件（只取一次）所走的路程最短 ∴最短路程为（米）． 14．(1)3，4，， (2)①点A和点B之间 ②点B处 (3)①7 ②8 【分析】（1）根据两点之间的距离逐个解答； （2）根据（1）的理解解答即可； （3）①原式表示x到的距离与x到4的距离之和，解答即可； ②原式表示x到的距离与x到与x到2的距离之和，可知x在处可得最小值． 【详解】（1）解：数轴上表示2和5的两点距离为，数轴上表示数3和的两点距离为，则的意义可理解为数轴上表示6和这两点的距离； 的意义可理解为数轴上表示数x和这两点的距离； （2）解：①供应点P设在A左侧时，P到A的距离与P到B的距离之和； 供应点P设在B右侧时，P到A的距离与P到B的距离之和； 供应点P设在A与B之间时，P到A的距离与P到B的距离之和最小值为； ②供应点P设在B处时，P到A，B，C的距离之和最小为； （3）解：①表示x到的距离与x到4的距离之和， ∴最小值为； 表示x到的距离与x到与x到2的距离之和， ∴的最小值是． 15．(1)2，10， 12 (2)不变；10 (3) 【分析】（1）根据相反数的意义即可求出表示的数；根据数轴上两点的距离求出的长度，利用，结合表示的数，求出表示的数，根据数轴两点距离公式，从而求出长度． （2）根据相反数的意义即可求出表示的数；根据数轴上两点的距离求出的长度，利用，结合表示的数，求出表示的数，根据数轴两点距离公式，从而求出长度． （3）根据相反数的意义即可求出表示的数；根据数轴上两点的距离求出的长度，利用，结合表示的数，求出表示的数，根据数轴两点距离公式，从而求出长度． 【详解】（1）解： 点表示的数是，点与点表示的数互为相反数， 表示的数是． 表示的数是6， ， ， ， ，（舍去，与重合） 表示的数是． ． （2）解：设为点的第一次跳跃，表示的数是， 表示的数是， 表示的数是，， ， ， ， ，（舍去，与重合） ． 不管怎么变化，为固定值，且是10． （3）解：设为点的第一次跳跃，表示的数是， 表示的数是， 表示的数是， ， ， ，（舍去，与重合） ． 16．(1)①；②或； (2)， (3) 【分析】（1）①利用数轴两点距离公式，代入数字直接计算．②根据绝对值的定义，去掉绝对值符号得到两个一元一次方程，求解 （2）表示数轴上到和两点距离之和，分，，三段讨论，列方程求解． （3）参照题干示例，记点表示，表示，表示，表示；式子表示．分四段：、、、分别分析距离之和大小，找到最小值． 【详解】（1）解：①； ②， 或， 或； （2）解：当时，， 解得； 当时，， ，不成立，故此时无解； 当时，， 解得； 满足的的所有值是，． （3）解：记点、、、分别表示数，，，， ，，，，，， 当时，如图， 此时，，， ∴，即； 当时，如图， 此时，，， ∴，即； 当时，如图， 此时，，，， ∴，即， 当时，如图， 此时，，， ∴，即， 当时，如图， 此时，，， ∴，即； 当时，有最小值，最小值为． 17．(1)3 (2)①13；②或；③或10 (3)汇合地点M设置在点G，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，最小值为 【分析】（1）根据分析解答即可； （2）根据代数式的几何意义，结合（1）的方法求解即可； （3）E、F、G、H分别在数轴上表示，，0，300，设M表示的数为x，距离之和为s，根据题意可知，当M在点G上时，E、F、G、H到M的距离之和最小，则E、F、G、H到M的最小距离之和，即可求解． 【详解】（1）解：因为的几何意义是线段与的长度之和，当点P在线段上时，，而当点P在点A的左侧或点B的右侧时，．所以当点P在线段上时，有最小值，最小值是的长，即为3． （2）解：①式子的几何意义是表示x的点到表示的点与表示5的点的距离之和，由（1）同理可得，当表示x的点在表示的点与表示5的点之间时，距离之和最小，最小值为表示的点与表示5的点之间距离，该距离为，因此的最小值为13； ②代数式的几何意义是表示x的点到表示的点与表示6的点的距离之和，当表示x的点在表示的点与表示6的点之间时，距离之和最小，最小值为表示的点与表示6的点之间距离，该距离为， ∵的最小值是4， ∴， ∴或． ③代数式的几何意义是表示x的点到表示的点与表示7的点的距离之和， 若表示x的点在表示的点与表示7的点之间，则距离之和为表示的点与表示7的点之间的距离，为，不满足， ∴表示x的点在表示的点左侧，或在表示7的点的右侧，即或， 当时，可化为，解得； 当时，可化为，解得； 综上所述，x的值为或10． （3）解：如图所示，设M表示的数为x，距离之和为s， 则所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和为： 它表示x所对应的点到表示、、、、、、、、这九个点的距离之和， 由（1）同理可得，当表示x的点在正中间的点时，s有最小值，即时，， ∴汇合地点M设置在点G，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，最小值为． 18．(1)①；②；③；④；负数 (2)①8，5，3，6；22千米；②2.2升；③市政府（原点） 【分析】（1）根据绝对值的定义和规律，即可求解； （2）①根据绝对值的定义求出每次行驶的路程的绝对值，再把这些绝对值相加，即可求解； ②根据每行驶千米耗油升，乘以总路程即可求出总耗油量； ③根据向东为正，向西为负，把每次行驶的路程相加，再判断巡查结束后，会停在什么位置即可． 【详解】（1）解：由绝对值的定义可得，，，，， 由绝对值计算结果规律可得，绝对值永远不会是负数． （2）解：① 次序 第一次 第二次 第三次 第四次 绝对值 总路程（千米）． ②总耗油量（升）． ③∵， ∴道路巡护车巡查结束后，会停在市政府（原点）． 19．（1）①5；②2或8；（2）5；（3）会议地点应设在第4或5层 【分析】本题主要考查有理数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的几何意义是解题的关键． （1）①直接利用A、B两点间的距离公式进行计算即可得到答案； ②根据绝对值几何意义解答即可； （2）根据绝对值几何意义分类讨论即可； （3）将所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和转化为绝对值的表示形式，再利用绝对值的几何意义解答即可． 【详解】解：（1）①由条件可知距离是． 故答案为：5． ②表示数轴上表示a的点到5的距离为3， ∴或， 解得：或， 故答案为：8或2． （2）记点P，A，B，C分别表示数x，，，2，点P、点A的距离，点P、点B的距离，点P、点C的距离． 当点P在点A的左边，即时，此时，，． ∴，即； 当点P与点A重合时，，即； 当点P在线段上，即时，此时，． ∴，即； 当点P与点B重合时，，即； 当点P在线段上，即时，此时，． ∴，即； 当点P与点C重合时，，即； 当点P在点C的右边时，即时，此时，，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 故答案为：5． （3）设会议地点应设在第x层， 由题意可得所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和为， 可以拆分为，即x到这个数的距离和最小，这个数正中间的两个数为4和5， ∴当时，有最小， 又∵x为正整数， ∴当或时有最小． 故答案为：会议地点应设在第4或5层． 20．(1)，12，20 (2) (3)或 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，以及一元一次方程的应用，数形结合是解答本题的关键． （1）根据非负数的性质求出a、b的值，根据两点间的距离公式求解即可； （2）根据相遇时甲和乙共走了20个单位的路程列方程求解即可； （3）先表示出t秒时，甲、乙在数轴上表示的数，然后根据两点间的距离公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，两点在数轴上对应数分别为，12， ∴， 故答案为：，12，20； （2）解：根据题意，得， 解得， ∴点P表示的数为； （3）解：t秒时，甲在数轴上表示的数为，乙在数轴上表示的数为， 根据题意，得， 解得或， 即当或时，甲、乙之间恰好相距5个单位长度， 故答案为∶或． 21．（1）3或1；； （2）或 （3）或 【分析】本题主要考查整式的加减运算，绝对值与数轴的综合应用，解决此题时，能够熟练掌握绝对值的性质是解决此题的关键． （1）根据绝对值的意义即可； （2）设点表示的数为，依题意，得再根据绝对值的意义分三种情况讨论即可； （3）若点表示的数为，当取最小值时，，设经过的时间为，再分情况讨论即可． 【详解】解：（1）∵， ∴或 解得或1； ∵即 ∴表示的数为1和的中点 ∴ （2）∵动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动， ∴设点表示的数为， ∵动点到点、点的距离之和为10， ∴ 当时，，， 解得； 当时，，， 此情况不成立，舍去 当时，，， 解得； ∴当经过或秒时，动点到点、点的距离之和为10， （3）若点表示的数为，当取最小值时，，设经过的时间为，则点表示的数为4， 点、表示的数分别为， 点、之间的距离为 点到点、点的距离和 当时，，， 即 解得在取值范围内，成立； 时，，， 即 解得 不在取值范围内，舍去； 当时，，， 即 解得在取值范围内，成立； 所以经过或秒时，点、点之间的距离正好等于点N到点、点的距离和． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $