专题03 与绝对值有关的五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版七年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02与绝对值有关的五类综合题型 目录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、绝对值的非负性 题型二、利用数轴化简绝对值 题型三、绝对值的实际应用 题型四、分类讨论化简绝对值 题型五、绝对值的几何意义 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 夙通法通法一明晰核心解法，助力能力迁移 -题型特征：涉及绝对值化简、解方程、几何意义、最值问题及含参讨论，常与数轴结合考查。 解题方法：利用零点分段法去绝对值：ab视为数轴上两点距离：最值问题用三角不等式或几何意义： 含参问题分类讨论参数范围。 -易错提醒：去绝对值时忽略“非负”条件致符号错；零点分段漏分界点；分类讨论未做到不重不漏：几 何意义与代数运算混淆。 夙题型归纳一精讲典型题法，务实解题根基 题型一、绝对值的非负性 奥剑1.(2627七年级浙江号侵作业4山若+=0，则=一， 2若a-6+=0,则a=.6= 1/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型模版 1.特征：la≥0，多个非负数相加为0时每项均为0，常用于求字母值或最值。 2方法：若+b=0,则a=0且b=0;或利用非负性放缩证明不等式，确定取值范围。 变式1-1，(25-26七年级上陕西西安阶段检测)若a-1+(b+2=0 则a-2b的值为 变式12.(25-26七年级上广东头期)若a-1+b+2=0,那么a+0)四- +5+3 变式1-3.(25-26七年级上黑龙江哈尔滨阶段检测)己知a为有理数，则 的最小值为 题型二、 利用数轴化简绝对值 典例2.(25-26七年级上四川乐山期末)已知有理数a、b在数轴上对应点的位置如图所示. a b -3 -210123→ (I)在数轴上标出-a、-b对应的点，并将a、b、-a、-b用“<”连接起来： (②)化简： a+1+b-2-a-b 题型模版 1特征：在数轴上标出各点，根据点的大小关系判断绝对值内式子的正负，去绝对值符号。 2方法：先由数轴判断各代数式的符号，正数直接去绝对值，负数取相反数，再合并同类项化简。 变式2-1.(25-26六年级上上海阶段检测)已知4，b,c在数轴上的位置如图所示，所对应的点分别为 A、B、C C B A b 0 a (1)在数轴上表示-1的点与表示3的点之间的距离为；由此可得点A、B之间的距离为 (2)化简： -a+b+2c-b-b-a 变式2-2.(25-26七年级上·甘肃平凉期末)有理数4，b,C在数轴上对应的位置如图所示，0为原点. a C 0 b 2/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)a 0,a-b0,a+b0,b-c0(填“<”或“>”或“=”) ②化简a-+a++b-d-a 变式2-3.(25-26七年级上：四川眉山期中)有理数a、b、c在数轴上的位置如图， a (1)判断正负，用“>”或“<”填空：b-c_0,a+b0,c-a0. b-c+a+b-2c-a (2)化简： 题型三、绝对值的实际应用 典例3.(2425七年级上山西临汾阶段检测)试管是化学实验室中用于少量试剂的反应容器，某工厂在 生产某种规格的试管时，规定：超过规格的记为“+”，不足规格的记为“-”，在一次抽检中，小悦从该 规格试管的包装箱中任取了8根试管，对其进行了测量，测量数据如下表： 试管序号 ① ③ ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 超过或不足长度/mm +0.3 +0.2 -0.2 +0.4 +0.5 -0.3 +0.1 -0.5 (1)表中8个数，哪些数互为相反数（填序号即可）？ (2)在这8根试管中，从长度的角度看，最接近规格的是哪一根试管？并说明理由. 题型模版 1特征：用绝对值表示距离、误差或偏差等实际量，如零件尺寸误差、温度波动范围。 2.方法将实际问题转化为绝对值不等式（如x-lb),解不等式得范围，再结合题意取合理解。 变式3-1.(25-26七年级上全国期末)检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标 准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 2 5 与标准质量的差/g +4 +7 -3 8 -9 (1)几号篮球最接近标准质量？ (2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为+3g和一5g,请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球 的质量好一些？ 3/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式3-2.(25-26七年级上江苏常州期中)2025江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）火爆出圈.据统 计，首轮比赛现场观众人数达35000人，第13轮常州对苏州的比赛现场观众人数约43800人.常州通过 “足球十文旅”模式，推出景区免票、观赛礼包等政策.例如，端午假期对扬州旅客免票，当日酒店订单 暴涨1776%，异地文旅消费就达到4.3亿元。 (1)将4.3亿元用科学记数法表示为元. (②)为迎常州对苏州的比赛，组委会对其中的6个足球进行了质量抽测，结果如下表（用正数表示超过标准 质量的克数，用负数表示不足标准质量的克数)： 足球序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 与标准质量相比 -15 +13 -30 +15 -10 +15 ①第 号足球的质量最好。 ②质量最重的足球比质量最轻的足球重多少克？ ③若每个足球的标准质量是400克，则这6个足球的总质量是多少克？ 变式3-3.(25-26七年级上贵州铜仁期中)百里环廊是位于北京市昌平区流村镇的骑行路线，路线始于 流村环岛且终于流村环岛，由北禾路、禾子涧路、高芹路、南雁路、李流路共同组成：李流路上的“白羊 沟自然风景区”的道路，视野较为开阔的区域，有部分相对笔直的路段，吸引了众多游客和骑行爱好者前 来欣赏自然风光、进行户外活动，今年国庆节期间，安全巡逻小组在由西向东的李流路上来回执行巡逻任 务，此时的李流路看成一条直线，巡逻小组从“白羊沟自然风景区”出发，记为点O,向东走记为“+”， 向西走记为“一”，以下是安全巡逻小组行驶记录的数据（单位：米），并解决下列问题 次 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 数 数 +500 -830 +700 -900 +600 -650 +520 -300 据 (1)第 次后，安全巡逻小组离点O最远，并描述此时的位置： (2)第8次后安全巡逻小组的位置在哪里，请计算说明： (3)若巡逻车每行驶1米消耗燃油a升，这一天共消耗燃油多少升？（用含a的式子表示） 4/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型四、分类讨论化简绝对值 典例4. (25-26七年级上·吉林长春·阶段检测)在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数 学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”， 【问题背景】知识点：当a>0时， 2当0=0，0，当0<0时.4- la=a 【提出问题】如果有理数。b?求 回因 6的值. 【解决问题】分类讨论：讨论a,b的符号.解：由题意得： 4+h_0+b ①当a'b都是正数，即a>0:b>0时，则a+b=a+b ②当a'b都是负数，即—时，则 l. a b ③当a'b有一个为正数，另一个为负数时，则 4凶 a b 故： 4 a6的值为 【类比探究】三个有理数a'b,c满足abc<0:则 l labe a b c abc 题型模版 1.特征：绝对值内含有字母且符号不确定，需按字母取值范围分段讨论去绝对值。 2方法：令各绝对值内式子为0，找零点分区间，在各区间内判断正负，分段化简后合并结果。 变式4-1.(25-26七年级上·广东广州阶段检测)在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的 y 数学思想.试用分类讨论解决下列问题.两个有理数x,y满足y>0,求yy的值. 解： y以_y+y=1+1=2 (1)x>0,y>0时，xy y xy y 5/12 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y-y+2=1-1=0 (2)x<0,y<0时，yyyy ol.bl 所以yy的值是2或0. 2abe lal o lc 仿照上面“分类讨论”的数学思想解.如果a,b,c是非零有理数，求abca b c的值 a 变式42.(25-26七年级上·湖南衡阳·阶段检测)分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以 这样分类：当0>0时，网0，当0=0时.=0。当0<0时，-，用这种方法解下列问： )当a=5时，求a的值。 a☒ (2)已知a,b是有理数，当ab>0,a+b<0时，试求ab的值. a b c abc (③)已知ab,c是有理数，当abc<0时，试求可可可abd的值. 变式43.(2425七年级上江苏盐城期中)“分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨 论的数学思想解问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的两个问题。 lalblcl 例：三个有理数a,b,c满足abc>0,求a+b+c的值。 解：由题意得：4，b,C三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数. ①当a,b,c都是正数，即a>0,b>0,c>0时， 则日日1811= ②当a,b,c有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a>0,b<0,c<0, 则：四+A日-+力+51++)=1， a cc a b c lalbllcl 综上述：。+6+c的值为3或-1 6/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 请运用分类讨论的数学思想方法解答下面的问题： a b (四)已知a,b是有理数，当b≠0时，求ab值. b+c,a+c,a+b ②已知a,b,c是有理数，a+b+c=0,abc>0,求4b的值. 题型五、绝对值的几何意义 典例5.(25-26七年级上·天津·阶段检测)在中学数学中，体现运用数形结合思想解决问题的内容较多. 例如，在与绝对值化简有关的有理数运算中，利用数轴这一体现数形结合思想的有力工具，可使一些复杂 问题变得容易解决。 ①当式子k++-2取最小值时，相应的x的取值范用是一 最小值是 ②当式子K-2到+-4+-+-8 最小值时，相应的x的取值范围是」 最小值是 题型模版 1.特征：la-bl表示数轴上a与b两点间的距离，常用于解绝对值方程或不等式。 2方法：将绝对值方程视为数轴上到某点距离为定值，用距离几何意义直接确定解集，或用零点分段法代 数求解。 变式5-1.(2425七年级上·河南漯河阶段检测)我们知道一个数x的绝对值的几何意义是：在数轴上表 示这个数产的点滨原点（表示数0）的距光，的绝对值表示为州，包可以写皮-0，比如=2-0=2， 在数轴上表示两个数”，'的点之间的距离可以表示为 -y ,比如，表示的点与的点之间的距离表示 为3-（明=3+=4 下+2+-可以表示点与点1之间的距离跟点”与2之间的距离的和，根据图示易知：当点“的位凰在 点A和点B之间（包含点A和点B)时，点x与点A的距离跟点x与点B的距离之和最小，且最小值为3， 7/12 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即k+2+- 的最小值是3，且此时x的值为2≤x≤1 请根据以上阅读，解答下列问题： A X B -2 x01 (1)表示3的点与-1的点之间的距离表示为 ②r+2+c- 的最小值是 一，此时的取值范围为。 变式5-2.(2025七年级上·全国专题练习)阅读下列材料并解决问题： 数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个 有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意义， 若在数轴上有理数对应的点为，有理数b对应的点为B,则4，B两点之间的距离可表示为 -b 或 b-4,记为4=加-川-b-4.如式子上-的几何京文是数轴上表不有理数3的点与表示有理数产的点 之间的距离. 5432十012345→ 根据上述材料，回答下列问题： (1)-2与3的距离是 (2式子+24x-3 的最小值是多少？ 6)应用：某一直线沿街有2014户居民（相邻两户居民间隔相同）：A,4,4,4,4,…4,某餐 饮公司想为这2014户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店P,点P选在 一，才能使这2014 户居民到点P的距离总和最小. 变式5-3.(25-26七年级上·贵州六盘水·期末)数形结合是解决数学问题的重要方法，数轴上两点之间的 距离可以用两数之差的绝对值来表示，点A表示的数是a,点B表示的数是b,则A,B两点之间的距离 AB=a-b .例如：若点A表示5，点B表示2，则B=2-列=7 解决下列问题： 8/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -8-7-6-5-4-3-21012345678→ (1)若点A表示的数是4，点B表示的数是1，则A,B两点之间的距离是一： a当t-2=3 时，请在数轴上标记x所在的位置并写出x的值； (3)是否存在有理数m,使得 m+3-m-2 有最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由. 同压轴挑战一或克高障压种，突破思缘上很 一、单选题 1.(25-26七年级上江西景德镇期末)下列各对数中，互为相反数的是() A.2和-2 B.+(-3)和-(+3)C.-(-5)和十列D.-（-6)和6 2.(2025七年级上全国专题练习)已知2a-3到与5- 互为相反数，则2a-b=（) A.-1 B.1 C.-2 D.2 3.(2025七年级上：上海·专题练习)a,b,c是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，且 4-内，下列结论正确的是《） a b 0 A.-a<a B a<-b C.>c D b<-c 4.（2526七年级上湖南岳阳明肿)已知a6互为倒数，Cd互为相反数，M-3,则（←ab+ 5+m 的值为() A.-4 B.-4或2 C.4或-2 D.-2 5.(25,26七年级上四川宜庆期中)有以下纺论：①若州=-，则<0，②三个有理数a,6,c满足 9/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a b ab a+b+c=0,且la>>9,则一定有a>0,b<0,c<0:③若ab>0,则a阿ab的值为3：④若 x是任意有理数，则K-+k+3引+k-5 的最小值为8.其中错误的结论有（) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 6（25-26七年级上浙江杭州期中)已知“为有理数，则0+2引5 最小值为. 7.（25:26七年级上广东揭阳期中)如哭-2+b+=0,那么a+ 的值是 8.(2025七年级上·重庆万州专题练习)已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简 la+b-al-lc-bl+lcl= a 0 C 9.(2-26七年级上江苏南通期中)如果两个有理数x,y满足x+y=3,则+川-到 的最大值 x-3+4的最小值为 a-b 10.(25-26七年级上：陕西渭南期中)已知a=8,bl=7,ab<0,则5的值为一 三、解答题 11.(26-27七年级浙江·暑假作业)回答下列问题 (1)代数式 a-2 的最小值是 日6-口有最值是 12.(24-25七年级上江西上饶·阶段检测)已知有理数a,b,c在数轴上的对应点的位置如图所示，且 10/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 lal=l8l C b0a→ Q (1)求a+b与万的值： lal ol,3bc (2)化简： a b be (3)化简： la+b-2a-c+2b+c 13.(25-26七年级上河南郑州阶段检测)春节期间，某地因天气原因，高速路况较差，交警为了维持道 路畅通，特派遣巡逻车在东西向的某地段巡逻，规定向东为正方向，一天巡逻车从A地出发，行驶记录如 下（单位：千米）： 时 6:00 7:00 8:00 9:00 10:00 11:00 12:00 刻 位 -25 +20 -19 +30 -18 +14 -23 置 (1)在上述时刻巡逻期间，巡逻车在」 时刻巡逻结束后距离A地最近？此时巡逻车在A地方向. (2)巡逻期间，巡逻车一共行驶了多少千米？ (3)巡逻车在10：00巡逻时出现故障，于是B地派出救援车，若B地在A地的正东方向50千米处，则救援车 需要向什么方向行驶多远才能到达？ 14.(25-26七年级上·江苏南京·阶段检测)在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思 想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答后面“探究”中的问题， lal lol lel 【提出问题】已知三个有理数a,b,c满足abc>0,求a+b+c的值. 【解决问题】解：由题意可知，a,b,c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数. 4,4+-1+1+1=3； ①当a'6'e都是正数，即a>0b>0:c>0时，日+6+8 ②当a'b’c中有一个正数，另两个为负数时，设a>0'b<0'c<0:则 +9=1-1-1=-1;所 a b c 11/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 以a+6+c的值为3或-1 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题. 求回，4+g (I)已知三个有理数a,b,c满足abc<0,求a+6+c的值； a尼知4=8.A-2且a<b,求a-3动的值. 15.(25-26七年级上江西吉安期中)如图1，点AB在数轴上分别表示实数ab,则AB两点之间的 AB=a-b 距离可以表示为 -2-10123 图1 642012345→ 图2 (1)观察图2： 数轴上表示2和5的两点之间的距离是；数轴上表示1和-3的两点之间的距离是： (2)理解： 数轴上表示和-1的两点4和8之何的距离是多少？如果H=2 那么的值是多少？ 8)运用：当代数式K++k-2斗 取最小值时，相应的的取值范围是什么？当代数式 ++-2+k-4取 最小值时，相应的x的值是多少？ 12/12 专题02 与绝对值有关的五类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、绝对值的非负性 题型二、利用数轴化简绝对值 题型三、绝对值的实际应用 题型四、分类讨论化简绝对值 题型五、绝对值的几何意义 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：涉及绝对值化简、解方程、几何意义、最值问题及含参讨论，常与数轴结合考查。 - 解题方法：利用零点分段法去绝对值；|a-b|视为数轴上两点距离；最值问题用三角不等式或几何意义；含参问题分类讨论参数范围。 - 易错提醒：去绝对值时忽略“非负”条件致符号错；零点分段漏分界点；分类讨论未做到不重不漏；几何意义与代数运算混淆。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、绝对值的非负性 典例1．（26-27七年级·浙江·暑假作业）（1）若，则______， _______． （2）若，则_____， _____． 【答案】 0 0 6 0 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴ ∴． 题型模版 1.特征：|a|≥0，多个非负数相加为0时每项均为0，常用于求字母值或最值。 2.方法：若|a|+|b|=0，则a=0且b=0；或利用非负性放缩证明不等式，确定取值范围。 变式1-1．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）若，则的值为________． 【答案】 【分析】根据绝对值的非负性和平方数的非负性，几个非负数的和为，则每个非负数都为，据此求出和的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：，，， ，， 得 ，， 解得 ，， 将，代入， 得： ． 变式1-2．（25-26七年级上·广东汕头·期中）若，那么________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，绝对值． 根据非负数的性质求出a和b的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵，，且， 所以且， 解得，， ∴． 故答案为：． 变式1-3．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知a为有理数，则的最小值为________． 【答案】3 【分析】本题考查了绝对值的性质，根据绝对值的非负性，，从而确定表达式的最小值． 【详解】解：∵， ∴， 故最小值为3． 故答案为：3． 题型二、利用数轴化简绝对值 典例2．（25-26七年级上·四川乐山·期末）已知有理数、在数轴上对应点的位置如图所示． (1)在数轴上标出、对应的点，并将、、、用“”连接起来； (2)化简：． 【答案】(1) 解：如数轴所示 ∴． (2) 【分析】本题考查数轴表示数的意义和方法，大小比较，绝对值以及整式的加减，理解绝对值的意义和掌握整式加减的计算方法是得出正确答案的关键． （1）在数轴上标出、，再将、、、用“”连接起来即可； （2）由数轴，得到，再去绝对值并化简即可． 【详解】（1）略 （2）解：由数轴，得 ， ∴， 则 ． 题型模版 1.特征：在数轴上标出各点，根据点的大小关系判断绝对值内式子的正负，去绝对值符号。 2.方法：先由数轴判断各代数式的符号，正数直接去绝对值，负数取相反数，再合并同类项化简。 变式2-1．（25-26六年级上·上海·阶段检测）已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，所对应的点分别为A、B、C． (1)在数轴上表示的点与表示3的点之间的距离为______；由此可得点A、B之间的距离为______． (2)化简： 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，数轴和绝对值、合并同类项等知识点，能正确去掉绝对值符号是解此题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离公式求解； （2）根据数轴得出，，去掉绝对值符号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：在数轴上表示的点与表示3的点之间的距离为； A，B之间的距离为； 故答案为：；； （2）解：∵从数轴可知：，， ∴，，， ∴ ． 变式2-2．（25-26七年级上·甘肃平凉·期末）有理数在数轴上对应的位置如图所示，0为原点． (1)a______0，______0，______0，______0（填“＜”或“＞”或“＝”） (2)化简． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】本题主要考查利用数轴比较数字的大小以及绝对值的化简，根据数轴判断出a、b、c、0的大小顺序是解题关键． （1）根据数轴判断出a、b、c、0及其绝对值的大小顺序，再分别判断出、、与0的大小关系即可． （2）根据（1）的结论，去绝对值，计算出结果即可． 【详解】（1）解：根据数轴可知： 且， ∴，，． 故答案为：，，，； （2）解：∵，，，， ∴ ． 变式2-3．（25-26七年级上·四川眉山·期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图， (1)判断正负，用“”或“”填空： 0， 0， 0． (2)化简：． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查了数轴、绝对值、整式的加减运算，利用数轴正确判断式子的正负是解题的关键． （1）由数轴得，，据此即可判断式子的正负； （2）根据（1）中的结论，根据绝对值的性质化简，再利用整式的加减运算法则计算即可． 【详解】（1）解：由数轴得，，， ∴，，， 故答案为：；；； （2）解：由（1）得，，，， ∴ ． 题型三、绝对值的实际应用 典例3．（24-25七年级上·山西临汾·阶段检测）试管是化学实验室中用于少量试剂的反应容器，某工厂在生产某种规格的试管时，规定：超过规格的记为“+”，不足规格的记为“”，在一次抽检中，小悦从该规格试管的包装箱中任取了8根试管，对其进行了测量，测量数据如下表： 试管序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 超过或不足长度/mm (1)表中8个数，哪些数互为相反数（填序号即可）？ (2)在这8根试管中，从长度的角度看，最接近规格的是哪一根试管？并说明理由． 【答案】(1)互为相反数的有②与③，①与⑥，⑤与⑧ (2)最接近规格的是⑦号试管．理由见解析 【分析】本题主要考查绝对值以及相反数的定义，熟练掌握绝对值和相反数是解题的关键． （1）根据相反数的定义即可得到答案； （2）根据绝对值的定义进行判断即可． 【详解】（1）解：互为相反数的有②与③，①与⑥，⑤与⑧ （2）解：最接近规格的是⑦号试管． 理由：，，，，． 因为，所以最接近规格的是⑦号试管． 题型模版 1.特征：用绝对值表示距离、误差或偏差等实际量，如零件尺寸误差、温度波动范围。 2.方法将实际问题转化为绝对值不等式（如|x-a|≤b），解不等式得范围，再结合题意取合理解。 变式3-1．（25-26七年级上·全国·期末）检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差/ (1)几号篮球最接近标准质量？ (2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为和，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？ 【答案】(1)3号篮球最接近标准质量 (2)的篮球的质量好一些 【分析】本题主要考查正负数，绝对值的运用，理解题意是关键． （1） 利用绝对值比较大小，值越小，越接近； （2）利用绝对值比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴3号篮球最接近标准质量． （2）解：∵， ∴结果为的篮球的质量好一些． 变式3-2．（25-26七年级上·江苏常州·期中）2025江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）火爆出圈．据统计，首轮比赛现场观众人数达35000人，第13轮常州对苏州的比赛现场观众人数约43800人．常州通过“足球＋文旅”模式，推出景区免票、观赛礼包等政策．例如，端午假期对扬州旅客免票，当日酒店订单暴涨1776%，异地文旅消费就达到4.3亿元． (1)将4.3亿元用科学记数法表示为______元． (2)为迎常州对苏州的比赛，组委会对其中的6个足球进行了质量抽测，结果如下表（用正数表示超过标准质量的克数，用负数表示不足标准质量的克数）： 足球序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 与标准质量相比 ①第______号足球的质量最好． ②质量最重的足球比质量最轻的足球重多少克？ ③若每个足球的标准质量是400克，则这6个足球的总质量是多少克？ 【答案】(1) (2)①⑤；②克；③这6个足球的总质量是克 【分析】本题主要考查科学记数法，有理数运算的应用，熟练掌握科学记数法及有理数运算的应用是解题的关键； （1）根据科学记数法可进行求解； （2）①根据绝对值的意义可进行求解；②由表可知最重的是④和⑥号球，最轻的是③号球，然后问题可求解；③把表格数据进行相加，然后问题可求解． 【详解】（1）解：将4.3亿元用科学记数法表示为元； 故答案为； （2）解：①由表可知：， ∴最接近标准重量的是⑤号球； 故答案为⑤； ②由表可得：（克）； 答：质量最重的足球比质量最轻的足球重克； ③由题意得： （克）； 答：这6个足球的总质量是克． 变式3-3．（25-26七年级上·贵州铜仁·期中）百里环廊是位于北京市昌平区流村镇的骑行路线，路线始于流村环岛且终于流村环岛，由北禾路、禾子涧路、高芹路、南雁路、李流路共同组成；李流路上的“白羊沟自然风景区”的道路，视野较为开阔的区域，有部分相对笔直的路段，吸引了众多游客和骑行爱好者前来欣赏自然风光、进行户外活动．今年国庆节期间，安全巡逻小组在由西向东的李流路上来回执行巡逻任务，此时的李流路看成一条直线，巡逻小组从“白羊沟自然风景区”出发，记为点，向东走记为“”，向西走记为“”，以下是安全巡逻小组行驶记录的数据（单位：米），并解决下列问题． 次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 数据 (1)第_____次后，安全巡逻小组离点最远，并描述此时的位置； (2)第8次后安全巡逻小组的位置在哪里，请计算说明； (3)若巡逻车每行驶1米消耗燃油升，这一天共消耗燃油多少升？（用含的式子表示） 【答案】(1)第6次后，安全巡逻小组离点最远，此时在点的西边580米处 (2)第8次后安全巡逻小组在点的西边360米处 (3)升 【分析】本题考查了正负数的应用、绝对值、有理数的减法与减法的应用、列代数式，熟练掌握正负数的应用是解题关键． （1）根据表格数据分别求出第次后，安全巡逻小组离点的距离，再比较大小即可得； （2）根据（1）的求解过程即可得； （3）先将8次行驶记录的数据的绝对值求和，再乘以巡逻车每行驶1米消耗燃油量即可得． 【详解】（1）解：第1次后，安全巡逻小组离点的距离为（米）， 第2次后，安全巡逻小组离点的距离为（米）， 第3次后，安全巡逻小组离点的距离为（米）， 第4次后，安全巡逻小组离点的距离为（米）， 第5次后，安全巡逻小组离点的距离为（米）， 第6次后，安全巡逻小组离点的距离为（米）， 第7次后，安全巡逻小组离点的距离为（米）， 第8次后，安全巡逻小组离点的距离为（米）， 由此可知，第6次后，安全巡逻小组离点最远，此时在点的西边580米处． （2）解：由（1）已得：第8次后，安全巡逻小组离点的距离为（米）， 所以第8次后安全巡逻小组在点的西边360米处． （3）解： （米）， ∵巡逻车每行驶1米消耗燃油升， ∴这一天共消耗燃油为升， 答：这一天共消耗燃油为升． 题型四、分类讨论化简绝对值 典例4．（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”． 【问题背景】知识点：当时，；当时，；当时，． 【提出问题】如果有理数、，求的值． 【解决问题】分类讨论：讨论，的符号．解：由题意得： ①当，都是正数，即，时，则； ②当，都是负数，即______时，则______+______=______； ③当，有一个为正数，另一个为负数时，则______， 故：的值为______． 【类比探究】三个有理数，，满足，则______． 【答案】【解决问题】②，；；③0；2或或0；【类比探究】0或 【分析】本题考查了绝对值的性质及分类讨论的数学思想，分类讨论是解题的关键． 【解决问题】分三种情况：根据绝对值的性质去掉绝对值符号，再进行计算即可． 【类比探究】分两种情况：根据绝对值的性质去掉绝对值符号，再进行计算即可． 【详解】解：【解决问题】②当，都是负数，即，时，， 故答案为：；，；； ③当，有一个为正数，另一个为负数时，令时，， 故答案为：0； 综上所述，的值为2或或0； 【类比探究】， 令或， 当时， ， 当时， ， 故答案为：0或． 题型模版 1.特征：绝对值内含有字母且符号不确定，需按字母取值范围分段讨论去绝对值。 2.方法：令各绝对值内式子为0，找零点分区间，在各区间内判断正负，分段化简后合并结果。 变式4-1．（25-26七年级上·广东广州·阶段检测）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想．试用分类讨论解决下列问题．两个有理数x，y满足，求的值． 解： （1）时， （2）时， 所以的值是2或0． 仿照上面“分类讨论”的数学思想解．如果a，b，c是非零有理数，求的值 【答案】或或3或1 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算，化简绝对值等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 分四种情况讨论，分别化简绝对值，再根据有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】解：①当都为正数时，即，原式； ②当中两个为正数，一个为负数时，不妨设， 则原式； ③当中两个为负数，一个为正数时，不妨设， 则原式； ④当都为负数时，即， 则原式； 综上所述：的值为或或3或1． 变式4-2．（25-26七年级上·湖南衡阳·阶段检测）分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，求的值． (2)已知a，b是有理数，当时，试求的值． (3)已知是有理数，当时，试求的值． 【答案】(1)1 (2) (3)或0 【分析】本题考查了绝对值的性质、有理数的加减乘除运算，熟练掌握绝对值的性质是解题关键． （1）将代入，先化简绝对值，再计算有理数的除法即可得； （2）先得出，再化简绝对值，然后计算除法与减法即可得； （3）分两种情况：①当都是负数时，②当中有两个正数，一个负数时，不妨设，再化简绝对值，然后计算除法与减法即可得． 【详解】（1）解：当时，则． （2）解：∵是有理数，且， ∴， ∴． （3）解：∵是有理数，且， ∴有以下两种情况： ①当都是负数时， 则； ②当中有两个正数，一个负数时，不妨设， 则； 综上，的值为或0． 变式4-3．（24-25七年级上·江苏盐城·期中） “分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的两个问题． 例：三个有理数a，b，c满足，求的值． 解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当a，b，c都是正数，即，，时， 则：； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， 则：， 综上述：的值为3或． 请运用分类讨论的数学思想方法解答下面的问题： (1)已知a，b是有理数，当时，求值． (2)已知a，b，c是有理数，，，求的值． 【答案】(1)或0 (2)1 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的加法，有理数的乘法法则，根据分类讨论的思想方法，能不重不漏的分类，会确定字母的范围和字母的值是关键． （1）对、进行讨论，即、同正，、同负，、异号，根据绝对值的意义计算得到结果； （2）根据，，是有理数，，把求转化为求的值，根据得结果． 【详解】（1）解：已知，是有理数，当时，可分为四种情况： ①若，，； ②若，，； ③若，，； ④若，，． 故的值为或0； （2）解：因为，，是有理数，，， 所以，，，且，，有两个负数一个正数， 不妨设，，， 则． 题型五、绝对值的几何意义 典例5．（25-26七年级上·天津·阶段检测）在中学数学中，体现运用数形结合思想解决问题的内容较多．例如，在与绝对值化简有关的有理数运算中，利用数轴这一体现数形结合思想的有力工具，可使一些复杂问题变得容易解决． (1)当式子取最小值时，相应的x的取值范围是______，最小值是______． (2)当式子取最小值时，相应的x的取值范围是______，最小值是______． 【答案】(1)，3 (2)，8 【分析】本题主要考查了绝对值的几何应用，数轴上两点距离计算． （1）由题意得，表示的是数轴上表示数x的点到表示数“”和“2”的点的距离之和，当时，取最小值，据此求解即可； （2）同（1）可知式子表示x到数2、4、6、8的距离之和最小，据此求解即可． 【详解】（1）解：表示在数轴上代表x的点到数字“”的距离， 表示在数轴上代表x的点到数字“2”的距离， 则表示在数轴上代表x的点到数字“”和“2”的距离之和， 所以，当代表x的点在数字“”和“2”之间， 即时，此距离之和最小，且最小值为3； 故答案为：，3； （2）解：∵看成数轴上数x到数a的距离， ∴式子表示x到数2、4、6、8的距离之和最小， ∴当时，有最小值8， 故答案为：，8． 题型模版 1.特征：|a-b| 表示数轴上a与b两点间的距离，常用于解绝对值方程或不等式。 2.方法：将绝对值方程视为数轴上到某点距离为定值，用距离几何意义直接确定解集，或用零点分段法代数求解。 变式5-1．（24-25七年级上·河南漯河·阶段检测）我们知道一个数的绝对值的几何意义是：在数轴上表示这个数的点离原点（表示数0）的距离，的绝对值表示为，也可以写成，比如； 在数轴上表示两个数，的点之间的距离可以表示为，比如，表示的点与的点之间的距离表示为； 可以表示点与点1之间的距离跟点与之间的距离的和，根据图示易知：当点的位置在点和点之间（包含点和点）时，点与点的距离跟点与点的距离之和最小，且最小值为，即的最小值是，且此时的值为． 请根据以上阅读，解答下列问题： (1)表示的点与的点之间的距离表示为__________； (2)的最小值是__________，此时的取值范围为__________； 【答案】(1) (2)3； 【分析】本题考查了绝对值的应用． （1）根据绝对值的几何意义，即可求解． （2）结合图形可得，当点的位置在点和点之间（包含点和点）时，点与点的距离跟点与点的距离之和最小，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，表示的点与的点之间的距离表示为， 故答案为：． （2）解：可以表示的点与表示1的点的距离，跟表示的点与表示的点之间的距离的和，如图所 当点的位置在点和点之间（包含点和点）时，点与点的距离跟点与点的距离之和最小，且最小值为， 即的最小值是，且此时的值为． 故答案为：，． 变式5-2．（2025七年级上·全国·专题练习）阅读下列材料并解决问题： 数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意义．若在数轴上有理数对应的点为，有理数对应的点为，则，两点之间的距离可表示为或，记为．如式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题： (1)与3的距离是_________； (2)式子的最小值是多少？ (3)应用：某一直线沿街有2014户居民（相邻两户居民间隔相同）：，，，，，，某餐饮公司想为这2014户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在_________，才能使这2014户居民到点的距离总和最小． 【答案】(1)5 (2)5 (3)到之间（包括，两点） 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离、绝对值的几何意义，解题的关键是采用数形结合的思想． （1）根据题意，直接列式计算即可； （2）根据的几何意义是数轴上表示有理数x的点到及到3的距离之和，即可得到答案； （3）当有两户居民，时，可知，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这2户居民到点P的距离总和最小．当有四户居民，，，时，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这4户居民到点P的距离总和最小．依次类推，即可得出答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：5． （2）解：∵的几何意义是数轴上表示有理数x的点到及到3的距离之和， 数轴如下， ∴当时，式子取得最小值，最小值为． （3）解：当有两户居民，时，可知，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这2户居民到点P的距离总和最小． 当有四户居民，，，时，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这4户居民到点P的距离总和最小． 那么由题意可知，2014户居民，，，，，中， 点P选在到之间（包括，两点），才能使这2014户居民到点P的距离总和最小． 故答案为：到之间（包括，两点）． 变式5-3．（25-26七年级上·贵州六盘水·期末）数形结合是解决数学问题的重要方法，数轴上两点之间的距离可以用两数之差的绝对值来表示，点A表示的数是a，点B表示的数是b，则A，B两点之间的距离．例如：若点A表示5，点B表示，则．解决下列问题： (1)若点A表示的数是4，点B表示的数是，则A，B两点之间的距离是_______； (2)当时，请在数轴上标记x所在的位置并写出x的值； (3)是否存在有理数m，使得有最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或，图见解析 (3)当时，的值最大，最大值为 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据两点间的距离公式计算即可得出结果； （2）先根据绝对值的意义求出或，再在数轴上标记x所在的位置即可； （3）分区间讨论的化简结果，比较得出最大值即可． 【详解】（1）解：∵点A表示的数是4，点B表示的数是， ∴A，B两点之间的距离是； （2）解：∵， ∴或， ∴或， 在数轴上标记x所在的位置如图所示： （3）解：当时，， 当时，，此时， 当时，， ∴当时，的值最大，最大值为． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26七年级上·江西景德镇·期末）下列各对数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的定义，求一个数的绝对值，去括号等，根据相反数的定义，先化简各选项中的数，再判断是否互为相反数． 【详解】解：A、的相反数是，不是，故A选项不符合题意； B、，，两数相等，不互为相反数，故B选项不符合题意； C、，，的相反数是，故C选项符合题意； D、，两数相等，不互为相反数，故D选项不符合题意； 故选：C． 2．（2025七年级上·全国·专题练习）已知与互为相反数，则（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了互为相反数的两个非负数的性质，求代数式的值，掌握互为相反数的两个非负数的性质是关键；根据互为相反数的条件，绝对值表达式均需为零，从而求出a和b的值，再代入计算． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴； ∵且， ∴且， ∴且， ∴， ∴． 故选：C． 3．（2025七年级上·上海·专题练习）a，b，c是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，且，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴、绝对值，属于基础题型，正确判断的符号及其绝对值的大小关系是关键． 由在数轴上的位置可判断，结合，可得，进一步根据数轴逐一判断即可得答案． 【详解】解：根据题意，得：，而， ， 如图， ∴，所以选项B中是正确的． 故选：B． 4．（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）已知互为倒数，互为相反数，，则的值为（　　） A． B．或2 C．4或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了代数式求值、倒数、相反数的定义以及绝对值的意义，熟练掌握以上知识点是是解题的关键．根据倒数，相反数的定义，绝对值的意义得到，然后根据有理数的运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵互为倒数，互为相反数，， ∴， 当时，； 当时，， 综上所述，的值为4或． 故选：C． 5．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）有以下结论：①若，则；②三个有理数a，b，c满足，且，则一定有，，；③若，则的值为3；④若x是任意有理数，则的最小值为8． 其中错误的结论有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的基本性质及有理数的运算． 结论①忽略的情况；结论②反例说明a可能为负；结论③当a、b同负时值为；结论④利用数轴的性质求得最小值为8． 【详解】解：结论①：∵，∴，但结论忽略，故错误； 结论②：反例：，满足且，但，故错误； 结论③：当，若，则值为3；若，则，故错误； 结论④：表示x到点，1，5的距离和，当时，和为，为最小值，故正确； 综上，错误结论有3个． 故选：C． 二、填空题 6．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知为有理数，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，根据绝对值的非负性，可得，即可求解． 利用绝对值的非负性，确定代数式的最小值． 【详解】解：∵， ∴的最小值为 故答案为：． 7．（25-26七年级上·广东揭阳·期中）如果，那么的值是________． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的非负性以及有理数的乘方运算，解题的关键是利用＂非负数的和为0，则每个非负数都为0＂求出的值． 先根据绝对值的非负性得出，求出的值，再计算，最后求其2025次方． 【详解】解：且，且， 且， 解得，， 则， 所以． 故答案为：． 8．（2025七年级上·重庆万州·专题练习）已知、、在数轴上的位置如图所示，化简______． 【答案】0 【分析】本题考查利用数轴判断式子的符号、化简绝对值、整式的加减运算等，解题的关键是根据a、b、c在数轴上的位置得出，．根据a、b、c在数轴上的位置判断出，得出，，去绝对值，再合并同类项即可． 【详解】解：根据a、b、c在数轴上的位置可知：， ∴，， ∴ ． 故答案为：0． 9．（25-26七年级上·江苏南通·期中）如果两个有理数x，y满足，则的最大值__________，的最小值为__________． 【答案】 3 4 【分析】此题考查绝对值的意义，数轴上两点之间的距离． 把变为可求出的最大值；由得，将原式化为，根据两点间距离的几何意义可求其最小值为4． 【详解】解：因为，则， 所以； 因为绝对值是非负数，即， 所以当最小时，整个式子的值最大． 当时，，此时， 所以的最大值是3． 由得，， 所以，此式表示x到3的距离加上x到7的距离， 根据绝对值的性质，当x在3和7之间（包括3和7）时，距离和最小，最小值为． 所以的最小值为4． 故答案为：3；4． 10．（25-26七年级上·陕西渭南·期中）已知，则的值为_____． 【答案】3或 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，有理数的乘法法则，有理数的混合运算等知识．根据得到，根据，得到或．分别代入即可求解． 【详解】解：因为， 所以， 因为， 所以或． 当时，； 当时，． 故答案为：3或 三、解答题 11．（26-27七年级·浙江·暑假作业）回答下列问题 (1)代数式的最小值是_____ (2)有最__值是_____ 【答案】(1)0 (2)大，6 【详解】（1）解：，故代数式的最小值是； （2）解：因为是个非负数，有最小值为0， 所以代数式有最大值是6． 12．（24-25七年级上·江西上饶·阶段检测）已知有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，且． (1)求与的值； (2)化简：； (3)化简：． 【答案】(1)， (2)5 (3)0 【分析】本题考查有理数与数轴，化简绝对值，解题的关键是掌握绝对值的几何意义： （1）根据题意，得到互为相反数，进行求解即可； （2）根据绝对值的意义，结合点在数轴上的位置，进行化简求值即可； （3）根据绝对值的意义，结合点在数轴上的位置，判断出式子的符号，进行化简即可． 【详解】（1）解：由图和题意可知，互为相反数且不为0， ∴，； （2）由图可知：， ∴， ∴； （3）∵，， ∴， ∴． 13．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）春节期间，某地因天气原因，高速路况较差，交警为了维持道路畅通，特派遣巡逻车在东西向的某地段巡逻，规定向东为正方向，一天巡逻车从地出发，行驶记录如下（单位：千米）： 时刻 位置 (1)在上述时刻巡逻期间，巡逻车在______时刻巡逻结束后距离地最近？此时巡逻车在地______方向． (2)巡逻期间，巡逻车一共行驶了多少千米？ (3)巡逻车在巡逻时出现故障，于是地派出救援车，若地在地的正东方向50千米处，则救援车需要向什么方向行驶多远才能到达？ 【答案】(1)；正东2千米 (2)巡逻期间，巡逻车一共行驶了149千米 (3)救援车需要向正西方向行驶62千米才能到达 【分析】本题考查了正负数的应用、绝对值的应用、有理数加减法的应用，熟练掌握正负数的应用是解题关键． （1）根据表格分别求出每个时刻巡逻结束后距离地的距离，由此即可得； （2）将表格中巡逻车行驶记录的数字的绝对值相加，由此即可得； （3）先求出在时刻巡逻结束后距离地的距离，得出此时巡逻车在地的位置，再列出式子计算即可得． 【详解】（1）解：在时刻巡逻结束后距离地的距离为（千米）， 在时刻巡逻结束后距离地的距离为（千米）， 在时刻巡逻结束后距离地的距离为（千米）， 在时刻巡逻结束后距离地的距离为（千米）， 在时刻巡逻结束后距离地的距离为（千米）， 在时刻巡逻结束后距离地的距离为（千米）， 在时刻巡逻结束后距离地的距离为（千米）， ∵，， ∴在上述时刻巡逻期间，巡逻车在时刻巡逻结束后距离地最近，此时巡逻车在地正东2千米方向． 故答案为：；正东2千米． （2）解： （千米）， 答：巡逻期间，巡逻车一共行驶了149千米． （3）解：在时刻巡逻结束后距离地的距离为（千米）， ∴在时刻巡逻结束后，巡逻车在地正西方向千米处， ∵地派出救援车，且地在地的正东方向50千米处， ∴救援车需要向正西方向行驶，行驶距离为（千米）， 答：救援车需要向正西方向行驶62千米才能到达． 14．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答后面“探究”中的问题． 【提出问题】已知三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】解：由题意可知，，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． 当，，都是正数，即，，时，； 当，，中有一个正数，另两个为负数时，设，，，则；所以的值为或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题． (1)已知三个有理数，，满足，求的值； (2)已知，且，求的值． 【答案】(1)或1 (2)或 【分析】本题考查了绝对值的意义、有理数的乘法、有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）由题意可知，a，b，c三个有理数都为负数或其中一个为负数，另两个为正数．分两种情况，分别计算即可得解； （2）由绝对值的性质并结合题意可得，．再分两种情况计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意可知，a，b，c三个有理数都为负数或其中一个为负数，另两个为正数． ①当a，b，c都是负数，即，，时，； ②当a，b，c中有一个负数，另两个为正数时，设，，，则； 所以的值为或1． （2）解：由，，得，． 因为，所以，． 当，时，； 当，时，． 所以的值为或． 15．（25-26七年级上·江西吉安·期中）如图1，点在数轴上分别表示实数，则两点之间的距离可以表示为． (1)观察图2： 数轴上表示和的两点之间的距离是 ；数轴上表示和的两点之间的距离是 ； (2)理解： 数轴上表示和的两点和之间的距离是多少？如果，那么的值是多少？ (3)运用：当代数式取最小值时，相应的的取值范围是什么？当代数式取最小值时，相应的的值是多少？ 【答案】(1) (2)，或 (3)， 【分析】本题考查数轴上两点之间距离表示方法、解方程及绝对值的几何意义等知识，熟记绝对值性质及数轴上两点之间距离表示方法是解决问题的关键． （1）利用材料中，数轴上两点之间的距离表示方法，代值计算即可得到答案； （2）用数轴上两点之间的距离的表示方法得到，再解绝对值方程及一元一次方程即可得到答案； （3）由绝对值的几何意义，求出不同范围内、的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：点在数轴上分别表示实数，则两点之间的距离可以表示为， 数轴上表示和的两点之间的距离是； 数轴上表示和的两点之间的距离是； 故答案为：； （2）解：数轴上表示和的两点和之间的距离是； ， ∴或， 解得或； （3）解：代数式表示数对应的点到数和表示的点的距离之和， 当时，数对应的点到数和表示的点的距离之和大于， 当时，数对应的点到数和表示的点的距离之和等于， 当时，数对应的点到数和表示的点的距离之和大于， 综上所述，， 即代数式的最小值为，此时，的取值范围是； 代数式表示数对应的点到数、和表示的点的距离之和， 当时，数对应的点到数、和表示的点的距离之和大于， 当时，数对应的点到数、和表示的点的距离之和大于， 当时，数对应的点到数、和表示的点的距离之和等于， 当时，数对应的点到数、和表示的点的距离之和大于， 当时，数对应的点到数、和表示的点的距离之和大于， 综上所述，， 即代数式的最小值为，此时，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $