1.4 线段垂直平分线与角平分线 知识清单 2026--2027学年苏科版八年级数学上册

 

1.4　线段垂直平分线与角平分线

课堂知识清单

2026—2027学年　苏科版　八年级数学（上册）　第一章　全等三角形

本课知识点：线段垂直平分线（性质·判定·尺规作图） · 角平分线（性质·判定·尺规作图）

 

◆ 学习目标

· 能说出线段垂直平分线和角平分线的定义，并会从图形中识别这两条特殊的线；

· 记住并会规范表述两条“性质定理”——垂直平分线上的点到线段两端距离相等、角平分线上的点到角两边距离相等，能正确写出符号语言；

· 记住并会运用两条“判定定理”——到线段两端等距的点在中垂线上、到角两边等距的点在角平分线上，能分清性质与判定；

· 会用直尺和圆规作一条线段的垂直平分线和一个角的平分线，并理解作图的依据；

· 体会“由性质反过来想判定”的研究路径，能运用两个性质定理解决简单的线段相等、距离相等问题。

◆ 一、知识梳理

▸ 1　线段的垂直平分线：定义

垂直且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也常叫“中垂线”。它同时满足两个条件：一是“垂直”，即与这条线段成 90°；二是“平分”，即穿过这条线段的中点，把它分成相等的两段。要注意，光垂直不够，光过中点也不够，必须“既垂直又过中点”才算垂直平分线。

记法上，如果直线 l 垂直平分线段 AB，通常说“l 是 AB 的垂直平分线”，也可以写成“l ⊥ AB，且 l 经过 AB 的中点”。后面所有关于中垂线的性质与判定，都建立在这个定义之上。

▸ 2　线段垂直平分线的性质定理

性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。换句话说，只要点 P 落在线段 AB 的垂直平分线上，不管它在线上的哪个位置，PA 和 PB 永远相等。如图1，点 P 在中垂线 l 上，于是 PA = PB。

 

这个定理的证明用到 1.3 的 SAS：连接 PA、PB，设中垂线与 AB 交于点 O，则 AO = BO（平分），∠POA = ∠POB = 90°（垂直），PO = PO（公共边），于是 △PAO ≌ △PBO（SAS），从而 PA = PB。把“点在线上”当题设、“距离相等”当结论，是性质定理的固定写法。

※ 记住：性质定理的方向是“点在中垂线上 → 到两端距离相等”。写符号语言时，先写“点在线上（或垂直且过中点）”这个条件，再写“PA = PB”这个结论，别把因果写反。

图1　线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等：点 P 在 AB 的中垂线 l 上，则 PA = PB

▸ 3　线段垂直平分线的判定定理

判定定理是性质定理的“反过来”：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。也就是说，只要能证明 PA = PB，就可以拍板“点 P 一定在 AB 的中垂线上”，而不必再去量它垂不垂直、过不过中点。

 

判定的证明用 HL：过点 P 作 PC⊥AB 于 C，在 Rt△PAC 和 Rt△PBC 中，PA = PB（已知），PC = PC（公共边），于是 Rt△PAC ≌ Rt△PBC（HL），得到 AC = BC，且 PC⊥AB，所以 PC 就是 AB 的垂直平分线，点 P 自然在它上面。注意这里要先确认“垂直”与“平分”同时成立，才能说那条线是中垂线。

※ 记住：性质与判定互为逆定理：性质是“点在线 → PA = PB”，判定是“PA = PB → 点在线”。做题时看清已知给的是哪一个，再决定用性质还是用判定。

▸ 4　线段垂直平分线的尺规作图

只用无刻度的直尺和圆规，就能作出一条线段的垂直平分线，步骤如下：分别以 A、B 为圆心，以“大于 AB 的一半的同一长度”为半径画弧，两弧在线段两侧各交于一点 C、D；过 C、D 作直线，这条直线就是 AB 的垂直平分线。作图过程如图2（左半部分）所示。

为什么“半径要大于 AB 的一半”？因为只有半径大于一半，两个圆才会在 AB 的上方和下方都相交；若半径等于或小于一半，两圆要么相切要么不相交，就找不到两个交点来确定直线了。教材把这种“交两点定一线”的思路，和三角形稳定性的作图联系在一起。

图2　尺规作图：① 作线段 AB 的垂直平分线（以 A、B 为圆心、大于 AB 一半为半径画弧，过交点 C、D 作直线）；② 作 ∠AOB 的平分线（以 O 为圆心画弧交两边于 M、N，再分别以 M、N 为圆心画弧交于 P，作射线 OP）