形1.5等腰与等边三角形的性质及判定综合导学案-2026-2027学年苏科版数学八年级上册

该初中数学导学案聚焦等腰与等边三角形性质及判定的综合应用，通过“有一个角是60°的等腰三角形是否为等边三角形”等问题引入，梳理二者从属联系，构建从基础到复杂叠加问题的学习支架。 资料以分层典例与变式训练为特色，涵盖基础识别、线段证明到旋转综合推导，培养学生几何直观与推理意识，巩固练习分层设计，助力掌握转化思想，提升综合解题能力，符合新课标应用意识要求。

1.5等腰与等边三角形的性质及判定综合导学案 一、学习目标 1、系统整合等腰三角形与等边三角形的性质与判定定理，理解二者的从属与内在联系，构建完整的特殊三角形知识框架； 2、能根据不同的已知条件，灵活选择和综合运用两个知识点的定理，解决综合的几何问题，包括长度计算、角度推导、几何证明等； 3、掌握综合题型的处理方法，能解决多特殊三角形叠加的复杂问题，提升几何推理能力，体会转化与化归的数学思想。 二、学习重难点 学习重点：掌握等腰与等边三角形的性质与判定的综合运用，能根据条件选择合适的定理解决基础的综合问题； 学习难点：综合运用两个知识点解决复杂的叠加问题，比如在同一个图形中同时识别等腰和等边的模型，构造辅助线解决复杂的线段与角度问题。 三、预习导学・问题引入 我们已经分别学习了等腰三角形的性质与判定，还有等边三角形的性质与判定。我们知道，等边三角形是特殊的等腰三角形，它拥有等腰三角形的所有性质，同时还有自己独有的性质：三边相等、三个内角都是 60°、三条对称轴。 那当我们把这两个知识点放在一起的时候，会发生什么呢？ 1、如果一个等腰三角形，有一个角是 60°，它是不是就变成了等边三角形？ 2、如果在一个等腰三角形里，构造了一个等边三角形，我们能得到哪些相等的边和角？ 3、当一个图形里同时有等腰和等边三角形的时候，我们该怎么结合它们的性质，来解决复杂的问题？ 这就是我们今天要学习的，把这两个知识点整合起来，学会综合运用它们，解决更复杂的几何问题。 四、课堂探究・知识点梳理 1. 二者的从属与联系 等边三角形是特殊的等腰三角形，因此： 等腰三角形的所有性质和判定，等边三角形都完全满足； 等边三角形在此基础上，拥有自己独有的性质：三边相等、三个内角均为 60°、三条对称轴。 2. 核心的综合判定定理 我们最常用的，连接等腰和等边的桥梁，就是这个判定： 有一个角是 60° 的等腰三角形，是等边三角形。 这个定理告诉我们，只要我们知道一个三角形是等腰的，再找到它的任意一个角是 60°，我们就可以直接判定它是等边三角形，不用再证明三边相等了，这是我们解决综合题的核心工具。 3. 综合运用的基本思路 在综合题中，我们通常的解题思路是： （1）先识别图形中的等腰三角形，利用等腰的性质，找到相等的边和角； （2）再识别其中的等边三角形，利用等边的性质，找到 60° 的特殊角，以及更多的相等的边； （3）把二者结合起来，构造全等三角形，或者利用角度、线段的关系，完成我们的证明和计算。 五、典例精讲・变式训练 典例 1：基础应用 —— 综合识别与判定 原题： 在△ABC 中，AB=AC，下列条件中，不能判定△ABC 是等边三角形的是（ ） A.∠A=60° B.AC=BC C.∠B的补角等于∠C的补角 D.AB边上的高也是AB边上的中线； 解析：选项A：△ABC中AB=AC（等腰），∠A=60°，根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”，可判定为等边三角形。 选项B：AB=AC且AC=BC，故AB=AC=BC，三边相等，可判定为等边三角形。 选项C：∠B的补角等于∠C的补角，由补角性质得∠B=∠C，但AB=AC的等腰三角形本身就满足∠B=∠C，此条件未提供“角度为60°”或“三边相等”等额外信息，无法判定为等边三角形。 选项D：AB边上的高也是中线，说明AB的垂直平分线经过点C（高垂直AB，中线平分AB），根据垂直平分线性质得AC=BC；结合AB=AC，故AB=AC=BC，可判定为等边三角形。 综上，不能判定△ABC是等边三角形的是选项C 变式训练 1 下列结论中：①有一个外角是 120° 的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；④三个内角都相等的三角形是等边三角形．其中正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式训练 2 下列对△ABC 的判断，错误的是 () A. 若 AB=AC，∠B=60°，则△ABC 是等边三角形 B. 若∠A:∠B:∠C=2:3:5，则△ABC 是直角三角形 C. 若∠A=20°，∠B=80°，则△ABC 是等腰三角形 D. 若 AB=BC，∠C=40°，则∠B=40° 变式训练 3 已知等腰三角形的一个外角是 120°，则它是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 一般的等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰钝角三角形 典例 2：综合应用 —— 等腰与等边的线段证明 原题：在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，点 D 是 AB 的中点，点 E 为 AC 上一点，连接 DE，以 DE 为边在 DE 的左侧作等边三角形 DEF，连接 BF，求证：∠DBF=∠DCE。 解析：因为 D 是 AB 的中点，∠ACB=90°，∠A=30°，所以 CD=BD，△BCD 是等边三角形，所以 BD=CD，∠BDC=60°，又因为△DEF 是等边，所以 DF=DE，∠FDE=60°，所以∠BDF=∠CDE，因此△BDF≌△CDE（SAS）， 所以∠DBF=∠DCE。 变式训练 1 在△ABC 中，AB=AC，D 为边 BC 的中点，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F，∠EDF=60°，求证：△DEF 是等边三角形。 变式训练 2 已知△ABC是等边三角形，∠ACE=60°，BD=CE.求证：△ADE是等边三角形. 典例 3：提优应用 —— 旋转与综合推导 原题： 在等腰△ABC 中，AB=AC，∠BAC=120°，点 P 是△ABC 内一点，将△ABP 绕点 A 顺时针旋转 60° 得到△ACQ，连接 PQ，求证：△APQ 是等边三角形，且 PQ∥BC。 解析： 首先，根据旋转的性质，AP=AQ，旋转角是 60°，所以∠PAQ=60°，因此△APQ 是等边三角形，这就证明了第一个结论。 然后，因为 AB=AC，∠BAC=120°，AD 是 BC 的高，所以∠DAC=60°，而△APQ 是等边三角形，所以∠APQ=60°，因此 PQ∥AD，而 AD⊥BC，所以 PQ∥BC，得证。 变式训练 1 在△ABC 中，AB=AC，D、E 分别在 AB、AC 上，且 AD=AE，连接 BE、CD 交于 O，且∠BOC=120°，求证：△ABC 是等边三角形。 变式训练 2 等腰△ABC 中，CA=CB=4，∠ACB=120°，点 D 在线段 AB 上运动（不与 A，B 重合），将△CAD 与△CBD 分别沿直线 CA，CB 翻折得到△CAP 与△CBQ，求证：CP=CQ，且∠PCQ=60°。 变式训练 3 在四边形 ABCD 中，AB=BC，∠ABC=60°，∠ADC=120°，求证：AD+CD=BD。 六、巩固练习・分层训练 基础过关（8 题） 1、已知等腰三角形的一个内角为 60°，则这个等腰三角形的顶角是多少度？ 2、在△ABC 中，∠A=60°，如要判定△ABC 是等边三角形，还需添加一个条件，现有三种说法：①如果添加条件 “AB=AC”，那么△ABC 是等边三角形；②如果添加条件 “∠B=60°”，那么△ABC 是等边三角形；③如果添加条件 “D 是 BC 的中点，且 AD⊥BC”，那么△ABC 是等边三角形，其中正确的有 个 3、下列说法中，正确的是（ ） A. 等腰三角形一定是等边三角形 B. 等边三角形一定是等腰三角形 C. 有一个角是 60° 的三角形是等边三角形 D. 有一个角相等的等腰三角形是等边三角形 4、在△ABC 中，AB=AC，D 是 AC 的中点，且 BD=BC，若∠A=60°，求证：△BCD 是等边三角形。 能力提升 5、 等边△ABC 中，DE∥AB，分别交 AC、BC 于 D、E，若 AD=2，AC=6，求证：△CDE 是等边三角形。 6、在△ABC 中，AB=AC，点 D，E 分别在 BA，CB 的延长线上，且 AE=CD，∠BAE=∠ACD，求证：△ABC 是等边三角形。 7、已知：∠AOB=30°，OP=10,在∠AOB 的内部有一点 P，Q 为 OA 上一动点，R为 OB 上一动点，当△ABP 的周长最小值是多少？ 8、在等腰△ABC 中，AB=AC，∠BAC=80°，点 P 是△ABC 内一点，且∠PBC=10°，∠PCB=30°，求∠PAB的度数。 七、答案与解析 变式训练答案 典例 1 变式 1、答案：B 解析：①正确，外角是 120°，对应的内角就是 60°，等腰加 60° 就是等边；②错误，两个底角的外角相等，普通的等腰三角形也满足这个条件；③错误，普通的等腰三角形，底边的高本来就是中线；④正确，三个内角都相等的三角形就是等边，所以正确的有 2 个。 2、答案：D 解析：D 选项，AB=BC，所以∠A=∠C=40°，那么∠B=180°-40°-40°=100°，不是 40°，所以 D 错误。 3、答案：C 解析：外角是 120°，对应的内角就是 60°，等腰加 60° 就是等边，所以选 C。 典例 2 变式 1、 证明：因为 AB=AC，D 是 BC 的中点， 所以∠B=∠C，DE⊥AB，DF⊥AC， 所以△BDE≌△CDF（AAS）， 得到 DE=DF，又因为∠EDF=60°， 所以△DEF 是等边三角形。 2、证明：∵△ABC为等边三角形， ∴∠B=∠ACB=60°，AB=AC， ∵∠ACE=60°， ∴∠ECD=60°， 在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE， ∴AD=AE，∠BAD=∠CAE， 又∠BAC=60°， ∴∠DAE=60°， ∴△ADE为等边三角形． 典例 3 变式 1、证明： 因为 AB=AC，AD=AE，所以△ABE≌△ACD（SAS）， 所以∠ABE=∠ACD，因此∠OBC+∠OCB=∠ABC+∠ACB， 因为∠BOC=120°， 所以∠OBC+∠OCB=60°， 所以∠ABC+∠ACB=120°，因此∠A=60°， 又因为 AB=AC， 所以△ABC 是等边三角形。 2、 证明： 根据翻折的性质，CP=CD，CQ=CD， 所以 CP=CQ，然后∠PCA=∠DCA，∠QCB=∠DCB， 所以∠PCQ=∠PCA+∠QCB - ∠ACB=∠DCA+∠DCB - 120°=60°， 3、 证明： 因为 AB=BC，∠ABC=60°， 所以△ABC 是等边三角形， 将△ABD 绕点 B 顺时针旋转 60°，得到△CBM， 所以 AD=CM，BD=BM，∠DBM=60°， 所以△DBM 是等边三角形，所以 BD=DM， 又因为∠ADC=120°， 所以 D、C、M 三点共线， 因此 DM=CD+CM=CD+AD， 所以 BD=AD+CD。 巩固练习答案 基础过关 1、答案：60° 解析：有一个角是 60° 的等腰三角形就是等边三角形，所以三个角都是 60°，顶角也是 60°。 2、答案：3 解析：三个说法都正确，①等腰加 60°，②两个角都是 60°，③等腰加 60°，都可以判定是等边三角形。 3、答案：B 解析：等边三角形是特殊的等腰三角形，所以 B 正确，其他选项都错误。 4、证明： 因为∠A=60°，AB=AC，所以△ABC 是等边三角形，所以 AC=BC，又因为 BD=BC，所以 BD=BC=CD，因此△BCD 是等边三角形。 能力提升 5、证明： 因为△ABC 是等边三角形， 所以∠C=60°，DE∥AB， 所以∠CDE=∠A=60°，∠CED=∠B=60°， 所以△CDE 是等边三角形。 6、 证明： 因为 AB=AC，AE=CD，∠BAE=∠ACD， 所以△ABE≌△CAD（SAS）， 所以∠ABE=∠CAD，因此∠ABC=∠BAC， 所以 AC=BC， 所以 AB=AC=BC，△ABC 是等边三角形。 7、 答案：10 分别作P关于OA、OB的对称点M、N． 连接MN交OA、OB交于Q、R，则△PQR符合条件． 连接OM、ON， 由轴对称的性质可知，OM=ON=OP=10， ∠MON=∠MOP+∠NOP=2∠AOB=2×30°=60°， 则△MON为等边三角形， ∴MN=10， ∵QP=QM，RN=RP， ∴△PQR周长=MN=10， 故答案为：10． 8、答案：70° 解:在BC下方取一点D,使得△ABD为等边三角形,连接DP、DC ∴AD=AB=AC. ∠DAC=∠BAC−∠BAD=20°, ∴∠ACD=∠ADC=80°, ∵AB=AC, ∠BAC=80°, ∴∠ABC=∠ACB=50°, ∴∠CDB=140°=∠BPC, 又 ∵∠DCB=30°=∠PCB, BC=CB, 在△BDC和△BPC中, ∴△BDC≅△BPC, ∴PC=DC, 又∵∠PCD=60°, ∴△DPC是等边三角形, 在△APD和△APC中, ∴△APD≅△APC, ∴∠DAP=∠CAP=10°, ∴∠PAB=∠DAP+∠DAB=10°+60°=70∘ 学科网（北京）股份有限公司 $