第1章 三角形 知识清单 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

第1章　三角形　知识清单 依据苏科版《义务教育教科书·数学》八年级上册编写，供复习备考使用。 一、章知识概览 【学习内容】本章共五节：1.1三角形中的线段和角；1.2全等三角形；1.3全等三角形的判定；1.4线段垂直平分线与角平分线；1.5等腰三角形。本章在小学认识三角形的基础上，系统研究三角形的边、角关系，并学习全等三角形的性质与判定、线段垂直平分线与角平分线的性质，以及等腰三角形的性质与判定。 【考点地位】三角形的三边关系、内角和、全等三角形的性质与判定、线段垂直平分线与角平分线的性质、等腰三角形的性质是中考几何证明的核心工具，是后续学习四边形、勾股定理与函数的基础，属必考内容。 【学习目标】①理解三角形及其边、顶点、内角、外角的概念，掌握三边关系与内角和定理；②认识三角形的高、中线、角平分线；③理解全等三角形的概念，掌握其性质；④掌握SSS、SAS、ASA、AAS及HL五种判定方法；⑤掌握线段垂直平分线、角平分线的性质与判定；⑥掌握等腰三角形、等边三角形的性质与判定。 【知识结构图】一图速查本章全貌，下图按“章→节→核心知识点”三层呈现。 第1章　三角形 1.1　三角形中的线段和角 定义与分类：不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接；按角分、按边分 三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；三角形具有稳定性 三条重要线段：高、中线、角平分线；内角和180°；外角等于不相邻两内角之和 1.2　全等三角形 全等形、全等三角形：能够完全重合；记作≌；对应顶点、对应边、对应角 性质：对应边相等，对应角相等；平移、翻折、旋转前后图形全等 1.3　全等三角形的判定 SSS三边、SAS两边夹角、ASA两角夹边、AAS两角及对边；HL仅限直角三角形 1.4　线段垂直平分线与角平分线 垂直平分线：线上点到线段两端距离相等；到两端距离相等的点在其上 角平分线：线上点到角两边距离相等；到两边距离相等的点在其上 1.5　等腰三角形 等边对等角；三线合一；等角对等边；等边三角形三边相等、三角均为60° 二、核心公式定理 【速查表】本章核心定理、性质与判定集中列表如下，逐条对照教材，复习时以表代翻书。 名称 定理·性质·判定内容 说明与易错提示 三边关系 三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边 判断能否组成三角形：较短两边之和大于最长边即可 内角和定理 三角形三个内角的和等于180° 直角三角形两锐角互余；是求角的基本依据 外角性质 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 外角大于任何一个与它不相邻的内角；三外角和为360° 全等三角形性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等 记全等时对应顶点字母写在对应位置 SSS 三边分别相等的两个三角形全等 三角形稳定性的依据 SAS 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 必须是夹角；两边及其中一边的对角（SSA）不能判定 ASA 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 夹边是两角的公共边 AAS 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 可由内角和转化为ASA HL 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 只适用于直角三角形；AAA不能判定全等 垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 逆定理：到两端距离相等的点在垂直平分线上 角平分线性质 角平分线上的点到角两边的距离相等 “距离”指垂线段的长，必须先有垂直 等腰三角形性质 等边对等角；顶角平分线、底边上的中线、高三线合一 两底角相等；是轴对称图形，对称轴为顶角平分线所在直线 等腰三角形判定 等角对等边 有两个角相等的三角形是等腰三角形 三、考点知识梳理 （一）1.1　三角形中的线段和角 【三角形的概念】由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形。组成三角形的线段叫作边，相邻两边的公共端点叫作顶点，相邻两边所组成的角叫作内角，简称角。顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”。 【三角形的分类】按角分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；按边分为三边都不相等的三角形和等腰三角形，有两边相等的三角形叫作等腰三角形，三边都相等的三角形叫作等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。 【三边关系】由“两点之间，线段最短”可得：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边。反过来，任意两条线段的和大于第三条线段，这三条线段才能组成三角形。 【三角形的稳定性】三根木条钉成三角形木架，扭动后形状不会改变，即三角形具有稳定性，广泛应用于工程建筑与机械制造。 【三条重要线段】连接顶点与对边中点的线段叫作中线，三条中线交于一点（重心）；内角平分线与对边交点间的线段是三角形的角平分线；从顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段是高。锐角三角形三高都在内部，直角三角形两条高恰为直角边，钝角三角形两条高在外部。 图1 三角形的中线、角平分线和高 【内角和与外角】三角形三个内角的和等于180°；直角三角形的两个锐角互余。三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫作外角，外角等于与它不相邻的两个内角的和。 （二）1.2　全等三角形 【全等形与全等三角形】能够完全重合的两个图形叫作全等形；能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形，用符号“≌”表示，读作“全等于”。一个图形经过平移、翻折、旋转后形状、大小不变，变换前后的图形全等。 图2 平移、翻折、旋转前后的全等三角形 【对应元素】重合的顶点叫作对应顶点，重合的边叫作对应边，重合的角叫作对应角。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 图3 全等三角形的对应顶点、对应边、对应角 【全等三角形的性质】全等三角形的对应边相等，对应角相等。证明线段相等或角相等时，可转化为证明它们是全等三角形的对应边或对应角。 （三）1.3　全等三角形的判定 【SSS】三边分别相等的两个三角形全等（边边边，SSS）。 【SAS】两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（边角边，SAS）。注意：两边和其中一边的对角分别相等（SSA）不能判定全等。 【ASA】两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（角边角，ASA）。 【AAS】两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（角角边，AAS）。 【HL】对直角三角形，斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（斜边、直角边，HL）。注意：三角分别相等（AAA）不能判定全等。 （四）1.4　线段垂直平分线与角平分线 【线段垂直平分线的性质】线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。其逆定理：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。三角形三边的垂直平分线交于一点。 图4 线段垂直平分线的性质 【角平分线的性质】角平分线上的点到角两边的距离相等。其逆定理：在角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。三角形三条角平分线交于一点，该点到三边距离相等。 图5 角平分线的性质 （五）1.5　等腰三角形 【等腰三角形的性质】等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）；顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）；等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线。 图6 等腰三角形的三线合一 【等腰三角形的判定】有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。 【等边三角形】等边三角形三边相等，三个内角都等于60°；三个角都相等的三角形，或有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 四、重点知识记忆方法 【记忆口诀】判定方法：三边SSS，两边夹角SAS，两角夹边ASA，两角对边AAS，直角专用HL。易错提醒：两边对角不能判，三角相等也白搭。等腰三角形：等边对等角，三线合一，等角对等边。 【对比记忆】五种全等判定方法对比如下表。 判定方法 条件 适用范围 SSS 三边对应相等 任意三角形 SAS 两边及其夹角对应相等 任意三角形 ASA 两角及其夹边对应相等 任意三角形 AAS 两角及一组等角的对边对应相等 任意三角形 HL 斜边和一直角边对应相等 仅限直角三角形 【易混对比】“两边及夹角（SAS）”能判定全等，而“两边及其中一边的对角（SSA）”不能；角必须是两边的夹角，位置不能错放。 五、解题方法总结 题型1　找全等三角形的对应边与对应角 【解题方法】①按记法顺序找对应顶点，全等式中字母位置一一对应；②最长边对最长边、最大角对最大角；③公共边、公共角、对顶角通常是对应元素。 【数学思想】数形结合思想：结合图形，把符号记法与顶点位置对应起来。 题型2　选择适当方法证明两个三角形全等 【解题方法】①先在图中标出已知相等的边、角；②有两边找夹角（SAS）或第三边（SSS），有两角找夹边（ASA）或对边（AAS）；③直角三角形优先考虑HL；④注意推出公共边、公共角、平行线得等角等隐含条件。 【数学思想】转化思想：把“证线段相等/角相等”转化为“证三角形全等”。 题型3　利用垂直平分线或角平分线性质证线段相等 【解题方法】①见垂直平分线，直接用“线上点到两端距离相等”；②见角平分线，向两边作垂线，用“线上点到两边距离相等”，无需再证三角形全等。 题型4　等腰三角形求角与分类讨论 【解题方法】①用等边对等角、三角形内角和180°列角的关系；②已知等腰三角形两边时，分“已知边为腰”“已知边为底”讨论，并逐一检验三边关系。 【数学思想】分类讨论思想：不确定顶角、底角或腰、底时，分情况讨论并检验能否组成三角形。 六、易错点清单 【清单】逐条对照教材与常见易错情形，复习时先自查再对照下表。 常见易错点 正确做法 误认为形状相同或面积相等的两个三角形全等 全等必须能够完全重合，即形状和大小都相同 用SSA（两边及其中一边的对角）判定全等 “边边角”不能判定，角必须是两边的夹角（SAS） 用AAA（三角分别相等）判定全等 三角相等只保证形状相同，大小不一定相同 对应顶点、对应边写错 记全等时把对应顶点字母写在对应位置，按位置找对应元素 漏写公共边、公共角等隐含条件 公共边、公共角、对顶角本身相等，要在条件中列出 用角平分线性质时忘记“垂直” “距离”是垂线段的长，必须先有垂直条件 等腰三角形已知两边不分类或不检验 分腰、底两种情况，每种都检验三边关系 七、高频考点速记 ①三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边；三角形具有稳定性。 ②三角形三个内角的和等于180°；直角三角形两锐角互余；外角等于不相邻两内角之和。 ③全等三角形的对应边相等，对应角相等。 ④判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS适用于任意三角形；直角三角形专用HL。 ⑤SSA、AAA不能判定两个三角形全等。 ⑥线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；角平分线上的点到角两边的距离相等。 ⑦等腰三角形等边对等角、三线合一；判定用等角对等边。 八、学情自测 （一）选择题（每题2分，共14题） 1．工人师傅砌门时，常用木条EF固定矩形门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是（ ） A．两点之间线段最短 B．矩形的对称性 C．矩形的四个角都是直角 D．三角形的稳定性 2．图中全等的图形是（ ） A．①与② B．②与③ C．③与④ D．①与④ 3．某同学把一块三角形玻璃打破成了三块：碎片①只保留了原三角形的一个角，碎片②只保留了原三角形的一条边，碎片③保留了原三角形的两个角及其夹边。现要到玻璃店配一块大小、形状完全相同的玻璃，那么他可以（ ） A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去 4．点D、E分别在AC、AB上，已知AB=AC，添加下列条件，不能说明△ABD≌△ACE的是（ ） A．∠B=∠C B．AD=AE C．∠BDC=∠CEB D．BD=CE 5．如果两个三角形有两边及一角对应相等，那么这两个三角形（ ） A．一定全等 B．一定不全等 C．不一定全等 D．面积相等 6．如图，△ABC≌△DFE，∠B=80°，∠ACB=30°，则∠D的度数是（ ） A．70° B．80° C．30° D．100° 7．将两根钢条AC、BD的中点O连在一起，使AC、BD可以绕着点O自由转动，做成测工件内槽宽的卡钳，此时CD的长等于AB的长，判定△AOB≌△COD的理由是（ ） A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS 8．AC=BC，M是AB的中点，下列结论：①△AMC≌△BMC；②∠ACM=∠BCM；③∠A=∠B；④CM⊥AB，其中正确结论的序号是（ ） A．①③ B．①②③ C．①②③④ D．①②④ 9．一个三角形被纸板挡住了一部分，我们还能够画出一个与它完全重合的三角形，其原理用到的基本事实或定理是（ ） A．ASA B．SAS C．SSS D．AAS 10．下列图形中，一定属于轴对称图形的是（ ） A．直角三角形 B．不等边三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 11．已知AD是△ABC的角平分线，CE⊥AD，垂足为O，CE交AB于E，则下列命题：①AE=AC；②CO=OE；③∠AEO=∠ACO；④∠B=∠ECB，其中正确的是（ ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 12．OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 13．已知△ABC≌△A′B′C′，∠A=60°，∠B=40°，则∠C′的度数是（ ） A．60° B．40° C．80° D．100° 14．若等腰三角形的两边长分别为3 cm和7 cm，则该等腰三角形的周长是（ ） A．13 cm B．17 cm C．13 cm或17 cm D．20 cm （二）填空题（每空2分，共2题） 1．在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于点D，∠CAD=10°，则∠B=______°。 2．在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=32°，则∠BAC=______°。 （三）解答题（共2题） 1．如图，在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE与CD相交于点O。（1）求证：△DBC≌△ECB；（2）求证：OD=OE。 2．如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点M、D，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点N、E，△ADE的周长为7。（1）求BC的长；（2）若∠B+∠C=60°，求∠DAE的度数。 九、参考答案 【选择题】 1．【答案】D 解题步骤： ①木条EF与门框的一边构成三角形，利用了三角形的稳定性使门框不变形； ②两点之间线段最短、矩形对称性、四角为直角都与“不变形”无关，故选D。 【知识点睛】三角形稳定性：三角形木架扭动后形状不改变，生活中用木条构成三角形来固定结构，正是稳定性的应用。 2．【答案】D 解题步骤： ①四幅图中，①与④经过旋转180°后能够完全重合，形状、大小都相同； ②与③、①与②均不能完全重合，故全等的是①与④，选D。 【知识点睛】全等图形：能够完全重合的两个图形全等，可通过平移、翻折、旋转后是否完全重合来判断。 3．【答案】C 解题步骤： ①第③块保留了原三角形的两个角及其夹边； ②由两角及其夹边分别相等（ASA）即可配出完全相同的玻璃，带③去即可，故选C。 【知识点睛】ASA配玻璃：保留两角及夹边的碎片可由ASA唯一确定三角形，是全等判定在实际中的应用。 4．【答案】D 解题步骤： ①已知AB=AC，∠A为公共角：加∠B=∠C可由ASA、加AD=AE可由SAS、加∠BDC=∠CEB可由AAS，均能判定△ABD≌△ACE； ②加BD=CE时，两边及其中一边的对角对应相等（SSA），不能判定全等； ③故不能说明全等的是D。 【知识点睛】全等判定条件选择：结合已知边、角逐一套用ASA、SAS、AAS，SSA（两边及一对角）不能判定全等。 5．【答案】C 解题步骤： ①两边及一角对应相等中，若角不是两边夹角（SSA），三角形不能唯一确定； ②故这样的两个三角形不一定全等，选C。 【知识点睛】SSA不能判定全等：两边及其中一边的对角相等无法保证三角形唯一，属于不能判定全等的情形。 6．【答案】A 解题步骤： ①在△ABC中，∠A=180°−∠B−∠ACB=180°−80°−30°=70°； ②△ABC≌△DFE，∠D与∠A是对应角，全等三角形对应角相等，故∠D=∠A=70°，选A。 【知识点睛】全等对应角相等：先用三角形内角和求出∠A，再按全等式的记法顺序找到∠D的对应角∠A。 7．【答案】A 解题步骤： ①O是AC、BD中点，故AO=CO，BO=DO； ②∠AOB=∠COD（对顶角相等），由两边及其夹角相等得△AOB≌△COD（SAS），选A。 【知识点睛】SAS实际测量：由中点得两组对应边相等，加对顶角相等，用SAS证全等，把不可测距离转化为可测距离。 8．【答案】C 解题步骤： ①AC=BC，AM=BM，CM为公共边，由SSS得△AMC≌△BMC； ②全等得∠ACM=∠BCM、∠A=∠B；等腰三角形三线合一得CM⊥AB，故①②③④都正确，选C。 【知识点睛】等腰三角形三线合一：底边中线同时是顶角平分线与底边上的高，结合SSS全等可推出全部结论。 9．【答案】A 解题步骤： ①露出的部分保留了原三角形的两个角及其夹边； ②由两角及其夹边分别相等（ASA）可画出完全重合的三角形，选A。 【知识点睛】ASA作图：已知两角及其夹边即可唯一作出三角形，是全等判定的直接应用。 10．【答案】C 解题步骤： ①直角三角形、不等边三角形、钝角三角形一般没有对称轴； ②等腰三角形沿顶角平分线所在直线对折可重合，一定是轴对称图形，选C。 【知识点睛】轴对称图形：等腰三角形是轴对称图形，一般三角形不一定具有对称轴。 11．【答案】A 解题步骤： ①AD平分∠BAC，CE⊥AD，故AD垂直平分CE，得AE=AC、CO=OE； ②由△AEO≌△ACO得∠AEO=∠ACO；∠B=∠ECB不一定成立，故①②③正确，选A。 【知识点睛】角平分线+垂直：角平分线又是底边的高时，该线垂直平分底边，结合全等可得相应线段与角相等。 12．【答案】B 解题步骤： ①OP平分∠MON，PA⊥ON，由角平分线性质，点P到OM的距离等于PA=2； ②PQ垂直到OM时最短，最小值为2，选B。 【知识点睛】角平分线性质求最短距离：角平分线上的点到两边距离相等，动点到射线的最短距离即该垂线段长。 13．【答案】C 解题步骤： ①△ABC中∠C=180°−∠A−∠B=180°−60°−40°=80°； ②全等三角形对应角相等，故∠C′=∠C=80°，选C。 【知识点睛】全等对应角相等：先由内角和求原三角形第三角，再由全等得对应角。 14．【答案】B 解题步骤： ①若腰长为3 cm，则3+3=6<7，不满足三边关系，不能组成三角形； ②故腰长为7 cm，三边为7、7、3，周长为7+7+3=17 cm，选B。 【知识点睛】等腰三角形周长：分类讨论腰与底，先用三边关系舍去不成立情况，再求周长。 【填空题】 1．【答案】40 解题步骤： ①D在AB的垂直平分线上，故DA=DB，∠DAB=∠B； ②∠CAB=90°−∠B，∠CAD=∠CAB−∠DAB=90°−2∠B=10°，解得∠B=40°。 【知识点睛】垂直平分线性质：线上点到两端距离相等得等腰，再结合直角三角形两锐角互余列关系求角。 2．【答案】69 解题步骤： ①△ABD中AB=AD，∠ADB=(180°−32°)÷2=74°，故∠ADC=106°； ②△ADC中AD=DC，∠DAC=(180°−106°)÷2=37°； ③∠BAC=∠BAD+∠DAC=32°+37°=69°。 【知识点睛】等腰三角形连环求角：连续用等边对等角与内角和，逐层求出各角再求和。 【解答题】 1．【答案】△DBC≌△ECB，OD=OE 解题步骤： ①∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB；∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDC=∠CEB=90°； ②在△DBC和△ECB中，BC为公共边，∠BDC=∠CEB，∠DCB=∠EBC，故△DBC≌△ECB（AAS）； ③由全等得CD=BE、∠DCB=∠EBC，由等角对等边得OB=OC，于是CD−OC=BE−OB，即OD=OE。 【知识点睛】AAS全等与等腰：先由等边对等角得底角相等，加两组直角与公共边用AAS证全等，再由等角对等边得OB=OC，作差即得OD=OE。 2．【答案】BC=7，∠DAE=60° 解题步骤： ①∵D在AB的垂直平分线上，∴DA=DB；∵E在AC的垂直平分线上，∴EA=EC； ②△ADE的周长=AD+DE+EA=BD+DE+EC=BC=7，故BC=7； ③由DA=DB得∠DAB=∠B，由EA=EC得∠EAC=∠C；∠BAC=180°−(∠B+∠C)=120°，故∠DAE=∠BAC−∠DAB−∠EAC=120°−60°=60°。 【知识点睛】垂直平分线性质综合：中垂线上的点到线段两端距离相等得等腰，把△ADE周长转化为BC；再用等边对等角与内角和求顶角∠DAE。 学科网（北京）股份有限公司 $