25.2.3 因式分解法课件2026-2027学年九年级上册数学人教版

第二十五章 一元二次方程 因式分解法 第二十五章 25.2 降次 —— 解一元二次方程 不配方、不代公式，靠“两个因式的积为 0”直接降次 学科：数学（人教版）　　年级：九年级（上册） 主讲人：____________　　　学校：____________ 换一条更快的路：不配方、不代公式，靠“两个因式的积为 0”降次。 第二十五章 一元二次方程 25.2.3 因式分解法 人教版·九年级上册·数学 2 换一条更快的降次路径 1 理解 ab = 0 ⇔ a = 0 或 b = 0，并会用它降次； 2 会用因式分解法解一边为 0、另一边易分解的方程； 3 能根据方程特点，在四种解法中选最快的一种。 重点 因式分解法的三步：移项、分解、分别为零 难点 分解前必须先让右边为 0 目标三条，核心是 ab = 0 ⇔ a = 0 或 b = 0。 第二十五章 一元二次方程 25.2.3 因式分解法 人教版·九年级上册·数学 3 01 环　节 两个因式的积为 0，就一定有因式为 0 从抛体问题说起 环节页：从一个抛体问题说起。 第二十五章 一元二次方程 25.2.3 因式分解法 人教版·九年级上册·数学 4 这个方程用公式法太麻烦，有没有更快的路 一个物体以 10 m/s 的速度竖直上抛，经过 x s 后的高度（单位：m）约满足 h = 10x − 5x²。 物体经过多少秒落回地面？也就是解方程 10x − 5x² = 0。 先想一想：这个方程的左边，能不能写成两个因式相乘？ 关键事实：如果两个因式的积为 0，那么至少有一个因式为 0 抛体情境先让学生试公式法，体会“太麻烦”，再一起找新路。 第二十五章 一元二次方程 25.2.3 因式分解法 人教版·九年级上册·数学 5 提公因式后，二次方程变成两个一次方程 题目 解方程 10x − 5x² = 0，并说明两个根的实际意义。 解析 左边分解因式：x(10 − 5x) = 0 所以 x = 0 或 10 − 5x = 0 解得 x₁ = 0，x₂ = 2。 x₁ = 0 表示抛出时刻（高度为 0），x₂ = 2 表示 2 s 后落回地面。 降次的关键：把一个二次方程拆成两个一次方程 提公因式后变成两个一次方程；两个根要回到情境里解释。 第二十五章 一元二次方程 25.2.3 因式分解法 人教版·九年级上册·数学 6 两个根，就是数轴上的两个点 x < −3 −3 < x < 2 x > 2 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x x = −3 x = 2 方程 (x + 3)(x − 2) = 0 的两根：x = −3 与 x = 2 两个因式的积为 0，必有一个因式为 0； 于是 x + 3 = 0 或 x − 2 = 0，各解出一个根； 数轴上两个点，把整个数轴分成三段。 数轴图帮助理解“两个根把数轴分成三段”，也为以后解不等式铺垫。 第二十五章 一元二次方程 25.2.3 因式分解法 人教版·九年级上册·数学 7 因式分解法：先让右边为 0，再把左边拆成积 方法 原理：若 ab = 0，则 a = 0 或 b = 0。 步骤：移项使右边为 0 → 左边分解因式 → 令每个因式为 0 → 解两个一次方程。 适用：左边容易分解，或方程缺常数项（形如 ax² + bx = 0）。 三步法板书：移项、分解、分别为零。 第二十五章 一元二次方程 25.2.3 因式分解法 人教版·九年级上册·数学 8 整体提取公因式，一步到位 题目 解方程：x(x − 2) + x − 2 = 0。 解析 把 (x − 2) 看成一个整体，提取公因式： (x − 2)(x + 1) = 0 所以 x − 2 = 0 或 x + 1 = 0 解得 x₁ = 2，x₂ = −1。 整体思想：(x − 2) 就是一个“字母” 整体提取公因式，(x − 2) 就当它是一个字母。 第二十五章 一元二次方程 25.2.3 因式分解法 人教版·九年级上册·数学 9 先整理成一般形式，再分解 题目 解方程：5x² − 2x − 1/4 = x² − 2x + 3/4。 解析 移项、合并同类项：4x² − 1 = 0 左边用平方差公式分解：(2x + 1)(2x − 1) = 0 所以 2x + 1 = 0 或 2x − 1 = 0 解得 x₁ = −1/2，x₂ = 1/2。 右边不为 0 时，先移项，否则分解出来的是“差”不是“积” 1 4 3 4 1 2 1 2 右边不为 0 时必须先移项，否则分解出来的是“差”而不是“积”。 第二十五章 一元二次方程 25.2.3 因式分解法 人教版·九年级上册·数学 10 因式分解法的三步，缺一步就出错 STEP 1 移项 把右边化为 0，左边按降幂排列 STEP 2 分解 提公因式、平方差、完全平方 STEP 3 分别为零 令每个因式为 0，解一元一次方程 三步固定格式，缺一步就出错。 第二十五章 一元二次方程 25.2.3 因式分解法 人教版·九年级上册·数学 11 四种解法，各有各的地盘 解法 适用形式 关键动作 直接开平方 ， 整体开平方 配方法 二次项系数易化为 1 两边加“一半的平方” 公式法 所有一元二次方程 先算 ，再代公式 因式分解法 一边为 0，另一边易分解 拆成两个因式的积 四种解法对照表，让学生自己说“看到什么形状选什么解法”。 第二十五章 一元二次方程 25.2.3 因式分解法 人教版·九年级上册·数学 12 六道小题，选最省力的解法 （1）x² + x = 0　　（2）x² − 2√(3)x = 0　　（3）3x² − 6x = −3 （4）4x² − 81 = 0　（5）3x(2x + 1) = 4x + 2　（6）(x − 4)² = (5 − 2x)² 提示：第（6）题两边都是平方，移项后可用平方差分解 六道小题，先选解法再动笔；第（6）题提示用平方差。 第二十五章 一元二次方程 25.2.3 因式分解法 人教版·九年级上册·数学 13 六道小题的答案 方程 分解后 根 ， ， ， ， ， 答案对照，重点讲第（5）（6）两题的整体思想。 第二十五章 一元二次方程 25.2.3 因式分解法 人教版·九年级上册·数学 14 当堂检测：看形状，选分解方式 当堂检测 1　解 x² − 5x = 0。 2　解 x² − 9 = 0。 3　解 x² − 7x + 12 = 0。 答案 （1）提公因式：x(x − 5) = 0，x₁ = 0，x₂ = 5。 （2）平方差：(x + 3)(x − 3) = 0，x₁ = 3，x₂ = −3。 （3）十字相乘：(x − 3)(x − 4) = 0，x₁ = 3，x₂ = 4。 当堂检测三题，分别对应提公因式、平方差、十字相乘。 第二十五章 一元二次方程 25.2.3 因式分解法 人教版·九年级上册·数学 15 三种分解方式，对号入座 因式分解法 前提 右边必须是 0，左边才能拆成两个因式的积 提公因式 x² − 5x = x(x − 5)，缺常数项时首选 平方差 x² − 9 = (x + 3)(x − 3)，缺一次项时首选 十字相乘 x² − 7x + 12 = (x − 3)(x − 4)，三项齐全时试它 三种分解方式对号入座，最好编成一句口诀。 第二十五章 一元二次方程 25.2.3 因式分解法 人教版·九年级上册·数学 16 03 环　节 解法不是越“万能”越好，而是越“对口”越好 怎样在一分钟内选定解法 环节页：解法不是越万能越好，而是越对口越好。 第二十五章 一元二次方程 25.2.3 因式分解法 人教版·九年级上册·数学 17 选解法的顺序：先看形状，再动手 一眼能看出“某个式子的平方等于常数”→ 直接开平方； 缺常数项（ax² + bx = 0）或能提公因式 → 因式分解； 二次项系数为 1 且一次项系数为偶数 → 配方法顺手； 以上都不顺 → 公式法，先算 Δ 再代入。 选解法的顺序讲清，让学生养成“先看形状”的习惯。 第二十五章 一元二次方程 25.2.3 因式分解法 人教版·九年级上册·数学 18 同一道题，两种解法都能走通 题目 解方程：2(x − 3)² = 3x − 9。 解析 移项：2(x − 3)² − 3(x − 3) = 0 提取公因式：(x − 3)[2(x − 3) − 3] = 0，即 (x − 3)(2x − 9) = 0 所以 x − 3 = 0 或 2x − 9 = 0 解得 x₁ = 3，x₂ = 9/2。 若展开后用公式法，同样得到这两个根，但计算量大得多。 看到 (x − 3) 重复出现，优先考虑整体提取 9 2 一题两解对比，突出整体提取的简洁。 第二十五章 一元二次方程 25.2.3 因式分解法 人教版·九年级上册·数学 19 因式分解法的三句话 先看形状 右边必须为 0 缺常数项优先提公因式 再分解 提公因式、平方差、完全平方 整体思想很常用 后取舍 两个因式分别等于 0 别忘了写“或” 三句话收束：先看形状、再分解、后取舍。 第二十五章 一元二次方程 25.2.3 因式分解法 人教版·九年级上册·数学 20 课后作业 完成教材习题 25.2 第 6 题（因式分解法）。 用因式分解法解：x² − 5x = 0，(2x − 1)² − 9 = 0。 比较：用两种方法解 x² − 4x + 3 = 0，说说哪种更快。 整理四种解法的“适用形状”，做成一张小卡片。 下节课：不解方程，也能知道两根的和与积 作业含“两种方法比较”；预告下节课：不解方程也能求两根的和与积。 $