25.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

人教版（新教材）数学九年级上册教学课件 第二十五章 一元二次方程 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 步骤 因式分解法 如果 a · b = 0，那么 a = 0 或 b = 0 原理 因式分解的常见方法有 ma + mb = m(a + b)； a2±2ab + b2 = (a±b)2； a2 − b2 = (a + b)(a − b).0 形式 将方程左边因式分解，使右边为 0 右化零，左分解；两因式，各求解 学习目标 知识点一　利用根与系数的关系求相关代数式的值 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根x1，x2与其系数a，b，c有如下关系： x1＋x2＝ ______________ ，x1x2＝______________． 返回目录 下一页 上一页 数学 九年级 上册（人教版） •练习1　已知一元二次方程x2＋3x－1＝0的两个根是x1，x2，请利用根与系数的关系求下列各式的值： 【解】根据一元二次方程的根与系数的关系，得x1＋x2＝－3，x1x2＝－1. 返回目录 下一页 上一页 数学 九年级 上册（人教版） 一元二次方程 (x − x1)(x − x2) = 0 (x1，x2 为已知数) 的两根是什么？ 若将此方程化为 x2 + px + q = 0 的形式，你能看出 x1，x2 与 p，q 之间的关系吗？ (x − x1)(x − x2) = 0 x2 − (x1 + x2) x + x1·x2 = 0 x2 + px + q = 0 猜想 x1 + x2 = −p， x1·x2 = q 证明： 【解】根据一元二次方程的根与系数的关系，得x1＋x2＝－3，x1x2＝－1. 返回目录 下一页 上一页 数学 九年级 上册（人教版） 返回目录 下一页 上一页 数学 九年级 上册（人教版） 一元二次方程的根与系数的关系 如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根为 x1， x2，那么 满足上述关系的前提条件： △=b2 − 4ac≥0. 注意 2 −1 3 0 一元二次方程 x1 + x2 x1 · x2 x2 −2x −1 = 0 2x2 −3x + = 0 2x2 −6x = 0 3x2 =4 不解方程，求出下列方程的两根之和与两根之积： 0 知识点二　已知一元二次方程的一个根，求另一个根 •练习2　已知关于x的一元二次方程x2－mx－2＝0.若－1是方程的一个根，求m的值和方程的另一个根． 【解】把x＝－1代入方程，得1＋m－2＝0，解得m＝1. 所以原方程为x2－x－2＝0， 解得x1＝－1，x2＝2. 所以方程的另一个根是2. 故m的值为1，方程的另一个根是2. 返回目录 下一页 上一页 数学 九年级 上册（人教版） 知识点三　利用根与系数的关系及已知条件求方程中参数的值(范围) •练习3　已知关于x的方程x2－2ax＋5＋2a＝0的两个根的平方和为14，求a的值． 返回目录 下一页 上一页 数学 九年级 上册（人教版） 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. (1) x2 + 7x + 6 = 0; 解：这里 a = 1 , b = 7 , c = 6. Δ = b2 − 4ac = 72 – 4 × 1 × 6 = 25 > 0. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = –7 , x1 x2 = 6. 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. (2) 2x2 − 3x − 2 = 0. 解：这里 a = 2 , b = −3 , c = −2. Δ= b2 − 4ac = (− 3)2 – 4 × 2 × (−2) = 25 > 0, ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = , x1 x2 = −1 . 当a＝3时，方程为x2－6x＋11＝0，Δ＝36－44＝－8<0，方程没有实数根，舍去； 当a＝－2时，方程为x2＋4x＋1＝0，Δ＝16－4＝12>0，方程有实数根，符合题意． 故a＝－2. 解后反思　当利用根与系数的关系求方程的系数时，千万不要忘记将系数代回验证Δ≥0，因为根与系数的关系是在一元二次方程中Δ≥0的前提下使用的． 返回目录 下一页 上一页 数学 九年级 上册（人教版） 基础巩固 1．下列一元二次方程中，两个实数根的和为－4的是(　　). A．x2＋2x－4＝0　　 B．x2－4x＋4＝0 C．x2＋4x＋10＝0 D．x2＋4x－5＝0 2．在下列方程中，以3，－4为根的一元二次方程是(　　). A．x2－x－12＝0 B．x2＋x－12＝0 C．x2－x＋12＝0 D．x2＋x＋12＝0 D B 返回目录 下一页 上一页 数学 九年级 上册（人教版） 已知方程x2−(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,求它的另一个根及k的值. 解： 设方程的另一个根为x1. 把x=2代入方程，得 4−2(k+1)+3k=0 解这方程，得 k= − 2 由根与系数关系，得2x1 ＝−3 k, 即 2 x1 ＝−6 ∴ x1 ＝−3 答：方程的另一个根是−3 , k的值是−2. 1.本节课主要学习了哪些知识？ 2．本节课你还有哪些疑惑？说一说． 一级标题：黑体， 18 一元二次方程的根与系数 的关系 如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根分别是 x1，x2，那么 x1 + x2 = – , x1 x2 = . 内容 应用 …… 课堂小结 谢谢大家聆听 $