25.2.3 因式分解法 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

# 25.2.3 因式分解法 专项练习（人教版，约1450字） ## 一、核心知识点梳理 1. **因式分解法原理** 若$A\cdot \(\boldsymbol{B\(=0\)}\)$，则$\boldsymbol{\(\boldsymbol{A\(=0\)}\)}$ **或** $\boldsymbol{\(\boldsymbol{B\(=0\)}\)}$。 把一元二次方程整理为**左边因式相乘，右边\(=0\)**的形式，转化为两个一元一次方程求解。 2. **适用形式** 方程能整理成：$\boldsymbol{(x-x_1)(x-x_2)\(=0\)}$ 常用因式分解方法：提公因式法、平方差公式、完全平方公式。 3. **解题步骤** ①移项：把所有项移到左边，使方程右边$\(=0\)$； ②分解：将左边多项式因式分解； ③降次：得到两个一次因式相乘等于0； ④转化：令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程； ⑤求解，写出两根。 >易错提醒 ①**必须右边等于0**，不能直接两边同时除以含未知数的式子（会丢根）； ②“或”表示两个因式只要一个为0即可，不是同时等于0； ③提公因式注意符号； ④不要在等式两边直接约去含有未知数的因式。 ## 二、基础过关（选择+填空） 1. 方程$(x-2)(x+3)\(=0\)$的解是（） A.$\(x=2\)$ B.$x=-3$ C.$x_1=2,x_2=-3$ D.$x_1=-2,x_2=3$ **答案：C** 2. 方程$x^2-3x\(=0\)$因式分解后正确的是（） A.$x(x-3)\(=0\)$ B.$x(x+3)\(=0\)$ C.$(x-3)^2\(=0\)$ D.$x^2=3x$ **答案：A** 3. $x^2-9\(=0\)$，因式分解得$(x+3)(\underline{\quad})\(=0\)$。 **答案：$x-3$** 4. 方程$x(x-1)\(=0\)$的根：________。 **答案：$x_1\(=0\),x_2=1$** 5. 解方程$2x^2=4x$，不能直接两边除以$2x$，原因：________。 **答案：会丢失根$x\(=0\)$** ## 三、能力提升（解答题，写出完整步骤） 6. 用因式分解法解方程：$x^2-5x\(=0\)$ **解** 左边提公因式：$x(x-5)\(=0\)$ $x\(=0\)$ 或 $x-5\(=0\)$ $\therefore x_1\(=0\),\ x_2=5$。 7. 用因式分解法解方程：$x^2-16\(=0\)$ **解** 平方差分解：$(x+4)(x-4)\(=0\)$ $x+4\(=0\)$ 或 $x-4\(=0\)$ $\therefore x_1=-4,\ x_2=4$。 8. 用因式分解法解方程：$x^2-6x+9\(=0\)$ **解** 完全平方公式：$(x-3)^2\(=0\)$ $x-3\(=0\)$ $\therefore x_1=x_2=3$。 9. 易错题 判断正误（对√，错×） ①$\(x(x+2)=4\)$，直接令$x\(=0\),x+2=4$（×，右边不是0，不能直接分解） ②解方程$x^2=2x$，两边同除以$x$，得到$\(x=2\)$（×，丢失$x\(=0\)$） ③$(2x-1)(x+3)\(=0\)$，则$2x-1\(=0\)$或$x+3\(=0\)$（√） ④$x^2-4x+4\(=0\)$，分解成$(x-2)^2\(=0\)$（√） ## 四、中考综合训练 10. 用因式分解法解方程：$3x^2-6x\(=0\)$ **解** 提公因式：$3x(x-2)\(=0\)$ $3x\(=0\)$ 或 $x-2\(=0\)$ $\therefore x_1\(=0\),\ x_2=2$。 11. 用因式分解法解方程：$(x-4)^2=25$ **解** 移项：$(x-4)^2-25\(=0\)$ 平方差：$(x-4+5)(x-4-5)\(=0\)$ $(x+1)(x-9)\(=0\)$ $x+1\(=0\)$或$x-9\(=0\)$ $\therefore x_1=-1,\ x_2=9$。 12. 解方程：$x^2-7x+12\(=0\)$ **解** 十字相乘分解：$(x-3)(x-4)\(=0\)$ $x-3\(=0\)$或$x-4\(=0\)$ $\therefore x_1=3,\ x_2=4$。 13. 解方程：$(2x+1)^2=(x-3)^2$ **解** 移项：$(2x+1)^2-(x-3)^2\(=0\)$ 平方差：$[2x+1+(x-3)][2x+1-(x-3)]\(=0\)$ $(3x-2)(x+4)\(=0\)$ $3x-2\(=0\)$或$x+4\(=0\)$ $\therefore x_1=\dfrac23,\ x_2=-4$。 ## 五、方法总结 因式分解法是**最快**的解法，优先使用； 解方程选择顺序：能因式分解优先因式分解，其次直接开平方法；配方法、公式法通用。 核心口诀：**移项使右边为0，左边分解成乘积，各因式等于0，一次方程来求解。** 高频陷阱： 1. 右边不为0，强行拆分因式； 2. 等式两边直接约掉含$x$的代数式，丢失根； 3. 十字相乘、平方差符号出错； 4. 混淆“且”和“或”。 因式分解法计算题中考常考，和一元二次方程应用题结合紧密。 需要我生成**无答案纯题目版本**打印练习吗？下一节写一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）？ 人教版（新教材）数学九年级上册 25.2.3 因式分解法 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/18 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第二十五章 一元二次方程 1 2 3 掌握因式分解法解一元二次方程的理论依据和基本步骤；能用提公因式法、平方差公式法解一元二次方程. 理解 “降次” 思想的本质；避免解方程过程中出现丢根、漏解的错误；根据方程特征灵活选择解法. 通过自主探究、合作交流，培养学生观察、分析、归纳和逻辑推理能力. 学习目标 思考 在上一节课中，我们学习了用公式法解方程，你还记得这个过程中比较关键的求根公式和根的判别式吗？ 请尝试用配方法或公式法分别解方程 有没有发现这两种方法的步骤都比较繁琐？ 那么有没有简便的方法呢？今天我们学习第三种解一元二次方程的方法 —— 因式分解法. 根的判别式： 求根公式： 情境导入 3 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 设物体经过x s落回地面：这时它离地面的高度为0m，即 10x−5x²=0 将方程的左边分解因式，得 x(10−5x)=0 这个方程的左边是两个一次因式的乘积，右边是0. 我们知道：如果两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0： 若ab=0，则a=0,或b=0. 反之，如果两个因式中任何一个为0，那么它们的积也等于0. 所以 x=0，或10−5x=0 因此，方程10−5x=0的两个根是 x1=0，x2=2. 对于这两个根，x1=0表示物体抛离地面的时刻，即在0 s时物体被抛出，此刻物体的高度是0 m；而x2=2表示物体在抛离地面2 s时落回地面. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 解方程10x−5x²=0时，二次方程是如何降为一次的？ 可以发现，在上述解法中，由10x−5x²=0到x=0，或10−5x=0的过程，不是用开平方降次：而是先分解因式，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方 程的方法叫作因式分解法. 因式分解法 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 因式分解 两个因式乘积为 0，说明什么？ 或 10 −5x= 0 降次，化为两个一次方程 解两个一次方程，得出原方程的根 10x − 5x2 = 0 ① x = 0， 解方程时，二次方程是如何降为一次的？ x(10 −5x) = 0 ② 因式分解法的基本步骤 一移——使方程的右边为 0； 二分——将方程的左边因式分解； 三化——将方程化为两个一元一次方程； 四解——写出方程的两个解. 10x − 5x2 = 0 ① x = 0， x(10 −5x) = 0 ② 或 10 −5x= 0 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 解下列方程： 解：(1)左边分解因式，得 于是 左边分解因式，得 于是 (2)移项、合并同类项，得 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 用不同方法解方程： 配方法 公式法 解： 解： x2−7x=0. ∵ a=1,b=−7,c=0. ∴ b2−4ac = (−7)2−4×1×0=49. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 用不同方法解方程： 因式分解法 解：将原方程的左边分解因式得： 解得 则 ，或 学习了配方法、公式法、因式分解法等求解一元二次万程的方法后，你能说说它们各自的特点吗？ 一元二次方程的解法选择基本思路 1. 一般地，当一次项系数为 0 时 (ax2 + c = 0)，应选用直接开平方法； 2. 若常数项为 0 (ax2 + bx = 0)，应选用因式分解法； 3. 化为一般式 (ax2 + bx + c = 0) 后，若一次项系数和常数项都不为 0，先看左边是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，否则就选用公式法或配方法：此时若二次项系数为 1，且一次项系数为偶数，则可选用配方法；否则可选公式法. 系数含根式时也可选公式法. 配方法要先配方，再开方，进而降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法首接利用求根公式解方程；因式分解法要先将方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.总之，解一元二次方程的基本思路是：先将二次方程化为两个一次方程，即降次，再分别解两个一次方程. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 将方程的左边分解因式， 得 x(3x−17)=0， 则x=0 ，或3x−17=0， 解一元二次方程： 解： 化简方程，得 解得 ， 化简后提公因式 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 解一元二次方程： 把 看成整体 左边分解因式，得 于是 解：移项，得 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 解一元二次方程： 利用平方差公式 因式分解 将方程的左边分解因式，得 解：移项，得 即 则 ，或 解得 , 1. 返回 由方程x(x－1)＝0可以得到的方程是(　　) A．x＝0或x－1＝0 B．x＝0 C．x－1＝0 D．x＋1＝0 A 举一反三 15 返回 2. 方程(x－3)(x＋2)＝0的根是(　　) A．x＝3 B．x＝－2 C．x1＝－3，x2＝2 D．x1＝3，x2＝－2 D 举一反三 返回 3. 用因式分解法解一元二次方程(x－1)2－4＝0时，要转化成两个一元一次方程求解，其中的一个方程是x－1＋2＝0，则另一个方程是____________，所以一元二次方程(x－1)2－4＝0的解是_______________． x－1－2＝0 x1＝－1，x2＝3 举一反三 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 解一元二次方程： (3m + 2)2 − 7(3m + 2) + 10 = 0． 解：分解因式，得 (3m + 2 − 2)(3m + 2 − 5) = 0. ∴ 3m + 2 − 2 = 0， 或 3m + 2 − 5 = 0， 解得 m1 = 0，m2 = 1. 将 (3m + 2) 看作一个整体，进行因式分解. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 解一元二次方程： 把字母看作常数仍然可以解方程 x2−2mx−4n2+m2=0 解： x2−2mx+m2−4n2=0 (x−m)2−(2n)2=0 (x−m+2n) (x−m−2n)=0 x−m+2n=0或 x−m−2n=0 ∴x1= m−2n， x2= m+2n 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如果方程 与方程 有一个公共根是3，求a，b的值，并分别求出两个方程的另一根． 解：两个方程有一个公共根是3，因此 ,解得 解方程 得 ， 解方程 得 ， ∴方程 的另一个根为0， 方程 的另一根为−3 十字相乘法 (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab (a，b 均为常数) 两个一次二项式相乘的积 一个二次三项式 整式的乘法 反过来，得 x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b) 一个二次三项式 两个一次二项式相乘的积 因式分解 如果二次三项式 x2 + px + q 中的常数项 q 能分解成两个因数 a、b 的积，而且一次项系数 p 又恰好是 a + b，那么 x2 + px + q 就可以用如上的方法进行因式分解. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 步骤： ①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，积相加 ③检验确定，横写因式 简记口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中. 解方程：x2 + 6x − 7 = 0. 解：因式分解得 (x + 7)(x − 1) = 0. ∴ x + 7 = 0， 或 x − 1 = 0. ∴ x1= −7， x2 = 1. · × 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 用十字相乘法解下列方程： (1) x2 −5x + 6 = 0； 解：分解因式，得 (x − 2)(x − 3) = 0， (2) x2 + 4x − 5 = 0； 解：分解因式，得 (x + 5)(x − 1) = 0， 解得 x1 = 2，x2 = 3. 解得 x1 = −5，x2 = 1． · × · × 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 已知实数m，n满足 ，则 的值为（     ） A．3 B．5 C．5或3 D．−3或5 解:设 ， ∵任意实数的平方是非负数，两个非负数相加仍是非负数， ∴ ，原方程可化为 ， 因式分解得 ，解得 ， ， ∵ ，∴舍去 ， 即 ． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 已知三角形两边长分别为4和9，第三边的长是二次方程 的根，则这个三角形的周长为（     ） A．25 B．21 C．19 D．17 解：∵ ，因式分解得 ， ∴ ，或 ， 当 时， ，不满足三边关系，不能构成三角形，舍去， 当 时， ，满足三边关系，可以构成三角形， ∴三角形的周长为 . 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 解：设 ，则原方程化为 ，∴ ， ∴ 或 ，解得 ， ， 当 时，则 ，即 ，∵ ，∴ ； 当 时，则 ，即 0， ∵ ， ∴ ； 综上所述，原方程的解为 ， ． 解方程： 返回 4. 用因式分解法解下列方程： (1)3x2＋2x＝0; 解：因式分解，得x(3x＋2)＝0， 于是得x＝0或3x＋2＝0， 解得x1＝0，x2＝－ 举一反三 返回 (3)2x2－12x＝－18; 解：整理得x2－6x＋9＝0. 因式分解，得(x－3)2＝0，解得x1＝x2＝3. 举一反三 返回 (4)4x2－49＝0； 解：因式分解，得(2x＋7)(2x－7)＝0， 于是得2x＋7＝0或2x－7＝0， (5)(2x－5)2－9＝0; 解：因式分解，得(2x－5＋3)(2x－5－3)＝0， 于是得2x－2＝0或2x－8＝0，解得x1＝1，x2＝4. 举一反三 返回 (6)(x＋3)2＝(1－2x)2. 解：移项，得(x＋3)2－(1－2x)2＝0. 因式分解，得(x＋3＋1－2x)(x＋3－1＋2x)＝0， 即(－x＋4)(3x＋2)＝0， 于是得－x＋4＝0或3x＋2＝0， 解得x1＝4，x2＝ 举一反三 [邯郸期中]解方程(x＋1)2＝3(x＋1)的最佳方法是(　　) A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法 返回 5. D 举一反三 在下列各题的横线上填写适当的解法． (1)解方程2x2－5x＋1＝0，用________法较适宜； (2)解方程x(x＋4)＝2(x＋4)，用__________法较适宜． 返回 6. 公式 因式分解 举一反三 返回 7. 用适当的方法解下列方程： (1)2(x－1)2＝8; 解：整理，得(x－1)2＝4. 开平方，得x－1＝±2. 解得x1＝3，x2＝－1. 举一反三 返回 (2)x2＋2x－4＝0； 解：移项，得x2＋2x＝4. 配方，得x2＋2x＋1＝4＋1，即(x＋1)2＝5. 举一反三 返回 (3)2x2－3x＋1＝0; 解：∵a＝2，b＝－3，c＝1， ∴Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×2×1＝1＞0， 举一反三 返回 (4)(x－4)2＝x(4－x)． 解：整理，得(x－4)2＋x(x－4)＝0， 因式分解，得(x－4)(2x－4)＝0， 于是得x－4＝0或2x－4＝0， 解得x1＝4，x2＝2. 举一反三 返回 8. [张家口期中]某节数学课上，甲、乙两名同学都在黑板上解方程x(x＋2)＝2(x＋2)，解答过程如下表所示，其中完全正确的是(　　) A．甲 B．乙 C．甲和乙 D．都不正确 B 甲 两边同时除以(x＋2)，得x＝2. 乙 移项，得x(x＋2)－2(x＋2)＝0. 因式分解，得(x－2)(x＋2)＝0， 即x－2＝0或x＋2＝0， 解得x1＝2，x2＝－2. 举一反三 返回 9. 若矩形ABCD的两邻边长分别为一元二次方程(x－3)(x－4)＝0的两个实数根，则矩形ABCD的对角线长为(　　) A. B．4 C．5 D．10 C 举一反三 38 返回 10. 若某三角形的两边长分别为5和4，第三边的长是方程x2－7x＝9(x－7)的根，则此三角形的周长为(　　) A．16 B．18 C．15或17 D．16或18 A 举一反三 39 11. 用因式分解法解一元二次方程x2－px－6＝0时，若x－3是该方程左边二次三项式的一个因式，则p的值是________． 1 返回 举一反三 40 返回 12. 用因式分解法解下列方程： (1)3(2x－3)2－2(2x－3)＝0； 解：因式分解，得(2x－3)[3(2x－3)－2]＝0， 即(2x－3)(6x－11)＝0， 于是得2x－3＝0或6x－11＝0， 举一反三 41 (2)2(x－3)2＝x2－9； 返回 解：移项，得2(x－3)2－(x2－9)＝0. 因式分解，得(x－3)[2(x－3)－(x＋3)]＝0， 即(x－3)(x－9)＝0， 于是得x－3＝0或x－9＝0， 解得x1＝3，x2＝9. 举一反三 (3)9(x＋2)2＝16(2x－5)2. 返回 解：移项，得9(x＋2)2－16(2x－5)2＝0. 因式分解，得[3(x＋2)＋4(2x－5)]·[3(x＋2)－4(2x－5)]＝0， 即(11x－14)(－5x＋26)＝0， 于是得11x－14＝0或－5x＋26＝0， 举一反三 13. [教材P15练习T2变式]如图，把小圆形场地的半径增加6 m得到大圆形场地，大圆形场地的面积是原来场地面积的2倍．求小圆形场地的半径． 返回 解：设小圆形场地的半径为r m，则大圆形场地的半径为(r＋6)m，由题意，得π(r＋6)2＝2πr2， 举一反三 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 步骤 因式分解法 如果 a · b = 0，那么 a = 0 或 b = 0 原理 因式分解的常见方法有 ma + mb = m(a + b)； a2±2ab + b2 = (a±b)2； a2 − b2 = (a + b)(a − b).0 形式 将方程左边因式分解，使右边为 0 右化零，左分解；两因式，各求解 谢谢观看 THANKS . (2)x2＋5 x＝0； 解：因式分解，得x(x＋5 )＝0， 于是得x＝0或x＋5 ＝0， 解得x1＝0，x2＝－5 . 解得x1＝－，x2＝. －. 开平方，得x＋1＝±， 解得x1＝－1＋，x2＝－1－. ∴x＝＝＝， ∴x1＝1，x2＝. 解得x1＝，x2＝. 解得x1＝，x2＝. 解得r1＝6＋6 ，r2＝6－6 (舍去)． 答：小圆形场地的半径为(6＋6 )m. $