江苏泰州市靖江市滨江学校 2026-2027学年度第一学期八年级数学周测3

滨江学校2026-2027学年度第一学期八年级周测3 提醒：勾股定理 一.选择题(20分) 1.三角形的三边长为a,b,c,且满足（atb)2=c2+2ab,则这个三角形是() A. 等边三角形B.钝角三角形 C.直角三角形D.锐角三角形 2.如图，矩形BCFG是一块草地，折线ABCDE是一条人行道，BC=8米，CD=6米，为了避免行人穿过草地（走 虚线BD),践踏绿草，管理部门分别在B,D处各挂了一块牌子，牌子上写着“少走()米，踏之何忍”. A.4 B.6 C.10 D.14 4 3-2-10 D 图2 3.如图，根据尺规作图痕迹，点M在数轴上表示的数是( A.V7-1 B.√7 C.V7+1 D.5 4.已知，如图，长方形ABCD中，AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF,则 △ABE的面积为(） A.6cm B.8 cm C.10 cm2 D.12c 5.如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正 方形内，若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出( A.直角三角形的面积 B.最大正方形的面积 C.较小两个正方形重叠部分的面积 D.最大正方形与直角三角形的面积和 二.填空题（共8小题，满分32分，每小题4分） 6.V64的平方根是 7.已知1<x<2,求x-3+√(x-1)的值为 8.若直角三角形的两条直角边分别为12和16，则它的斜边上的中线长为 9.如图，已知钓鱼竿AC的长为10m,露在水面上的鱼线BC长为6m,某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC 转动到AC的位置，此时露在水面上的鱼线BC为8m,则BB的长为 m. B -.B 图1 图2 10.把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点 重合于点A,且另三个锐角顶点B,C,D在同一直线上.若AB=√2，则CD= 11.如图，图1是一个可调节平板支架，其结构示意图如图2所示，已知平板宽度AB为16cm,支架脚BC的长度 为12cm,当∠ABC=90°时，可测得AC=20cm,保持此时△ABC的形状不变，当CB平分∠ACD时，点B到 CD的距离是 12.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD,对角线AC,BD交于 点O.若AD=2,BC=4,则AB+CD的值为 第1页（共13页） E B 13.已知：如图在△ABC,△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC,AD=AE,点C,D,E三点在同一条 直线上，连接BD,BE.以下四个结论：①BD=CE,②BD⊥CE;③LACE+∠DBC=45°；④B2=2(AD+AB) -CD,其中结论正确的是 三.解答题（共5小题，满分48分) 14.(8分)解方程①-3(x+1)2=75 49 计算②(3.14-Ⅱ)°-W3-2|+W121-(-号)-2 惩罚专练：（1)-2（1-3x)3=16: (2)-12+V(-2)2-(2-√3) 15.（5+5分)在一条东西走向河的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,其中AB=AC,由于某种原因， 由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A、H、B在一条直线上)， 并新修一条路CH,测得CB=3千米，CH=2.4千米，HB=1.8千米. (1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：CH与AB是否垂直？)请通过计算加以说明； (2)求原来的路线AC的长. g■e。■▣e■e▣▣ge▣ee四▣■▣。em▣■s 16.(5+5分)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，射线BE交AC于点E,AB=AE. (1)作图：只用圆规在射线BE上作出点D,使∠ACD=90°（保留作图痕迹，不写作法： (2)在（1)的条件下连接CD,若CE=1,DE=2,求AB长. B C 第2页（共13页） 17.(5+5分)如图，在△ABD中，AC⊥BD于点C,点E为AC上一点，连接BE、DE,DE的延长线交AB于F, 已知DE=AB,∠CAD=45°. (1)求证：DF⊥AB: (2)利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，己知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=a,AC=b, AB=c,求证：a+P=2. A 18.(3+3+4分)如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=8,D是AC上的一点，CD=1.5,点P 从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动.设点P的运动时间为t.连结AP. (1)当t=2秒时，求AP的长度； (2)当△ABP为等腰三角形时，求t的值； (3)过点D作DE⊥AP于点E.在点P的运动过程中，当t为何值时，能使DE=CD, C 第3页（共13页） 参考答案与试题解析 1.三角形的三边长为a,b,c,且满足(atb)2=2+2ab,则这个三角形是（) A.等边三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.锐角三角形 【分析】对等式进行整理，再判断其形状. 【解答】解：化简(a+b)2=2+2ab,得，a+=2所以三角形是直角三角形， 故选：C 【点评】本题考查了直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理判定， 2.如图，矩形BCFG是一块草地，折线ABCDE是一条人行道，BC=8米，CD=6米，为了避免行人穿过草地（走 虚线BD),践踏绿草，管理部门分别在B,D处各挂了一块牌子，牌子上写着“少走()米，踏之何忍”.， B D E A.4 B.6 C.10 D.14 【分析】由长方形的性质得∠C=90°，再由勾股定理得出BD的长，进而得出答案. 【解答】解：四边形BCFG是矩形， ∴.∠C=90°， 在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD=√BC2+代D2=√82+62=10， ∴.BC+CD-BD=8+6-10=4(米)， ∴牌子上写着“少走4米，踏之何忍” 故选：A. 【点评】本题考查了勾股定理的应用，掌握以上性质是解题的关键， 3.如图，根据尺规作图痕迹，点M在数轴上表示的数是() -3-2-101 A.V7-1 B.V7 C.V7+1 D.5 【分析】先观察图形可知点B表示的数是-3，点C表示的数是0，点D表示的数是1，根据两点间的距离公式 求出BC,BD,通过作图痕迹可知AB=BD,AC=CM,再利用勾股定理求出AC,从而得到CM,进而求出答 案即可. 【解答】解：如图所示： 点B表示的数是-3，点C表示的数是0，点D表示的数是1， ∴.BC=0-（-3)=0+3=3,BD=AB=1-(-3)=1+3=4, 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=√AB2-BC2=√42-32=V7, 由作图痕迹可知：AC=CM=√7， 点C表示的数是0， ∴点M表示的数是V7, 故选：B. 第4页（共13页） A B -3-2-101 【点评】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握两点间的距离公式和勾股定理. 4.己知，如图，长方形ABCD中，AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF,则 △ABE的面积为() G A.6cm2 B.8c㎡ C.10 cm2 D.12 cm2 【分析】根据折叠的条件可得：BE=DE,在直角△ABE中，利用勾股定理就可以求解. 【解答】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合 ∴BE=ED. AD=9cm=AE+DE=AE+BE. .BE=9-AE, 根据勾股定理可知：AB+AE已=B已， ∴.32+AE2=(9-AE)2 解得：AE=4cm. △ABE的面积为：1×3×4=6(cm). 2 故选：A, 【点评】此题考查了折叠的性质以及勾股定理.注意掌握方程思想的应用是解此题的关键 5.如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正 方形内，若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出() 图1 图2 A.直角三角形的面积 B.最大正方形的面积 C.较小两个正方形重叠部分的面积 D.最大正方形与直角三角形的面积和 【分析】根据勾股定理结合正方形的面积公式求解即可， 【解答】解：设直角三角形的斜边长为c,较长直角边为b,较短直角边为a. 由勾股定理，得2-a+b2 则阴影部分的面积=c2-b2-a(c-b)=a2-ac+ab=a(a叶b-c). 较小两个正方形重叠部分的宽=a-(c-b)=b-c,长为a,则较小两个正方形重叠部分的面积=a(rb-c), ∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积. 故选：C. 第5页（共13页） 【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么a+=2. 6.V64的平方根是±2√2 【分析】先根据算术平方根的定义得到V64=8,然后根据平方根的定义求解即可. 【解答】解：V64=8 “V64的平方根是8的平方根为±√8， .±V8=±2W2, 故答案为：士2V√2 【点评】本题考查了平方根的定义，二次根式的化简，正确理解题意是解题的关键 7.已知1<x<2,求x-3什√(X-1)2的值为2 3-x+X-1 8.若直角三角形的两条直角边分别为12和16，则它的斜边上的中线长为10 【分析】根据勾股定理求出斜边长，根据直角三角形的性质计算，得到答案. 【解答】解：由勾股定理得，直角三角形的斜边长=√122+162=20， 则斜边上的中线长=1×20=10， 2 故答案为：10. 【点评】本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解 题的关键. 9.如图，已知钓鱼竿AC的长为10m,露在水面上的鱼线BC长为6m,某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC 转动到AC的位置，此时露在水面上的鱼线BC为8m,则BB的长为2m. h业---- B' .B 【分析】根据勾股定理分别求出AB和AB,再根据BB=AB-AB即可得出答案 【解答】解：AC=10m,BC=6m, AB=VAC2-BC2=V102-62=8(m). .AC =10m,B'C =8m AB=√AC'2-B'C’2=6(m), .BB=AB-AB=8-6=2(m): 故BB的长为2m 故答案为：2. 【点评】此题考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理，根据已知条件求出AB和AB是解题的关键 10.把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点 重合于点A,且另三个锐角顶点B,C,D在同一直线上.若AB=√2，则CD=_V3-1 B D 【分析】先利用等腰直角三角形的性质求出BC=2,BF=AF=1,再利用勾股定理求出DF,即可得出结论， 【解答】解：如图，过点A作AF⊥BC于F, 第6页（共13页） 在Rt△ABC中，∠B=45° BC-V2AB-2.BF-AF-2AB-1. 2 :两个同样大小的含45°角的三角尺， .'AD=BC=2, 在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF=√AD2-AF2=√3 .CD=BF4DF-BC=1+W3-2=V3-1, 故答案为：V3-1. B C D 【点评】此题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键 11.如图，图1是一个可调节平板支架，其结构示意图如图2所示，已知平板宽度AB为16cm,支架脚BC的长度 为12cm,当∠ABC=90°时，可测得AC=20cm,保持此时△ABC的形状不变，当CB平分∠ACD时，点B 到CD的距离是9.6c四 D 图1 图2 【分析】过点B作BE⊥CD于点E,BF⊥AC于点F,根据角平分线性质得BE=BF,先在Rt△ABC中，由勾 股定理求出AC=20cm,再由三角形的面积公式求出BF=9.6cm,则BE=BF=9.6cm,由此即可得出答案 【解答】解：在Rt△ABC中，AB=16cm,BC=12cm, .AC=VAB 2+BC2=20 (cm), 过点B作BE⊥CD于点E,BF⊥AC于点F,如图所示： C E D CB平分∠ACD, ∴.BE=BF, 在△ABC中，∠ABC=90°，AC=20cm,AB=16cm, 由三角形的面积公式得：SAABC=1ACBF=LAB~BC, .BF=BBC=16X12=9.6(cm), AC 20 ∴.BE=BF=9.6cm, ∴.点B到CD的距离是9.6cm. 故答案为：9.6cm. 第7页（共13页） 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质，灵活运用勾股定理及三 角形的面积公式进行计算是解决问题的关键： 12.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD,对角线AC,BD交于 点O.若AD=2,BC=4,则AB+CD的值为20. B C 【分析】根据垂直的定义和勾股定理解答即可. 【解答】解：AC⊥BD, ∴.∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90° 由勾股定理得，AB+CD2=AO+BO2+CO+DO, AD2+BC2=AO+DO+BO+CO2. ∴.AB+CD=AD+BC2, AD=2,BC=4, ∴.AB2+CD=22+42=20. I3.已知：如图在△ABC,△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC,AD=AE,点C,D,E三点在同一条 直线上，连接BD,BE.以下四个结论：①BD=CE②BD⊥CE;③∠ACE叶∠DBC=45°；④BP=2(AD+AB) -CD,其中结论正确的是①②③④· B 【分析】①由条件证明△ABD=△ACE,就可以得到结论； ②由△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD=∠ACE,就可以得出∠BDC=90°而得出结论； ③由条件知∠ABC=∠ABDH∠DBC=45°，由∠ABD=∠ACE就可以得出结论； ④△BDE为直角三角形就可以得出B=BD+D2,由△DAE和△BAC是等腰直角三角形就有D2=2AD, BC2=2AB2,就有BC=BD+CD就可以得出结论. 【解答】解：①：∠BAC=∠DAE, .∴.∠BAC斗∠DAC=∠DAE+∠DAC 即∠BAD=∠CAE. 在△ABD和△ACE中 「AD=AE ∠BAD=∠CAE, AB=AC .∴.△ABD≌△ACE(SAS), ∴.BD=CE.故①正确； .·△ABD兰△ACE .∴.∠ABD=∠ACE ∵∠CAB=90°， ,∠ABDH∠AFB=90°， ∴.∠ACE叶∠AFB=90°. 第8页（共13页） ·.·∠DFC=∠AFB .∠ACE+∠DFC=90°， .∠FDC=90° .BD⊥CE;故②正确； ③：∠BAC=90°，AB=AC, .∠ABC=45°， ∴.∠ABDH∠DBC=45° ∴.∠ACE∠DBC=45°，故③正确； ④BD⊥LCE, ∴.BE2=BD+DE '∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC,AD=AE, .DE2=2AD2,BC2=2AB2, ∵BC2=BD+CD, ∴.2AB=BD+CD2 ∴.BD2-2AB2-CD2, .BE2=BD2+DE=2AB2-CD2+2AD2=2 (ADP+AB)-CD2 ∴.④正确 故答案为：①②③④. 【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，垂直的判定及性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用， 勾股定理的运用，解答时运用全等三角形的性质求解是关键。 14.计算：(1)-12+√(-2)2-(2√3) (2)(3.14n)0W3-2+W2i-(-)2 【分析】（1)直接利用立方根的性质以及二次根式的性质分别化简，进而得出答案； (2)直接利用零指数幂的性质以及负整数指数的性质、绝对值的性质、二次根式的性质分别化简，进而得出答 案 【解答】解：(1)-12+√(-2)2-(2-√3) =-1+2-2+V3 =-1+W3; (2)(3.14-m)0W3-21+W12i-(-2)-2 =1-(2-W3)+11-4 -1-2+W3+11-4 =6+W3 【点评】此题主要考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，掌握相应的运算法则是关键 15.求下列各式中的实数x. (1)-2(1-3x)3=16: (2)-3(x+1)2=75 49 【分析】(1)首先整理为：(1-3x)3=8,再根据立方根的性质直接开立方得出答案即可； 第9页（共13页） (2)首先整理为：(+1)2-25，再根据平方根的性质直接开平方得出答案即可。 49 【解答】解：（1)-2(1-3x)3=16 整理得：(1-3x)3=-8, 则1-3x=-2, 解得：x=1; (2)-3(x+1)2=75 9 整理得：(#1)2=25 9 则州1=±5 Γ7 解得：=12 =-2 7 【点评】此题主要考查了立方根以及平方根的性质与计算，正确将原式化简为立方或平方形式是解题关键 16.在一条东西走向河的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,其中AB=AC,由于某种原因，由C到A 的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A、H、B在一条直线上)，并新修一条 路CH,测得CB=3千米，CH=2.4千米，HB=1.8千米. (1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：CH与AB是否垂直？）请通过计算加以说明； (2)求原来的路线AC的长. H 。。。。。。。。。。。。。 。。。 【分析】(1)根据勾股定理的逆定理解答即可： (2)根据勾股定理解答即可. 【解答】解：（1)是， 理由是：在△CHB中 Cf+Bf=(2.4）2+(1.8）2=9 BC2=9 ∴.C+BP=BC2 .∴.CH⊥AB, 所以CH是从村庄C到河边的最近路 (2)设AC=x 在Rt△ACH中，由已知得AC=x,AH=x-1.8,CH=2.4 由勾股定理得：AC2=A+C? x2=(x-1.8)2+(2.4）2 解这个方程，得x=2.5, 答：原来的路线AC的长为2.5千米. 【点评】此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理和定理解答， 17.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，射线BE交AC于点E,AB=AE. (1)作图：只用圆规在射线BE上作出点D,使∠ACD=90°（保留作图痕迹，不写作法)； (2)在（1)的条件下连接CD,若CE=1,DE=2,求AB长 第10页（共13页） ⊙ C 【分析】(1)以C点为圆心，CB为半径画弧交射线BE于D点： (2)连接CD,如图，利用勾股定理计算出CD=V3,再证明∠CBD=∠D得到BC=CD=V3,设AB=x, 则AE=x,利用勾股定理得到x2+（√3)2=（种1）2，然后解方程即可， 【解答】解：（1)如图，点D为所作； D C (2)连接CD,如图， .∠ACD=90°， ∠LDEC=90°，CD=VDE2-CE2-V22-12=V3, .AB=AE, .∴.∠ABE=∠AEB 而∠AEB=∠DEC, ∴.∠ABE=∠DEC, '∠ABE叶∠CBD=90°， .∠CBD=∠D, BC=CD=V3 设AB=X则AE=X, 在Rt△ABC中，xX+(√3)2=(H1)2, 解得x=1, 即AB的长为1. 【点评】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性 质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作， 18.如图，在△ABD中，AC⊥BD于点C,点E为AC上一点，连接BEDE,DE的延长线交AB于F,已知DE =AB,∠CAD=45°. (1)求证：DF⊥AB; (2)利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=a,AC=b, AB=c,求证：+P=2. A D 【分析】(1)利用“8字型”证明∠AFE=∠ECD=90°即可. (2)利用SABCE十SAACD=SAABD-S△ABE,即可得出结论. 【解答】解：（1)AC⊥BD,∠CAD=45°， ∴AC=DC,∠ACB=LDCE=90°， 在Rt△ABC与Rt△DEC中， 第11页（共13页） (AC=DC AB=DE .Rt△ABC≌Rt△DEC(HL), .∴.∠BAC=∠EDC, .'∠EDC+∠CED=90°，∠CED=∠AEF, ∴.∠AEF4∠BAC=90°， .∠AFE=90°， ∴DF⊥AB (2）:SABCE+SAACD=SAABD-S△ABE, 11-1.cDF-1.c.EF-1.c DF-EF)-1.cDE-12. 222 2 2 2 2 a2+=c2 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理的证明等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定 和性质，学会利用面积法证明勾股定理，属于中考常考题型. 19.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=8,D是AC上的一点，CD=1.5,点P从B点出发 沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动.设点P的运动时间为t.连结AP. (1)当t=2秒时，求AP的长度； (2)当△ABP为等腰三角形时，求t的值； (3)过点D作DE⊥AP于点E.在点P的运动过程中，当t为何值时，能使DE=CD, D B P C 【分析】(1)由勾股定理得，P=√CP2+AC2,计算求解即可； (2)当△ABP为等腰三角形时，由题意知，分当AP=BP,当AB=BP,当AB=AP,三种情况求解即可； (3)由勾股定理得，AE=√AD2-DE2=2,如图2，连接PD,证明Rt△PDE≌Rt△PDC(L),则PE=PC,设 PE=PC=x,则AP=+2,由勾股定理得计算求得x=3,则BP=2t=5,进而求解；由轴对称的性质可知，当 BP=2t=8+3时，DE=CD成立，计算求解即可. 【解答】解：（1)当t=2秒时，BP=4, ∴.CP=4, 由勾股定理得，P=√CP2+AC2=42, .AP的长为4W2: (2)当△ABP为等腰三角形时，由题意知，分当AP=BP,当AB=BP,当AB=AP,三种情况求解；如图1， y D CP 图1 由勾股定理得，B=√AC2+BC2=4W5, ①当AP=BP=2t时，CP=8-2t, 由勾股定理得，AP2-CP=AC2,即(2t)2-(8-2t)2=42, 解得，t受 第12页（共13页)》 ②当AB=BP=4V5时，2t=4V5, 解得，t=2W5; ③当AB=AP时 由等腰三角形的性质可知，PC=BC=8, ∴.BP=PC+BC=16, .2t=16, 解得，t=8; 综上所述，t的值为5或2W5或8： (3)CD=1.5, ..DE=CD=1.5,AD=2.5 由勾股定理得，AE=√AD2-DE2=2, 如图2，连接PD, C 图2 在Rt△PDE和Rt△PDC中， DE=CD PD=PD .∴.Rt△PDE≌Rt△PDC(HL), ∴.PE=PC, 设PE=PC=x,则AP=xH2, 由勾股定理得，AP2-PC=AC2,即(+2)2-x2=42, 解得，X=3, ∴.BP=2t=5, 解得，t受 由轴对称的性质可知，当BP=2t=8+3时，DE=CD成立， 解得，号 综上所述，当t的值为5或11时，DB=CD. 22 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，轴对称的性质.熟练掌握 全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，轴对称的性质，并分类讨论是解题的关键. 第13页（共13页)